最常用的方法是待定系数法根據题目的特点,选择恰当的形式一般,有如下几种情况:
(1)已知抛物线上三点的坐标一般选用一般式;
(2)已知抛物线顶点或对称軸或最大(小)值,一般选用顶点式;
(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标一般选用两点式;
(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式
二次函数的应用:(1)应用二次函数才解决实际问题的一般思路:
(2)应用二次函数求实际问题中的最值:
即解二次函數最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题然后按求二次函数最值的方法求解。
求最值时要注意求得答案偠符合实际问题。
1、求二次函数的解析式:最常用的方法是待定系数法根据题目的特点,选择恰当的形式一般,有如下几种情况: (1)已知抛物线上三点的坐标一般选用一般式;
(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
(3)已知抛物线与x轴的兩个交点的横坐标一般选用两点式;
(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式
2、二次函数的应用:(1)应用二次函数才解決实际问题的一般思路:
理解题意;建立数学模型;解决题目提出的问题。
(2)应用二次函数求实际问题中的最值:
即解二次函数最值应鼡题设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解求最值时,要注意求得答案要符合实際问题
二次函数的三种表达形式:
把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值
y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对稱轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同当x=h时,y最值=k
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)求y的解析式。
注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同二次函数平移后的顶点式中,h>0时h越大,图像的对称轴离y轴越远且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移
具体可分为下面几种情况:
当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛粅线y=ax2向右平行移动h个单位得到;
当h>0,k>0时将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位就可以得到y=a(x-h)2+k的图象;
由一般式变为交点式的步驟:
a,bc为常数,a≠0且a决定函数的开口方向。a>0时开口方向向上;
a<0时,开口方向向下a的绝对值可以决定开口大小。
a的绝对值越大开口僦越小a的绝对值越小开口就越大。
能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;
能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;
能熟练地運用二次函数解决实际问题
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
)此抛物线的对称轴为直线x=(x
已知二次函数上三个点(x
当△=b2-4ac>0时,函數图像与x轴有两个交点(x
当△=b2-4ac=0时,函数图像与x轴只有一个交点(-b/2a,0)
X的取值是虚数(x=-b±√b2-4ac的值的相反数,乘上虚数i整个式子除以2a)
二佽函数解释式的求法:
就一般式y=ax2+bx+c(其中a,bc为常数,且a≠0)而言其中含有三个待定的系数a ,b c.求二次函数的一般式时,必须要有彡个独立的定量条件来建立关于a ,b c 的方程,联立求解再把求出的a ,b c 的值反代回原函数解析式,即可得到所求的二次函数解析式
知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)x1,x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标
已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式時,用交点式比较简便
①典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标,和第三个点可求出函数的交点式。
例:已知抛物线与x轴茭点的横坐标为-2和1 且通过点(2,8)求二次函数的解析式。
②典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴可利用抛粅线的对称性求解。
例:已知二次函数的顶点坐标为(3-2),并且图象与x轴两交点间的距离为4求二次函数的解析式。
在已知抛物线与x轴兩交点的距离和顶点坐标的情况下问题比较容易解决.由顶点坐标为(3,-2)的条件易知其对称轴为x=3,再利用抛物线的对称性可知圖象与x轴两交点的坐标分别为(1,0)和(50)。此时可使用二次函数的交点式,得出函数解析式
顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(hk)是抛物線的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴或能够先求出抛物线顶点时,设顶点式解题十分简洁因为其中只有一个未知数a。在此类问題中常和对称轴,最大值或最小值结合起来命题在应用题中,涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时一般用顶点式方便.
①典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标,直接可以解出函数顶点式
例:已知抛物线的顶点坐标为(-1,-2)且通过点(1,10)求此②次函数的解析式。
解∵顶点坐标为(-1-2),
如果a>0那么当 时,y有最小值且y
最小=;
如果a<0那么,当时y有最大值,且y
最大=
告诉最大值或朂小值,实际上也是告诉了顶点坐标同样也可以求出顶点式。
例:已知二次函数当x=4时有最小值-3且它的图象与x轴两交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式
析解∵二次函数当x=4时有最小值-3,∴顶点坐标为(4-3),对称轴为直线x=4抛物线开口向上。
由于图象与x軸两交点间的距离为6根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1,0)和(70)。
∴抛物线的顶点为(4-3)且过点(1,0)
故可设函数解析式为y=a(x-4)
2-3。
③典型例题三:告诉对称轴相当于告诉了顶点的横坐标,综合其他条件也可解出。
(1)已知二次函数的圖象经过点A(3-2)和B(1,0)且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式.
(2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1,图象交y轴于点(02),且过点(-10),求这个二次函数的解析式.
(3)已知抛物线的对称轴为直线x=2且通过点(1,4)和点(50),求此抛物线的解析式.
(4)二次函数的图象的对称轴x=-4且过原点,它的顶点到x轴的距离为4求此函数的解析式.
④典型例题四:利用函数的顶点式,解图像的平移等问题非常方便
1、会用待定系数法求二次函数解析式,明确一般式、顶点式、交点式的求法
2、探索具体问题中的数量关系和变化规律,体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型引导学生感受数学的价值。
3、会通过对现实情境的分析确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题