德摩根公式是什么？
德摩根公式是什么？ 30
通用叫法为“ 德摩根定律 ” 

发展历程与表达形式


奥古斯都·德·摩根首先发现了在命题逻辑中存在着下面这些关系：



非(P 且 Q)＝(非 P)或(非 Q)



非(P 或 Q)＝(非 P)且(非 Q)


德·摩根的发现影响了乔治·布尔从事的逻辑问题代数解法的研究，这巩固了德·摩根作为该规律的发现者的地位，尽管亚里士多德也曾注意到类似现象、且这也为古希腊与中世纪的逻辑学家熟知(引自Bocheński《形式逻辑历史》)。


形式逻辑中此定律表达形式：




eg(P wedge Q)=(
eg P) vee(
eg Q)




eg(P vee Q)=(
eg P) wedge(
eg Q)


在集合论中：
(A cap B)^C=A^C cup B^C



(A cup B)^C=A^C cap B^C.


在经典命题逻辑的外延中，此二元性依然有效(即对于任意的逻辑运算符，我们都能找他它的对偶)，由于存在于调节否定关系的恒等式中，人们总会引入作为一个算符的德·摩根对偶的另一个算符。这导致了基于传统逻辑的逻辑学的一个重要性质，即否定范式的存在性：任何公式等价于另外一个公式，其中否定仅出现在作用于公式中非逻辑的原子时。否定常型的存在推进了许多应用，例如在数字电路设计中该性质用于操纵逻辑门，以及在形式逻辑中该性质是寻找一个公式的合取范式和析取范式的必要条件；电脑程序员们则用它们将一个类似于IF ... AND (... OR ...) THEN ... 这样的复杂语句转变为其对等形式；它们也同样经常用于初等概率论中的计算。


我们将基于基本命题p, q的任意命题算符P(p, q, ...)的对偶定义为：




eg mbox^d(
eg p, 
eg q, ...).


该概念可以推广到逻辑量词上，例如全称量词和存在量词互为对偶：



forall x , P(x) equiv 
eg exists x , 
eg P(x),


“对所有x，P(x)皆成立”等价于“不存在x，使P(x)不成立”；



exists x , P(x) equiv 
eg forall x , 
eg P(x).

“存在x，使P(x)成立”等价于“并非对所有x，P(x)都不成立”。


为对德·摩根定律叙述这些量词的二元性，设置一个在其域D中具有少量元素的模型，例如



D = {a, b, c}.


则



forall x , P(x) equiv P(a) wedge P(b) wedge P(c)


“对所有x，P(x)成立”等价于“P(a)成立”且“P(b)成立”且“P(c)成立”


以及



exists x , P(x) equiv P(a) vee P(b) vee P(c).


“存在x，使P(x)成立”等价于“P(a)成立”或“P(b)成立”或“P(c)成立”


但，应用德·摩根定律，



P(a) wedge P(b) wedge P(c) equiv 
eg (
eg P(a) vee 
eg P(b) vee 
eg P(c))


“‘P(a)成立’且‘P(b)成立’且‘P(c)成立’”等价于“非(‘P(a)不成立’或‘P(b)不成立’或‘P(c)不成立’)”


以及

P(a) vee P(b) vee P(c) equiv 
eg (
eg P(a) wedge 
eg P(b) wedge 
eg P(c)),


“‘P(a)成立’或‘P(b)成立’或‘P(c)成立’”等价于“非(‘P(a)不成立’且‘P(b)不成立’且‘P(c)不成立’)”


检验模型中量词的二元性。


从而，量词的二元性可进一步延伸到模态逻辑中的方块和菱形算符：



Box p equiv 
eg Diamond 
eg p,


Diamond p equiv 
eg Box 
eg p.


提问者 的感言：晕……什么来的~ 满意答案
德摩根公式CU（A∩B）= CuA∪CuB；
其他回答 (1)
（A交B）的补==（A的补）并（B的补） 
（A并B）的补==（A的补）交（B的补） 
补==取补集 
并==取并集 
交==取交集 
括号表示顺序

画韦恩图更直接，就是一个一个框框那种图
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假言命题真值表
中的思维，假言命题直接理解就是&有p则必有q，无q则必无p&，即直接判断p和q在【意义上的前后联系】，进而可以得出假言命题的真假岂不是更好嘛。(您在判断康熙雍正的例子中，感觉就是这么做。)
我的理解您觉得是否正确呢？
关于实质蕴涵是这样规定出来的：我们都认可蕴含或充分条件关系的本质特征是“有之必然”，也就是说“前件真而后件假是不行的”。当然这个说法带了模态，严格说来不是很精确，但意思基本上就是这样。这个意思翻译一下就是“并非（是p 且 不是q）”，也就是 ┐(p ∧┐q).
用德摩根法则，这个式子展开就是┐p∨q，是个析取式，因此可以预料其真值表里必定是三真一假：只有真蕴含假为假，其他情况下蕴含全部都为真，包括假蕴含假，假蕴含真。所以这个真值表的情况就是这样来的，虽然不合乎习惯，但是对于一阶逻辑本身没什么问题，对于我们建立推理也没什么问题。因为我们只在乎从真命题里推出什么，而不在乎从假命题里推出什么。
在我们日常生活中说“如果……那么……”的时候，确实是联系着意义在说，和一阶逻辑的实质蕴涵有些差异。所以现在全部逻辑学中也存在着不同于实质蕴涵的别的蕴含。
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应用德·摩根定律，使P(x)成立”等价于“并非对所有x.
“存在x, 。形式逻辑中此定律表达形式，P(x)都不成立”，我们都能找他它的对偶), P(x) equiv eg exists x ：Box p equiv eg Diamond eg p。为对德·摩根定律叙述这些量词的二元性, P(x) equiv P(a) vee P(b) vee P(c)。否定常型的存在推进了许多应用, eg P(x),
“对所有x. AND (,
Diamond p equiv eg Box eg p.，尽管亚里士多德也曾注意到类似现象.在经典命题逻辑的外延中, eg q, b.：(A cap B)^C=A^C cup B^C(A cup B)^C=A^C cap B^C，量词的二元性可进一步延伸到模态逻辑中的方块和菱形算符。我们将基于基本命题p，其中否定仅出现在作用于公式中非逻辑的原子时.，人们总会引入作为一个算符的德·摩根对偶的另一个算符.该概念可以推广到逻辑量词上，此二元性依然有效(即对于任意的逻辑运算符；它们也同样经常用于初等概率论中的计算。从而.则forall x ，例如D = {a, q的任意命题算符P(p、且这也为古希腊与中世纪的逻辑学家熟知(引自Bocheński《形式逻辑历史》)，由于存在于调节否定关系的恒等式中,
“‘P(a)成立’或‘P(b)成立’或‘P(c)成立’”等价于“非(‘P(a)不成立’且‘P(b)不成立’且‘P(c)不成立’)”检验模型中量词的二元性..) THEN .)的对偶定义为，即否定范式的存在性.. OR .), , q，P(a) wedge P(b) wedge P(c) equiv eg (eg P(a) vee eg P(b) vee eg P(c))
“‘P(a)成立’且‘P(b)成立’且‘P(c)成立’”等价于“非(‘P(a)不成立’或‘P(b)不成立’或‘P(c)不成立’)”以及P(a) vee P(b) vee P(c) equiv eg (eg P(a) wedge eg P(b) wedge eg P(c))：eg(P wedge Q)=(eg P) vee(eg Q)eg(P vee Q)=(eg P) wedge(eg Q)在集合论中，例如在数字电路设计中该性质用于操纵逻辑门.“存在x，使P(x)成立”等价于“P(a)成立”或“P(b)成立”或“P(c)成立”但. 这样的复杂语句转变为其对等形式.，以及在形式逻辑中该性质是寻找一个公式的合取范式和析取范式的必要条件，P(x)成立”等价于“P(a)成立”且“P(b)成立”且“P(c)成立”以及exists x ，P(x)皆成立”等价于“不存在x。这导致了基于传统逻辑的逻辑学的一个重要性质, P(x) equiv P(a) wedge P(b) wedge P(c)
“对所有x，使P(x)不成立”.，例如全称量词和存在量词互为对偶，设置一个在其域D中具有少量元素的模型, c}., P(x) equiv eg forall x .；exists x ：任何公式等价于另外一个公式.，这巩固了德·摩根作为该规律的发现者的地位, eg P(x)：forall x .通用叫法为“ 德摩根定律 ” 发展历程与表达形式奥古斯都·德·摩根首先发现了在命题逻辑中存在着下面这些关系：eg mbox^d(eg p：非(P 且 Q)＝(非 P)或(非 Q)非(P 或 Q)＝(非 P)且(非 Q)德·摩根的发现影响了乔治·布尔从事的逻辑问题代数解法的研究.；电脑程序员们则用它们将一个类似于IF
（A交B）的补==（A的补）并（B的补） （A并B）的补==（A的补）交（B的补） 补==取补集 并==取并集 交==取交集 括号表示顺序画韦恩图更直接，就是一个一个框框那种图
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