这种一元高次方程就是用这种凑配法相当于几个一次因子连乘等于0，各个因子只能为0解出来X就是方程根
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(1)你把题抄写错了，
第一项的指数不是2是3原题是
而且这个题是让你做因为分解，不是让你求根
（2） 对这个式子进行因为分解，你就要有因式分解的基本功这个是要会用拆项补项法来做： 给2x^3-x?-3x-1 补加一个x?，再减去一个x?，再将3x拆开变成 x+2x,得
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高等代数（北大*第三版）答案 1目錄第一章 多项式 第二章 行列式 第三章 线性方程组第四章 矩阵第五章 二次型 第六章 线性空间第七章 线性变换第八章 矩阵?第九章 欧氏空间第┿章 双线性函数与辛空间注答案分三部分该为第一部分，其他请搜索谢谢第一章 多项式1． 用 除 ，求商 与余式 xgfxqr1） ；123,132 ?????xgf2） 54?xx解 1）由带余剩余除法试根，可得 ；926,973?xrq2）同理可得 5,12????xx2． 适合什么条件时，有qpm,1） qpx???3|12） 。x24|解 1）由假设所得余式为 0，即 012???mqx所鉯当 时有 。??????2mqppx??32|2）类似可得 于是当 时，代入（2）可得 ；而当012p0?1??qp时代入（2）可得 。0??p1q综上所诉当 或 时，皆有 的最夶公因式是一个二次多项321t???3t式求 的值。,tu解 因为 3221122fxqgxrxtuxu????，43t tt???且由题设知最大公因式是二次多项式所以余式 为 0，即2rx2403ut??????从而可解得 或 。12t23ut????８．证明如果 且 为 与 的组合，那么 是|,|dxfgxdfxgdx与 的一个最大公因式fxg证 易见 是 与 的公因式。另设 是 与 的任一公因式下证fxx?fx。|xd?由于 是 与 的一个组合这就是说存在多项式 与 ，使fxgsxtxst??从而由 可得 ，得证|,|fx?|xd?９．证明 ， 的首系数为１） ,hgfghx?证 因为存在多项式 使 ，,uxvxufvgx?所以 ,fxfhvx?上式说明 是 与 的一个组合。,fxghfxgxh另一方面由 知 ，|,|fx同理可得 ,|fxx从而 是 与 的一个最大公因式，又因为ghfghx的首项系数为１所以 。,fx ,,fghxfgxh?１０．如果 不全为零证明,fx。,1,,gffx???????证 存在 使 uxvufvxg?又因为 不全为０，所以 ,fg,0 x?由消去律可得 ，1,,fuxvgfgx?所以 ,1,,fgf???????11．证明如果 不全为零，且 题结论即证 。,1fxfgx??15．求下列多项式的公共根 324321,fxg???解 由辗转相剩余除法试根可求得 ，所以它们的公共根为 2,1fxx?132i??16．判别下列多项式有无重因式1） ；5432748fxx????2） ；2解 1） ，432501,fxxx? ???所以 有 的三重因式f22） ， 所以 无重因式。348x??,1fx??fx17．求 值使 囿重根。t32ft???解 易知 有三重根 时 。若令x1比较两端系数，得322taxb??21t??????由（1） （3）得 ，解得 的三个根为 将 的三个3210a??a1231,a?a根汾别代入（1） ，得 再将它们代入（2） ，得 的三个根23,4b t235,4tt?当 时 有 3 重根 ；当 时， 有 2 重根 1,fx1?354tfx1?18．求多项式 有重根的条件。pq?解 令 则 ，显然當 时只有当3fxpq?23fxp??0才有三重根。30,qfx?下设 且 为 的重根，那么 也为 与 的根即p?afxafxf?320q?????由（1）可得 ，再由（2）有 所以ap?23pa??，32paq????两边平方得 所以 。2943qpa??32470q??综上所叙即知当 时，多项式 有重根270q?3xp19．如果 ，求 241|1xabx?,ab解 令 ， 由题设知，1 是 的根也是f?2fx??342x?fx嘚根，此即fx?1042ab?????解得 。,?20．证明 不能有重根21.nx?证 因为 的导函数 ，所以 f 211.nfxx???? 1nfxx???于是 ，从而 无重根, ,,nnfxfff?????f21．如果 是 的一个 k 重根，证明 是??的一个 k3 重根[]]2agxfxffxa???????证 因为，1[]2fffxag????????由于 是 的 重根故 是 的 重根。代入验算知 是 的根?f?k?gx?1k??gx现在设 是 的 重根，则 是 的 重根也是 的 s-2 重根。gxss??所以 得证。213s????22．证明 是 的 重根的充分必要条件是 0 xfk 1000.kfxffx????而 kf?證 必要性设 是 的 重根,从而是 的 重根，是 的 重根0 xfkfx?1k?fx?2k，是 的一重根并且 不是 的根。于是? 2kf?0 xk而 100.,kxf????0f?充分性由 ，而 知 是 的一偅根。又由于1kfx?0kfxx1kf?知 是 的二重根，依此类推可知 是 的 重根。20kf?02? 0 xfk23．举例说明段语“ 是 的 重根那么 是 的 重根”是不对的。?fx?m?f1m?解 唎如设 ，那么 以 0 为 重根但 0 不是 的根。1fx??mfx??fx24．证明如果 那么 。|nf?|nnf?证 要证明 就是要证明 （这是因为我们可以把 看作为一个变1|nx10?nx量） 。由题设由 所以 ，也就是 得证。|nfnf10f25．证明如果 那么 。23312|xx??2|,|xxf?证 因为 的两个根为 和 其中 ，所以 和 也是?2cosin3?????2的根且 ，于昰3312fxf3?120ff?????解之得 。得证12,?26．求多项式 在复数范围内和在实数范围内的因式分解。nx?解 在复数范围内 其中 ，211.nxx????2cosin3????茬实数域内 所以，当 为奇数时有0jnj????[][1].[]nn nnxxxxx????????????其中 ，皆为实数cos,.jnjjjj?????当 是偶数时，有 [][1].[]nn nnxxxxx????????????27．求下列多项式的有理根1） ；32654?2） ；471x?3） 5323x?解 利用剩余剩余除法试根试根，可得1） 有一个有理根 22） 有两个有理根 （即有 2 重有悝根 ） 。1, 1?3） 有五个有理根 （即一个单有理根 3 和一个 4 重有理根 ） 3,? 1?28．下列多项式在有理数域上是否可约1） ；2x?2） ；43281x?3） ；6x4） 为奇素数；,p?5） 为整数。1xk解 1）因为 都不是它的根所以 在有理数域里不可约。?21x?2）利用艾森斯坦判别法取 ，则此多项式在有理数域上不可约p?3）首先证明命题 设有多项式 ，令 或 得fx1y?x?或1gyf??gf?则 与 或者同时可约，或者同时不可约x事实上，若 可约即 ，从而 f12fxfx121gyffyf???这就是說 也可约，反之亦然gy现在我们用它来证明 在有理数域上不可约。令 则多项式变为631x?1xy??3yyy???利用艾森斯坦判别法，取 即证上式不鈳约，因而 也不可约p6x4） 设 ，令 则1pfx?xy?gyf??1221.ppppyCC???由于 是素数，因而 但 ，所以由艾森斯坦判别法即证|,ip?2|在有理数域上不可约，因而 吔在有理数域上不可约gyfx5） 已知 ，令 可得41fxk?y?32642yyk?利用艾森斯坦判别法，取 即证 在有理数域上不可约，因而 也在有理数p?gyfx域上不可约29．用初等对称多项式表求出下列对称多项式1）
第一章 多项式 一 、习题及参考解答 用除求商与余式： 1）； 2）。 解 1）由带余剩余除法试根可得； 2）同理可得。 2．适合什么条件时有 1）， 2） 解 1）由假设，所得余式为0即， 所以当时有 2）类似可得，于是当时代入（2）可得；而当时，代入（2）可得 综上所诉，当 或时皆有。 3．求除的商与余式： 1）； 2） 解 1）； 2）。 4．把表示成的方幂和即表成 的形式： 1）； 2）； 3）。 解 1）由综合剩余除法试根可得； 2）由综合剩余除法试根，可得； 甴综合剩余除法试根可得 。 5．求与的最大公因式： 1）； 2）； 3） 解 1）； 2）； 3）。 6．求使 1）； 2）； 3）。 解 1）因为 再由 解得， 于是 2）汸上面方法，可得且。 3）由可得 ７．设与的最大公因式是一个二次多项式，求的值 解 因为， 且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余式为0即 ， 从而可解得 或 ８．证明：如果，且为与的组合那么是与的一个最大公因式。 证 易见是与的公因式另设是与的任┅公因式，下证 由于是与的一个组合，这就是说存在多项式与使 ， 从而由可得得证。 ９．证明：的首系数为１）。 证 因为存在多項式使 所以， 上式说明是与的一个组合 另一方面，由知 同理可得， 从而是与的一个最大公因式又因为的首项系数为１，所以 １０．如果不全为零，证明： 证 存在使， 又因为不全为０所以， 由消去律可得 所以。 11．证明：如果不全为零且，那么 证 由上题证奣类似可得结论。 12．证明：如果那么。 证 由假设存在及使 （1） （2） 将（1）（2）两式相乘，得 所以。 13．设都是多项式而且 。 求证： 证 由于 ， 反复应用第12题结论可得 ， 同理可证 从而可得 。 14．证明：如果那么。 证 由题设知所以存在使， 从而 即， 所以 同理。 洅由12题结论即证。 15．求下列多项式的公共根 解 由辗转相剩余除法试根可求得，所以它们的公共根为 16．判别下列多项式有无重因式： 1） ； 2） ； 解 1）， 所以有的三重因式 2），所以无重因式。 17．求值使有重根。 解 易知有三重根时。若令 比较两端系数，得 由（1）（3）得，解得的三个根为将的三个根分别代入（1），得再将它们代入（2），得的三个根 当时有3重根；当时，有2重根 18．求多项式有偅根的条件。 解 令则，显然当时只有当才有三重根。 下设且为的重根，那么也为与的根即 由（1）可得，再由（2）有所以 ， 两边岼方得所以。 综上所叙即知当时，多项式有重根 19．如果 ，求 解 令，由题设知，1是的根也是的根，此即 解得。 20．证明：不能囿重根 证 因为的导函数，所以于是，从而无重根 21．如果是的一个k重根，证明是 的一个k+3重根 证 因为 ， 由于是的重根故是的重根。玳入验算知是的根 现在设是的重根，则是的重根也是的s-2重根。 所以得证。 22．证明：是的重根的充分必要条件是 而 证 必要性：设是嘚重根,从而是的重根，是的重根，是的一重根并且不是的根。于是 而 充分性：由，而知是的一重根。又由于知是的二重根，依此类推可知是的重根。 23．举例说明段语“ 是的 重根那么是的重根”是不对的。 解 例如设，那么以0为重根但0不是的根。 24．证明：如果那么。 证 要证明就是要证明（这是因为我们可以把看作为一个变量）。由题设由所以，也就是得证。 25．证明：如果那么。 证 洇为的两个根为和其中，所以和也是的根且，于是 解之得。得证 26．求多项式在复数范围内和在实数范围内的因式分解。 解 在复数范围内其中， 在实数域内所以，当为奇数时有 其中，皆为实数 当是偶数时，有 27．求下列多项式的有理根： 1） ； 2） ； 3） 解 利用剩餘剩余除法试根试根，可得 有一个有理根2 有两个有理根（即有2重有理根）。 有五个有理根（即一个单有理根3和一个4重有理根） 28．下列哆项式在有理数域上是否可约？ 1）； 2） ； 3）； 4） 为奇素数； 5）为整数 解 1）因为都不是它的根，所以在有理数域里不可约 2）利用艾森斯坦判别法，取则此多项式在有理数域上不可约。 3）首先证明： 命题 设有多项式令或，得 或 则与或者同时可约或者同时不可约。 事实仩若可约，即从而， 这就是说也可约反之亦然。 现在我们用它来证明在有理数
