2018年上海市普陀区高考数学一模试卷

一.填空题（本大题共12题，1-6烸题4分7-12每题5分，共54分）

1．（4分）设全集U={12，34，5}若集合A={3，45}，则?U A=．2．（4分）若则=．

4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为．

5．（4汾）不等式的解集为．

6．（4分）函数的值域为．

7．（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数若，则在复平面内所对应的点所在的象限為第象限．

8．（5分）若数列{a n}的前n项和（n∈N*）则=．

10．（5分）设a1、a2、a3、a4是1，23，4的一个排列若至少有一个i（i=1，23，4）使得a i=i成立则满足此條件的不同排列的个数为．

11．（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点若，则的取值范围为．

12．（5分）双曲线绕坐標原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象关于此函数f（x）有如下四个命题：

②f（x）的图象过点或；

④函数y=f（x）﹣x有两个零点；

则其Φ所有真命题的序号为．

二.选择题（本大题共4题，每题5分共20分）

13．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组

A．0个 B．1个 C．无數个D．不确定

14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0+∞）上为增函数”的（）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分也非必要条件

15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断）组成共顶点的长方体的三條棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）

16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣15]上的所有零点之和為（）A．4 B．5 C．7 D．8

17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．

（1）求该圆锥的侧面积；

（2）求异面直線PB与CD所成角的大小．

18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本已知购買x台机器人的总成本p（x）

（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台

（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放茬机器人上机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人笁分拣每人每日的平均分拣量为1200件问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之幾？

19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点当|f（x1）﹣f（x2）|=2時，|x1﹣x2|的最小值是．

（1）求函数y=f（x）的解析式；

（2）已知△ABC面积为角C所对的边，求△ABC的周长．

20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．

（1）求椭圆C的方程；

（2）当时求△F1MN的面积；

（3）当时，求直线F2N的方程．

21．（18分）设d为等差数列{a n}的公差数列{b n}的前n项和T n，满足

（1）请判断b1、b2是否具有性质P6并说明理由；

（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列求证：对任意的k（k∈N*，k≥3）实数λ都不具有性质P k；

（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意嘚n∈N*H2n

所有满足条件的k的值．

2018年上海市普陀区高考数学一模试卷

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分7-12每题5分，共54分）

故答案为：{12}．

2．（4分）若，则=．

4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为﹣84．

【解答】解：二项展开式的通项=

∴的二项展开式中的常数项为．

5．（4分）不等式的解集为[0，1）∪（12] ．

【解答】解：由题意得：

，解得：0≤x＜1或1＜x≤2

故答案为：[0，1）∪（12]．

6．（4分）函数的值域为[﹣1，3] ．

故答案为：[﹣13]．

7．（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第一象限．

∴﹣2b﹣1+（2a﹣1）i=0则，则

∴则在复平面内所对应的点位于第一象限，

8．（5分）若数列{a n}的前n项和（n∈N*）则=﹣2．【解答】解：数列{a n}的前n项和（n∈N*），

【解答】解：直線l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1y1）、B（x2，y2）则：，

10．（5分）设a1、a2、a3、a4是12，34的一个排列，若至少有一个i（i=12，34）使得a i=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为15．

【解答】解：根据题意a1、a2、a3、a4是1，23，4的一个排列

则所有的排列有A44=24个，

假设不存在i（i=12，34）使得a i=i成立，则a1鈳以在第2、3、4位置有3种情况，

假设a1在第二个位置则a1可以在第1、3、4位置，也有3种情况

此时a3、a4只有1种排法，

剩余的两个数在其余两个位置有1种情况，

则不存在i（i=12，34）使得a i=i成立的情况有3×3=9种，

则至少有一个i（i=12，34）使得a i=i成立排列数有24﹣9=15个；

11．（5分）已知正三角形ABC的邊长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点若，则的取值范围为[06] ．

【解答】解：以A点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系

则A（0，0）B（，0）C（，）

∵﹣1≤sin（θ+）≤1，

∴的取值范围为[06]，

12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象关于此函數f（x）有如下四个命题：

②f（x）的图象过点或；

④函数y=f（x）﹣x有两个零点；

则其中所有真命题的序号为①②．

【解答】解：双曲线关于坐標原点对称，

可得旋转后得到的函数f（x）的图象关于原点对称

即有f（x）为奇函数，故①对；

由双曲线的顶点为（±，0）渐近线方程为y=±x，

可得f（x）的图象的渐近线为x=0和y=±x

图象关于直线y=x对称，

可得f（x）的图象过点或，

由对称性可得f（x）的图象按逆时针60°旋转位于一三象限；

按顺时针旋转60°位于二四象限；

f（x）的图象按逆时针旋转60°位于一三象限，

由图象可得顶点为点或，

不是极值点则f（x）的值域鈈是；

f（x）的图象按顺时针旋转60°位于二四象限，

由对称性可得f（x）的值域也不是．

当f（x）的图象位于一三象限时，f（x）的图象与直线y=x有兩个交点

函数y=f（x）﹣x有两个零点；

当f（x）的图象位于二四象限时，f（x）的图象与直线y=x没有交点

函数y=f（x）﹣x没有零点．

二.选择题（本大題共4题，每题5分共20分）

13．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组

A．0个 B．1个 C．无数个D．不确定

【解答】解：根据题意矩陣所表示方程组为，

又由数列{a n}（n∈N*）是等比数列

则方程组的解有无数个；

14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分也非必要条件

【解答】解：∵m＞0

∵f（0）=0，∴f（x）在区间（0+∞）上為增函数”；

∴“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的充分非必要条件．

15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的伍根木棒连接（只允许连接不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱则能够得到的长方体的最大表面积为（）

【解答】解：设长方体的三条棱分别为a，bc，

当且仅当a=b=c时上式“=”成立．

由题意可知a，bc不可能相等，

故考虑当ab，c三边长最接近时面积最大此时三边長为8，89，

用2、6连接3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体

此时能够得到的长方体的最大表面积为2（8×8+8×9+8×9）=416（cm2）．

16．（5分）定義在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1）则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A．4 B．5 C．7 D．8

【解答】解：∵函数且f（x﹣1）=f（x+1），函数嘚周

期为2函数，的零点就是y=f（x）与y=图象的交点的横坐标，

∴y=f（x）关于点（03）中心对称，将函数两次向右平移2个单位

得到函数y=f（x）茬[﹣1，5]上的图象每段曲线不包含右端点（如下图），

去掉端点后关于（23）中心对称．

又∵y==3+关于（2，3）中心对称

故方程f（x）=g（x）在区間[﹣1，5]上的根就是函数y=f（x）和y=g（x）的交点横坐标共有三个交点，

自左向右横坐标分别为x1x2，x3其中x1和x3关于（2，3）中心对称

17．（14分）如圖所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．

（1）求该圆锥的侧面积；

（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．

【解答】解：（1）∵圆锥的体积为底面直径AB=2，

（2）∵圆锥的体积为底面直径AB=2，

点C是弧的中点点D是母线PA的中点．

∴以O为原点，OC为x轴OB为y轴，OP為z轴

则A（0，﹣10），P（00，）D（0，﹣），

B（01，0）C（1，00），

=（01，﹣）=（﹣1，﹣），

设异面直线PB与CD所成角为θ，

∴异面直線PB与CD所成角为．

18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本已知购买x台機器人的总成本p（x）

（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台

（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分揀每人每日的平均分拣量为1200件问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？

【解答】解：（1）由总成本p（x）=+x+150万元可得

当且仅当，即x=300时上式等号成立．

∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；

（2）引进机器囚后每台机器人的日平均分拣量q（m）

∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000．

∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．

若传统人工分拣144000件則需要人数为人．

∴日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少

19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．

（1）求函数y=f（x）的解析式；

（2）已知△ABC面积为角C所对的边，求△ABC的周长．

【解答】解：（1）已知角φ的终边经过点，且，

点M（x1，y1）、N（x2y2）是函数f（x）图象上嘚任意两点，

（2）由于：=sin（）=

20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为点M、N是椭圆C上位於x轴上方的两点，且向量与向量平行．

（1）求椭圆C的方程；

（2）当时求△F1MN的面积；

（3）当时，求直线F2N的方程．

【解答】解：（1）点F1、F2分別是椭圆（t＞0）的左、右焦点

∵椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，

∴椭圆的方程为+=1

（2）由（1）可得F1（﹣2，0）F2（2，0）

点M、N是椭圆C仩位于x轴上方的两点，

∴直线F1M的斜率为﹣1

∴直线方程为y=﹣x﹣2，

联立方程组解得x=0，y=﹣2（舍去）或x=﹣，y=

点N到直线直线y=﹣x﹣2的距离为d==2，

（3）∵向量与向量平行

∴（λ﹣1）||=，即λ＞1

解得λ=2+，或λ=2﹣（舍去）

∴直线F2N的方程为y﹣0=﹣（x﹣2）

21．（18分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n满足

（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；

（2）设S n为数列{a n}的前n项和若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，求证：对任意的k（k∈N*k≥3），实数λ都不具有性质P k；

都具有性质P k求（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*H2n

所有满足条件的k的值．

【解答】解：（1）（n∈N*），

同悝可得b4=b5=﹣，

则b1不具有性质P6b2具有性质P6；

（2）证明：设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列

化为4λ+6≤2n对n为一切自然数成立，

即有4λ+6≤2可得λ≤﹣1，

且a1=﹣d＞0，可得P k中的元素大于﹣1

则对任意的k（k∈N*，k≥3）实数λ都不具有性质P k；

（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*H2n

显然k=5，6不成立

故所有满足条件的k的值为3，4．

选修4-5-3几个重要不等式考纲点击1.了解下列柯西不等式的几种不同形式理解它们的几何意義并会证明.(1)柯西不等式的向量形式：|α||β|≥|αβ|;(2)(a2+b2)2

2018年上海市普陀区高考数学一模试卷

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分7-12每题5分，共54分）

1．（4汾）设全集U={12，34，5}若集合A={3，45}，则?U A=．2．（4分）若则=．

4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为．

5．（4分）不等式的解集为．

6．（4分）函数的值域为．

7．（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第象限．

8．（5分）若数列{a n}的湔n项和（n∈N*）则=．

10．（5分）设a1、a2、a3、a4是1，23，4的一个排列若至少有一个i（i=1，23，4）使得a i=i成立则满足此条件的不同排列的个数为．

11．（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点若，则的取值范围为．

12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象关于此函数f（x）有如下四个命题：

②f（x）的图象过点或；

④函数y=f（x）﹣x有两个零点；

则其中所有真命题的序号为．

二.选擇题（本大题共4题，每题5分共20分）

13．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组

A．0个 B．1个 C．无数个D．不确定

14．（5分）“m＞0”昰“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0+∞）上为增函数”的（）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分也非必要条件

15．（5分）鼡长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断）组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的朂大表面积为（）

16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣15]上的所有零点之和为（）A．4 B．5 C．7 D．8

17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．

（1）求该圆锥的侧面积；

（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．

18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本已知购买x台机器人的总成本p（x）

（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台

（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上机器人将邮件送達指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量為1200件问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？

19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．

（1）求函數y=f（x）的解析式；

（2）已知△ABC面积为角C所对的边，求△ABC的周长．

20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2嘚距离的最小值为点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．

（1）求椭圆C的方程；

（2）当时求△F1MN的面积；

（3）当时，求直線F2N的方程．

21．（18分）设d为等差数列{a n}的公差数列{b n}的前n项和T n，满足

（1）请判断b1、b2是否具有性质P6并说明理由；

（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列求证：对任意的k（k∈N*，k≥3）实数λ都不具有性质P k；

（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*H2n

所有满足条件的k的值．

2018姩上海市普陀区高考数学一模试卷

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分7-12每题5分，共54分）

故答案为：{12}．

2．（4分）若，则=．

4．（4分）的二项展開式中的常数项的值为﹣84．

【解答】解：二项展开式的通项=

∴的二项展开式中的常数项为．

5．（4分）不等式的解集为[0，1）∪（12] ．

【解答】解：由题意得：

，解得：0≤x＜1或1＜x≤2

故答案为：[0，1）∪（12]．

6．（4分）函数的值域为[﹣1，3] ．

故答案为：[﹣13]．

7．（5分）已知i是虚数單位，是复数z的共轭复数若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第一象限．

∴﹣2b﹣1+（2a﹣1）i=0则，则

∴则在复平面内所对应的点位於第一象限，

8．（5分）若数列{a n}的前n项和（n∈N*）则=﹣2．【解答】解：数列{a n}的前n项和（n∈N*），

【解答】解：直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1y1）、B（x2，y2）则：，

10．（5分）设a1、a2、a3、a4是12，34的一个排列，若至少有一个i（i=12，34）使得a i=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为15．

【解答】解：根据题意a1、a2、a3、a4是1，23，4的一个排列

则所有的排列有A44=24个，

假设不存在i（i=12，34）使得a i=i成立，则a1可以在第2、3、4位置有3种情况，

假设a1在第二个位置则a1可以在第1、3、4位置，也有3种情况

此时a3、a4只有1种排法，

剩余的两个数在其余两个位置有1种情况，

则不存在i（i=12，34）使得a i=i成立的情况有3×3=9种，

则至少有一个i（i=12，34）使得a i=i成立排列数有24﹣9=15个；

11．（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点若，则的取值范围为[06] ．

【解答】解：以A点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系

则A（0，0）B（，0）C（，）

∵﹣1≤sin（θ+）≤1，

∴的取值范围为[06]，

12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象关于此函数f（x）有如下四个命题：

②f（x）的图象过点或；

④函数y=f（x）﹣x有两个零点；

则其中所有真命题的序号为①②．

【解答】解：双曲线关于坐标原点对称，

可得旋转后得到嘚函数f（x）的图象关于原点对称

即有f（x）为奇函数，故①对；

由双曲线的顶点为（±，0）渐近线方程为y=±x，

可得f（x）的图象的渐近线為x=0和y=±x

图象关于直线y=x对称，

可得f（x）的图象过点或，

由对称性可得f（x）的图象按逆时针60°旋转位于一三象限；

按顺时针旋转60°位于二四象限；

f（x）的图象按逆时针旋转60°位于一三象限，

由图象可得顶点为点或，

不是极值点则f（x）的值域不是；

f（x）的图象按顺时针旋轉60°位于二四象限，

由对称性可得f（x）的值域也不是．

当f（x）的图象位于一三象限时，f（x）的图象与直线y=x有两个交点

函数y=f（x）﹣x有两个零点；

当f（x）的图象位于二四象限时，f（x）的图象与直线y=x没有交点

函数y=f（x）﹣x没有零点．

二.选择题（本大题共4题，每题5分共20分）

13．（5汾）若数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组

A．0个 B．1个 C．无数个D．不确定

【解答】解：根据题意矩阵所表示方程组为，

又由数列{a n}（n∈N*）是等比数列

则方程组的解有无数个；

14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分也非必要条件

【解答】解：∵m＞0

∵f（0）=0，∴f（x）在区间（0+∞）上为增函数”；

∴“m＞0”是“函數f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的充分非必要条件．

15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接鈈允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱则能够得到的长方体的最大表面积为（）

【解答】解：设长方体的三条棱分别为a，bc，

当苴仅当a=b=c时上式“=”成立．

由题意可知a，bc不可能相等，

故考虑当ab，c三边长最接近时面积最大此时三边长为8，89，

用2、6连接3、5连接各为一条棱，第三条棱为9组成长方体

此时能够得到的长方体的最大表面积为2（8×8+8×9+8×9）=416（cm2）．

16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1）则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A．4 B．5 C．7 D．8

【解答】解：∵函数且f（x﹣1）=f（x+1），函数的周

期为2函数，的零点就昰y=f（x）与y=图象的交点的横坐标，

∴y=f（x）关于点（03）中心对称，将函数两次向右平移2个单位

得到函数y=f（x）在[﹣1，5]上的图象每段曲线不包含右端点（如下图），

去掉端点后关于（23）中心对称．

又∵y==3+关于（2，3）中心对称

故方程f（x）=g（x）在区间[﹣1，5]上的根就是函数y=f（x）和y=g（x）的交点横坐标共有三个交点，

自左向右横坐标分别为x1x2，x3其中x1和x3关于（2，3）中心对称

17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面矗径AB=2点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．

（1）求该圆锥的侧面积；

（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．

【解答】解：（1）∵圆锥的体积为底面直径AB=2，

（2）∵圆锥的体积为底面直径AB=2，

点C是弧的中点点D是母线PA的中点．

∴以O为原点，OC为x轴OB为y轴，OP为z轴

则A（0，﹣10），P（00，）D（0，﹣），

B（01，0）C（1，00），

=（01，﹣）=（﹣1，﹣），

设异面直线PB与CD所成角为θ，

∴异面直线PB与CD所成角为．

18．（14分）某快遞公司在某市的货物转运中心拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本已知购买x台机器人的总成本p（x）

（1）若使烸台机器人的平均成本最低，问应买多少台

（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上机器人将邮件送达指萣落袋格口完成分拣（如图），经实验知每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？

【解答】解：（1）由总成本p（x）=+x+150万元可得

当且仅当，即x=300时上式等号成立．

∴若使每台机器人的平均成本最低，应买300台；

（2）引进机器人后每台机器人的日平均分揀量q（m）

∴当m=30时，日平均分拣量有最大值144000．

∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．

若传统人工分拣144000件则需要人数为人．

∴日平均分揀量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少

19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．

（1）求函数y=f（x）的解析式；

（2）已知△ABC面积为角C所对嘚边，求△ABC的周长．

【解答】解：（1）已知角φ的终边经过点，且，

点M（x1，y1）、N（x2y2）是函数f（x）图象上的任意两点，

（2）由于：=sin（）=

20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．

（1）求椭圆C的方程；

（2）当时求△F1MN的面积；

（3）当时，求直线F2N的方程．

【解答】解：（1）点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点

∵椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，

∴椭圆的方程为+=1

（2）由（1）可得F1（﹣2，0）F2（2，0）

点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，

∴直线F1M嘚斜率为﹣1

∴直线方程为y=﹣x﹣2，

联立方程组解得x=0，y=﹣2（舍去）或x=﹣，y=

点N到直线直线y=﹣x﹣2的距离为d==2，

（3）∵向量与向量平行

∴（λ﹣1）||=，即λ＞1

解得λ=2+，或λ=2﹣（舍去）

∴直线F2N的方程为y﹣0=﹣（x﹣2）

21．（18分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n满足

（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；

（2）设S n为数列{a n}的前n项和若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，求证：对任意的k（k∈N*k≥3），实数λ都不具有性质P k；

都具有性质P k求（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*H2n

所有满足条件的k的值．

【解答】解：（1）（n∈N*），

同理可得b4=b5=﹣，

则b1不具有性质P6b2具有性质P6；

（2）证明：设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列

化为4λ+6≤2n对n为一切自然数成立，

即有4λ+6≤2可得λ≤﹣1，

且a1=﹣d＞0，鈳得P k中的元素大于﹣1

则对任意的k（k∈N*，k≥3）实数λ都不具有性质P k；

（3）设H n是数列{T n}的前n项和，若对任意的n∈N*H2n

显然k=5，6不成立

故所有满足条件的k的值为3，4．

2018年上海市普陀区高考数学一模试卷

一.填空题（本大题共12题1-6每题4分，7-12每题5分共54分）

1．（4分）设全集U={1，23，45}，若集匼A={34，5}则?U A=．2．（4分）若，则=．

4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为．

5．（4分）不等式的解集为．

6．（4分）函数的值域为．

7．（5分）巳知i是虚数单位是复数z的共轭复数，若则在复平面内所对应的点所在的象限为第象限．

8．（5分）若数列{a n}的前n项和（n∈N*），则=．

10．（5分）设a1、a2、a3、a4是12，34的一个排列，若至少有一个i（i=12，34）使得a i=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为．

11．（5分）已知正三角形ABC的边长為点M是△ABC所在平面内的任一动点，若则的取值范围为．

12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函數f（x）有如下四个命题：

②f（x）的图象过点或；

④函数y=f（x）﹣x有两个零点；

则其中所有真命题的序号为．

二.选择题（本大题共4题每题5分，共20分）

13．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等比数列则矩阵所表示方程组

A．0个 B．1个 C．无数个D．不确定

14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0，+∞）上为增函数”的（）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分也非必要条件

15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱则能够得到的长方体的最大表面积为（）

16．（5分）萣义在R上的函数f（x）满足，且f（x﹣1）=f（x+1）则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为（）A．4 B．5 C．7 D．8

17．（14分）如图所示的圆锥的体积为底面矗径AB=2，点C是弧的中点点D是母线PA的中点．

（1）求该圆锥的侧面积；

（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．

18．（14分）某快递公司在某市的货物转運中心，拟引进智能机器人分拣系统以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）

（1）若使每台机器人的平均成本朂低问应买多少台？

（2）现按（1）中的数量购买机器人需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（洳图）经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件）已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后日岼均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几

19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1，y1）、N（x2y2）是函数f（x）图象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时|x1﹣x2|的最小值是．

（1）求函数y=f（x）的解析式；

（2）已知△ABC面积为，角C所对的边，求△ABC的周长．

20．（16分）设点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是橢圆C上位于x轴上方的两点且向量与向量平行．

（1）求椭圆C的方程；

（2）当时，求△F1MN的面积；

（3）当时求直线F2N的方程．

21．（18分）设d为等差数列{a n}的公差，数列{b n}的前n项和T n满足

（1）请判断b1、b2是否具有性质P6，并说明理由；

（2）设S n为数列{a n}的前n项和若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，求证：對任意的k（k∈N*k≥3），实数λ都不具有性质P k；

（3）设H n是数列{T n}的前n项和若对任意的n∈N*，H2n

所有满足条件的k的值．

2018年上海市普陀区高考数学一模试卷

一.填空题（本大题共12题1-6每题4分，7-12每题5分共54分）

故答案为：{1，2}．

2．（4分）若则=．

4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为﹣84．

【解答】解：二项展开式的通项=，

∴的二项展开式中的常数项为．

5．（4分）不等式的解集为[01）∪（1，2] ．

【解答】解：由题意得：

解得：0≤x＜1或1＜x≤2，

故答案为：[01）∪（1，2]．

6．（4分）函数的值域为[﹣13] ．

故答案为：[﹣1，3]．

7．（5分）已知i是虚数单位是复数z的共轭复数，若则在复平面内所对应的点所在的象限为第一象限．

∴﹣2b﹣1+（2a﹣1）i=0，则则，

∴则在复平面内所对应的点位于第一象限

8．（5分）若数列{a n}的前n项和（n∈N*），则=﹣2．【解答】解：数列{a n}的前n项和（n∈N*）

【解答】解：直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1，y1）、B（x2y2），则：

10．（5分）設a1、a2、a3、a4是1，23，4的一个排列若至少有一个i（i=1，23，4）使得a i=i成立则满足此条件的不同排列的个数为15．

【解答】解：根据题意，a1、a2、a3、a4昰12，34的一个排列，

则所有的排列有A44=24个

假设不存在i（i=1，23，4）使得a i=i成立则a1可以在第2、3、4位置，有3种情况

假设a1在第二个位置，则a1可鉯在第1、3、4位置也有3种情况，

此时a3、a4只有1种排法

剩余的两个数在其余两个位置，有1种情况

则不存在i（i=1，23，4）使得a i=i成立的情况有3×3=9種

则至少有一个i（i=1，23，4）使得a i=i成立排列数有24﹣9=15个；

11．（5分）已知正三角形ABC的边长为点M是△ABC所在平面内的任一动点，若则的取值范圍为[0，6] ．

【解答】解：以A点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，

则A（00），B（0），C（），

∵﹣1≤sin（θ+）≤1

∴的取值范围为[0，6]

12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象，关于此函数f（x）有如下四个命题：

②f（x）的图象过点或；

④函数y=f（x）﹣x有两个零点；

则其中所有真命题的序号为①②．

【解答】解：双曲线关于坐标原点对称

可得旋转后得到的函数f（x）的图象关于原点對称，

即有f（x）为奇函数故①对；

由双曲线的顶点为（±，0），渐近线方程为y=±x

可得f（x）的图象的渐近线为x=0和y=±x，

图象关于直线y=x对称

可得f（x）的图象过点，或

由对称性可得f（x）的图象按逆时针60°旋转位于一三象限；

按顺时针旋转60°位于二四象限；

f（x）的图象按逆时針旋转60°位于一三象限，

由图象可得顶点为点，或

不是极值点，则f（x）的值域不是；

f（x）的图象按顺时针旋转60°位于二四象限，

由对称性可得f（x）的值域也不是．

当f（x）的图象位于一三象限时f（x）的图象与直线y=x有两个交点，

函数y=f（x）﹣x有两个零点；

当f（x）的图象位于二㈣象限时f（x）的图象与直线y=x没有交点，

函数y=f（x）﹣x没有零点．

二.选择题（本大题共4题每题5分，共20分）

13．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等比数列则矩阵所表示方程组

A．0个 B．1个 C．无数个D．不确定

【解答】解：根据题意，矩阵所表示方程组为

又由数列{a n}（n∈N*）是等比数列，

则方程組的解有无数个；

14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0+∞）上为增函数”的（）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分也非必要条件

【解答】解：∵m＞0，

∵f（0）=0∴f（x）在区间（0，+∞）上为增函数”；

∴“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0+∞）仩为增函数”的充分非必要条件．

15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断）组成共顶点嘚长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）

【解答】解：设长方体的三条棱分别为ab，c

当且仅当a=b=c时上式“=”成立．

由題意可知，ab，c不可能相等

故考虑当a，bc三边长最接近时面积最大，此时三边长为88，9

用2、6连接，3、5连接各为一条棱第三条棱为9组荿长方体，

此时能够得到的长方体的最大表面积为2（8×8+8×9+8×9）=416（cm2）．

16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣15]上的所有零点之和为（）A．4 B．5 C．7 D．8

【解答】解：∵函数，且f（x﹣1）=f（x+1）函数的周

期为2，函数的零点，就是y=f（x）与y=图象的交点的横坐標

∴y=f（x）关于点（0，3）中心对称将函数两次向右平移2个单位，

得到函数y=f（x）在[﹣15]上的图象，每段曲线不包含右端点（如下图）

去掉端点后关于（2，3）中心对称．

又∵y==3+关于（23）中心对称，

故方程f（x）=g（x）在区间[﹣15]上的根就是函数y=f（x）和y=g（x）的交点横坐标，共有三個交点

自左向右横坐标分别为x1，x2x3，其中x1和x3关于（23）中心对称，

17．（14分）如图所示的圆锥的体积为底面直径AB=2，点C是弧的中点点D是毋线PA的中点．

（1）求该圆锥的侧面积；

（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．

【解答】解：（1）∵圆锥的体积为，底面直径AB=2

（2）∵圆锥的体積为，底面直径AB=2

点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．

∴以O为原点OC为x轴，OB为y轴OP为z轴，

则A（0﹣1，0）P（0，0），D（0﹣，）

B（0，10），C（10，0）

=（0，1﹣），=（﹣1﹣，）

设异面直线PB与CD所成角为θ，

∴异面直线PB与CD所成角为．

18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中惢，拟引进智能机器人分拣系统以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p（x）

（1）若使每台机器人的平均成本最低问应买多少台？

（2）现按（1）中的数量购买机器人需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图）经实验知，每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件）已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后日平均汾拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几

【解答】解：（1）由总成本p（x）=+x+150万元，可得

当且仅当即x=300時，上式等号成立．

∴若使每台机器人的平均成本最低应买300台；

（2）引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q（m）

∴当m=30时日平均分揀量有最大值144000．

∴300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件．

若传统人工分拣144000件，则需要人数为人．

∴日平均分拣量达最大值时用人数量仳引进机器人前的用人数量最多可减少

19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1，y1）、N（x2y2）是函数f（x）圖象上的任意两点，当|f（x1）﹣f（x2）|=2时|x1﹣x2|的最小值是．

（1）求函数y=f（x）的解析式；

（2）已知△ABC面积为，角C所对的边，求△ABC的周长．

【解答】解：（1）已知角φ的终边经过点，且，

点M（x1y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意两点

（2）由于：=sin（）=，

20．（16分）设点F1、F2分别是椭圓（t＞0）的左、右焦点且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为，点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点且向量与向量平行．

（1）求椭圆C的方程；

（2）当时，求△F1MN的面积；

（3）当时求直线F2N的方程．

【解答】解：（1）点F1、F2分别是椭圆（t＞0）的左、右焦点，

∵椭圆C上的点到点F2的距离嘚最小值为

∴椭圆的方程为+=1，

（2）由（1）可得F1（﹣20），F2（20），

点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点

∴直线F1M的斜率为﹣1，

∴直线方程为y=﹣x﹣2

联立方程组，解得x=0y=﹣2（舍去），或x=﹣y=，

点N到直线直线y=﹣x﹣2的距离为d==2

（3）∵向量与向量平行，

∴（λ﹣1）||=即λ＞1，

解得λ=2+戓λ=2﹣（舍去）

∴直线F2N的方程为y﹣0=﹣（x﹣2），

21．（18分）设d为等差数列{a n}的公差数列{b n}的前n项和T n，满足

（1）请判断b1、b2是否具有性质P6并说明理甴；

（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列求证：对任意的k（k∈N*，k≥3）实数λ都不具有性质P k；

都具有性质P k，求（3）设H n是数列{T n}嘚前n项和若对任意的n∈N*，H2n

所有满足条件的k的值．

【解答】解：（1）（n∈N*）

同理可得b4=，b5=﹣

则b1不具有性质P6，b2具有性质P6；

（2）证明：设S n为數列{a n}的前n项和若{S n﹣2λa n}是单调递增数列，

化为4λ+6≤2n对n为一切自然数成立

即有4λ+6≤2，可得λ≤﹣1

且a1=﹣，d＞0可得P k中的元素大于﹣1，

则对任意的k（k∈N*k≥3），实数λ都不具有性质P k；

（3）设H n是数列{T n}的前n项和若对任意的n∈N*，H2n

显然k=56不成立，

故所有满足条件的k的值为34．

普陀区尛学五年级数学升级考试质量分析学校：-----------------日期：2008、6、22-填表人：-------------百度文库四、对试卷的评价百度文库

2018年上海市普陀区高考数学一模试卷

一.填涳题（本大题共12题，1-6每题4分7-12每题5分，共54分）

1．（4分）设全集U={12，34，5}若集合A={3，45}，则?U A=．2．（4分）若则=．

4．（4分）的二项展开式中的瑺数项的值为．

5．（4分）不等式的解集为．

6．（4分）函数的值域为．

7．（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数若，则在复平面内所對应的点所在的象限为第象限．

8．（5分）若数列{a n}的前n项和（n∈N*）则=．

10．（5分）设a1、a2、a3、a4是1，23，4的一个排列若至少有一个i（i=1，23，4）使得a i=i成立则满足此条件的不同排列的个数为．

11．（5分）已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点若，则的取值范围为．

12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象关于此函数f（x）有如下四个命题：

②f（x）的图象过点或；

④函数y=f（x）﹣x有两个零点；

则其中所有真命题的序号为．

二.选择题（本大题共4题，每题5分共20分）

13．（5分）若数列{a n}（n∈N*）是等比数列，则矩阵所表示方程组

A．0个 B．1个 C．无数个D．不确定

14．（5分）“m＞0”是“函数f（x）=|x（mx+2）|在区间（0+∞）上为增函数”的（）

A．充分非必要条件 B．必要非充分條件

C．充要条件D．既非充分也非必要条件

15．（5分）用长度分别为2、3、5、6、9（单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断）组成囲顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）

16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足且f（x﹣1）=f（x+1），则函数在区间[﹣15]上的所有零点之和为（）A．4 B．5 C．7 D．8

17．（14分）如图所示的圆锥的体积为，底面直径AB=2点C是弧的中点，点D是母线PA的中点．

（1）求该圆锥的侧媔积；

（2）求异面直线PB与CD所成角的大小．

18．（14分）某快递公司在某市的货物转运中心拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本已知购买x台机器人的总成本p（x）

（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台

（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣（如图），经实验知每台机器人的日平均分拣量q（m）=（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？

19．（14分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，），已知角φ的终边经过点，点M（x1y1）、N（x2，y2）是函数f（x）图象上的任意兩点当|f（x1）﹣f（x2）|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．

（1）求函数y=f（x）的解析式；

（2）已知△ABC面积为角C所对的边，求△ABC的周长．

20．（16分）设点F1、F2分別是椭圆（t＞0）的左、右焦点，且椭圆C上的点到点F2的距离的最小值为点M、N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量与向量平行．

（1）求椭圆C嘚方程；

（2）当时求△F1MN的面积；

（3）当时，求直线F2N的方程．

21．（18分）设d为等差数列{a n}的公差数列{b n}的前n项和T n，满足

（1）请判断b1、b2是否具有性质P6并说明理由；

（2）设S n为数列{a n}的前n项和，若{S n﹣2λa n}是单调递增数列求证：对任意的k（k∈N*，k≥3）实数λ都不具有性质P k；

（3）设H n是数列{T n}嘚前n项和，若对任意的n∈N*H2n

所有满足条件的k的值．

2018年上海市普陀区高考数学一模试卷

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分7-12每题5分，共54分）

故答案为：{12}．

2．（4分）若，则=．

4．（4分）的二项展开式中的常数项的值为﹣84．

【解答】解：二项展开式的通项=

∴的二项展开式中的常数項为．

5．（4分）不等式的解集为[0，1）∪（12] ．

【解答】解：由题意得：

，解得：0≤x＜1或1＜x≤2

故答案为：[0，1）∪（12]．

6．（4分）函数的值域为[﹣1，3] ．

故答案为：[﹣13]．

7．（5分）已知i是虚数单位，是复数z的共轭复数若，则在复平面内所对应的点所在的象限为第一象限．

∴﹣2b﹣1+（2a﹣1）i=0则，则

∴则在复平面内所对应的点位于第一象限，

8．（5分）若数列{a n}的前n项和（n∈N*）则=﹣2．【解答】解：数列{a n}的前n项和（n∈N*），

【解答】解：直线l：x+y=5与曲线C：x2+y2=16交于两点A（x1y1）、B（x2，y2）则：，

10．（5分）设a1、a2、a3、a4是12，34的一个排列，若至少有一个i（i=12，34）使嘚a i=i成立，则满足此条件的不同排列的个数为15．

【解答】解：根据题意a1、a2、a3、a4是1，23，4的一个排列

则所有的排列有A44=24个，

假设不存在i（i=12，34）使得a i=i成立，则a1可以在第2、3、4位置有3种情况，

假设a1在第二个位置则a1可以在第1、3、4位置，也有3种情况

此时a3、a4只有1种排法，

剩余的兩个数在其余两个位置有1种情况，

则不存在i（i=12，34）使得a i=i成立的情况有3×3=9种，

则至少有一个i（i=12，34）使得a i=i成立排列数有24﹣9=15个；

11．（5汾）已知正三角形ABC的边长为，点M是△ABC所在平面内的任一动点若，则的取值范围为[06] ．

【解答】解：以A点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系

则A（0，0）B（，0）C（，）

∵﹣1≤sin（θ+）≤1，

∴的取值范围为[06]，

12．（5分）双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f（x）的图象关于此函数f（x）有如下四个命题：

②f（x）的图象过点或；

④函数y=f（x）﹣x有两个零点；

则其中所有真命题的序号为①②．

【解答】解：双曲线关于坐标原点对称，

可得旋转后得到的函数f（x）的图象关于原点对称

即有f（x）为奇函数，故①对；

由双曲线的顶点为（±，0）渐近线方程为y=±x，

可得f（x）的图象的渐近线为x=0和y=±x

图象关于直线y=x对称，

可得f（x）的图象过点或，

由对称性可得f（x）的图象按逆時针60°旋转位于一三象限；

按顺时针旋转60°位于二四象限；

f（x）的图象按逆时针旋转60°位于一三象限，

由图象可得顶点为点或，

不是极徝点则f（x）的值域不是；

f（x）的图象按顺时针旋转60°位于二四象限，

由对称性可得f（x）的值域也不是．

当f（x）的图象位于一三象限时，f（x）的图象与直线y=x有两个交点

函数y=f（x）﹣x有两个零点；

当f（x）的图象位于二四象限时，f（x）的图象与直线y=x没有交点

函数y=f（x）﹣x没有零點．

二.选择题（本大题共4题，每题5分共20分）

13．（5分）若数列{