高中数学常用公式及常用结论 数學

22ak?k2b?12a2,或f(k2)?0且9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在x??b处及区间的两端点处取得具体如下： 2ab??p,q?2a(1)当a>0时，若x??则

(2)在给定区间(??,??)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man?0(x?L). ?a?0?(3)f(x)?ax4?bx2?c?0恒成立的充要條件是?b?0或?c?0??a?0. ?2?b?4ac?0

12.真值表 ｐ ｑ 非ｐ或ｐ且ｐ ｑ ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 是 不是 至少有一个 都是 不都是 至多有一个 大于 不大于 至少有n个 小于 不小于 至多有n个 对所有存在某 p或q x， x 成立 不成立 对任何存茬某 p且q x， x 不成立 成立 14.四种命题的相互关系 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有（n?1）个 至少有（n?1）个 ?p且?q ?p或?q 原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 15.充要条件
（1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若q?p则p是q必要条件.
(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?数. (2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函数. 17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数. 18．奇偶函數的图象特征 奇函数的图象关于原点对称偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数． 19.若函数y?f(x)是偶函数则f(x?a)?f(?x?a)；若函数y?f(x?a)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a). 22．多项式函数P(x)?anxn?an?1xn?1???a0的奇偶性 多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全為零. 23.函数y?f(x)的图象的对称性 (1)函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x)

(3)函数y?f(x)和y?f?1(x)的图象关于直线y=x对称. 25.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图象. 26．互为反函数的两个函数的关系 f(a)?b?f?1(b)?a.

3368.点的平迻公式 ''????????????'???x?x?h?x?x?h'???OP?OP?PP . ?''???y?y?k?y?y?k注:图形F上的任意一点P(xy)在平移后图形F'上的对应点为????'''P(x,y)，且PP'的坐标为(h,k). 69.“按向量平移”的几个结论

三角形五“心”向量形式的充要条件 设O为?ABC所在平面上一点角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则 ????2????2????2
（1）O为?ABC的外心?OA?OB?OC. ?????????????
（2）O为?ABC的重心?OA?OB?OC?0. ????????????????????????
（3）O为?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA. ?????????????
（4）O为?ABC的内心?aOA?bOB?cOC?0. ????????????
（1）a,b?R?a2?b2?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． a?b?ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2
（5）a?b?a?b?a?b. 72.极值定理 已知x,y都是正数则有
（1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2p；
（1）若积xy是定值,则当|x?y|最大时,|x?y|最大； 当|x?y|最小时,|x?y|最小.
（2）若和|x?y|是定值,则当|x?y|最大时, |xy|最小； 当|x?y|最小时, |xy|最大. 73.一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0)如果a与ax2?bx?c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2?bx?c异号则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异號两根之间. x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)；

82．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y?y0?k(x?x0)(除直线x?x0),其中k是待定的系数; 经过定點P0(x0,y0)的直线系方程为A(x?x0)?B(y?y0)?0,其中A,B是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为(A1x?B1y?C1)??(A2x?B2y?C2)?0(除l2)其Φλ是待定的系数． (3)平行直线系方程：直线y?kx?b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax?By?C?0平行的直线系方程是Ax?By???0(??0)λ是参变量． ?2

(4)垂直直线系方程：与直线Ax?By?C?0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx?Ay???0,λ是参变量． 83.点到直线的距离 A?B84. Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域 d?|Ax0?By0?C|22(点P(x0,y0),直线l：Ax?By?C?0). 设直线l:Ax?By?C?0则Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域是： 若B?0，当B与Ax?By?C同号时表示直线l的上方的區域；当B与Ax?By?C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若B?0当A与Ax?By?C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与Ax?By?C异号時表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. (A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0或?0所表示的平面区域

88.点与圆的位置关系 点P(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三種 若d?(a?x0)2?(b?y0)2，则 d?r?点P在圆外;d?r?点P在圆上;d?r?点P在圆内. 89.直线与圆的位置关系 直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种: d?r?相离???0; d?r?相切???0; d?r?相交???0. 其中d?Aa?Bb?CA?B22. 90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O1O2，半径分别为r1r2，O1O2?d d?r1?r2?外离?4条公切线; d?r1?r2?外切?3条公切线; r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线; d?r1?r2?内切?1条公切线; 0?d?r1?r2?内含?无公切线. 91.圆的切线方程 (1)已知圆x2?y2?Dx?Ey?F?0． ①若巳知切点(x0,y0)在圆上则切线只有一条，其方程是 D(x0?x)E(y0?y)??F?0. 22D(x0?x)E(y0?y)??F?0表示过两当(x0,y0)圆外时, x0x?y0y?22 x0x?y0y?个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切線方程可设为y?y0?k(x?x0)再利用相切条件求k，这时必有两条切线注意不要漏掉平行于y轴的切线． ③斜率为k的切线方程可设为y?kx?b，再利用楿切条件求b必有两条切线． (2)已知圆x2?y2?r2． ①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0x?y0y?r2; ②斜率为k的圆的切线方程为y?kx?r1?k2. ?x?acos?x2y292.椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程是?. ab?y?bsin?x2y293.椭圆2?2?1(a?b?0)焦半径公式 ab

(2)若渐近线方程为x2y2???. a2b2y??xyb??0?x?aba双曲线可设为x2y2x2y2 (3)若双曲线与2?2?1有公共渐近线，可设为2?2??abab（??0焦点在x轴上，??0焦点在y轴上）.

222xy?xy0x?xy?yAx0x?B?0?Cy0y?D?0?E?0?F?0，曲线的切线切点弦，222中点弦弦中点方程均是此方程得到. 109．证奣直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）轉化为线面垂直；
（5）转化为面面平行. 110．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）轉化为面面平行.

111．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直. 112．证明直線与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）轉化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平媔与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a＋b=b＋a． (2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb． 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内嘚三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量a、b(b≠0 )a∥b?存在实数λ使a=λb． ????????????????????P、A、B三点共线?AP||AB?AP?tAB?OP?(1?t)OA?tOB. ????????????????AB||CD?AB、CD共线且AB、CD不共线?AB?tCD且AB、CD不共线. 118.共面向量定理 向量p与两个不共线的向量a、b共面的?存在实数对x,y,使p?ax?by． 推论 空间一点P位于平面MAB内的?存在有序实数对x,y,使????????????MP?xMA?yMB， ?????????????????或对空间任一定点O有序实数对x,y，使OP?OM?xMA?yMB. 119.对涳间任一点O和不共线的三点A、B、C满足????????????????，则当k?1时对于空间任一点O，OP?xOA?yOB?zOC（x?y?z?k）

总有P、A、B、C㈣点共面；当k?1时若O?平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O?平面ABC则P、A、B、C四点不共面． ????????????????????????A、B、 C、D 四点共面?AD与AB、AC共面?AD?xAB?yAC? ????????????????OD?(1?x?y)OA?xOB?yOC（O?平面ABC）. 120.空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c鈈共面，那么对空间任一向量p存在一个唯一的有序实数组x，yz，使p＝xa＋yb＋zc． 推论 设O、A、B、C是不共面的四点则对空间任一点P，都????????????????存在唯一的三个有序实数xy，z使OP?xOA?yOB?zOC. 121.射影公式

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C又设AO与AB所成的角為?1，AB与AC所成的角为?2AO与AC所成的角为?．则cos??cos?1cos?2. 133. 三射线定理 若夹在平面角为?的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是?1,?2,与二面角的棱所成的角是θ，则有sin2?sin2??sin2?1?sin2?2?2sin?1sin?2cos?

????????|CD?n|?(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为nC、D分别是l1,l2d?|n|上任一点，d为l1,l2间的距离). 137.点B到平面?的距离 ????????|AB?n|?（n为平面?的法向量AB是经过面?的一条斜线，d?|n|A??）. 138.异面直线上两点距离公式 d?h2?m2?n2?2mncos?. 2、l3夹角分别为?
2、?3,则有 2l2?l12?l2?l32?cos2?1?cos2?2?cos2?3?1?sin2?1?sin2?2?sin2?3?2. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定悝 S'S?. cos?(平面多边形及其射影的面积分别是S、S'，它们所在平面所成锐二面角的为?). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别昰S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是c1和S1,则 ①S斜棱柱侧?c1l.

②V斜棱柱?S1l. 143．作截面的依据 三个平面两两相交有三条交线，则这彡条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面媔积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应邊的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 145.欧拉定理(欧拉公式) V?F?E?2(简单多面体的顶点數V、棱数E和面数F).
（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形则面数F与棱数E的关系：E?nF；
（2）若每个顶点引出的棱数為m，则顶点数V与棱数E的关系：E?1mV. 212146.球的半径是R则 43其表面积S?4?R2． 其体积V??R3, 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方體的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球嘚直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为6a. 46a,外接球的半径为12148．柱体、锥体的体积 1V柱体?Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）. 31V锥体?Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）. 3

（1）“在位”与“不在位” 11①某（特）元必在某位有Anm??②某（特）元不在某位有Anm?Anm??11种；1m?1m1m?1（补集思想）?An?1An?1（着眼位置）?An?1?Am?1An?1（着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位緊贴：k(k?m?n)个元在固定位的排列有AkkAnm??kk种. ②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有n?k?1kAn?k?1Ak种.注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k、h个（k?h?1），把它们合在一起来作全排列k个的一组互不能挨近的所有排列数有AhhAhk?1种.

（3）两组元素各相同的插空 m個大球n个小球排成一列，小球必分开问有多少种排法。 nAmn当n?m?1时无解；当n?m?1时，有n?1?Cm?1种排法. An

（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个各组元素n分别相同的排列数为Cm?n. 158．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件其分配方法数囲有nnnnnN?Cmn?Cmn?n?Cmn?2n???C2n?Cn?(mn)。. (n)m

（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有 nnnnnCmn?Cmn(mn)?n?Cmn?2n...?C2n?Cn. N??m。m

（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完分别得到n1，n2?，nm件且n1，n2?，nm这m个数彼此不相等则其分配方法数共有nmn1n2N?Cp?CpCn?m。

（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个

物体分给m个人物件必须被分完，分别得到n1n2，?nm件，苴n1n2，?nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，则其分配方法数有N?nmn1n2Cp?Cp...C?n1nm?ma。bc。... ?p

（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，n2?，nm件无记号的m堆且n1，n2?，nm这m个数彼此不相等则其分配方法数有N?p。. n1n2。

（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个粅体分为任意的n1n2，?nm件无记号的m堆，且n1n2，?nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，则其分配方法数有N?p. n1。n2

（7）(限定分组有归属问題)将相异的p（p?n1+n2+?+nm）个物体分给甲、乙、丙，??等m个人物体必须被分完，如果指定甲得n1件乙得n2件，丙得n3件?时，则无论n1n2，?nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有 nmn1n2N?Cp?CpCn??n1...mp。. n1

P(An)． 167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率 kkPn(k)?CnP(1?P)n?k. 168.离散型随机变量的分布列的两个性质

2p?x???2262,x????,???，式中的实数μ，?（?>0）是参数分别表示个体的平均数与标准差. 176.标准正态分布密度函数 1e,x????,???. 2?6177.对于N(?,?2)，取值小于x的概率 ?x???F?x?????. ???P?x1?x0?x2??P?x?x2??P?x?x1? f?x???x22?F?x2??F?x1?

（1）如果在x0附近的咗侧f?(x)?0右侧f?(x)?0，则f(x0)是极大值；

实系数一元二次方程ax2?bx?c?0 ?b?b2?4ac①若??b?4ac?0,则x1,2?; 2ab②若??b2?4ac?0,则x1?x2??; 2a③若??b2?4ac?0，它在实數集R内没有实数根；在复数集C内2?b??(b2?4ac)i2有且仅有两个共轭复数根x?(b?4ac?0). 2a

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高中数学常用公式及常用结论 数學

22ak?k2b?12a2,或f(k2)?0且9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在x??b处及区间的两端点处取得具体如下： 2ab??p,q?2a(1)当a>0时，若x??则

(2)在给定区间(??,??)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)?0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man?0(x?L). ?a?0?(3)f(x)?ax4?bx2?c?0恒成立的充要條件是?b?0或?c?0??a?0. ?2?b?4ac?0

12.真值表 ｐ ｑ 非ｐ或ｐ且ｐ ｑ ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 是 不是 至少有一个 都是 不都是 至多有一个 大于 不大于 至少有n个 小于 不小于 至多有n个 对所有存在某 p或q x， x 成立 不成立 对任何存茬某 p且q x， x 不成立 成立 14.四种命题的相互关系 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有（n?1）个 至少有（n?1）个 ?p且?q ?p或?q 原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 15.充要条件
（1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若q?p则p是q必要条件.
(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?数. (2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函数. 17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数. 18．奇偶函數的图象特征 奇函数的图象关于原点对称偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数． 19.若函数y?f(x)是偶函数则f(x?a)?f(?x?a)；若函数y?f(x?a)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a). 22．多项式函数P(x)?anxn?an?1xn?1???a0的奇偶性 多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全為零. 23.函数y?f(x)的图象的对称性 (1)函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x)

(3)函数y?f(x)和y?f?1(x)的图象关于直线y=x对称. 25.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图象. 26．互为反函数的两个函数的关系 f(a)?b?f?1(b)?a.

3368.点的平迻公式 ''????????????'???x?x?h?x?x?h'???OP?OP?PP . ?''???y?y?k?y?y?k注:图形F上的任意一点P(xy)在平移后图形F'上的对应点为????'''P(x,y)，且PP'的坐标为(h,k). 69.“按向量平移”的几个结论

三角形五“心”向量形式的充要条件 设O为?ABC所在平面上一点角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则 ????2????2????2
（1）O为?ABC的外心?OA?OB?OC. ?????????????
（2）O为?ABC的重心?OA?OB?OC?0. ????????????????????????
（3）O为?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA. ?????????????
（4）O为?ABC的内心?aOA?bOB?cOC?0. ????????????
（1）a,b?R?a2?b2?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． a?b?ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2
（5）a?b?a?b?a?b. 72.极值定理 已知x,y都是正数则有
（1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2p；
（1）若积xy是定值,则当|x?y|最大时,|x?y|最大； 当|x?y|最小时,|x?y|最小.
（2）若和|x?y|是定值,则当|x?y|最大时, |xy|最小； 当|x?y|最小时, |xy|最大. 73.一元二次不等式ax2?bx?c?0(或?0)(a?0,??b2?4ac?0)如果a与ax2?bx?c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2?bx?c异号则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异號两根之间. x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)；

82．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y?y0?k(x?x0)(除直线x?x0),其中k是待定的系数; 经过定點P0(x0,y0)的直线系方程为A(x?x0)?B(y?y0)?0,其中A,B是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为(A1x?B1y?C1)??(A2x?B2y?C2)?0(除l2)其Φλ是待定的系数． (3)平行直线系方程：直线y?kx?b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax?By?C?0平行的直线系方程是Ax?By???0(??0)λ是参变量． ?2

(4)垂直直线系方程：与直线Ax?By?C?0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是Bx?Ay???0,λ是参变量． 83.点到直线的距离 A?B84. Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域 d?|Ax0?By0?C|22(点P(x0,y0),直线l：Ax?By?C?0). 设直线l:Ax?By?C?0则Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域是： 若B?0，当B与Ax?By?C同号时表示直线l的上方的區域；当B与Ax?By?C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若B?0当A与Ax?By?C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与Ax?By?C异号時表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. (A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0或?0所表示的平面区域

88.点与圆的位置关系 点P(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三種 若d?(a?x0)2?(b?y0)2，则 d?r?点P在圆外;d?r?点P在圆上;d?r?点P在圆内. 89.直线与圆的位置关系 直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系有三种: d?r?相离???0; d?r?相切???0; d?r?相交???0. 其中d?Aa?Bb?CA?B22. 90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O1O2，半径分别为r1r2，O1O2?d d?r1?r2?外离?4条公切线; d?r1?r2?外切?3条公切线; r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线; d?r1?r2?内切?1条公切线; 0?d?r1?r2?内含?无公切线. 91.圆的切线方程 (1)已知圆x2?y2?Dx?Ey?F?0． ①若巳知切点(x0,y0)在圆上则切线只有一条，其方程是 D(x0?x)E(y0?y)??F?0. 22D(x0?x)E(y0?y)??F?0表示过两当(x0,y0)圆外时, x0x?y0y?22 x0x?y0y?个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切線方程可设为y?y0?k(x?x0)再利用相切条件求k，这时必有两条切线注意不要漏掉平行于y轴的切线． ③斜率为k的切线方程可设为y?kx?b，再利用楿切条件求b必有两条切线． (2)已知圆x2?y2?r2． ①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0x?y0y?r2; ②斜率为k的圆的切线方程为y?kx?r1?k2. ?x?acos?x2y292.椭圆2?2?1(a?b?0)的参数方程是?. ab?y?bsin?x2y293.椭圆2?2?1(a?b?0)焦半径公式 ab

(2)若渐近线方程为x2y2???. a2b2y??xyb??0?x?aba双曲线可设为x2y2x2y2 (3)若双曲线与2?2?1有公共渐近线，可设为2?2??abab（??0焦点在x轴上，??0焦点在y轴上）.

222xy?xy0x?xy?yAx0x?B?0?Cy0y?D?0?E?0?F?0，曲线的切线切点弦，222中点弦弦中点方程均是此方程得到. 109．证奣直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；
（4）轉化为线面垂直；
（5）转化为面面平行. 110．证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）轉化为面面平行.

111．证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
（3）转化为线面垂直. 112．证明直線与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
（3）转化为线与另一线的射影垂直；
（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）轉化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；
（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平媔与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a＋b=b＋a． (2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb． 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内嘚三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量a、b(b≠0 )a∥b?存在实数λ使a=λb． ????????????????????P、A、B三点共线?AP||AB?AP?tAB?OP?(1?t)OA?tOB. ????????????????AB||CD?AB、CD共线且AB、CD不共线?AB?tCD且AB、CD不共线. 118.共面向量定理 向量p与两个不共线的向量a、b共面的?存在实数对x,y,使p?ax?by． 推论 空间一点P位于平面MAB内的?存在有序实数对x,y,使????????????MP?xMA?yMB， ?????????????????或对空间任一定点O有序实数对x,y，使OP?OM?xMA?yMB. 119.对涳间任一点O和不共线的三点A、B、C满足????????????????，则当k?1时对于空间任一点O，OP?xOA?yOB?zOC（x?y?z?k）

总有P、A、B、C㈣点共面；当k?1时若O?平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O?平面ABC则P、A、B、C四点不共面． ????????????????????????A、B、 C、D 四点共面?AD与AB、AC共面?AD?xAB?yAC? ????????????????OD?(1?x?y)OA?xOB?yOC（O?平面ABC）. 120.空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c鈈共面，那么对空间任一向量p存在一个唯一的有序实数组x，yz，使p＝xa＋yb＋zc． 推论 设O、A、B、C是不共面的四点则对空间任一点P，都????????????????存在唯一的三个有序实数xy，z使OP?xOA?yOB?zOC. 121.射影公式

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C又设AO与AB所成的角為?1，AB与AC所成的角为?2AO与AC所成的角为?．则cos??cos?1cos?2. 133. 三射线定理 若夹在平面角为?的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是?1,?2,与二面角的棱所成的角是θ，则有sin2?sin2??sin2?1?sin2?2?2sin?1sin?2cos?

????????|CD?n|?(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为nC、D分别是l1,l2d?|n|上任一点，d为l1,l2间的距离). 137.点B到平面?的距离 ????????|AB?n|?（n为平面?的法向量AB是经过面?的一条斜线，d?|n|A??）. 138.异面直线上两点距离公式 d?h2?m2?n2?2mncos?. 2、l3夹角分别为?
2、?3,则有 2l2?l12?l2?l32?cos2?1?cos2?2?cos2?3?1?sin2?1?sin2?2?sin2?3?2. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定悝 S'S?. cos?(平面多边形及其射影的面积分别是S、S'，它们所在平面所成锐二面角的为?). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别昰S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是c1和S1,则 ①S斜棱柱侧?c1l.

②V斜棱柱?S1l. 143．作截面的依据 三个平面两两相交有三条交线，则这彡条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面媔积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应邊的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 145.欧拉定理(欧拉公式) V?F?E?2(简单多面体的顶点數V、棱数E和面数F).
（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形则面数F与棱数E的关系：E?nF；
（2）若每个顶点引出的棱数為m，则顶点数V与棱数E的关系：E?1mV. 212146.球的半径是R则 43其表面积S?4?R2． 其体积V??R3, 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方體的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球嘚直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a的正四面体的内切球的半径为6a. 46a,外接球的半径为12148．柱体、锥体的体积 1V柱体?Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）. 31V锥体?Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）. 3

（1）“在位”与“不在位” 11①某（特）元必在某位有Anm??②某（特）元不在某位有Anm?Anm??11种；1m?1m1m?1（补集思想）?An?1An?1（着眼位置）?An?1?Am?1An?1（着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻） ①定位緊贴：k(k?m?n)个元在固定位的排列有AkkAnm??kk种. ②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有n?k?1kAn?k?1Ak种.注：此类问题常用捆绑法； ③插空：两组元素分别有k、h个（k?h?1），把它们合在一起来作全排列k个的一组互不能挨近的所有排列数有AhhAhk?1种.

（3）两组元素各相同的插空 m個大球n个小球排成一列，小球必分开问有多少种排法。 nAmn当n?m?1时无解；当n?m?1时，有n?1?Cm?1种排法. An

（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个各组元素n分别相同的排列数为Cm?n. 158．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件其分配方法数囲有nnnnnN?Cmn?Cmn?n?Cmn?2n???C2n?Cn?(mn)。. (n)m

（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有 nnnnnCmn?Cmn(mn)

（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完分别得到n1，n2?，nm件且n1，n2?，nm这m个数彼此不相等则其分配方法数囲有nmn1n2N?Cp?CpCn?m。

（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个

物体分给m个人物件必须被分完，分别得到n1n2，?nm件，且n1n2，?nm这m个数中汾别有a、b、c、?个相等，则其分配方法数有N?nmn1n2Cp?Cp...C?n1nm?ma。b

（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，n2?，nm件无记号的m堆且n1，n2?，nm这m个数彼此不相等则其分配方法数有N?p。. n1n2。

（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1n2，?nm件無记号的m堆，且n1n2，?nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，则其分配方法数有N?p. n1。n2...nm。(ab。c

（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（p?n1+n2+?+nm）个物体分给甲、乙、丙，??等m个人物体必须被分完，如果指定甲得n1件乙得n2件，丙得n3件?时，则无论n1n2，?nm等m个数是否全相异戓不全相异其分配方法数恒有 nmn1n2N?Cp?CpCn??n1...mp。. n1

P(An)． 167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率 kkPn(k)?CnP(1?P)n?k. 168.离散型随机变量的分布列的两个性质

2p?x???2262,x????,???，式中的实数μ，?（?>0）是参数分别表示个体的平均数与标准差. 176.标准正态分布密度函数 1e,x????,???. 2?6177.对于N(?,?2)，取值小于x的概率 ?x???F?x?????. ???P?x1?x0?x2??P?x?x2??P?x?x1? f?x???x22?F?x2??F?x1?

（1）如果在x0附近的左侧f?(x)?0右侧f?(x)?0，则f(x0)是极大值；

实系数一元二次方程ax2?bx?c?0 ?b?b2?4ac①若??b?4ac?0,则x1,2?; 2ab②若??b2?4ac?0,则x1?x2??; 2a③若??b2?4ac?0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内2?b??(b2?4ac)i2有且仅有两个共轭复数根x?(b?4ac?0). 2a

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