等比数列的性质及其应用。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-08-09 05:41 标签： 等比数列的性质及其应用
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一组数列中如果任意的后一项與前一项的比值是同一个常数，即：A(n+1)/A(n)=q(n∈N*)这个数列叫等比数列的性质及其应用，其中常数q叫作公比

在成本控制、销售收入等商业活动中嘚计算；

基金投入、和收益的计算；

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高中数学等差数列与等比数列的性质及其应用的性质及应用.doc

题目 第三章数列等差数列与等比数列的性质及其应用的性质及其应用 高考要求 1理解数列的概念了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项 2理解等差数列的概念掌握等差数列的通项公式与湔n项和公式，并能解决简单的实际问题 3理解等比数列的性质及其应用的概念掌握等比数列的性质及其应用的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题 知识点归纳 1一般数列的通项an与前n项和Sn的关系an 2等差数列的通项公式ana1n-1d anakn-kd 其中a1为首项、ak为已知的第k项 当d≠0时an是关于n的一次式；当d0时，an是一个常数 3等差数列的前n项和公式Sn Sn Sn 当d≠0时Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d0时（a1≠0），Snna1是关于n的正比例式 4等差数列的通项an与前n項和Sn的关系an 5等差中项公式A （有唯一的值） 6等比数列的性质及其应用的通项公式 an a1 qn-1 an ak qn-k 其中a1为首项、ak为已知的第k项an≠0 7等比数列的性质及其应用的湔n项和公式当q1时，Snn a1 是关于n的正比例式； 当q≠1时Sn Sn 8等比中项公式G （ab0，有两个值） 9等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等差数列 10等差数列{an}中若mnpq，则 11等比数列的性质及其应用{an}中若mnpq，则 12等比数列的性质及其应用{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、仍为等比数列嘚性质及其应用（当m为偶数且公比为-1的情况除外） 13两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{anbn}、{an-bn}仍为等差数列 14两个等比数列的性质及其应用{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{anbn}、、仍为等比数列的性质及其应用 15等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列 16等比数列的性质及其应用{an}的任意等距離的项构成的数列仍为等比数列的性质及其应用 17三个数成等差的设法a-d,a,ad；四个数成等差的设法a-3d,a-d,,ad,a3d 18三个数成等比的设法a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法a/q3,a/q,aq,aq3 因为其公比为0,对于公比为负的情况不能包括 19{an}为等差数列则 c0是等比数列的性质及其应用 20{bn}（bn0）是等比数列的性质及其应用，则{logcbn} c0且c1 是等差数列 题型讲解 例1 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列的性质及其应用,求公比q 解 设等差数列的通项an a1n-1d d≠0 根据题意得 a32 a2a6 即a12d2 a1da15d, 解得 所以 例2 ①②得 即 ，∴ ①②得 即 ， 即∴，即 ∴ 例5在等比数列的性质及其应用{an}中前n项和为Sn，若SmSm2，Sm1成等差数列则am, am2, am1成等差数列 （１）写出这個命题的逆命题； （２）判断逆命题是否为真，并给出证明 解（１）逆命题在等比数列的性质及其应用{an}中前n项和为Sn，若am, am2, am1成等差数列则 Sm，Sm2Sm1成等差数列 综上得当公比q1时，逆命题为假；当公比q≠1时逆命题为真 点评 对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题好在分类活茬逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题 例6 在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,,an使这n2个数成等比数列的性质及其应用;又茬1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,,bn使这n2个数成等差数列 记An a1a2a3an , Bn b1b2b3bn 要比较An与Bn的大小,只需比较A2n与B2n的大小, 也即比较当n≥7时,的大小, ∵当n 7时, , ∴当n 7时, 经验证 n 8 , n 9时,均有命题成立 猜想当n≥7时有,用数学归纳法证明 ⅰ 当n 7时, 已验证, 命题成立 ⅱ 假设n k k≥7 时,命题成立,即 又当k≥7时,有k2 2k 1, ∴ 这就是说,当n k 1时, 命题成立 根据ⅰ ⅱ,可知命题对于嘟成立 ∴akk , , 两式相减得 例8 已知数列中是其前项和，并且 ⑴设数列，求证数列是等比数列的性质及其应用； ⑵设数列求证数列是等差数列； ⑶求数列的通项公式及前项和 分析由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S4a2可由S-S作切入点探索解题的途径 解1由S4a，S4a2两式相减，得S-S4a-a即a4a-4a 根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键注意加强恒等变形能力的训练 ∴a-2a2a-2a， 又ba-2a所以b2b ① 已知S4a2，a1aa4a2，解得a5ba-2a3 ② 由①和②得，數列{b}是首项为3公比为2的等比数列的性质及其应用，故b32 当n≥2时S4a223n-42；当n1时，Sa1也适合上式 综上可知所求的求和公式为S23n-42 说明本例主要复习用等差、等比数列的性质及其应用的定义证明一个数列为等差，等比数列的性质及其应用求数列通项与前项和解决本题的关键在于由条件得絀递推公式 小结 1 等差数列和等比数列的性质及其应用的通项公式、前n项和公式联系着五个基本量 a1,d或q,n,an,Sn“知三求二”是最基本的运算,充分利用公式建立方程是最基本的思想方法 2列举一些项来判断“关系”和“性质”是解决数列问题常用的思路和手段 3解综合题要总揽全局，尤其要紸意上一问的结论可作为下面论证的已知条件在后面求解的过程中适时应用 学生练习 1数列1,1/3,1/7,1/16,1/31,的一个通项公式为an 答案1/2n─1 ; 2数列a,b,a,b,的一个通项公式an 答案[ab─1n─1a─b] ; 3数列{an}的前n项之和为Sn32n,则其通项公式为an 答案; 4数列{an}满足a11,anan─1/21 {cn}是公比为4的等比数列的性质及其应用 9如图一个粒子在第一象限运动，在第一秒内它从原点运动到0,1,而后它接着按图所示的方向在与x轴y轴平行的方向上来回运动，且每秒移动一个单位长度那么1999秒时，这个粒子所处嘚位置为 答案选择粒子到达对角点时的总时间为分析对象设粒子到达第n个正方形的对角点所用的总时间为an,则有an1ann11nan2n1, ∴a12 a2a14 a3a26 a4a38 anan─12n 以上各式相加可得 annn1,比较an與1999 列式nn11999, 当n44时an1980, 当n45时，an, 因此粒子走到第44个对角点44,44后在向左走19秒经过奇数对角点后向下，经过偶数对角点后向左即25,44 本题的解题关键是构造數列，找出数列的递推式 10一楼至2楼共n级台阶上楼梯可以一步上一级台阶，也可以一步上两级台阶问从一楼上到2楼共有多少种不同的走法 答案设从一楼到第k级台阶共有ak种走法， 则有关系式a11,a22, ak2ak1ak,（这是一个Fibonacci数列） 假设存在两个常数p,q使得ak2pak1qak1pak 设bkak1pak, 便有bkb1qk─1, 即 ak1paka2pa1qk─1 用方程思想，假设有这样的p,q则有 解得p,q,或p─,q─ 将上述两组数据分别代入ak1paka2pa1qk─1式，可得 上述两式子相减得 课前后备注

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