我们一般利用高斯消元法进行矩陣的消元下面我们通过举例说明：

       如果按照我们初中所学的解法，一般是先用第三个方程将z用y表示然后代入到第二个方程就可以用x来表示y和z，最后代入第一个方程就可以求得x,y,z这个算法的核心就是消元！下面我们看看矩阵形式的消元法。

      为了方便我们将等式右边的向量放到左边，构成增广矩阵（可以百度看看什么是增广矩阵）下面是消元的具体步骤：

其中，上图中的第一个矩阵就是所说的增广矩阵我们记作A，经过步骤E21得到的矩阵为B经过步骤E32得到的矩阵为C。

注：高斯消元的目的是使原矩阵(不要考虑最后一列这一列是等式右边的，matlab是分别对左右两边进行消元的我这里写在一起是为了方便)对角线下面的元素为0，变成上三角矩阵在上面例子中本应该在步骤E21和步骤E32Φ还有步骤E31,使得A31=0。但是原矩阵的A31=0所以没有必要进行操作。尽管这一步骤没有必要但matlab会进行操作（没有人机智）。

上面方程组可以直接看出z=-2,然后代入第二个方程得到y=1,再代入第一个方程得到x=2。

       在上面的消元过程中原始矩阵A经过步骤E21得到矩阵B，矩阵B经过步骤E32得到矩阵C我們用矩阵来表示步骤E21，步骤E32则可以得到： 把这两步综合起来得到：

总结，我们令方程组左边的矩阵为D用初等矩阵E来表示消元操作，用仩三角矩阵U表示消元得到的结果则以上式为例：