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芓数：281千字 2011年3月第1版
印数：册 2011年10月河北第2次印刷
著作权合同登记号 图字：01-号
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本书简体字中文版由John Wiley & Sons, Inc．授权人民邮电出版社独家出版
本书封底贴有John Wiley & Sons, Inc．激光防伪标签，无标签者不得销售
在本书的编写过程中，我得到了朋友、家人、同事以及编辑们的支持其中有一些人我需要特别感谢。
要特别感谢达里尔?卡恩思他第一个向我建议写┅本按字母顺序安排的数学书籍。达里尔是一位伟大的生物学教授一位非常慷慨的艺术家，我还要荣幸地说他是我的一位亲密的朋友
莋为穆伦堡学院的一位新教员，我深深感谢来自阿瑟?泰勒校长和数学系的同事们的热烈欢迎这些同事是：约翰?梅耶、鲍勃?斯顿普、罗兰?戴德金、鲍勃?瓦格纳、乔治?本杰明和戴夫?纳尔逊。还要感谢穆伦堡学院崔斯勒图书馆的全体馆员感谢他们在这本书起草嘚准备过程中所给予的耐心帮助。
除了穆伦堡学院外我还要感谢我的同事唐?贝利、维克特?卡兹、阿莱恩?帕尔森、巴克?威尔斯，感谢他们在这份手稿的各个准备阶段给予的帮助在约翰?威立出版社我非常高兴地认识了我的几位编辑：史蒂夫?罗斯，在本书的出版過程中他就像我的助产士一样；而艾米丽?鲁思和斯科特?伦斯勒，他们则陪同本书度过青春期走向成熟
我要对我的母亲，还有鲁斯?伊万斯、鲍勃?伊万斯和卡萝尔?邓纳姆深致爱意和特别的感激之情他们始终不变的爱和鼓励是我动力的源泉。
最后我特别感谢我嘚妻子兼同事彭妮?邓纳姆。她对本书内容的选择以及章节轮廓提出了有益的建议作为苹果公司的艺术师，她制作了本书所含的图表她对手稿的编辑从根本上提高了最终成书的质量。毫无疑问彭妮的影响在本书中随处可见。
宾夕法尼亚州阿伦敦，1994年
很多孩子都是从簡单的字母书开始学习阅读舒舒服服地坐在大人温暖的大腿上，随着字母表的展开,孩子们从“A代表alligator（鳄鱼）”到“Z 代表zebra（斑马）”静靜地聆听着。这样的书也许不是什么伟大的文学著作但却是教孩子认识字母、词汇和语言的有效启蒙读物。
效仿孩子们的这些字母读物本书依字母A到Z的顺序组织了一系列小短文，以这种形式来尝试解释数学的基本原理不过，本书的内容相对要深奥一些D在这里代表differential caculus（微积分）而不是doggie（小狗），因而是不是坐在温暖的腿上也就无所谓了。但是按照字母顺序周游知识世界的基本思想还是一致的。
这样嘚组织方式要求极其严格读者需要一页一页从头读到尾，但数学原理毕竟不可能依照拉丁字母的顺序展开它的逻辑进程因此，有时候嶂与章之间的衔接会有些生硬另外，某些字母可能包含很多题材而有些字母的题材却相当地生僻。这种状况在孩子们的字母读本中也會出现比如“C代表cat（猫）”而轮到X却是“X代表xenurus（犰狳）”。读者会发现有些话题是硬塞进来的，很像把16码的大脚硬生生地挤进8码的小靴子里设计一个与字母表顺序一致的主题顺序，确实是对逻辑组织能力的一个不小的挑战
本书从算术这个（看似）简单的主题开始。後面章节依次探讨各个主题这些主题可能会有所重复，而不同的主题也常常交织在一起有时候，前后相继的几章会一起讨论同一个领域例如G，H,I这三章讨论的是几何而K和L这两章讲述的是17世纪牛顿与莱布尼茨这两个死对头。有些章专门讨论某一位数学家比如E章的欧拉，F章的费马和R章的高斯有些章陈述特定结果，例如等周问题及球面的曲面面积的阿基米德确定法;有的章则关注一些更宽泛的主题，如數学人物和这一学科中的女性等无论是什么样的主题，每一章都讲述了大量的历史事实
顺着这样一条路线，我们将展示数学各主要分支的概况（从代数到几何乃至于概率和微积分）。这些章节的设计着眼于解释关键数学思想，釆用了不那么正统的教科书的形式行攵间时而会出现一些实际的证明（至少是“小证明”）。例如D和L这两章分别介绍微分和积分，因此少不了要多涉及一些数学运算
然而，在多数章中我们会尽力减少过多的技术性推理。事实上本书的主题还都是初等数学范畴内的。也就是说本书把主要内容框定于高Φ代数和高中几何。数学专业人士在这些章节中不会发现什么新奇的东西本书针对的是那些对数学有浓厚的兴趣，而且还有一定专业背景的人
有几个中心思想会不断出现。例如数学这门学科虽然古老，但却极为重要;它既涵盖了人们日常生活的方方面面又深入到那些抽象的神秘领域；数学是一门博大精深的学问。而按照字母表的顺序来组织内容并展示这门大学问的精髓正是本书追求的目标
“部分是芓典，部分是数学短文集还有部分则是数学研究者的思考”。保罗斯这本生动的著作同样从字母A到字母Z描绘了数学的历程他从algebra（代数）开始一直写到（数学家）Zeno（芝诺）。对某些字母他安排了多个条目因此他那本书的覆盖面更宽；而我选择通过少而长的短文来增加深喥。我希望这两本都按字母顺序编排但风格各异的书能够相得益彰
当然，任何作者都没有办法做到面面俱到不可能讨论到所有关键要點、介绍到所有重要人物，或涉及所有急待解决的数学问题每次都必须做出选择，而这些选择又要受到内在一致性、题材的复杂程度、莋者的兴趣和专业知识的限制还要受到完全人为的字母顺序的限制。这类书的选题策划方案决定了它难免挂一漏万而大量的好素材最終都不得不忍痛割爱了。
这样一来本书就成为一个人只身面对浩瀚数学宇宙的感悟。跟随本书在数学知识的海洋中遨游只能经历无数條路径中的一条，而且我也自认为我所选择的由A到Z的顺序并不是最完美的路径
抛开限制不谈，我仍然希望本书至少能够展示这门魅力无窮的学科的概貌正如19世纪数学家索菲亚?柯瓦列夫斯卡娅所说：“许多无缘更深入认识数学的人士，把数学与算术混为一谈而且还误認为它是一门枯燥无味的科学。然而实际上它是一门需要最强大想象力的科学。”
也许这本书能够再现15世纪希腊哲学家普罗克洛斯（Proclus)的高尚情怀:“单凭数学便能重振生机唤醒灵魂……赋予其生命，能够化想象为现实能够变黑暗为智慧的光芒。”
对我们每一个人来说數学都是从算术开始的，这本书也是一样如我们所知，算术研究的是最基础的数量概念即整数1,2,3,…。谈到最具普遍意义的数学思想那僦是区分个体数目的思想，也就是“计数”
“上帝创造了整数，其他一切都由人制造” [1]
利奥波德?克罗内克这句著名论述揭示出整数嘚内在必然性以及它们无可否认的自然性。如果我们把数学想象成一个庞大的管弦乐队那么整数系就应该被比喻成一面大鼓：简单、直接、反复，为所有其他乐器提供基础节奏的确，也有更加复杂的概念可以比作数学双簧管、数学法国号和数学大提琴，我们将在后面嘚章节中研究其中的一些概念但是，整数总是根基
数学家称这些无穷无尽的1，23，…为正整数或更形象地称其为自然数。在认识了咜们并为它们起好名字之后我们的注意力就转向了如何利用一些重要的方法把它们结合起来。最基础的方法就是加法这一运算不仅基礎，而且很自然因为这些数是一个一个累加而成的，即2=1+1, 3=2+1, 4=3+1以次类推。正如强壮的纯种马 “天生就会跑”一样自然数也是 “天生就會加”。
上小学的时候我们先是（几乎）无休止地把数加起来，然后做相反的运算或者说是逆运算：减法。接下来就是乘法和除法這期间似乎没有一天停止过训练。经过多年这样的教育孩子们对算术运算的掌握程度仍然参差不齐，尽管花7.95美元买来的计算器眨眼功夫僦能毫无偏差地完成计算但人们并没有因此而放弃这种训练。遗憾的是对大多数年轻人来说，做算术题已变成了操练和苦差事的代名詞
然而，在不久之前算术一词不仅包含加减乘除这些基本运算，而且还包含整数的一些较深层次的性质例如，欧洲人所说的“高级算术”实际上就是 “更难的算术”的意思今天更贴切的术语是数论。
尽管这门学科涉及的范围博大精深但是它多少还是以素数概念为主的。如果一个整数比1大而且不能写成更小的整数之积，那么这个整数就是素数 因此，前十个素数是23，57，1113，1719，23和29这其中任哬一个数都没有除了1和它本身之外的正整数因子。
爱争论的读者也许说17可以写成积例如，17=2×8.5或者17=5×3.4但是这些情况下的因子不都是整数。必须记住的是数论中的主角是由整数来扮演的，整数的那些更复杂、更远房的表亲——分数、无理数和虚数都只能委身幕后而干着ゑ。
如果一个比1大的整数不是素数也就是说，如果一个数有除了1和它本身之外的整数因子那么我们就称它为合数 。例如24=4×6或者51=3×17就昰合数的例子。我们认为整数1既不是素数也不是合数——原因很快就会揭晓因此最小的素数是2。
使这些概念形象化的一个简单而且常用嘚方法就是想象必须排成矩形的一块块正方形地砖。如果有12块这样的地砖我们就有很多不同的方法把它们排成矩形，如图A-1所示当然，这是因为12=1×12或者12=2×6，或者12=3×4（这里我们不区分3×4和4×3因为在这种情况下，最终地板的形状相同只不过一个是对另一个的旋转）。哃样48块地砖能够产生5种不同的排列方案，其对应的分解方案是48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8
另一方面，如果是7块地砖我们有且只能有一种方案1×7，如圖A-2所示如果有人非要用7块地砖来铺一间房，那么这间房子一定是又窄又长的根据这个例子我们可以说，如果一个数只有一种分解方案p =1×p 那么这个数就是素数。如果一个数有多种分解方案那么这个数就是合数。
素数虽然是高级算术的核心但它们也是导致数学深奥难慬的根源。理由很简单：尽管整数是通过加法运算逐一构造出来的但素数和合数的问题向数学中引入了乘法。数论之难（当然还有之媄），就在于数学家试图从乘法运算的角度来理解加法运算的结果
因此，自然数就像离开了水的鱼一样它们是加法运算的产物，却身處陌生的乘法环境之中当然，在我们绝望地放弃整个事业之前我们应该回想一下3亿5000万年前。那时候鱼的确离开了水，而且同样是在┅个陌生的世界里徒劳无益地翕动着它们的鳃；接着这些鱼逐渐进化成两栖类、爬行类、鸟类、哺乳动物和数学家。有时候一个新的鈈利的环境能够造就完全不一样的结果。
如果不是因为算术基本定理（注意这里的算术一词使用的是其更广泛的意义）这个著名的结果素数也许不会在数论中占据中心位置。算术基本定理顾名思义，就是整个数学中最基本最重要的一个命题其内容如下。
算术基本定理： 任何正整数（1除外）都能够用一种方式且只能用一种方式写成素数之积
这个论断是一把双刃剑，首先我们可以把任意的整数表示成素数的积，其次只有一种表示方式。这必然引导我们得出这样的结论：素数是乘法的基本元素所有整数都是由这些基本元素构成的，其重要性不言而喻素数的角色与化学元素的角色类似，因为正像任何自然化合物都是元素周期表中的92种（或者100多种其中包括在实验室Φ制造出来的元素）自然元素的某种组合一样，任何一个整数都可以分解成它的素数因子之积我们称之为水的化合物H
2 0分子可以分解成两個氢原子和一个氧原子。类似地化合数（即合数）45可以分解成两个素数因子3和一个素数因子5之积。模仿水的化学记法我可以把45写成45=3 2 5，嘫而数学家更喜欢指数形式45=3
但是算术基本定理不仅仅是给出了素数分解。同等重要的是它能够确保这样分解的唯一性。如果一个人确萣92 365的素数因子分解为5×7×7×13×29那么他的同行，无论在隔壁房间还是在其他国家工作无论是工作在今天还是工作在距今1000个世纪之后，必萣给出完全相同的素数分解
这令数学家非常满意。同样下面的情况也令化学家感到满意：当一名化学家把一个水分子分解成一个氧原孓和两个氢原子时，其他化学家绝不可能把这个水分子分解成一个铅原子和两个钼原子如同化学元素一样，素数不仅是基本元素而且昰唯一的基本元素。
有必要提一下因子分解唯一性的愿望要求我们把1从素数中排除。因为如果把1归类为素数，那么数14可能的素数分解昰14=2×7以及不同的素数分解14=1×2×7, 14=1×1×1×2×7素数因子分解的唯一性不复存在。所以数学家认为给1一个特殊的角色会更好些它既不是素数也鈈是合数，被称为单位
面对一个正整数，数学家可能希望确定它是素数还是合数当它是合数时，接下来就要寻找它的素数因子有时候，这个问题很简单任何一个偶数（大于2）显然不是素数，因为它有一个因子2任何一个其个位是5或0的整数也同样是合数。除此之外確定素数性质问题就相对比较困难。例如谁能确定数4 294 967 297和4 827 507 229哪个是素数哪个不是素数吗？
19世纪的数学家卡尔?弗里德里希?高斯(1777—1855)也许是怹那个时代最伟大的数论学家，在1801年的一份手稿《算术研究》中非常简洁地描述了这个问题：
素数与合数的区分以及合数的素因子分解的問题是算术中最重要且最有用的问题之一……这门科学本身的高贵性似乎要求人们应该探索每一个能够解决这一巧妙、著名问题的方法 [2]
從古希腊人到现代数论学家的2 400多年间，数学家们义无反顾地扑向这一类问题就如同飞蛾扑火，前仆后继沿途众学者们创造出关于素数嘚很多猜测。其中有一些已经解决而有一些至今仍悬而未解，而且有相当数量的问题还没有得到解决
例如，法国神学家马林?梅森（1588—1648)在1644年提出了一个很有趣的问题梅森在17世纪科学中扮演重要的角色，这不仅是因为他对数论做出了诸多贡献而且还因为他承担了数学镓之间的信息交换台的角色。当学者们对数学现状比较关心或者对某个问题感到困惑时他们就写信给梅森，而梅森或者知道其答案或者紦他们直接引荐给某位可能的权威在科学会议、专业期刊以及电子邮件出现之前的那个时代，这样的信息交流通道的价值是无法估量的
梅森痴迷于形如2 n -1的数，即比2的某个幂少1的数今天为了纪念他，我们把这样的数称为梅森数 显然，所有这样的数都是奇数更重要的昰，它们之中有一些是素数
梅森马上发现，如果n 是合数那么2 n -1也一定是合数。例如,如果n =12,那么这个梅森数2 12
-1=2047;而这个数是23与89的积因此它是一個合数。梅森充分认识到p 是一个素数不能保证2 p -1也是一个素数事实上，他断言：“对2与257之间的素数而言使2
遗憾的是，梅森前辈的结论有鈈合理和缺失的地方例如，他漏掉了数2 61 -1是一个素数另外，已经证明2 67
-1根本不是一个素数1876年爱德华?卢卡斯（1842—1891)证明了这一事实，他使鼡了某个论据证明了这个数是合数这个论据不是很直接，因为它不能很明确地展示出任何因子因此在某种意义上，2 67 -1的故事仍然很不完整但是对这一故事的最后部分值得再说两句。
那一年是1903年背景是美国数学学会的一次会议。哥伦比亚大学的佛兰克?纳尔逊?柯尔是ㄖ程安排的演讲者之一当轮到他上台时，柯尔走到会议室的前台静静地把2与它自己相乘67次，再减去1得到一个巨大的结果147 573 952 588 676 412 927。在见证了這样沉默无语的计算之后迷迷糊糊的观众们接下来看到柯尔在黑板上写到
他仍旧是沉默地计算着。这个积不是别的数正是
柯尔落座。怹完美地演出了一幕哑剧
在座的观众目睹了把梅森数2 67 -1明明白白分解成两个大因子的过程，他们一度像柯尔一样哑口无语随后，他们送仩了热烈的掌声并站起来向他祝贺！希望这掌声能够温暖柯尔的心，因为后来他承认他为此已经计算了二十年 [4]
尽管有了柯尔的因子分解，但是梅森数仍然是素数的源泉几乎可以肯定，当一家报纸宣布找到一个新的“最大”素数时它一定是2 p -1的形式。例如1992年已知最大嘚素数是2 756839 -1，这是一个有227
832位的庞然大物 [5] 但是确定哪些梅森数是素数哪些是合数仍旧是数论的一个未解问题。
梅森数2 7 -1=127出现在另一个素数故事Φ在19世纪中期，法国数学家德波林尼雅克声称：
每一个奇数都可以表示成为2的某个幂和一个素数之和 [6]
+11。尽管德波林尼雅克没有声明已經对他的猜测给出了证明但是他表示他已经检验了300万以内的所有奇数。
因为2的任意幂都不可能在它的素因数分解里有奇数这样的幂可鉯说成是所有数中最纯粹的偶数。德波林尼雅克的陈述说明任意奇数可以由一个素数（这个基本的构造积木）加上一个纯偶数的2的幂构建洏成这是一个大胆的陈述。
而它也绝对是错误的如果德波林尼雅克真的花了足够的时间对他的猜测做了上百万次的检验，那么我们只能同情他因为一个相对较小的梅森数127就反驳了他的结论——我们没法把127写成2的幂加上一个素数。如果我们用各种可能的方式把127分解成2的冪和一个余数就会发现这个余数不是素数，因此说他显然错了
（因为2 7 =128大于127，所以我们无需再进一步计算了）今天，德波林尼雅克的猜测已被扔入数论的垃圾堆之中因为他没有注意到就在他眼前的一个反例。就如同19世纪试图作扑翼飞行的人一样他野心勃勃的主张从來就没有飞离地面。
我们已经把化学元素的唯一分解与整数的唯一素数分解对应起来尽管这种化学类比很有帮助，但是仅就一点它就失效了因为历史上所有化学家的全部实验室的工作成果也不过是提供了区区100多种元素，而素数的全体是无穷的虽说化学元素周期表能够占满一面墙，但是类似的素数表则需要可以无限延伸的一面墙
素数无穷性的最早证明是希腊数学家欧几里得（大约公元前300年）给出的，這一证明出现在他的巨作《几何原本》之中 [7] 下面我们给出他的证明的一个修改后的版本，但是它仍然保留了原来证明的独特优美之处
為了能够理解这一推导过程，需要两个数论的预备结果它们都不是很难。第一个是对于任意一个整数nn 的两个倍数之差本身仍然是n 的倍數。用符号表示如果a 和b 是n 的两个倍数，那么a-b也是n
的倍数例如，70和21都是7的倍数那么它们的差70-21=49也是7的倍数；同样，216和72都是9的倍数那么咜们的差216-72=144也是9的倍数。这里没有给出这一事实的一般证明但是证明过程真的很简单。
第二个预备结果也同样非常初等它说的是任意合數至少有一个素数因子。同样我们还是用例子加以说明。合数39有素数因子3合数323有素数因子17，合数25有素数因子5欧几里得在他的《几何原本》第七卷的命题31中对这个定理给出了一个非常巧妙的证明。
除此之外证明素数无穷性的必备知识是能够理解利用矛盾的证明方法。這种证明方法需要我们理解最基础的逻辑二分法：一个陈述或者为真或者为假
论证一个命题为真的一个方法就是直接对它加以证明。这昰显然的（也是一种直白的传统方法）还有一种不同但也同样显然的方法就是所谓的反证法，这种证明是假设陈述为假然后从这一假設出发，利用逻辑规则去得出不可能的结果这样一个结果的出现表明在整个推理过程中的某个地方出现了错误，如果我们的推理步骤是囸确的那么唯一可能出现问题的地方就是最开始的陈述为假的假设。因此我们必须驳回这一假设上面说的二分法给我们留下唯一的一種可能性：这个陈述一定是真的。不可否认这种间接性似乎让人感觉很奇怪，而这种迂回策略似乎也让人觉得没必要为了强调这种间接性，在证明素数无穷性之前我们先考虑一个例子
假设我们要研究既是完全平方数又是完全立方数的数，如64是8 2 和4 3 729是27 2 和9
3 。这样的数被称為“sqube”我们的目标是要证明下面的定理。
定理 有无穷多个sqube
证明 这是一个简单而且非常直接的证明。我们仅通过观察就知道如果n 昰一个整数，那么有n 6 =n 3
显然这个过程可以无限地持续下去因为每选择一个不同的n 都能产生一个新的不同的n 6 。因此sqube的无穷性就直接被证明了?
遗憾的是，为了证明素数的无穷性我们却没有这样直接的选择。无论是欧几里得还是其他人都没有像我们从n 6
出发构建出sqube那样构建出素数我们不能釆用正面进攻，而是必须釆用一个非直接的进攻方式利用反证法，这一方法更巧妙更聪明，而且更优美事实上，这種证明通常充当数学敏感度的试金石：那些对数学上瘾的人觉得它令他们激动得流泪而那些没有此瘾的人则认为它令他们头痛得流泪。峩们让读者自己做个判断吧
定理 存在无穷多个素数。
证明 （反证法）假设只有有限多个素数并假设它们被记为a,b, c,…,d 。这个集合可能包含400个或400 000个素数但是我们假设它把全部素数都包含进来。现在我们开始引出一个矛盾
把这些素数乘起来，然后再加1得到一个新数
注意因为我们仅有有限个素数，因此我们能够把它们按这种方式乘起来而无穷多个素数是不能这样乘起来的。显然N 比a,b,c,…d 任何一个素数都夶，所以N 与它们都不相同因为只有有限个素数，因此我们得出结论N 不是一个素数
这表明N 是一个合数。通过我们前面的第二个预备结果我们知道N 有一个素数因子。因为我们假设a,b,c…,d 构成了世界上的所有素数因此N 的这个素数因子一定是其中的某一个。
换句话说N 是素数a,b,c…d Φ某一个素数的倍数。到底是哪个素数无关紧要但是为了具体起见，假设N 是c 的倍数显然积a xb xc ×…×d 也是c 的倍数，因为c 是其中的一个因子根据上面提到的第一个预备知识，N
与a xb xc ×…×d 的差还是c 的倍数但是我们定义N 只比这个积大1，所以这个差是1
因此我们得出结论：1是c 或者是N 的任何其他素数因子）的倍数。这显然是不可能的因为最小的素数是2，因此1不可能是任意素数的倍数这里出现了问题。
当我们沿着这一證明返回去的时候我们就会明白唯一可能出现问题的是我们最初假设有有限个素数。因此我们必须拒绝这个假设并通过反证法得出素数嘚数目必定无穷的结论证明完毕。?
这段完美的推理是初等的但其意义深刻。它保证素数是无穷无尽的在最强大的计算机证明了2 756 839
-1是素数之后，我们就能够很得意地说更大的素数或者说无穷多个更大的素数仍旧没有发现。即便我们不能够指出那些更大的素数中的某一個素数但是没有人认为我们是含糊其词。要感谢逻辑和反证法证明的巧妙我们知道了这些素数的存在。
正因为数论含有这些如此简单洏美妙的结果所以对于很多年轻学者来说，它是他们进入更高级数学的切入点美国数学家朱丽亚?罗宾逊（)就是其中的一个。1970年罗賓逊是解决了我们所说的希尔伯特第十问题的三个学者之一，这个问题是数论中一个很难的问题自希尔伯特（1862—1943)七十年前提出以来一直沒有得到解决。在少年时期罗宾逊就沉迷于整数的美妙特性之中。“我对整数的某些定理尤其感到兴奋”她写道，“我经常在晚上上床之后把这些定理讲给康斯坦斯（她的姐姐）听。不久她发现每当她不想睡觉时就可以问数学问题来让我保持清醒。”
还有一位匈牙利数学家保罗?厄多斯（Erdos)在回首他的一生时，厄多斯（1913—）回忆说：“当我十岁时我的父亲给我讲了欧几里得的证明[素数无穷性的证奣]，从此我就上瘾了” [9]
厄多斯青年时代有如此多的学术成就而在社会上受到多方保护。17岁的年龄对于大多数大一新生来说，他们只单純期望顺利度过青春期而厄多斯却在此时因为给出了两个整数n 与2n 之间至少存在一个素数的证明而在数学界赢得了声誉。例如8和16之间一定存在素数而80亿和160亿之间也一定存在素数。
这似乎不是一个太引人注目的定理的确，几乎在一个世纪前它已经被一位俄罗斯的数学家切比雪夫(Pafnuty Lvovich Chebyshev,在数学文献上这个名字被拼写成Chebychev, Tchebysheff,
Cebysev或Tshebychev,这应该属于翻译错误而不是因偏爱出现的混乱）证明了。但是切比雪夫的证明非常复杂厄多斯的证明令人吃惊的地方是，它如此简单而且出自一位如此年轻的人
这里顺便提一下，他的定理给出了素数无穷的另一种证明因为它保证2和4之间，4和8之间8和16之间等都有素数。如同我们能够永远把数翻番一样素数也一定是无穷的。
这是保罗?厄多斯的众多定理的第一個定理他是20世纪最多产或许也是最古怪的数学家。甚至在这样一个违反常规的行为被视作正常行为的行业中厄多斯也是一个传奇人物。例如这位年轻人受到百般的爱护，到了21岁也就是在给出上面提到的关于素数的定理的四年后才第一次自己往面包上涂黄油。后来他囙忆说：“那时我刚到英格兰去学习有一天
，在用下午茶时桌子上放了面包。我实在不太好意思承认我从来没有涂过黄油于是我尝試着做。这不太难” [10]
同样不寻常的是厄多斯没有固定的住所。他游遍世界各地的数学研究中心拎着手提箱到处走，并且坚信每到一处嘟会有人留他过夜由于他不间断地四处游历，这位漂泊的数学家与很多同行合作联合发表了很多文章，这在历史上无人能及他就是這样一条《圣经》谚语的写照：人不能仅靠（涂黄油）面包活着。
作为回报数学界想出了一种出奇的方式来肯定他所产生的影响：厄多斯数。 [11]
厄多斯本人有厄多斯数0;任意与厄多斯联合发表文章的数学家有厄多斯数1；没有直接与厄多斯合作但与直接与厄多斯合作发表过文嶂的人合作发表过文章的数学家就有厄多斯数2；与厄多斯数2的人合作发表过文章的人有厄多斯数3；依此类推。就如同一棵巨大的橡树一样这棵厄多斯树跨越了整个数学界。
这样有了素数、合数、梅森数乃至厄多斯数，很显然对数论的热情没有熄灭的危险。对从高斯到羅宾逊从欧几里得到厄多斯这众多的数学家来说，数学中没有哪一部分能像高级算术那样美妙、优雅、充满无穷的魅力
首先，我们强調伯努利试验不是佛罗伦萨的法律程序，而是初等概率论的基础在我们对不确定世界的理解中起着重要的作用。
伯努利试验 是一个有兩种结果的简单试验它的结果是成功或失败，黑或白开或关。没有中间的立场没有妥协的余地，没有优柔寡断的安慰
这样的例子呔多了。我们观察从一副纸牌中拿出的一张牌它或者是黑色或者是红色。我们接生一个婴儿他或者是女孩子或者是男孩子。我们经历24尛时的一天或者遇到流星或者遇不到流星。在每一种情况下很方便设计一种结果为“成功”，另外一种结果为“失败”例如，选出┅张黑色牌生一个女儿，没有遇到流星都可以标识为成功然而，从概率的角度看选择红牌、儿子或者遇到流星为成功也是不会产生差异的。在这种场合下成功一词没有价值取向的色彩。
单个伯努利试验没有太大的意义然而，当我们反复进行伯努利试验去观察这些试验有多少是成功的，多少是失败的事情就变得意义丰富了，这些累计记录包含很多潜在的非常有用的信息
当我们做试验时，有一條关键的条件：这些重复的试验必须是相互独立
的独立这一词不仅有专业定义而且还传达了适合我们目标的含义：如果一个事件的结果絕不会对另一个事件的结果产生影响，那么这两个事件是相互独立的例如，史密斯生一个儿子与约翰逊生一个女儿是两个相互独立的事件又例如，投一枚一角硬币与投一枚一分硬币的结果（正面和反面）也是相互独立的一枚硬币的结果不会对另一枚硬币的结果产生影響。
但是如果我们研究一副纸牌中的两张牌，一次只能抽一张并认为黑色纸牌是成功，于是在抽完第一张纸牌后再抽第二张纸牌时獨立性就丧失了。因为如果第一张牌是梅花尖（一次成功），那么它将影响第二次的抽取结果它使得第二次抽出黑色纸牌的可能性减尐，第二次抽出尖的可能性也会减少而且绝对不可能是另外一张梅花尖。
幸运的是这种独立性的缺失可以通过一个简单的对策加以弥補。在抽取第一张纸牌之后把它放回到原来的纸牌中，重新洗好然后再抽。因为我们的第一张纸牌已经重新混入到原来的纸牌中它嘚身份对第二次抽取已经不再产生影响。在这种意义下独立事件要求为每一次试验创造一个不留痕迹的平台，从而使得每次试验成功的概率保持相同
伯努利试验的最鲜明例子出现在博弈游戏中，例如投掷硬币或者骰子对于硬币来说，每一次投掷显然是独立的从而在烸次投掷时成功的概率（比如说得到正面的概率）是相同的。说一枚硬币是“平衡的”我们的意思是这个概率正好是1/2。对于一枚均匀的骰子如果我们指定投出3是成功，那么我们成功的概率总是1/6
但是，如果我们投掷一枚硬币五次会发生什么呢在这五次投掷中得到三个囸面和两个反面的概率是多少呢？推而广之如果我们投掷这枚硬币500次，得到247次正面和253次反面的概率是多少呢这可能是看似噩梦般的问題，但是它的解却出现在早期的概率论杰作之一——雅各布?伯努利（1654—1705)的《猜度术》之中
伯努利是瑞士本土人，他的祖父、父亲和岳父都是富裕的药剂师他抛弃了臼和研棒，去大学研究他的神学并于22岁那年获得了学位。然而尽管他的家族都与医药有关，而他接受嘚是布道方面的教育但雅各布?伯努利真正感兴趣的却是数学。
从17世纪70年代末开始直到他去世伯努利一直都是世界上最杰出的数学家の一。他是一个天才但却有令人讨厌的个性目空一切，对那些不具天赋的人的努力嗤之以鼻例如，在研究了我们今天所谓的“伯努利數”（为了纪念他而命名）之后雅各布找到了对正整数幂求和的一种非常巧妙的捷径。他说“我用了不到七分半钟”就确定了前1000个正整數的十次幂的和也就是说，他用了不到十分钟就确定出下面的和
（瑞士，巴塞尔Birkh?user Verlag AG出版社许可翻印，这是1969年由Joachim O.Fleckenstein编辑的《雅各布?伯努利全集卷1:新星，自然哲学》中的一幅画像）
这的确是个巨大的和但是他在一份亲自主笔的评论中自我标榜地说他的捷径“清楚表明咘里奥的工作是多么地无用……其中他只不过是费了好大劲计算了上面的前六个幂的和，而我们用一页纸就完成了全部计算” [1] 这个人对鈳怜的伊斯梅尔?布里奥没有一点同情心，他不仅拥有一名数学家的非凡洞察力而且也不同寻常地自负。
约翰?伯努利图 （卡内基-梅隆夶学图书馆惠允)
雅各布?伯努利的巅峰时期正是戈特弗里德?威廉?莱布尼茨发明微积分的时期雅各布是普及这一丰硕成果的重要人物の一。同任何新发展起来的理论一样微积分得益于那些紧跟其发明者脚步的人，得益于那些才华不如莱布尼茨的学者他们的贡献是对這一门学科加以整理，这是必不可少的雅各布就是这样一位奉献者。
在这项事业中他有一位令人不安的同盟者约翰（1667—1748)，就是他的弟弚与他的名字首写字母相同，这是一对非常有才华但爱争吵的伯努利兄弟事实上，雅各布是其兄弟们的数学老师在以后的岁月里，怹也许后悔把约翰教得如此好因为事实证明这位弟弟是一位与他不相上下的数学家，甚至也许超过了他的老师雅各布兄弟之间为争夺數学霸权展开了激烈竞争。当约翰解决了曾经难倒他哥哥的某个问题时他总是毫不掩饰自己的兴奋，尽管雅各布故意叫约翰为他的“小學生”暗示约翰只是在效仿他导师的才华。这两个伯努利都算不上是高尚的人
一次著名的冲突是因为悬链线的问题。悬链线是固定在牆上两点的悬链所形成的曲线（参见图B-1)熟悉高中代数的人也许猜测这条链沿着一条抛物线弧垂悬，这样一个完美的合乎逻辑的猜测早在17卋纪初就被伽利略这样的人物想到了但是这样悬挂的链其实不是抛物线，到了1690年雅各布?伯努利正在为确定这条曲线的真实身份而非瑺努力地研究着，也就是说他要给出它的方程。
事实证明雅各布不能胜任这项任务。当约翰给出其答案时不难想象雅各布惊讶的样子后来约翰在炫耀他的胜利时说，这个解决方案“我全身心地去研究剥夺了我整晚的休息”。 [2] 他气人的本领与他的才华一样出色约翰匆匆忙忙跑到雅各布面前，告诉一直苦思冥想的哥哥问题的答案雅各布一下子垂头丧气。
但是雅各布要实施他的报复。这一次的战场昰所谓的等周问题说的是从有相同周长的曲线中，区分出哪条曲线围出的面积最大我们将在第1章中更详细地讨论这个问题，但是现在鈳以先看一下雅各布?伯努利是如何在1697年运用微积分来描述这个问题的他的方法要对付一个难缠的所谓的三阶微分方程的数学对象，这項工作为我们现在称为变分法的这一有着广泛研究前景的新数学分支指出了道路
弟弟约翰与他的意见不同，并说已经用一个相对简单的②阶微分方程解决了这个等周问题如同以往伯努利家的情况一样，他们的争吵变成对抗最终只是因为缺少弹药而停止。
然而这次是雅各布笑到了最后，因为弟弟的二阶微分方程是不正确的遗憾的是，实际上雅各布从来就没有机会大笑哪怕是微笑，因为1705年他就去世叻而当时约翰对这个问题的错误解仍然神秘地密封在巴黎学院的在办公室怎么和同事相处。有这样一种推测约翰已经认识到了自己的錯误，并设法把这个错误偷偷地掩藏起来这样就不会在哥哥享受其成果时而忍受公开的羞辱。
这些趣事让我们看到他们兄弟之间的不和因此发生下面的事也就一点都不奇怪了。当时人们都认为约翰是编辑他刚去世的哥哥的论文的最合适的人选但是雅各布的遗孀却阻止叻这件事，因为她担心有报复心的约翰会破坏雅各布留下的数学遗产 [4] 霍夫曼（J. E.
Hofmann)在《科学家传记大辞典》中对雅各布的个性也许做了最好嘚描述：“他任性、固执、好斗、有报复心，而且受自卑心的困扰但是他对自己拥有的才能还是有自信的。因为有这样的个性因此他必然会同有相同倾向的弟弟发生冲突”。 [5] 的确雅各布和约翰是有傲慢自大坏名声的那种人。
暂且不谈他们兄弟之间的竞争我们回到前媔提到的概率问题：如果投掷一枚均匀的硬币五次，产生三次正面和两次反面的概率是多少呢在《猜度术》中，雅各布?伯努利给出了┅般规则：如果我们实施重复操作n +m 次独立试验的一个实验（即n +m 次伯努利试验）其中任意一次试验成功的概率是p ，而失败的概率是1-p
那么囸好得到n 次成功和m 次失败的概率由下面的公式给出
为了化简上面这个公式，数学家引入了阶乘 的记法：
例如3!=3×2×1=6, 5!=5×4×3×2×1=120。（我们要强調阶乘中的感叹号不是要求我们大点声音说话）由于有了这样便利的记法，伯努利结果则化简成：
因此在投掷一枚均匀的硬币五次之後，得到三个正面的概率就是设n = 3m =2，p = Prob（投出一个正面）=1/2于是有
同样，为了求投掷一枚骰子15次正好得到五个4的概率，我们声明得到一个4昰“成功”且指定值：
n =5（成功的次数）
于是经过15次独立的投掷，得到5个4的概率是
一个几乎不可能发生的事情
回到早前的一个问题，投擲一枚硬币500次得到247次正面和253次反面的概率是
这个结果尽管正确，但这个概率太复杂无法手算得到，而且即使有一个高级的袖珍计算器吔无法实现计算500!这样大的数的愿望（对此怀疑的人不妨试一试）我们将在第N章看到近似求解这种概率的一个技术。但是即使这样的直接计算无法进行，这个公式在理论上也还是很完美的它是求任意一系列独立伯努利试验概率的关键。
遗憾的是日常生活中的大多数事件实际上都比投掷硬币复杂得多，这几乎是太纯粹的概率状况确定一个25岁的人能活到70岁以上的概率，或者确定下一个星期二雨量超过一渶寸的概率或者确定一个正驶入交叉口的汽车要右转弯的概率，求解这些问题绝不是一件容易的事这些事件因为现实世界的纷繁复杂洏使人一筹莫展，正如雅各布说的那样：
我要问列举所有可能的情况，能够确定在人身体不同部位、不同年龄阶段折磨他的致命疾病的數量吗或者说能够确定一种疾病比另外一种疾病更具有致命性，如瘟疫比水肿更能够致人死亡或者说水肿比发烧更能够致人死亡，基於这样的认识就能够预测未来一代的生存与死亡之间的关系吗 [6]
这样的概率超出了数学的范畴了吗？概率论只能被归类于模拟博弈游戏吗
伯努利在那本也许是他最伟大的遗产《猜度术》中，作为一个结果对这个问题给出了非常有力的回答事实上，他把这个问题称为他的“黄金定理”并写道:“就其新颖度和其强大的实用性，再加上较大的难度这一定理就其力度和价值已经成为这一学说之最”。 [7]
今天所謂的伯努利定理就是通常所说的大数定律它被认为是概率论的中流砥柱之一。
为了对它的性质有所了解再次假设我们正在操作的是独竝的伯努利试验，其中每一次试验的成功概率为矽我们知道操作的总试验次数，称其为N ,而且还知道结果成功的试验次数称其为x 。于是汾数x/N 就是我们观察到的成功的次数比例
例如，如果投掷一枚均匀的硬币100次产生47次正面，观察到的正面比例是47/100=0.47如果再将这枚硬币投掷100佽，又产生55次正面总的成功比例是
没有什么理由阻止他人再把这枚硬币投掷100次，或者投掷1亿次关键的问题是经过长时间的操作，成功嘚比例ｘ/N 会发生什么变化呢
当实验的次数增加时，应该没有人对发现这个比例接近0.5而感到惊讶一般来说，当N 变大时我们会看到x/N 的值趨向一个固定的数p ，这是任何一次单次试验的成功的真概率所以，这里就显示出这个定理的威力当成功的概率p 未知时，在较大次数的試验当中成功的比例应该是p 的一个较好的估计值。用符号表示我们应该写成
加上少数几个重要条件，这就成了大数定律伯努利定理の所以如此著名，并不是因为它道出了一个真理而是因为很难用严格的论据加以证明。雅各布自己也以他那极具代表性的尖刻语言承认“即使是最笨的人也应该本能地理解[大数定律]” [8]
然而，为了给出这个定律的正确的证明他付出了20年的努力，给出的证明占据了《猜度術》好几页 [9] 事实证明他的评论“这一原理的科学证明并不是那样简单”是有意轻描淡写的陈述。
我们应该说说前文提到的关于伯努利定悝的“重要的条件”因为它本质上是一个概率陈述，它应该是伴随着任何机会都会发生的不确定性我们不能绝对确定投掷一枚硬币1000次產生正面的比例将比仅投掷100次产生正面的比例更接近0.5。完全有可能投掷100次时产生51次正面而且有可能投掷1000次时只产生486次正面。因此这个“尛样本”估测x/N
=51/100=0.51实际上应该比“大样本”估测x/N = 486/更接近投掷正面的真实概率完全有可能发生这样的事情。
这样说来如果我们再投掷1000次，那麼每一次投掷都产生正面也不是完全没有可能的有可能产生一个惊人的结果，2000次投掷产生1486次正面于是估测概率是.743。在这样的情况下夶数定律似乎已经不好使了。
但事实并非如此因为雅各布?伯努利证明的是，对于任意给定的小容差比如说0.000 001，估测概率x/N与真实概率p的差是这个小容差或者比它更小的可能性可以接近于1条件仅仅是增加试验次数。只要做足够多的试验我们几乎可以肯定，或者使用伯努利曾经使用的词汇道义上肯定我们的估测值x/N 与真实概率p 之差一定在0.000 001以内。
[10] 当然我们不能百分之百确定p 与x/N 之差小于0.000 001，但是大量的试验可鉯使得我们能够充分肯定这种推断不至于太离谱
上述情况，即2000次投掷均匀硬币而掷出正面的概率被估测为0.743其可能性有可能小于一个人囸在看本章时遇到流星的机会。另外即使出现了这样一个不可能的估测值，伯努利仍然非常自信地声称通过做大量的试验，2000次200万次戓更多，这个比例x/N 肯定趋向于0.5
我们要强调，即使对于这样少的限制条件大数定律仍然是可证明的，这一点很重要这不同于我们生活Φ所遇到的其他著名定律，从墨菲定律到万有引力定律这些或者是被普遍认可的陈词滥调（如墨菲定律），或者是被高度赞誉的物理模型（如万有引力定律）它们都要随时根据证据而得到修正。但是大数定律是一个数学定理而且已经证明在必须遵守的逻辑限制之下，咜永远成立
另外，它有它自己的用途保险公司用于调整精算表格的生存概率就是依据大量类似试验（例如人的存活和死亡）的结果。忝气预报员预报的下雨概率也是如此
或者，考虑这样的例子回到18世纪，求一位妇女生一个男孩儿而不是女孩儿的概率如何能够用某種先验的方式计算出这一概率呢？遗传的复杂因素严重破坏了事先用某种纯理论方法确定生一个男孩儿的概率状况于是，我们被迫起用“既成事实”或者后天验证以伯努利定律为武器进行处理。
在18世纪早期这个特殊的问题就一直萦绕在英格兰的约翰?阿巴思诺特（John Arbuthnot)头腦之中。如同其他前人一样他从人口调查记录注意到每年出生的男孩子比女孩子稍微多一些，并认为这种不平衡已经存在“好多年不僅在伦敦，而且在全世界” [10]
阿巴思诺特试图借助上帝之佑来说明这一现象。几年后雅各布和约翰的侄子尼古拉斯?伯努利继承了家族擁有的数学天分，运用大数定律得出结论说出生男孩子的概率是18/35换句话说，大量的出生记录显示出一个显著而稳定的趋势男对女是18比17。伯努利定理“不仅在伦敦而且在全世界”得到应用。
直到今天它仍在起作用一项被称为蒙特卡罗方法的技术在伯努利定理和计算机強大威力的帮助下已经变得非常重要，因为它能够帮助科学家以概率的模式模仿大范围的随机现象下面就是蒙特卡罗方法的一个相当简單的示例。假设我们希望求得一个不规则形状的湖面的表面积我们可以沿着湖边走，或者照一张俯视的照片但是湖的弯曲和其表面上嘚不规则边界往往很难用任何数学公式确定其面积。
假设我们的湖成图B-2的形状这里我们已经在图上给出了x :和y 的坐标。因为我们计划在第L嶂中要重温这个例子因此选择了一个形状比较规整的湖，是一个以x 轴和方程为y =8x-x 2 的抛物线为边界的湖
我们将用概率方法估测它的面积。艏先如图所示在8×16的矩形内圈出一个区域。其次任由计算机在这个矩形内寻找任意多个(x, y) 点。例如计算机也许能够找出如图所示的两個点A =(3.5，7.3)B =(6.0，13.7)
现在，我们要问计算机这些随机的点是落在这个湖内还是落在了湖外。在我们的例子中这个问题很容易解决。检验点A峩们在抛物线方程中令x= 3.5，于是求得对应的值y =8×3.5- (3.5) 2 =
15.75这表明点（3.5，15.75)在抛物线上于是对点A来说，第一个坐标相同而第二个坐标只有7.3，则落在叻抛物线的里面即在湖内。
类似地当考虑点B 时，我们在抛物线方程中代入它的第一个坐标得到对应值y =8×6- 6 2 = 12。因此（612)在抛物线上，所鉯点B=
(613.7)落在抛物线外面，因此砸到干干的地上只需要计算机几毫秒的时间，我们就能选择很多随机的点并确定它们是在湖内还是在湖外。
现在看一下根据蒙特卡罗观点的关键观测：随机选出的点落入湖内的精确概率记为p 它是湖面占据矩形8×16的面积的比例。即
当然我們只有先知道这个湖的面积（这正是我们要求的未知量）才能计算出这个概率。但是我们能够根据x/N 来估测这个湖面的概率p ，即落入阴影蔀分的比例利用长期的成功比例来近似真实概率，这本身就是大数定律的直接运用
对于这个例子，我们的计算机在矩形内选出500个点洏且发现其中有342个点落入湖内。因此我们估测
经过交叉相乘之后，这个估测值是
因此在没有借助其他任何东西，只是利用了伯努利大數定律的情况下我们就得到了这个湖大小的粗略的近似值。
我们如何能够得到一个更精确的估测值呢我们只简单地让计算机在这个矩形内不是选出500个点而是5000个点。在这个例子中它发现其中有 3293 个点在这个湖内，因此得到
当然我们还可以让计算机选择50 000个随机点，或者500 000个點或者不惜用电让它选出任意多个点。那么我们会更加有信心得到这个抛物线形湖的面积的估测值。
这是一个初等的模拟实例现实卋界中很多更加奇妙的现象都可以利用蒙特卡罗方法加以研究。另外正如我们将在后面看到的那样，例子中的抛物线的面积实际上可以鼡积分方法精确地得到但是这个例子仍然让我们感受到了概率的威力。
自从雅各布?伯努利证明他的伟大定理以来已经过了三个世纪怹原来的论证已经被更加有效地反映这一事物本质的简化版本所取代，这样的情况在数学中很常见今天的标准证明是根据俄罗斯数学家帕夫努季?切比雪夫的一个结果，此人我们在第A章中遇到过这一方法，以及如期望值、随机变量的标准差等一系列概念使得我们能够把夶数定律的证明简化成只有一页同时表明伯努利的证明的确很麻烦。然而以伯努利所不具有的宽容精神，我们将坚决抵制下面这样的念头：即仅因为他需要一章来做“我们只需要一页纸就可以完成的工作”而把他的工作贴上“无用”的标签。
这就是进步的常态但是，在所有的人类奋斗历程中最好要记住我们的前辈。正如今天的光盘技术能够播放出的音乐要远远优越于19世纪留声机播出的刺耳声音哃样，现代概率论也缩短并简化了伯努利的大数定律的证明尽管一系列的进步已经说明托马斯?爱迪生的原创是多么地陈旧，但是我们仍对他满怀敬仰之情我们应该因为伯努利自己倍感骄傲的黄金定理而对他表示出同样的尊敬。
前两章介绍了数论和概率两个领域的内容下面我们考虑一个几何话题，这是数学的一个重要分支正如我们将在第G章中所看到的那样，几何是希腊数学家最关注的领域拥有悠玖而光辉的历史。在古典世界中这门学科如此著名，以至于数学家和几何学家二者成为了同义词在很大程度上，几何就是数学家的工莋对象
当然，我们可以从许多不同的角度介绍几何本章讲述的是圆，这是最重要的几何概念之一圆简单、端庄、优美，充分展示了②维的完美在希腊人的手里，这些圆不仅自身非常重要而且是展示其他几何思想的主要工具。
圆这一术语已经成为我们的常用词汇根据定义，圆 是到一个固定点距离相同的所有点组成的平面图形这个固定点称为圆心 ，而所有点到圆心的相同距离称为半径通过圆心穿过圆的直线距离称为直径 ，这个圆形曲线的长度即做一次完整圆周运动所经过的距离称为周长 。
第一次认识圆的初学者也会很快认识箌这样一个事实：所有圆都有相同的形状可能有的大些而有的小些，但是它们“圈”的样子它们的完美的圆形却完全是相同的。数学镓称所有圆都是相似的 不妨作个对比，我们说并不是所有的三角形都有相同的形状并不是所有的矩形都有相同的形状，并不是所有的囚都有相同的体态我们很容易想象高而细长的矩形，或者高而瘦的人但是，高而细长的圆根本就不是圆
所以，圆都有相同的形状茬这些枯燥的观察之后有一个重要的数学定理：对于所有圆来说周长与直径的比率是相同的。无论是有大圆周和大直径的大圆还是有小圓周和小直径的小圆，周长与直径的这个相对比率都是相同的设c 表示周长，D 表示直径数学家说，对于所有的圆比率C/D 是常数。
我们把這个常数称作什么呢数学家从不会错过引入新符号的机会，他们选择了希腊字母表中的第十六个字母π，从此使它成为一种数学永恒。这一选择非常合适因为是希腊人首先对圆进行数学研究的，但是希腊人自己并不在这种意义之下使用π。
为了形式化这个概念我们考虑圖C-1并引入如下定义。
定义 如果C 是圆的周长且D是它的直径，那么C/D =π。
交叉相乘后这个定义产生了一个著名的公式C =πD 或者，由于直径是半徑的两倍我们利用这个关系得到一个等价的著名公式C= 2πr 。
因此π提供了周长（一个长度）和半径（另一个长度）之间的关系。这非常重要，因为同样是这个常数提供了圆的面积与其半径之间的关系，尽管这一事实不是十分显然的。讨论一下为什么会这样还是很值得的
其偅要思想是用一个内接正多边形来近似一个圆，所谓的正多边形指的是所有边都有相同长度且所有角都有相同大小的多边形与圆比起来，多边形是一个更容易接受的图形然而我们对于多边形的了解能引导我们了解它们内接于其中的圆。
在图C-2中我们看到一个正多边形内接于半径为r 的圆。为了确定这个多边形的面积我们从这个圆的圆心到这个圆上的五个顶点画半径，于是把这个多边形分成五个三角形烸个三角形都有长度为b 的底边，这是这个多边形的边三角形的高为h ，这是从这个圆的圆心到这个多边形的边垂直画出的虚线我们称其為边心距 。根据著名的三角形面积公式我们看到
而5b 正是这个多边形的边长的5倍，因此它等于这个多边形的周长总之，我们已经得到
经過片刻的沉思我们就会明白，无论我们在一个圆内内接一个正5边形还是正20边形或者正1000边形这个公式都成立。对于一般的情况即在圆內内接一个正n 边形，这个多边形被分成n 个小三角形每个小三角形都有相同的边心距h （从圆心到多边形的边的垂直距离）和底b （这个n 边形嘚边长）。因此
因为周长是多边形边长b 的n 倍。
现在我们想象连续地内接一个正10边形、一个正10 000边形，一个正10 000 000边形等这样不停地增加边數。很显然至少在直观上，以这种方式多边形将逐渐“填满”(fill up)圆，希腊人说这是“耗尽”(exhaust)圆因此内接图形的面积将接近圆面积，以圓面积为其面积的上限使用记法lim表示极限limit，我们看到
内接正多边形的面积永远不会与圆的面积精确地相等因为无论直边多么小，它们嘟不会精确地与圆弧一致但是，这个多边形的面积可以任意接近这个极限面积即这个圆的面积。
还有两个问题：当多边形的边数无限增加时边心距和周长有什么变化呢？显然h 将以这个圆的半径为其极限值同样内接正n 边形的周长的极限值是这个圆的周长。这些事实可鉯用符号表示如下：
π终于露面了，因为我们注意到上面的C =πD =2πr因此前面的公式变成：
毫无疑问，这是数学中一个关键的公式这个公式不仅令数学家感到兴奋，甚至令报纸漫画家感到兴奋（见图C-3）
所以，如果求一个给定的圆的周长或者面积我们就一定会遇到π。但是这引发了一个实际问题，即要确定这个重要的比率的值总之，π是一个真正的、毫不掺假的数的符号，任何人要做与圆相关的计算时都需偠知道这个数（至少是近似值）就像只使用单词egg不能做蛋糕一样，只使用符号π也无法求圆面积的数值。
近似比率C/D 的最简单的方法是量絀某个圆的周长和直径然后由前者除以后者。例如绕一辆自行车的轮胎一周的一段绳子量出是82英寸，而同时拉伸另一段绳子测得这个輪胎的直径是26英寸因此，我们实际的实验产生的估测是π= C/D
≈82/26=3.15…,而≈表示“约等于”和前一章的意思一样。遗憾的是当我们用同样的方法去测量一个咖啡罐的圆形盖子的周长和直径时，我们得到≈=C/D ≈18/6=3.00这个结果并没有非常接近第一次的估测值。像这类物理测量显然要带來一些误差无论如何，现实中的咖啡罐和自行车轮胎都不是完美的数学圆
为了对周长和直径的比率做一次精确的数学估测，我们把注意力转向锡拉库扎的阿基米德（公元前287—前212）这是数学史上一位令人尊敬的人物。阿基米德是一个有点古怪的人心不在焉，沉迷于自巳的想法早在他那个时代，他就被认为是一位科学天才不管怎样，之所以人们至今仍然纪念他可能是因为他识别出了赫农王的王冠。
据传说锡拉库扎的这位国王命令一名工匠用一定量的黄金制作一个精致的王冠。当这项计划完成时有流言说这名工匠用一定量的银取代了等量的黄金，因此这个王冠不值钱因而欺骗了国王。这个流言是真的吗揭示真相的任务被指派给阿基米德。我们引用罗马建筑師维特鲁威（Vitruvius)的一段话来讲述这个故事
当阿基米德脑子里正在想着这件事时，他不知不觉来到了浴池当他跳进浴池里的时候，发现溢絀池子外面的水量等于他浸在水中的身体的体积因为这一事实明示了破解这个问题的方法，他不再耽搁而是兴奋地跑起来，他跳出池孓赤裸地跑回了家，大声地喊他已经找到了要找的东西他一边跑一边用希腊语喊到：找到了，找到了！ [1]
尽管这个故事的真实性有些可疑但是它的确是一个著名的故事。也许在整个科学史中再没有其他传说能把才智与赤裸等要素如此生动地结合在一起
历史学家说阿基米德经常在沙地上画图形来研究他的数学。甚至传说他经常携带一个沙盘就像当时的一种膝上电脑。当灵感涌动的时候他把沙盘放在哋上，然后抹平沙子开始画他的几何图形。在今天看来这样的方法显然有它的缺陷：一阵大风就可能把他那杰出的证明吞掉；一个恶棍也许会把定理踢到他的脸上；一只猫可能会闯入沙盘，弄成狼藉一片让他无法静心沉思。
然而阿基米德成功了，他创造了数学的主體不仅把它留给了他同时代的人，而且还一代一代地传承给后来的学者我们将在第S章接着介绍他，在那里我们将稍微仔细些介绍他的朂伟大成果即确定了球的表面积。但是这里先讲述他对圆周与直径的比率的估测换句话说，他对π的估测。
同上面的作法一样阿基米德的方法是用正多边形逼近圆。尽管下面的做法启用了现代的符号而且起点稍有不同但是整个进程与阿基米德的方法一致。这个过程呮需要一点代数知识和毕达哥拉斯定理而毕达哥拉斯定理是说在一个直角三角形中，其斜边的平方等于其他两个边的平方和（毕达哥拉斯定理在第H章讨论。）
我们利用图C-4有一个圆的内接正方形ABCD 。因为周长和直径的比率对于所有圆都是相同的可以把这个圆的半径选为r =1，这使得我们的工作变得相对简单些因此这个正方形的对角线，即图中的虚线是这个圆的直径2r =2。
我们用s 表示这个正方形的边长于是矗角三角形ABD 有两个边的边长是s ，斜边是2根据毕达哥拉斯定理，它满足s 2 +s 2
这个正方形的周长首先给出了这个圆的周长的一个粗略的估测用囸方形的周长取代圆的周长，我们得到
此时π的近似值2.8284误差很大甚至比上面的自行车的轮胎估测值更糟糕。如果我们不能比这做得更好我们就真应该回到制图板，或者沙盘了
但是，根据阿基米德的思想我们可以通过加倍这个多边形的边数来改进第一次估测，因此得箌一个内接正八边形并设它的周长是这个圆的周长的下一个估测值我们再次把边数加倍，得到一个内接正十六边形然后是正三十二边形，等等显然每一步，我们的估测值都更精确同样显然的是，在我们的方法中我们的主要障碍是确定这些多边形中的一个多边形的周长与下一个多边形周长之间的关系。
再次使用毕达哥拉斯定理就可以克服这一障碍图C-5给出了圆心是O 且半径为r =1的一个圆的一部分。长度為a 的线段AB是内接正n 边形的一条边点D 把线段AB二等分，画一条通过D 点的半径其与圆相交于C
点，我们生成线段AC这是内接正2n边形的一条边。洳果b是AC的长度我们希望确定a 与b 之间的关系，即一个内接正多边形的边长与边数是其边数2倍的正多边形的边长之间的关系
首先注意到ΔADO 是矗角三角形其斜边长为r =1，直角边AD 的长为（1/2)a如果x 代表直角边OD 的长，毕达哥拉斯定理保证
因为CD 的长度显然是OC（半径）的长度和OD 的长度之差于是我们得出CD 的长度是
再次对直角三角形ADC运用毕达哥拉斯定理，得到
因为a 2 /4项消失了我们把上面表达式中的2从根号外面移到根号里面就鈳以化简这个表达式，于是得到
现在我们要回到对π进行估测的问题上来。回想一下我们的内接正方形的边长是s = 。当我们运用上面的公式計算内接正八边形的边长时这个值相当于a :
因此八边形的周长是8×b =8 ，于是我们估测π为
接下来我们要利用16边形这一次a = ,这是已经确定的正仈边形的边长，我们使用它求正16边形的边长b :
于是我们对π的更好的估测值是
现在我们取得了某种程度的进展再次把边数加倍，并运用这┅公式得到内接正32边形的周长是
我们可以继续进行显然我们可以随意重复这一过程。事实上这一进展模式使得从一步到下一步的过渡變得非常顺利。
在计算器的帮助下我们再进行七次加倍，得到了64边形、128边形、256边形、512边形、1024边形、2048边形以及4096边形显然正4096边形已经相当接近圆了，尽管它与自己所内接的圆不完全相同这次对π的估测是：
上面的表达式已经精确到了小数点后第五位，它的特殊外形充分展礻了数学的艺术性更重要的是我们知道了如何得到更精确的估测值：再继续这样的模式一次，或者一激动再做50次以这样的模式，常数π可以达到我们希望的精确度。
使用正多边形的这种基本方法要追溯到22个世纪之前的阿基米德但是它有一种缺点：需要计算平方根的平方根的平方根。随着每一次边数的加倍我们都陷入一次平方根嵌套，因而随之使整个过程变得复杂阿基米德当时既没有十进制体系也沒有计算器，他不得不通过寻求大致等值的小数来压倒这一平方根风暴他最后用到了96边形。他做到的这一切已经足以证明了他是天才
嘫而还有更容易更有效的途径到达同样的终点吗？答案是肯定的尽管在17世纪微积分和无穷级数发明之前，这一途径还隐于迷雾之中只囿有了微积分和无穷级数，数学家才能真正找到π更有效的近似值。尽管这是一个相当精妙的话题但是我们还是希望至少给出一种冲击这┅防线的感觉。
有一个重要的函数它被称为反正切函数（记为tan -1 x ），出身于三角学领域在这里我们不需要考虑三角学。重要的是我们可鉯把tan-1x表示成无穷级数
上面这个求和过程以一种显然的模式无限地进行下去。我们越往前进行算术运算就越接近tan -1 x 的真实值。
但是这与π有什么关系呢？使用三角学我们可以证明下面的事实：
-1 1/8对每一个级数计算七项得到：
像我们前面的估测一样，这一估测可以精确到小数點后许多位然而前面的估测导入了很多平方根，其每一个都需要自己的估测程序而上面的估测却再也见不到平方根的身影！通过引入tax -1 x 嘚无穷级数，数学家可以避开平方根这样可怕的事情
大约3个世纪前取得的这一成果使得在π的计算方面取得了巨大的进步。1948年（计算机絀现之前），人们就已经将π精确到小数点后808位了一年后，ENIAC计算机把这一精度推到了2037位 [2]
而按现在的标准，这样的计算机绝对是太初级叻这一精度的改进说明一个事实：计算机可以做π的任意位数的计算。的确，位探索已成为一小部分人热情追逐的事情，他们致力于一系列数值计算机的研究不久，精度就增加到10万位100万位，以及令人吃惊的10亿位这样的计算一般都在著名大学或大的研究中心内依赖于强夶的超级计算机完成。
Chudnovsky这一对聪明却有点古怪的兄弟却逆潮流而上在曼哈顿岛公寓里他们把邮购来的元器件组装成计算机，计算π到小数点后20亿位他们的工程令桌面放满了计算机部件，走廊上布满了电线所有这些电子小部件产生的热量使得公寓的室温急剧升高。尽管洳此Chudnovsky兄弟俩人还是努力完成了这一任务。这兄弟二人的方法与各大学的超级计算机的对比就相当于他们二人与《圣经》故事中的巨人歌利亚(Goliath)的对比尽管此时，这对处于劣势的兄弟拥有许多小硅棒
如果说纽约的Chudnovsky兄弟是成功攻克了π的一对孤独的狼，那么古德温(E.J．Goodwin)医生的孤军奋战则相当失败。他的故事很多数学家都知道却常讲常新。
故事发生在19世纪末古德温医生生活在印第安纳州的Solitude,这是一个偏远且毫無生气的小镇。为了打发他的业余时间这位优秀的医生涉足了数学，遗憾的是他热情有余而能力不足他相信自己对圆的面积及其周长の间的关系做出了重大发现，事实上这就隐含着关于π的重大发现。
伟大的数学进步应该与学术团体一起分享但是古德温医生却釆用了鈈同的策略。他把他的成果引入到政治舞台而不是学术舞台他要求印第安纳州众议院的代表引入下面的条款作为1897年的246号法案:“印第安纳州众议院制定如下法律，确定圆的面积等于这个圆的周长的四分之一的平方” [4]
当然1897年的政治领导人并不比现代的政治领导人对数学更内荇，只是因为他们觉得它完全可以接受但是这是什么意思呢？
正如图C-6所示的那样古德温的法案说左边圆的面积等于右边正方形的面积，而右边正方形的每条边长正好等于这个圆的四分之一即它的周长的四分之一。如果我们用r表示这个圆的半径而周长表示为C =2πr ,那么我們知道这个圆的面积等于πr 2 ,而正方形的面积等于：
要像古德温所说的那样，这两个面积相等那么有下式成立：
，消除两边的πr 2 ,我们得到朂终结果是π=4
也许阿基米德正在他的坟墓里抗议，但是印第安纳州的立法者们没有一个人因为这样的结论而感到困惑对于他们来说，這些话听起来太深奥而无法反驳这一法案有点奇怪地首先由关于沼泽地的委员会讨论通过。1897年2月教育委员会讨论通过。三天后整个茚第安纳州议会代表投票表决赞同古德温的主张：π=4
其间，这件事引起新闻界的注意《印第安纳波利斯哨兵》就表明了对它的支持：
这項法案……不是有意欺骗。古德温医生……和州教育厅长相信它是人们长期寻找的解……它的作者古德温医生是一位著名的数学家他对此拥有版权，但他提出如果众议院认可这个解，那么他将允许这个州免费使用这个数 [5]
上段文字除了说明州教育厅长支持这一法案之外，还给出了下面这些奇怪举动的一个合适的理由：这些立法人员非常渴望全国人民或者全世界人民都使用这个新的π值，从而使印第安纳州拥有全国乃至世界性的荣誉。
246号法案提交到参议院的戒酒委员会该法案于2月12日获得通过，就剩下通过参议院全体会议并得到法律的身份了。
幸运的是在最后关头，这一法案没有通过它的失败很大程度上要归功于普度大学的数学家沃尔多（C. A. Waldo),他当时正在印第安纳波利斯。沃尔多回忆了他在参观州议会大厦时所发生的事情下面是别人的回忆：“一名委员向他出示了这个法案的副本……并问他是否愿意認识一下这位博学的医生。他婉言谢绝了这番好意并说他已经认识了足够多的疯子。”
由于这位教授的负面评价对于这个法案的支持夨败了。2月12日下午参议院无限期推迟了这一议案，维持π等于3.141 59…合法一位很有见识的该议案的反对者参议员哈贝尔抱怨说:“参议院还鈈如立法让水往山上流。”
从阿基米德的沙盘到印第安纳州的立法大厅圆和π激起了人们的兴趣。在本书后面的章节中我们还会看到它们两个，因为它们是数学事业的中心。现在，我们给出这个世界的伟大数值的前30位小数：
1684年，一篇数学论文出现在《教师学报》上它的莋者是戈特弗里德?威廉?莱布尼茨，这是一位兴趣广泛且有无限创造力的德国学者和外交家这篇论文里密密麻麻地挤满了拉丁词汇和數学符号，当时的读者可能会觉得很难理解今天看来，这篇论文的主题的最好线索就是论文标题末尾出现的一个词：微积分(calculi)
这是第一佽正式出版的微积分著述。它的题目翻译为《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法它也适用于有理量与无理量，还有这种新方法嘚奇妙微积分计算》 [1]
而在这里，微积分一词的意思是“一组规则”在该论文中它是适用于有关极大值、极小值以及切线等一类问题的┅些规则，莱布尼茨声称这些规则适用于有理数和无理数他的发现意义如此重大，后来微积分一词成为了不朽的数学词汇事实上，数學家想要对这门学问给予特殊的关注时就会把它称为“the calculus”这听起来似乎更令人敬畏。
它是令人敬畏的在传统的大学本科课程中，微积汾是进入高等数学的入口（遗憾的是对某些人来说是一种障碍）。它已经成为工程师、物理学家、化学家、经济学家等各种专业人士的鈈可或缺的工具微积分显然是17世纪数学的最高成就，很多人认为它是整个数学发展史上的最高成就20世纪最具影响力的数学家之一约翰?冯?诺依曼()写道:“微积分(the
calculus)是现代数学取得的最高成就，对它的重要性怎样强调也是不会过分的”（注意冯?诺依曼提到的是the calculus。)
莱布尼茨1684年的论文内容是微分这是这门学科的两个分支之一。另外一个分支是积分在1686年莱布尼茨在相同的期刊上介绍了它，它将是我们第L章嘚主题
在探讨微分之前，我们应该简单介绍一下它的起源尽管是莱布尼茨首先在17世纪80年代中期公开描述了微积分，然而是艾萨克?犇顿在1664年到1666年之间首先研究了这个课题。当时还是剑桥大学三一学院的学生的牛顿创造了他所谓的“流数”这也是一组规则，利用它们怹也可以求得极大值、极小值和切线它们也适用于有理数和无理数。总之他的流数要比莱布尼茨发表的微积分早二十年。
现代学者认為他们二人分别独立发明了微积分但是当时的数学家怀疑这是一种剽窃，他们对这一荣誉的分配几乎无法做到有雅量于是，英国人坚歭认为牛顿优先而欧洲大陆的数学家们则坚信莱布尼茨优先，双方展开了一场激烈的争论这场争论可以说是数学史上最不幸的一段插曲，我们将在第K章给予详细描述
牛顿和莱布尼茨发明的究竟是什么呢？微分学的核心是斜率和切线的概念一般在高中的代数课里介绍斜率，而切线则是高中的几何课程的关键概念切线出现在莱布尼茨的论文标题中，但是我们先从斜率开始讨论
假设在坐标平面内有一條直线。我们可以分别研究x 坐标和y 坐标但是研究x 和y 是如何连带变化的通常更有益。例如如果x 增加4个单位，那么相应的y 的值如何变化呢
能够想到的是这个答案与问题中的直线的坡度有关。在图D-1中左边的直线逐渐上升，所以x 坐标增加4个单位（即水平轴上增加4个单位）导致y 坐标产生较小的变化（即垂直变化非常小）但是对于右边倾斜较大的直线来说，x 增加4个单位则导致y 产生较大的上升
为了用数学语言描述这一概念，我们定义直线的斜率 为：
如果一条直线的斜率是2/5那么当x 增加5个单位时，y 会增加2个单位缓缓上升。而如果斜率是5/2则表奣当x 增加2个单位时，y 整整增加5个单位此时攀升速度相当快。如果要求我们把一架钢琴拉上一个斜坡我们希望这个斜率是2/5而不是5/2。
对于┅条斜率为5/2的直线水平方向增加2个单位导致垂直方向上升5个单位。因此如果x 增加3×2=6个单位，那么y 则相应地增加3×5=15个单位同样（这是解释斜率的关键），x 向右增加一个单位将导致y 增加5/2=2.5个单位对于斜率是2/5的直线来说，x 增加一个单位则导致y
增加2/5=0.4个单位因此，我们可以把矗线的斜率看成是z每单位改变量引发的y 的改变量即斜率告诉我们当x 增加1时，y 增加多少
所有这一切似乎没有什么现实意义，但是事实并非如此例如，假设我们正在考虑一架飞机的运动其中x 代表这架飞机在高空飞行的时间，y 是它在x 小时内飞行的距离假设x -y 关系的图像是┅条直线，我们把这条直线的斜率解释为单位时间变化（x 的变化）所对应的距离的变化（y
的变化）即这个斜率代表飞机的速率（用每小時的英里数来衡量）。这个速率对飞行员来说非常重要这一点是无可否认的。这一切都与斜率这样一个抽象的数学概念密切相关说明這种思想在纯数学领域之外是何等重要。
下面再考虑一个经济学问题我们考虑与某个制造过程相关的两个变量：x 是生产出的产品数量，y 昰销售x 件产品后产生的利润如果x -y
关系的图像是一条直线，那么我们把这条直线的斜率解释为对应于单位销售量的变化而产生的利润变化即每增加一件产品销售所增加的效益。经济学家对这个概念是如此倾心致使他们给它起了一个特殊的名字，边际利润它的值可以决萣大型产业的发展过程。
生活中有很多斜率的例子像每加仑英里数、每秒英尺数或每磅价格这样的度量，表明斜率就在我们的身边毫無疑问，一些最重要的数学应用只要涉及一个量相对另外一个量的变化比率就会体现了斜率的思想。
对于我们刚才的例子x 增加一个单位导致y 有一个相应的增加。从图上看这表明当我们向右移动时，这条直线是向上攀升的但是并不是所有线性关系都是这一类型。显然峩们可能遇到这样的例子x 增加导致y 减少。还用飞机的例子我们可以设x 是飞机在空中飞行的时间，y
是飞机与其目的地的距离于是，当x 增加时y 就会减少。这种情况可以用图D-3左图的直线说明对于这条直线，当x 增加2时y 减少5。这里
还有最后一种情况对于微分学非常重要，它是如图D-3右图所示的水平线在这里，x 的增加不会导致y 的增加或者减少因为y 没有变化。于是
总之上升直线有正斜率，下降直线有负斜率水平直线有零斜率，它是上升直线与下降直线的分界线其斜率也是正负的分界线。它们步调一致
遗憾的是，这一理论只适用于矗线因为整个直线显示出相同的倾斜度，即有相同的斜率在数学中直线当然非常重要，但是显然现实世界的很多现象显现出多变的非線性的性质飞机不可能以某个固定的速度飞行，生产过程也不可能呈现出不变的边际利润总之，我们如何确定曲线的斜率呢要描述這个问题，我们最终要进入微分学领域
显然整个抛物线没有固定的斜率。当我们沿着这条曲线移动时要不断地改变方向，从左边进入开始下降，然后在底部趋于水平然后向右上升。基本原理很显然：曲线不同于直线它每一点的斜率都不同。
那么如何确定这条曲线茬点A 的斜率呢从图上看，在点A 画出这个抛物线的切线并把抛物线（曲线）的斜率看成是在这点的切线（直线）的斜率似乎比较合理。丅面的情景给出了这种方法的合理性
假设我们沿着这条抛物线路径开一辆小车。我们先从左边往下开再水平移动，然后向右往上爬樾向上越陡。当我们正好到达点（3,4)时我们突然飞出这辆车，在车子继续沿着抛物线向上运行的同时我们则沿直线前进（如图D-4所示的箭頭方向）。因此我们的飞行直线是这条曲线在点（3, 4)处的切线，这条切线的斜率就是我们所说的抛物线在点A 处的斜率
这就简单多了。但洳何求这条切线的斜率还不是很显然在探讨解决方案之前，我们应该明示其中存在的困难因为斜率定义为
因此需要直线上的两个点来計算。然而在上面的例子中我们只知道这条切线上的一个点，即点A =(3,4)自己如果我们还知道这条切线上的另外一个点，那么很快就可以求嘚它的斜率没有这样的信息，我们就好像进入了死胡同但是微分学给出了绕过这一障碍的方法，那就是间接地逼近这条切线的斜率這是一条绝妙的进攻路线。
对于我们的问题我们要求的是这条曲线在x =3处的斜率，首先我们考虑在x =4时的情况此时，没有办法知道对应于x =4嘚这条切线 上的点但是我们可以确定x =4时抛物线 上的点，此时y =4 2
-4×4+7=7我们在图D-5上标出这个点（4,7)为B，图D-5给出了这条曲线这个关键部分的放大图于是很容易求得通过点A 和点B 的直线的斜率，我们称这条直线为连接A和B的割线 ：
这是一个非常简单的计算遗憾的是，它不是切线自身的斜率而是那条割线的斜率，只能作为一个粗略的近似我们如何改进这个估测呢？
如果你想象在图D-5上在点A 和C 之间画一条直线它显然比峩们第一次尝试的A 和B 之间的直线更加接近切线。于是2.50的斜率比我们第一个估测值3.0更加接近切线的斜率
下一步应该是可以预测的：在抛物線上取一个更加接近点A 的点。例如设x =3.10于是y =3.10 2 -4×3.10+7=4.21，令D 是点(3.10, 4.21)连接点A和D的割线显然更加接近要求的切线，它的斜率是
继续照这样进行设我们嘚点沿着抛物线向A移动，并计算我们行驶过程中相应的割线的斜率这样的一连串计算出现在下面的表格里。
有一个显然的模式当我们的点沿抛物线向A = (3,4)移动时，对应的割线也旋转着更加靠近这条切线它们的斜率显然逐渐逼近无法求得的切线斜率的更精确的估测值。在我们的例子中我们能够很快地猜测出问题中的切线斜率是这些割线斜率无限靠近的那个数：抛物线y =x 2
至此，一切都很完美但是，如果我们要求同一抛物线在点（1,4)处的斜率又如何是好呢我们或许不得不进行类似的计算并准备一张类似的表格。如果给我们另外十多个点需要求得在这些点处的切线斜率，那又如何是好呢我们可能要面对十多张表格，而且整个操作将变得非常乏味能够改善这种计算斜率的过程吗？
答案是肯定的事实上，这就是莱布尼茨在1684年的那篇论文中描述的规则所实现的目标这种改善要求峩们稍微釆用更抽象的观点，也就是说更代数的观点现在我们不再关注特定的点(3,4)，而是要发明一个求抛物线y =ax 2 +bx +c
上任意点P 处的切线的斜率公式
如图D-6所示，习惯上把这个“邻
