背包是户外运动当中的核心装备。户外背包区别于普通背包，拥有背负系统和为各个户外项目所设计的针对性。户外背包的选择，要根据自己的出行情况选择不同容量和款式。一款优秀的背包，是户外出行的良好保障。
很早之前就留意过HMG的4400，可惜一直没有机会使用。这次为了去乌孙，专门买了一个。走出来了以后让我非常失望，今天就给准备买的朋友说说这个包。
作者：troyliang7993&&来源于：8264社区
很荣幸参与了KAILAS春夏新品 Beatles甲壳虫背包测评招募活动，在此给大家带来我的使用测评报告：
产品背景：
引用官方宣传语：
Beatles甲壳虫
KAILAS春夏系列背包
独具匠心的设计
精致的加工工艺
众所周知的可靠性
多运动场景使用
誓要做你一辈子的老铁
夏季正是外出嗨皮的好季节
少不了凹造型拍美照
但自己身材颜值都在线
作者：jy1877431&&来源于：8264社区
路客携三合一背包和儿童夜光睡袋参展，登山包容量足有65L。
作者：8264乌孙&&来源于：8264社区
说起凯乐石，基本上玩儿户外的人都不会陌生，作为少数几个在户外用户中口碑一流的国内品牌之一，凯乐石在户外市场的占有份额特别是国内市场，是比较高的，涉及的项目也非常多，从入门户外到专业极限，包括众多国际极限运动赛事，都能看到凯乐石的身影。
作者：Scorpio、&&来源于：8264社区
这是一款多功能的，介于户外和商务休闲之间，属于偏休闲的风格，不仅能攀岩的时候装衣服，装鞋子，也能登山，骑行，短途旅行来背，各种场合，各种场景都不会违合，都很有时尚感
作者：西安玉米&&来源于：8264社区
今天给大家带来一款好看好玩的包包——Beatles甲壳虫，Beatles甲壳虫是KAILAS凯乐石2018年春夏新款系列背包，那么究竟为何将一款背包的名字称之甲壳虫呢？
如上图所谓，为何将一款背包的名字呢？——因为长得像甲壳虫。其实关于甲壳虫有意思个有意思的传说~传说的结果就是其在埃及众神之中地位超然，被尊称为圣甲虫，而品牌方或许就是想设计这么一款在背包届的甲壳虫。
拿到包初步看了看摸了摸和市
作者：grayson小飞&&来源于：8264社区
前不久，去荷兰和波兰参加两个自行车比赛，Hummer Series Limberg林堡锤子赛和Media World Cup媒体世界杯。行程半个月，路径波兰、比利时、荷兰、德国，印象里飞来飞去的样子。需要携带骑行装备、日常服装、各种小物件。行前还纠结了一阵子，用什么包带东西。朋友给了一个Patagonia Black Hole 60L用着很不错，推荐给各位。
一、容量：这趟行
作者：Lamole&&来源于：8264社区
今天我们来聊聊Osprey，前几年很多朋友刚入户外坑的时候，初次接触的背包品牌无非是两个：GG和O。GG被韦恩老爷卖给了新秀丽，而O一直还保持着美国户外背包市场占有率前三。
作者：Lamole&&来源于：8264社区
一款适宜的背包是户外最重要的装备之一。也只有背负舒适、装载多样、结实耐用、外形醒目的背包才能是一款适宜性强的户外背包。如此才能在活动中给我们带来舒适的体验。Deuter多特Futura福特拉24就是一款这样的背包。关于多特，这个德国的创始于1898年的户外背包专业品牌, 在上世纪30年代研发了第一款登上8000米高峰的背包开始。从此奠定Deuter 品牌的发展进程。
作者：zhoulong3303&&来源于：8264社区
水壶腰包，经常跑步、越野或者户外的朋友应该很熟悉了，作为5-15公里左右的短途、低强度运动的轻便装载包，是我们日常拉链、训练的必备用品。
DOITE的包，在我印象中一直是物美价廉的存在。新推出的水壶背包，是否继承了这个优良传统呢？
这款腰包采用置物仓和水壶仓蝶形对称设计，这样的设计配重比较均衡，左右对称，运动时会比较舒适。灰/蓝/白的配色很低调，好处是不挑人，很容易搭配各种服装。
作者：绿色使者&&来源于：8264社区
前言：对于夏季户外运动，特别是短途出行的人来讲，总是希望携带一个足够轻便背包，来减轻夏季出行的负担。今天就给大家带来一款Doite6830 骑行背包的评测分享，这款包包容量只有6L,可作为骑行包使用，也可以单纯用于登山户外携带2L的水袋，也就是成人一天的饮水量。
DOITE是专业的户外背包品牌，也是南美最大的户外用品商之一。国内目前网售的DOITE产品也以骑行包、自行车驮
作者：绿色使者&&来源于：8264社区
很多朋友户外出行时，都会选择一款背包装载随身携带的物品，但就双肩包而言，种类繁多。户外旅行背包、商务旅行背包、户外徒步背包、户外登山背包等等……往往都容易被混淆，作用不同，功能不同，在购买前要了解清楚。当你只是短途野营时，却选择了一款50L～80L的长线背包，那它对于你的出行来说，就是一个累赘，阻碍你享受轻松愉快的出行体验。
不同的出行方式下如何选择一款好用的背包?
作者：绿色使者&&来源于：8264社区
把花岗岩雪豹58的背板玩绷了以后，我考虑过再买一个包，找了一圈感觉除了SIMOND的一款55+10包还比较顺眼之外，就是派格的谢霆锋同款，主要是谢霆锋加持。
又权衡一番，还是觉得不够理想，主要还是受限于囊中羞涩，期间还给安飞龙打过一个电话，结果是给换一块背板要400块，呵呵，往后安飞龙也别想从我这里赚到一分钱了。
临近清明了，才决定搞一个简易背架来玩，然后就愉快
作者：kaiyue1989&&来源于：8264社区
一直很喜欢DIY改造背负，虽然做的很丑，都是自己用用也没关系了。之前一直相中阿迪达斯BOOST鞋底材料,超轻回弹好，个人也觉得挺适合作为各种包类背负系统的，但是目前好像也还没有看见哪家大牌包开发新款式也是用BOOST材料的，估计也是因为价格的因素吧。
作者：eddyng&&来源于：8264社区
某天晚上，云层与魔爪，在我沙发上，相遇了，第一回合，比腰；不同背负，不同感受，各有千秋。第二回合，比臀，云层用料好；第三回合，比肩，云层厚硬，魔爪薄软，云层填充材质会从网布里出来毛毛。
第四回合，比腰
魔爪杨柳小蛮腰，弱柳扶风。。。
云层英姿飒爽。。。
看自己喜好
第五回合，比有容
作者：有组织无纪律&&来源于：8264社区
小O之缘始于苍穹，时年大二，闲，寄情山野。兄长游学美利坚，知吾志，以苍穹赠之，祝吾高飞，直冲九天，自由无缚。至今三年有余矣，吾已校堂入凡世，日日逐利为财忙，苍穹挂白墙，负之愧之久矣。 。
初闻气流反重力，日思夜寐不得见，遂购之于淘。装营寨于之赴五岳，携行囊于之走西北。好虽好，奈何与苍穹类，二舍一，兄长之馈赠不可舍，遂挂于咸鱼，随风去。
初入山野闻鹞鹰，未见其人，先闻其声。苍穹
作者：有组织无纪律&&来源于：8264社区
春暖花开，万物复苏，又到了出去踏青的季节，对于蛰伏了许久的人们来说，来一场说走就走的短途旅行，从喧嚣的都市生活中解放自己是再好不过的体验了。
出行少不了收拾行囊，今天给大家介绍的“朋友”特别适合作为短途出行的贴身“伴侣”，Ta就是surpasserIV35双肩包。
超大容量主仓+各种细节袋设计，就是这么能装
虽说是短途旅行，本以为装不了太多东西，但每
作者：琳琅小狼&&来源于：8264社区
轻量化的时代啊之前一直玩神秘农场，然后看到草哥的军版花岗岩，想想自己还没玩过，也没见过，就收了一个，可惜他的架子不出，忧伤！这次我的6500就作为陪衬，帮助介绍下这款包，毕竟神农比较众所周知点，哈哈作为苦
作者：0大兵0&&来源于：8264社区
背包对于在路上人来说是具有象征意义的装备，有的装着对家乡的思念，有的装着对自由的向往，夸张的说甚至装着背包客的整个世界…所以有人听到《你的背包》就红了眼眶。
作为一个闲不住的户外爱好者，不管是徒步旅行还是日常差旅，随身背包绝对是旅途中的必需品，因此在选择时就会格外的较真，种草已久诺诗兰（Northland）Vienna25旅行双肩包到手，快让我好好嘚瑟一下。
颜值即是正义
作者：琳琅小狼&&来源于：8264社区
UD 4.0背心整体蓝色布面均为弹力面料，材质触感（裸背）更加柔软贴合。配色由之前3.0的白蓝浅色系过渡到较为暗深的蓝、墨蓝色系。
如果视3.0的色卡是蓝天白云、雪山，那么4.0一定是这幅美景倒映在高山湖水中的颜色， ...
作者：深圳喜马拉雅&&来源于：8264社区
MAMMUT猛犸象RideShortRemovableAirbag3.0是一款为女性、儿童和身材小巧的男士设计的短框架气囊背包。而新款RideShortRemovableAirbag3.0和旧款外形基本一样，衬板使用了贴合身体成行和具有支撑性的泡沫和纤维，背负 ...
作者：MAMMUT猛犸象&&来源于：8264社区
2018，osprey推出了重磅级产品，重量仅有800g的Levity/女Lumina系列背包，正式进军UL包领域，同时对经典款Exos飘逸系列进行了升级，增加了女款Eja系列；Gregory也推出了自家第一款轻量化背包，重量1.1kg的Optic/Octa ...
作者：丢哥&&来源于：8264社区
我也不知道哪听来的有人是这么点评的，强度神农＞犀牛＞花岗岩 重量的转移上犀牛＞神农＞花岗岩
重量上花岗岩＜犀牛＜神农
我先来讲讲神农架子我用下来的感觉优点：请问神农的粉，我这就讲缺点
缺点：重量（军品的 ...
作者：0大兵0&&来源于：8264社区
这两天在整理自己的装备库，翻出来不少用过的背包，看着这些宝贝不禁些须感慨。作为一名户外背包的发烧友，曾经入手过很多品牌和款型/版别的背包，既有DANA、始祖鸟、OSPREY、GREGORY等知名大牌，也有AARN、MILLICAN ...
作者：admin&&来源于：8264
在大多数时候，我一直认同“不同的人有不同的行事方式”这个观点。然而在“徒步旅行”打包随身背包这件事中，是不会存在着很多千差万别打包装备方式的。因为在背包有限的三维空间中，高利用率地组织空间，合理的打包 ...
作者：GearKr&&来源于：8264
Doite专注于背包的研发和生产，轻盈、通爽、耐用已经是Doite背包的代名词，品质专业、产品实惠一直是品牌的理念。年终大促价179元：一款高性价比的专业包是很多旅行者的需求。这款doite背包正常售价582元，年终大促的 ...
作者：8264编辑中心&&来源于：8264
常常去户外徒步登山的时候气喘呼呼，觉得怎么样也跟不上同行的队友?当然锻炼体力是一个解决问题根本的办法，但减轻背上的背包是另外一个立竿见影的特效药，而且没有副作用！这个道理很简单，就像是去健身房做重量训练 ...
作者： Hanchor&&来源于：买户外
当你要从事任何活动，如果要带的东西比口袋装得下的还要来的多，你就需要一个小背包，通过以下文章的分析和介绍，你将对小背包有更多了解。一、有顶袋或是无顶袋的款式：无顶袋的款式：无顶袋的小背包利用倒U形的拉链 ...
作者：网络&&来源于：网络
大小大有差别一般所说的大型户外背包，通常指的是60升以上的背包。不过即使如此，这些背包也不是每个容量都能适合你的行程。背包上所代表的数字可是有不同的意义，60升应该是大型背包的基本容量。一般来说，在春、夏 ...
作者：8264编辑中心&&来源于：8264
去年就已经对OSPREY的黑科技“反重力”背负系统长草，当时手上有老款小鹰38L、魔爪22L，平时都够用，也就作罢。今年9月骑摩托车摔了一跤，把魔爪22L摔破了，本来想寄去OSPREY维修，媳妇嫌不吉利，就把包给扔了，于是 ...
作者：li_ly&&来源于：8264【后产品介绍】_后原创文章_WHOO晒单_什么值得买
当前位置：
05-11 19:30
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用户名/邮箱
两周内免登录忘记密码？如图我使用了随机招募，刚开始刚开始还好像看到一个银色箱子进背包一看什么都没有-
如图我使用了随机招募，刚开始刚开始还好像看到一个银色箱子进背包一看什么都没有
作者：本站编辑
&&&&&投稿日期：
教堂的门先不用管。直接跳过断桥进入下个区域等你按照剧情顺序打死两个BOSS之后会回到这个地方教堂后有个盘子，输入3344333（好像是这个啊，要么就是3344433，差不多的）拿了宝石，然后用刚才途中拿到的圣物放进去，教堂门就开了小剧透：教堂里会出现女主角和第一次见最终BOSS
如图我使用了随机招募,刚开始刚开始还好像看到一个银色箱子进背包一看什么都没有：
教堂的门先不用管。直接跳过断桥进入下个区域 等你按照剧情顺序打死两个BOSS之后会回到这个地方 教堂...
如图我使用了随机招募,刚开始刚开始还好像看到一个银色箱子进背包一看什么都没有,武将和将魂都没有：
您好,您可以与客服沟通处理,我试过好几次,沟通后他们给我返还了将魂,手机互通版的三国杀online的...
如图我使用了随机招募,刚开始刚开始还好像看到一个银色箱子进背包一看什么都没有这是为什么?：
直接获得,去武将里面看,你要找一会儿, 还有不推荐新手随机,全是懒得,不如存着弄好的
丝路英雄随机招募的瞬间完成概率怎么算?：
随机招募第一次100%可以瞬间招出兵来,以后次数用的越多成功几率越小,建议可以使用,前几次用的时候最...
新版三国杀ol银两随机招募划算吗：
一个随机招募是4000银两,如果你的武将已经很多了那就不划算很容易重复,如果你武将很少招募的话也还可...
rimworld 招募囚犯 随机的吗：
造一个床,用围墙围起来,然后点击床设置为囚犯使用,这就是囚犯床。 另外如果同时设置床为医疗床和囚犯床...
谁有好用的彩票随机选号软件?：
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魔兽世界6.0 85记一下玩家不能用随机副本查找器了?今天我招募朋友一起练小号 在10的时候 看到：
小号要到15级才能用随机副本,还有就是这几天才更新了游戏,BUG很多,90级目前都进步了随机副本,是...
战友已经绑定,我个人想在另一个区练一个号,他想在本区练号,我们一起排随机本还有三倍经验么?：
好像是不行 你仔细看下那个招募的说明 我记得是同服务器同阵营来着
自己招募队员怎么获得随机奖励：
在游戏里面的好友列表里面领龋 现在招募也是直接在游戏里面招募了,当对方消耗完时间玩家会在游戏里面得到...【转】背包九讲-dd_engi-第一部分
转载：dd_engi 的背包九讲
本篇文章是我正在进行中的一个雄心勃勃的写作计划的一部分，这个计划的内容是写作一份较为完善的难度的动态规划总结，名为《解动态规划题的基本思考方式》。现在你看到的是这个写作计划最先发布的一部分。
背包问题是一个经典的动态规划模型。它既简单形象容易理解，又在某种程度上能够揭示动态规划的本质，故不少教材都把它作为动态规划部分的第一道例题，我也将它放在我的写作计划的第一部分。
读本文最重要的是思考。因为我的语言和写作方式向来不以易于理解为长，思路也偶有跳跃的地方，后面更有需要大量思考才能理解的比较抽象的内容。更重要的是：不大量思考，绝对不可能学好动态规划这一信息学奥赛中最精致的部分。
你现在看到的是本文的正式版。我会长期维护这份文本，把大家的意见和建议融入其中，也会不断加入我在学习以及将来可能的的征程中得到的新的心得。但目前本文还没有一个固定的发布页面，想了解本文是否有更新版本发布，可以在中以背包问题九讲为关键字搜索贴子，每次比较重大的版本更新都会在这里发贴公布。
这是最基本的背包问题，每个物品最多只能放一次。
第二个基本的背包问题模型，每种物品可以放无限多次。
每种物品有一个固定的次数上限。
将前面三种简单的问题叠加成较复杂的问题。
一个简单的常见扩展。
一种题目类型，也是一个有用的模型。后两节的基础。
另一种给物品的选取加上限制的方法。
我自己关于背包问题的思考成果，有一点抽象。
试图触类旁通、举一反三。
背包的搜索
给出&&上可供练习的背包问题列表，及简单的解答。
如果有任何意见和建议，特别是文章的错误和不足，或者希望为文章添加新的材料，可以通过这个网页联系我。
感谢以下名单：
他们每人都最先指出了本文第一个版中的某个并非无关紧要的错误。谢谢你们如此仔细地阅读拙作并弥补我的疏漏。
感谢&，它针对本文的第一个版发表了用词严厉的六条建议，虽然我只认同并采纳了其中的两条。在所有读者几乎一边倒的赞扬将我包围的当时，你的贴子是我的一剂清醒剂，让我能清醒起来并用更严厉的眼光审视自己的作品。
当然，还有用各种方式对我表示鼓励和支持的几乎无法计数的同学。不管是当面赞扬，或是在论坛上回复我的贴子，不管是发来热情洋溢的邮件，或是在即时聊天的窗口里竖起大拇指，你们的鼓励和支持是支撑我的写作计划的强大动力，也鞭策着我不断提高自身水平，谢谢你们！
最后，感谢&&这一世界最强大的编辑器的所有贡献者，感谢它的插件&&的开发者们，本文的所有编辑工作都借助这两个卓越的自由软件完成。谢谢你们自由软件社群为社会提供了如此有生产力的工具。我深深钦佩你们身上体现出的自由软件的精神，没有你们的感召，我不能完成本文。在你们的影响下，采用自由文档的方式发布本文档，也是我对自由社会事业的微薄努力。
有件物品和一个容量为的背包。第件物品的费用是，价值是。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即表示前件物品恰放入一个容量为的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：将前件物品放入容量为的背包中这个子问题，若只考虑第件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前件物品的问题。如果不放第件物品，那么问题就转化为前件物品放入容量为的背包中，价值为；如果放第件物品，那么问题就转化为前件物品放入剩下的容量为的背包中，此时能获得的最大价值就是再加上通过放入第件物品获得的价值。
优化空间复杂度
以上方法的时间和空间复杂度均为，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到。
先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环，每次算出来二维数组的所有值。那么，如果只用一个数组，能不能保证第次循环结束后中表示的就是我们定义的状态呢？是由和两个子问题递推而来，能否保证在推时（也即在第次主循环中推时）能够得到和的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以的顺序推，这样才能保证推时保存的是状态的值。伪代码如下：
&f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
其中的一句恰就相当于我们的转移方程，因为现在的就相当于原来的。如果将的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了由推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解背包问题是十分必要的。
事实上，使用一维数组解背包的程序在后面会被多次用到，所以这里抽象出一个处理一件背包中的物品过程，以后的代码中直接调用不加说明。！背过
我们看一下原来的方程f[i][v]=max{f[i-1][v],
f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
不一定从开始，那样会浪费
过程，表示处理一件背包中的物品，两个参数、分别表明这件物品的费用和价值。
&f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}
注意这个过程里的处理与前面给出的伪代码有所不同。前面的示例程序写成是为了在程序中体现每个状态都按照方程求解了，避免不必要的思维复杂度。而这里既然已经抽象成看作黑箱的过程了，就可以加入优化。费用为的物品不会影响状态，这是显然的。
有了这个过程以后，背包问题的伪代码就可以这样写：
&ZeroOnePack(c[i],w[i]);
初始化的细节问题
我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求恰好装满背包时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了为其它均设为，这样就可以保证最终得到的是一种恰好装满背包的最优解。
如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将全部设为。
为什么呢？可以这样理解：初始化的数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为的背包可能被价值为的恰好装满，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解什么都不装，这个解的价值为，所以初始时状态的值也就全部为了。
这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面也就不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。
背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成背包问题求解。故一定要仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意义，以及最后怎样优化的空间复杂度。
&完全背包问题
有种物品和一个容量为的背包，每种物品都有无限件可用。第种物品的费用是，价值是。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
这个问题非常类似于&，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取件、取件、取件等很多种。如果仍然按照解背包时的思路，令表示前种物品恰放入一个容量为的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：
这跟背包问题一样有个状态需要求解，但求解每个状态的时间已经不是常数了，求解状态的时间是，总的复杂度是超过的。
将背包问题的基本思路加以改进，得到了这样一个清晰的方法。这说明背包问题的方程的确是很重要，可以推及其它类型的背包问题。但我们还是试图改进这个复杂度。
一个简单有效的优化
完全背包问题有一个很简单有效的优化，是这样的：若两件物品、满足且，则将物品去掉，不用考虑。这个优化的正确性显然：任何情况下都可将价值小费用高得换成物美价廉的，得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。
这个优化可以简单的地实现，一般都可以承受。另外，针对背包问题而言，比较不错的一种方法是：显然首先将费用大于的物品去掉，然后使用类似计数排序的做法，计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个，可以地完成这个优化。这个不太重要的过程就不给出伪代码了，希望你能独立思考写出伪代码或程序。
转化为背包问题求解
既然背包问题是最基本的背包问题，那么我们可以考虑把完全背包问题转化为背包问题来解。最简单的想法是，考虑到第种物品最多选件，于是可以把第种物品转化为件费用及价值均不变的物品，然后求解这个背包问题。这样完全没有改进基本思路的时间复杂度，但这毕竟给了我们将完全背包问题转化为背包问题的思路：将一种物品拆成多件物品。
更高效的转化方法是：把第种物品拆成费用为、价值为的若干件物品，其中满足。这是二进制的思想，因为不管最优策略选几件第种物品，总可以表示成若干个件物品的和。这样比把每种物品拆成件物品，是一个很大的改进。
但我们有更优的的算法。
这个算法使用一维数组，先看伪代码：
&f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}
你会发现，这个伪代码与的伪代码只有的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢？首先想想为什么中要按照的逆序来循环。这是因为要保证第次循环中的状态是由状态递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑选入第件物品这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第件物品的子结果。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑加选一件第种物品这种策略时，却正需要一个可能已选入第种物品的子结果，所以就可以并且必须采用的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。
这个算法也可以以另外的思路得出。例如，基本思路中的状态转移方程可以等价地变形成这种形式：
将这个方程用一维数组实现，便得到了上面的伪代码。
最后抽象出处理一件完全背包类物品的过程伪代码，以后会用到：
&f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}
完全背包问题也是一个相当基础的背包问题，它有两个状态转移方程，分别在基本思路以及的算法的小节中给出。希望你能够对这两个状态转移方程都仔细地体会，不仅记住，也要弄明白它们是怎么得出来的，最好能够自己想一种得到这些方程的方法。事实上，对每一道动态规划题目都思考其方程的意义以及如何得来，是加深对动态规划的理解、提高动态规划功力的好方法。
&多重背包问题
有种物品和一个容量为的背包。第种物品最多有件可用，每件费用是，价值是。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第种物品有种策略：取件，取件取件。令表示前种物品恰放入一个容量为的背包的最大权值，则有状态转移方程：
复杂度是。
转化为背包问题
另一种好想好写的基本方法是转化为背包求解：把第种物品换成件背包中的物品，则得到了物品数为的背包问题，直接求解，复杂度仍然是。
但是我们期望将它转化为背包问题之后能够像完全背包一样降低复杂度。仍然考虑二进制的思想，我们考虑把第种物品换成若干件物品，使得原问题中第种物品可取的每种策略取件均能等价于取若干件代换以后的物品。另外，取超过件的策略必不能出现。
方法是：将第种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为，且是满足的最大整数。例如，如果为，就将这种物品分成系数分别为的四件物品。
分成的这几件物品的系数和为，表明不可能取多于件的第种物品。另外这种方法也能保证对于间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示，这个证明可以分和两段来分别讨论得出，并不难，希望你自己思考尝试一下。
这样就将第种物品分成了种物品，将原问题转化为了复杂度为的背包问题，是很大的改进。
下面给出时间处理一件多重背包中物品的过程，其中表示物品的数量：
cost*amount&=V
&CompletePack(cost,weight)
&ZeroOnePack(k*cost,k*weight)
&amount=amount-k
&ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)
希望你仔细体会这个伪代码，如果不太理解的话，不妨翻译成程序代码以后，单步执行几次，或者头脑加纸笔模拟一下，就会慢慢理解了。
多重背包问题同样有的算法。这个算法基于基本算法的状态转移方程，但应用单调队列的方法使每个状态的值可以以均摊的时间求解。由于用单调队列优化的已超出了的范围，故本文不再展开讲解。我最初了解到这个方法是在楼天成的男人八题幻灯片上。
这里我们看到了将一个算法的复杂度由改进到的过程，还知道了存在应用超出范围的知识的算法。希望你特别注意拆分物品的思想和方法，自己证明一下它的正确性，并将完整的程序代码写出来。
&混合三种背包问题
如果将、、混合起来。也就是说，有的物品只可以取一次（背包），有的物品可以取无限次（完全背包），有的物品可以取的次数有一个上限（多重背包）。应该怎么求解呢？
背包与完全背包的混合
考虑到在和中给出的伪代码只有一处不同，故如果只有两类物品：一类物品只能取一次，另一类物品可以取无限次，那么只需在对每个物品应用转移方程时，根据物品的类别选用顺序或逆序的循环即可，复杂度是。伪代码如下：
&if&第件物品是背包
&f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
if&第件物品是完全背包
&f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
再加上多重背包
如果再加上有的物品最多可以取有限次，那么原则上也可以给出的解法：遇到多重背包类型的物品用单调队列解即可。但如果不考虑超过范围的算法的话，用中将每个这类物品分成个背包的物品的方法也已经很优了。
当然，更清晰的写法是调用我们前面给出的三个相关过程。
混血儿的优势
&if&第件物品是背包
&ZeroOnePack(c[i],w[i])
if&第件物品是完全背包
&CompletePack(c[i],w[i])
if&第件物品是多重背包
&MultiplePack(c[i],w[i],n[i])
在最初写出这三个过程的时候，可能完全没有想到它们会在这里混合应用。我想这体现了编程中抽象的威力。如果你一直就是以这种抽象出过程的方式写每一类背包问题的，也非常清楚它们的实现中细微的不同，那么在遇到混合三种背包问题的题目时，一定能很快想到上面简洁的解法，对吗？
有人说，困难的题目都是由简单的题目叠加而来的。这句话是否公理暂且存之不论，但它在本讲中已经得到了充分的体现。本来背包、完全背包、多重背包都不是什么难题，但将它们简单地组合起来以后就得到了这样一道一定能吓倒不少人的题目。但只要基础扎实，领会三种基本背包问题的思想，就可以做到把困难的题目拆分成简单的题目来解决。
一个简单的常见扩展。
一种题目类型，也是一个有用的模型。后两节的基础。
另一种给物品的选取加上限制的方法。
我自己关于背包问题的思考成果，有一点抽象。
试图触类旁通、举一反三。
背包的搜索
给出&&上可供练习的背包问题列表，及简单的解答。
&二维费用的背包问题
二维费用的背包问题是指：对于每件物品，具有两种不同的费用；选择这件物品必须同时付出这两种代价；对于每种代价都有一个可付出的最大值（背包容量）。问怎样选择物品可以得到最大的价值。设这两种代价分别为代价和代价，第件物品所需的两种代价分别为和。两种代价可付出的最大值（两种背包容量）分别为和。物品的价值为。
费用加了一维，只需状态也加一维即可。设表示前件物品付出两种代价分别为和时可获得的最大价值。状态转移方程就是：
+w[i]}
如前述方法，可以只使用二维的数组：当每件物品只可以取一次时变量和采用逆序的循环，当物品有如完全背包问题时采用顺序的循环。当物品有如多重背包问题时拆分物品。这里就不再给出伪代码了，相信有了前面的基础，你能够自己实现出这个问题的程序。
物品总个数的限制
有时，二维费用的条件是以这样一种隐含的方式给出的：最多只能取件物品。这事实上相当于每件物品多了一种件数的费用，每个物品的件数费用均为，可以付出的最大件数费用为。换句话说，设表示付出费用、最多选件时可得到的最大价值，则根据物品的类型（、完全、多重）用不同的方法循环更新，最后在范围内寻找答案。
是不是可以用来解决多重背包的问题？？？只不过比多重背包复杂度高
当发现由熟悉的动态规划题目变形得来的题目时，在原来的状态中加一维以满足新的限制是一种比较通用的方法。希望你能从本讲中初步体会到这种方法。
&分组的背包问题
有件物品和一个容量为的背包。第件物品的费用是，价值是。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
这个问题变成了每组物品有若干种策略：是选择本组的某一件，还是一件都不选。也就是说设表示前组物品花费费用能取得的最大权值，则有：
物品属于第组
使用一维数组的伪代码如下：
&for&所有的属于组
&&&&&&&&&f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}
注意这里的三层循环的顺序，甚至在本文的版中我自己都写错了。这一层循环必须在&所有的属于组之外。这样才能保证每一组内的物品最多只有一个会被添加到背包中。
另外，显然可以对每组内的物品应用中。
分组的背包问题将彼此互斥的若干物品称为一个组，这建立了一个很好的模型。不少背包问题的变形都可以转化为分组的背包问题（例如），由分组的背包问题进一步可定义泛化物品的概念，十分有利于解题。
&有依赖的背包问题
简化的问题
这种背包问题的物品间存在某种依赖的关系。也就是说，依赖于，表示若选物品，则必须选物品。为了简化起见，我们先设没有某个物品既依赖于别的物品，又被别的物品所依赖；另外，没有某件物品同时依赖多件物品。
这个问题由金明的预算方案一题扩展而来。遵从该题的提法，将不依赖于别的物品的物品称为主件，依赖于某主件的物品称为附件。由这个问题的简化条件可知所有的物品由若干主件和依赖于每个主件的一个附件集合组成。
按照背包问题的一般思路，仅考虑一个主件和它的附件集合。可是，可用的策略非常多，包括：一个也不选，仅选择主件，选择主件后再选择一个附件，选择主件后再选择两个附件无法用状态转移方程来表示如此多的策略。（事实上，设有个附件，则策略有个，为指数级。）
考虑到所有这些策略都是互斥的（也就是说，你只能选择一种策略），所以一个主件和它的附件集合实际上对应于中的一个物品组，每个选择了主件又选择了若干个附件的策略对应于这个物品组中的一个物品，其费用和价值都是这个策略中的物品的值的和。但仅仅是这一步转化并不能给出一个好的算法，因为物品组中的物品还是像原问题的策略一样多。
再考虑中的一句话：&可以对每组中的物品应用中一个简单有效的优化。&这提示我们，对于一个物品组中的物品，所有费用相同的物品只留一个价值最大的，不影响结果。所以，我们可以对主件的附件集合先进行一次背包，得到费用依次为所有这些值时相应的最大价值。那么这个主件及它的附件集合相当于个物品的物品组，其中费用为的物品的价值为。也就是说原来指数级的策略中有很多策略都是冗余的，通过一次背包后，将主件转化为个物品的物品组，就可以直接应用的算法解决问题了。
较一般的问题
更一般的问题是：依赖关系以图论中森林的形式给出（森林即多叉树的集合），也就是说，主件的附件仍然可以具有自己的附件集合，限制只是每个物品最多只依赖于一个物品（只有一个主件）且不出现循环依赖。
解决这个问题仍然可以用将每个主件及其附件集合转化为物品组的方式。唯一不同的是，由于附件可能还有附件，就不能将每个附件都看作一个一般的背包中的物品了。若这个附件也有附件集合，则它必定要被先转化为物品组，然后用分组的背包问题解出主件及其附件集合所对应的附件组中各个费用的附件所对应的价值。
事实上，这是一种树形，其特点是：每个父节点都需要对它的各个儿子的属性进行一次以求得自己的相关属性。这已经触及到了泛化物品的思想。看完后，你会发现这个依赖关系树每一个子树都等价于一件泛化物品，求某节点为根的子树对应的泛化物品相当于求其所有儿子的对应的泛化物品之和。
的那道背包问题我做得很失败，写了上百行的代码，却一分未得。后来我通过思考发现通过引入物品组和依赖的概念可以加深对这题的理解，还可以解决它的推广问题。用物品组的思想考虑那题中极其特殊的依赖关系：物品不能既作主件又作附件，每个主件最多有两个附件，可以发现一个主件和它的两个附件等价于一个由四个物品组成的物品组，这便揭示了问题的某种本质。
我想说：失败不是什么丢人的事情，从失败中全无收获才是。
考虑这样一种物品，它并没有固定的费用和价值，而是它的价值随着你分配给它的费用而变化。这就是泛化物品的概念。
更严格的定义之。在背包容量为的背包问题中，泛化物品是一个定义域为中的整数的函数，当分配给它的费用为时，能得到的价值就是。
这个定义有一点点抽象，另一种理解是一个泛化物品就是一个数组，给它费用，可得到价值。fuck!这不一样啊！
将所有的背包普遍化：一个费用为价值为的物品，如果它是背包中的物品，那么把它看成泛化物品，它就是除了其它函数值都为的一个函数。如果它是完全背包中的物品，那么它可以看成这样一个函数，仅当被整除时有，其它函数值均为。如果它是多重背包中重复次数最多为的物品，那么它对应的泛化物品的函数有仅当被整除且，其它情况函数值均为。
一个物品组可以看作一个泛化物品。对于一个中的，若物品组中不存在费用为的的物品，则，否则为所有费用为的物品的最大价值。中每个主件及其附件集合等价于一个物品组，自然也可看作一个泛化物品。
泛化物品的和
如果面对两个泛化物品和，要用给定的费用从这两个泛化物品中得到最大的价值，怎么求呢？事实上，对于一个给定的费用，只需枚举将这个费用如何分配给两个泛化物品就可以了。同样的，对于的每一个整数，可以求得费用分配到和中的最大价值。也即。可以看到，也是一个由泛化物品和决定的定义域为的函数，也就是说，是一个由泛化物品和决定的泛化物品。
由此可以定义泛化物品的和：、都是泛化物品，若泛化物品满足，则称是与的和，即。这个运算的时间复杂度取决于背包的容量，是。
泛化物品的定义表明：在一个背包问题中，若将两个泛化物品代以它们的和，不影响问题的答案。事实上，对于其中的物品都是泛化物品的背包问题，求它的答案的过程也就是求所有这些泛化物品之和的过程。设此和为，则答案就是中的最大值。
背包问题的泛化物品
一个背包问题中，可能会给出很多条件，包括每种物品的费用、价值等属性，物品之间的分组、依赖等关系等。但肯定能将问题对应于某个泛化物品。也就是说，给定了所有条件以后，就可以对每个非负整数求得：若背包容量为，将物品装入背包可得到的最大价值是多少，这可以认为是定义在非负整数集上的一件泛化物品。这个泛化物品或者说问题所对应的一个定义域为非负整数的函数包含了关于问题本身的高度浓缩的信息。一般而言，求得这个泛化物品的一个子域（例如）的值之后，就可以根据这个函数的取值得到背包问题的最终答案。
综上所述，一般而言，求解背包问题，即求解这个问题所对应的一个函数，即该问题的泛化物品。而求解某个泛化物品的一种方法就是将它表示为若干泛化物品的和然后求之。
本讲可以说都是我自己的原创思想。具体来说，是我在学习函数式编程的&&语言时，用函数编程的眼光审视各类背包问题得出的理论。这一讲真的很抽象，也许在模型的抽象程度这一方面已经超出了的要求，所以暂且看不懂也没关系。相信随着你的之路逐渐延伸，有一天你会理解的。
我想说：思考是一个最重要的品质。简单的问题，深入思考以后，也能发现更多。
&背包问题问法的变化
以上涉及的各种背包问题都是要求在背包容量（费用）的限制下求可以取到的最大价值，但背包问题还有很多种灵活的问法，在这里值得提一下。但是我认为，只要深入理解了求背包问题最大价值的方法，即使问法变化了，也是不难想出算法的。
例如，求解最多可以放多少件物品或者最多可以装满多少背包的空间。这都可以根据具体问题利用前面的方程求出所有状态的值（数组）之后得到。
很多都是这样的
还有，如果要求的是总价值最小总件数最小，只需简单的将上面的状态转移方程中的改成即可。
下面说一些变化更大的问法。
一般而言，背包问题是要求一个最优值，如果要求输出这个最优值的方案，可以参照一般动态规划问题输出方案的方法：记录下每个状态的最优值是由状态转移方程的哪一项推出来的，换句话说，记录下它是由哪一个策略推出来的。便可根据这条策略找到上一个状态，从上一个状态接着向前推即可。
还是以背包为例，方程为。再用一个数组，设表示推出的值时是采用了方程的前一项（也即），表示采用了方程的后一项。注意这两项分别表示了两种策略：未选第个物品及选了第个物品。那么输出方案的伪代码可以这样写（设最终状态为）：
&if(g[i][v]==0)
&未选第项物品
if(g[i][v]==1)
&选了第项物品
另外，采用方程的前一项或后一项也可以在输出方案的过程中根据的值实时地求出来，也即不须纪录数组，将上述代码中的改成，改成也可。
输出字典序最小的最优方案
这里字典序最小的意思是号物品的选择方案排列出来以后字典序最小。以输出背包最小字典序的方案为例。
一般而言，求一个字典序最小的最优方案，只需要在转移时注意策略。首先，子问题的定义要略改一些。我们注意到，如果存在一个选了物品的最优方案，那么答案一定包含物品，原问题转化为一个背包容量为，物品为的子问题。反之，如果答案不包含物品，则转化成背包容量仍为，物品为的子问题。不管答案怎样，子问题的物品都是以而非前所述的的形式来定义的，所以状态的定义和转移方程都需要改一下。但也许更简易的方法是先把物品逆序排列一下，以下按物品已被逆序排列来叙述。
在这种情况下，可以按照前面经典的状态转移方程来求值，只是输出方案的时候要注意：从到输入时，如果及同时成立，应该按照后者（即选择了物品）来输出方案。取与不取相比，取的话一定在字典前
求方案总数
对于一个给定了背包容量、物品费用、物品间相互关系（分组、依赖等）的背包问题，除了再给定每个物品的价值后求可得到的最大价值外，还可以得到装满背包或将背包装至某一指定容量的方案总数。
对于这类改变问法的问题，一般只需将状态转移方程中的改成即可。例如若每件物品均是完全背包中的物品，转移方程即为
初始条件。
事实上，这样做可行的原因在于状态转移方程已经考察了所有可能的背包组成方案。
最优方案的总数
这里的最优方案是指物品总价值最大的方案。以背包为例。
结合求最大总价值和方案总数两个问题的思路，最优方案的总数可以这样求：意义同前述，表示这个子问题的最优方案的总数，则在求的同时求的伪代码如下：
v=0..V&&&&&&&&&&&
&f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
&&&g[i][v]=0
&if(f[i][v]==f[i-1][v])
&inc(g[i][v],g[i-1][v])
&if(f[i][v]==f[i-1][v-c[i]]+w[i])
&inc(g[i][v],g[i-1][v-c[i]])
如果你是第一次看到这样的问题，请仔细体会上面的伪代码。
求次优解、第优解
对于求次优解、第优解类的问题，如果相应的最优解问题能写出状态转移方程、用动态规划解决，那么求次优解往往可以相同的复杂度解决，第优解则比求最优解的复杂度上多一个系数。
其基本思想是将每个状态都表示成有序队列，将状态转移方程中的转化成有序队列的合并。这里仍然以背包为例讲解一下。
首先看背包求最优解的状态转移方程：。如果要求第优解，那么状态就应该是一个大小为的数组。其中表示前个物品、背包大小为时，第优解的值。是一个大小为的数组这一句，熟悉语言的同学可能比较好理解，或者也可以简单地理解为在原来的方程中加了一维。显然这个数是由大到小排列的，所以我们把它认为是一个有序队列。
然后原方程就可以解释为：这个有序队列是由和这两个有序队列合并得到的。有序队列即，则理解为在的每个数上加上后得到的有序队列。合并这两个有序队列并将结果（的前项）储存到中的复杂度是。最后的答案是。总的复杂度是。
为什么这个方法正确呢？实际上，一个正确的状态转移方程的求解过程遍历了所有可用的策略，也就覆盖了问题的所有方案。只不过由于是求最优解，所以其它在任何一个策略上达不到最优的方案都被忽略了。如果把每个状态表示成一个大小为的数组，并在这个数组中有序的保存该状态可取到的前个最优值。那么，对于任两个状态的运算等价于两个由大到小的有序队列的合并。
另外还要注意题目对于第优解的定义，将策略不同但权值相同的两个方案是看作同一个解还是不同的解。如果是前者，则维护有序队列时要保证队列里的数没有重复的。
显 然，这里不可能穷尽背包类动态规划问题所有的问法。甚至还存在一类将背包类动态规划问题与其它领域（例如数论、图论）结合起来的问题，在这篇论背包问题的 专文中也不会论及。但只要深刻领会前述所有类别的背包问题的思路和状态转移方程，遇到其它的变形问法，只要题目难度还属于，应该也不难想出算法。触类旁通、举一反三，应该也是一个应有的品质吧。
&背包问题的搜索解法
《背包问题九讲》的本意是将背包问题作为动态规划问题中的一类进行讲解。但鉴于的确有一些背包问题只能用搜索来解，所以这里也对用搜索解背包问题做简单介绍。大部分以背包为例，其它的应该可以触类旁通。
简单的深搜
对于背包问题，简单的深搜的复杂度是。就是枚举出所有种将物品放入背包的方案，然后找最优解。基本框架如下：
&if(cur_w&best)
&best=cur_w
&if(cur_v+v[i]&=V)
&SearchPack(i+1,cur_v+v[i],cur_w+w[i])
&SearchPack(i+1,cur_v,cur_w)
其中和表示当前解的费用和权值。主程序中调用即可。
搜索的剪枝
基本的剪枝方法不外乎可行性剪枝或最优性剪枝。
可行性剪枝即判断按照当前的搜索路径搜下去能否找到一个可行解，例如：若将剩下所有物品都放入背包仍然无法将背包充满（设题目要求必须将背包充满），则剪枝。
最优性剪枝即判断按照当前的搜索路径搜下去能否找到一个最优解，例如：若加上剩下所有物品的权值也无法得到比当前得到的最优解更优的解，则剪枝。
搜索的顺序
在搜索中，可以认为顺序靠前的物品会被优先考虑。所以利用贪心的思想，将更有可能出现在结果中的物品的顺序提前，可以较快地得出贪心地较优解，更有利于最优性剪枝。所以，可以考虑将按照性价比（权值费用）来排列搜索顺序。
另一方面，若将费用较大的物品排列在前面，可以较快地填满背包，有利于可行性剪枝。
最后一种可以考虑的方案是：在开始搜索前将输入文件中给定的物品的顺序随机打乱。这样可以避免命题人故意设置的陷阱。
以上三种决定搜索顺序的方法很难说哪种更好，事实上每种方法都有适用的题目和数据，也有可能将它们在某种程度上混合使用。
子集和问题
子集和问题是一个问题，与前述的（加权的）背包问题并不相同。给定一个整数的集合和一个整数，问是否存在的一个子集满足其中所有元素的和为。
这个问题有一个时间复杂度为的较高效的搜索算法，其中是集合的大小。
第一步思想是二分。将集合划分成两个子集和，它们的大小都是。对于和，分别枚举出它们所有的个子集和，保存到某种支持查找的数据结构中，例如。
然后就要将两部分结果合并，寻找是否有和为的的子集。事实上，对于的某个和为的子集，只需寻找是否有和为的子集。
假设采用的是理想的，每次查找和插入都仅花费的时间。两步的时间复杂度显然都是。
实践中，往往可以先将第一步得到的两组子集和分别排序，然后再用两个指针扫描的方法查找是否有满足要求的子集和。这样的实现，在可接受的时间内可以解决的最大规模约为。
在看到一道背包问题时，应该用搜索还是动态规划呢？
首先，可以从数据范围中得到命题人意图的线索。如果一个背包问题可以用解，一定不能很大，否则的算法无法承受，而一般的搜索解法都&是仅与有关，与无关的。所以，很大时（例如上百万），命题人的意图就应该是考察搜索。另一方面，较大时（例如上百），命题人的意图就很有可能是考&察动态规划了。
另外，当想不出合适的动态规划算法时，就只能用搜索了。例如看到一个从未见过的背包中物品的限制条件，无法想出的方程，只好写搜索以谋求一定的分数了。
附：中的背包问题
是的简称，它组织了很多面向全球的计算机竞赛活动。
是一个很适合初学者的题库，我认为它的特色是题目质量高，循序渐进，还配有不错的课文和题目分析。其中关于背包问题的那篇课文&&也值得一看。
另外，是常年组织的面向全球的竞赛系列，在此也推荐选手参加。
我整理了中涉及背包问题的题目，应该可以作为不错的习题。其中标加号的是我比较推荐的，标叹号的是我认为对选手比较有挑战性的。
&（基本背包）
&（对初学者有一定挑战性）
&（另一类有趣的二维背包问题）
&（很怪的背包问题问法，较难用纯求解）
以下文字来自我所撰的《心得》一文，该文的完整版本，包括我的程序，可在中找到。
&是加权&背包问题，也就是说：每种物品只有一件，只可以选择放或者不放；而且每种物品有对应的权值，目标是使总权值最大或最小。它最朴素的状态转移方程是：。表示前&件物品花费代价&可以得到的最大权值。和分别是第&件物品的花费和权值。可以看到，的求解过程就是使用第&件物品对进行更新的过程。那么事实上就不用使用二维数组，只需要定义，然后对于每件物品，顺序地检查与的大小，如果后者更大，就对前者进行更新。这是背包问题中典型的优化方法。
题目&中，每种物品的使用量没有直接限制，但使用物品的总量有限制。求第一个不能用这有限个物品组成的背包的大小。（可以这样等价地认为）设&表示前&件物品组成大小为&的背包，&最少需要物品的数量。则，其中&是选择使用第&件物品的数目，这个方程运用时可以用和上面一样的方法处理成一维的。求解时先设置一个粗糙的循环上限，即最大的物品乘最多物品数。
&是多重背包问题。也就是每个物品可以使用无限多次。要求解的是构成一种背包的不同方案总数。基本上就是把一般的多重背包的方程中的&改成&就行了。
&的模型也是多重背包。要求求解所给的物品不能恰好放入的背包大小的最大值（可能不存在）。只需要根据若、&互质，则关于、&的不定方程&必有正整数解，其中这一定理得出一个循环的上限。&子集和问题相当于物品大小是前&个自然数时求大小为&的&&背包的方案数。
&可以利用求解背包问题的思想设计解法。我的状态转移方程如下：&。其中&表示前&首歌用&张完整的盘和一张录了&分钟的盘可以放入的最多歌数，&是一张光盘的最大容量，是一个&值转换成&取值为&或。但我后来发现我当时设计的状态和方程效率有点低，如果换成这样：表示前&首歌中选了&首需要用到&张完整的光盘以及一张录了&分钟的光盘，会将时空复杂度都大大降低。这种将状态的值设为二维的方法值得注意。
&是这些类背包问题中难度最大的一道了。很多人无法做到将它用纯&方法求解，而是用迭代加深搜索枚举使用的桶，将其转换成多重背包问题再。由于&&的数据弱，迭代加深的深度很小，这样也可以，但我们还是可以用纯&方法将它完美解决的。设为称量出&单位牛奶需要的最少的桶数。那么可以用类似多重背包的方法对&数组反复更新以求得最小值。然而困难在于如何输出字典序最小的方案。我们可以对每个记录和。表示得到&单位牛奶的过程是用单位牛奶加上若干个编号为的桶的牛奶。这样就可以一步步求得得到&单位牛奶的完整方案。为了使方案的字典序最小，我们在每次找到一个耗费桶数相同的方案时对已储存的方案和新方案进行比较再决定是否更新方案。为了使这种比较快捷，在使用各种大小的桶对&数组进行更新时先大后小地进行。&的官方题解正是这一思路。如果认为以上文字比较难理解可以阅读官方程序或我的程序。
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6,055 阅&Author: Dong
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