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回复幼兒園小跟班兒：我是从Word粘贴过来的。
回复聊发少年狂：
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回复甜美旅程：我是现场买的，因为要用护照买，提前定没有尝试，但是看淘宝也有得卖，价格略贵点。
回复米老虫：现场买是多少啊，火车可以直接从南宁到河内吗？
回复甜美旅程：170多 是的 直接到
回复米老虫：谢谢科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题叶 鹰编著内容提要这是一册对著名开放数学难题“黎曼猜想”进行系统阐述的高级科普读物。作者对这 一延续近 150 年的跨世纪难题作了独到诠释， 并对 7 个千禧年数学大奖问题作了介绍。 全书 风格简明，文笔健朗，将历史故事穿插于数学公式之间，兼顾知识性、趣味性和学术性，既 有启发意义，又
有研究价值，可供大学生、研究生阅读和数学爱好者参考。跨世纪难题黎曼猜想一览无余 千禧年大奖七大问题尽在其中科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题目 序 开篇词录 潘云鹤1 比哥德巴赫猜想更“辉煌”的猜想比“明珠”更亮的“宝珠”在闪光……2 理解黎曼猜想黎曼猜想的表述……3 壮志难酬英雄何处一代又一代数学家的努力付之东流……4 纯粹数学航标解决黎曼猜想的意义……5 解决费马猜想的启示用迂回战术解决黎曼猜想的思路……6 激励数学进步的猜想数学猜想小会聚……7 未来展望开放难题征解……深入研究参考文献 结束语 丛书后记Copyright?Y.Ye1http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题序科学技术正在以惊人的速度突飞猛进， 这一状况导致的后果之一 是科学技术前沿离公众能理解和接受的平台越来越远；同时，科学技 术也正在以前所未有的深度和广度影响着经济发展和社会生活， 这一 状况又导致公众对科学技术前沿的关注和了解的热情更加高涨。因 此，通过科普著作，拉近公众与科学技术前沿的距离、让公众认识并 理解科学技术前沿的精粹， 是一项具有重大现实价值和深远意义的工 作。科技前沿博学丛书的策划和出版正好能符合这一需求。 科技前沿博学丛书包含的黎曼猜想、统一场论、碳笼化学、基因 工程、 信息科技、 纳米技术等， 都是科学技术前沿的著名难点和热点。 作者采集大量最新信息， 以通俗易懂的视角和语言形式将深奥的科学 问题与技术成就简明扼要地展现在读者面前， 可以说既是对科学技术 前沿的发展综述，也是对现有科学技术成果普及化的再组织。 出版科技前沿博学丛书是一项具有战略眼光的工作， 这套丛书兼 顾知识趣味性和学术严谨性， 将科技前沿的基础知识和最新进展浓缩 在不多的篇幅中，适合现代快节奏生活中的人们阅读，并将在启迪青 年学生的科学兴趣方面独具特色，进而为科教兴国做出积极贡献。中国工程院院士 浙江大学校长 2002 年 7 月 12 日Copyright?Y.Ye 2 http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题开篇词 朋友，您读过徐迟先生的《哥德巴赫猜想》吗？ 那里说，有一颗“皇冠上的明珠” ，至今还无人摘取…… 而这里，还有一颗更加明亮的“宝珠” ，这就是黎曼猜想…… 也许您将是未来摘取“明珠”和“宝珠”的勇士。 本书将告诉您一些往事，增添你的知识和勇气。 努力吧，朋友！Copyright?Y.Ye3http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题老师又说，自然科学的皇后是数学。数学的皇冠是数论。 哥德巴赫猜想，则是皇冠上的明珠。 同学们都惊讶地瞪大了眼睛…… ——引自徐迟《哥德巴赫猜想》1 比哥德巴赫猜想更“辉煌”的猜想20 世纪 70 年代后期，徐迟先生的《哥德巴赫猜想》风靡神州大地，陈景润 这个名字和“皇冠上的明珠”这一词汇令人耳目一新。而今，那皇冠上的明珠， 仍在那里闪光，陈景润研究员本来已离那皇冠上的明珠仅一步之遥了，唉，可是 那明珠却又因陈景润的离去而变得似乎遥不可及。可是，你知道吗，就在 1995 年， 英国数学家怀尔斯(A. Wiles, 1953-)却出人意外地解决了 358 年悬而未决的费 马猜想(即费马大定理)，摘取了这颗历史更加悠久、似乎更加奇异的夜明珠，让 人好不惊异，它使纯粹数学再次引人注目。 当我们仰望数学群山，发现在群山之巅，好像都镶嵌着宝珠或明珠，等待能 攀登上峰顶的勇士摘取，哥德巴赫猜想、费马猜想等就像位于邻近山峰不同峰顶 上的明珠。而当我们仰望那最高峰，隐约看见有一颗更加明亮而硕大的宝珠，在 纯粹数学巅峰闪光，那就是具有近 150 年历史的黎曼猜想(也称黎曼假设)。 让我们从 1858 年讲起吧。 1858 年的一天，习惯于冥思苦想的黎曼先生正漫步在德国格廷根的街道上， 忽然，他脑海里奇思迸发，急忙赶回家中，写下了一篇划时代的论文，题目叫做 “论不大于一个给定值的素数的个数” 。论文于 1859 年发表，这是黎曼生前发表 的惟一一篇数论论文，然而却成了解析数论的开山作。就是在这篇大作中，黎曼 先生提出了划时代的黎曼猜想。 黎曼(G. F. B. Riemann, )于 1826 年 9 月 17 日出生在德国汉诺威的 布列斯伦茨。他的父亲是位牧师，母亲是个法官的女儿，黎曼在 6 个兄弟姐妹中 排行老二。 黎曼 6 岁左右开始学习算术，很快他的数学才能就显露出来。10 岁时，他 的算术和几何能力就超过了教他的职业教师。14 岁时，黎曼进入文科中学，文 科中学校长施马尔夫斯(C. Schmalfuss)发现了他的数学才能，便将自己的私人数 学藏书借给这位生性沉静的孩子，一次，黎曼居然借走了著名数学家勒让德写的 859 页的大 4 开本《数论》 ，并用 6 天时间读完了它，大约这就是他对数论感兴 趣的开始。 1846 年春，19 岁的黎曼注册进入格廷根大学攻读神学，后转学数学和哲学。 1847 年春，黎曼转学到柏林大学，在那里就读了两年，师从著名数学家雅可比 (C.G.J.Jacob)和狄里赫利(P.G.L. Dirichilet)等。在大师的指导下，黎曼进步很快， 神不知鬼不觉地进入世界数学前沿。 黎曼先生的论著不多， 但却非常深刻。 1851 年 11 月， 他提交了一篇题为 “复 变函数一般理论基础”的论文作为博士学位论文，论证了现在通称的“柯西-黎 曼条件” ，奠定了复变函数论基础，一举通过博士论文答辩，获得博士学位。 1854 年 6 月 10 日，由“数学王子”高斯(K.F.Gauss,)任主考官， 黎曼发表了题为“论几何学的基本假设”的就职演讲，提出用流形的概念理解空 间的实质，创立了黎曼几何，一举通过答辩成为格廷根大学讲师；后于 1857 年 升任副教授；1859 年接替狄里赫利任教授。Copyright?Y.Ye 4 http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题就凭上述 3 篇论著，黎曼奠定了他在数学史上不可替代的伟大地位。黎曼几 何后来成为爱因斯坦广义相对论的数学形式而广为传播，以至有人开玩笑说，上 帝简直就是专门为爱因斯坦广义相对论准备了黎曼几何。而且，至今没有几个人 能像黎曼那样在博士论文中就提出了如此突出的创新思想。 1862 年， 36 岁、 才 新婚不到一个月的黎曼竟然得了胸膜炎， 真是祸不单行， 他还未完全康复又染上了肺结核，于是格廷根大学用政府经费供他到意大利疗 养，四年中，黎曼曾往返德、意两次，病情因外感风寒而恶化，不幸于 1866 年 7 月 14 日逝世于意大利的塞那斯加。 黎曼的深邃思想超越了他生活的时代，他在世时并不为数学界所重视。但随 着时间的推移，他的思想逐渐辉煌起来，尤其是黎曼几何成为广义相对论的数学 表述形式后，影响越来越大，直接左右了 19 世纪后半叶的数学发展，黎曼也因 此名扬世界。 黎曼的其他数学创造均被数学界确认无疑，惟有黎曼猜想，却难倒了一代又 一代杰出数学家。图 1 黎曼：黎曼猜想之出谜人 顺便说一句，黎曼当年学习和任教的德国格廷根大学是 1737 年创建的一所 优秀的世界一流大学。1795 年，当 18 岁的高斯来到格廷根大学的时候，这里除 了数学文献多于别的大学外，还没有明显的数学优势。可是，后来经高斯、高斯 的 学 生 黎 曼 、 大 数 学 家 克 莱 因 (F. Klein, ) 、 希 尔 伯 特 (D.Hilbert,)、闵可夫斯基(H. Minkowski, )和外尔(H. Weyl, )等名师的合力创造，格廷根大学很快发展成为 19-20 世纪的世界数学 中心，以格廷根学派扬名数学界，世界上不少一流数学成果与格廷根大学有关， 不得不让人刮目相看。 2000 年 5 月 24 日，美国克莱数学会将黎曼猜想作为七个千禧年数学难题之 一公开悬赏征解，任何人只要能证明或推翻黎曼猜想，均可在论文公开发表 2 年 并 经 专 家 评 定 认 可 后 获 得 100 万 美 元 奖 金 ， 详 情 请 看 克 莱 数 学 会 网 站 http://www.claymath.org，本书后面也将专门介绍。 黎曼猜想被列入其中第四个千禧年大奖难题，您敢一试身手吗？ 真的，如果把数学比作群山，则数论是其中雄伟的一列山脉。黎曼猜想、哥Copyright?Y.Ye 5 http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题德巴赫猜想和费马猜想就像位于不同山峰之巅的大大小小的宝珠、明珠，在那里 闪闪发光。而今，费马猜想已经被怀尔斯摘走，后面就看谁能摘取黎曼猜想和哥 德巴赫猜想了。 呵呵，比“明珠”更亮的“宝珠”在闪光…… 那么，黎曼猜想究竟是说什么呢？请继续阅读下一章。 这正是： 无限风光在险峰，吸引无数攀山人。Copyright?Y.Ye6http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题这些是人类思维的花朵。这些是空谷幽兰、高寒杜鹃、老林中的人参、冰山 上的雪莲、绝顶上的灵芝、抽象思维的牡丹。 ——引自徐迟《哥德巴赫猜想》2 理解黎曼猜想相对而言，黎曼猜想比数论中的其他猜想要复杂些，因为其他数论猜想很多 是关于整数、素数等数字本身的，而黎曼猜想则涉及复变函数，要说清楚必须用 数学符号表述。 要理解黎曼猜想，首先得从黎曼ζ函数(读作 Zeta 函数)说起。 早在 1749 年，著名数学家欧拉(L. Euler, )就研究了实变量形式的 ζ函数，他证明当 s&1 时，下面的恒等式(现在称为欧拉恒等式)成立：∑nn =1∞?s= ∏ (1 ? p ? s ) ?1p其中∑叫和号，这里表示从 n=1 开始、累加至∞；∏叫积号，这里表示对所有 p 求连乘积。p 表示素数，它与整数 n&1 之间由算术基本定理相联系：k n = p1k1 p 2 2 ... p rkr ，kr≥1，1≤j≤r， p1 & p 2 & ... & p r而黎曼 1859 年的创新是将变量 s 看作复变量，并引进记号：ζ (s) = ∑ n ?sn =1∞这就是黎曼ζ函数。其中 s = σ + it 为复变量，其实部记作 Re s = σ 。 当 Re s = σ & 1 时，在形式上等同于欧拉恒等式。因而所有奇妙的事情将出现 在 Re s = σ ≤ 1 范围。 使 ζ (s ) =0 的点叫做 ζ (s ) 的零点。负偶数-2，-4，-6，…都是 ζ (s ) 的零点， 叫做平凡零点，平凡零点都是实零点；此外发现的所有零点都具有 1/2+it 形式， 叫做非平凡零点，非平凡零点都是复零点。 简单地说，黎曼猜想就是想像ζ(s)=0 时 Re s=1/2，即所有非平凡零点都位 于 σ = 1 / 2 这条直线上。这条直线叫做临界线。 严格地说，黎曼猜想由黎曼在 1859 年的那篇著名论文中提出的 6 个猜想构 成：(1) ζ (s ) 在带状区域 0 ≤ σ ≤ 1 中有无穷多个零点(亦即 ζ (s ) =0 在带状区域0 ≤ σ ≤ 1 中有无穷多个解)。这种零点叫做非平凡零点。(2) 以 N(T)表示 ζ (s ) 在矩形区域 0 ≤ σ ≤ 1,0 ≤ t ≤ T 中的零点个数，则有N (T ) ≈ (T / 2π ) log(T / 2π ) ? T / 2π(3) 以ρ表示 ζ (s) 的非平凡零点， ∑ 表示对所有非平凡零点求和，则级数ρCopyright?Y.Ye7http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题∑| ρ | ρ?2收敛，而级数 ∑ | ρ |?1 发散。ρ(4)A=-log2 和 B 为常数时， ζ ( s ) = e A+ Bs ∏ (1 ? s / ρ )e s / ρ 。ρ(5) ζ (s ) 的全部非平凡零点的实部都是 1/2。 (6)对于函数 J ( x) =2≤ n ≤ x∑ Λ(n) / log n, Jρx0( x ) = ( J ( x + 0) + J ( x ? 0)) / 2 ，有J 0 ( x) = Li( x) ? ∑ Li ( x ρ ) + ∫ (u (u 2 ? 1) log u ) ?1du + log ζ (0)?log p, n = p k , k ≥ 1 这叫黎曼素数公式，其中 Λ (n) = ? 叫曼哥特(Mangoldt)函数， 0 ?Li ( x ) = ∫ (log x) ?1 dx 是对数积分。0 x∞以上 6 个猜想除(5)外均已被证实，现在就留下猜想(5)未被证明，这就是通 常所说的黎曼猜想： 令 ζ ( s ) = ∑ n ? s ， 则 Re s =n =1∞1 2其中 s 是复变量。 图 2 是 ζ (s ) 的空间形式图，也许能给读者提供直观想像：Copyright?Y.Ye8http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题图 2 表示成空间形式的黎曼 ζ (s ) 函数图 诸位读者看清了：这个黎曼猜想，连表达起来也确实比费马猜想和哥德巴赫 猜想难。难怪是个大难题呢！ 要知究竟有多难，请继续阅读下一章。 这正是： 理解不易，求解更难。Copyright?Y.Ye9http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题一直到死，欧拉也不能证明它。从此，这成了一道难题，吸引了成千上万数 学家的注意。两百多年来，多少数学家企图给这个猜想作出证明，都没有成功。 ——引自徐迟《哥德巴赫猜想》3 壮志难酬英雄何处大概只有大师级的数学家才胆敢挑战黎曼猜想， 他们也确实为解决黎曼猜想 进行过艰辛努力。 在推进黎曼猜想研究和证明黎曼猜想的大师级人物中， 著名数论专家韦伊(A. Weil, )算是最杰出的一个。 韦伊是个少年奇才， 也是数学界著名的法国 布尔巴基学派的中坚人物。他 1922 年考入巴黎高等师范学校，1925 年年仅 19 岁就以“代数曲线上的算术”论文获得博士学位。韦伊雄心勃勃，曾证明过不少 难题，也对黎曼猜想研究作出过贡献，1941 年，他单枪匹马证明了函数域上的 广义黎曼猜想，极大地推进了黎曼猜想研究，于是他希望在 1959 年，也就是黎 曼猜想提出 100 周年时完全证明它。可是，尽管他和其他数学家经过艰辛努力， 却发现困难重重。于是他无可奈何地摇摇头，说： “就是再过 100 年，也不见得 能解决一般意义下的黎曼猜想。 ”这位 1947 年后在芝加哥大学任教授 12 年、后 任普林斯顿高等研究院教授的数学家，于 1979 年获得沃尔夫奖，但最终还是没 能彻底证明黎曼猜想。图 3 韦伊：函数域上广义黎曼猜想的证明者 一次，大数学家希尔伯特(D. Hilbert, )对他的弟子们说到三个著名 的数论难题：黎曼猜想、费马猜想和超越数论中的 α β 猜想。他说：由于对整函 数作了深入研究，黎曼猜想可望在 20 年内解决；而对代数数论已作了如此之多 研究，费马猜想也可能不久将被解决；唯有 α β 猜想，可能永远超出数学家的能 力。 可是， 数学的发展却出人意料： β 猜想在 1934 年被前苏联数学家盖尔封(А. α О.Гельфонд)和德国数学家施奈德(T. Schneider)分别独立地解决了；Copyright?Y.Ye 10 http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题费马猜想也被怀尔斯在 1995 年证明；唯有黎曼猜想，虽然从多方面进行过探讨， 实质上进展不大。难怪后来 Hilbert 临终前叹曰： “如果我 1000 年后复活，我的 第一个问题就是：黎曼猜想解决了没有？” 有一个故事足以说明黎曼猜想的难度：英国著名大数学家哈代(G. H. Hardy, )很担心旅行风险，于是，每当他不得不长途旅行时，就事先给他的同 事发个电报说： “已经解决黎曼猜想，回来后再给出细节” 。哈代的逻辑是：他这 样做了的话，上帝就不会让他出事故，否则世界上就要留下第二个像黎曼猜想一 样的不解之谜。因此，他从来没有出事故，但回来后也从来没有提供“解决黎曼 猜想的细节” 。图 4 哈代：把黎曼猜想当作旅行保险的数学家 哈代是 20 世纪初世界著名的分析数学家、英国分析学派的领袖人物，曾任 牛津大学、剑桥大学教授，对堆垒数论、素数分布论等贡献良多，一生著有论文 300 余篇、著作 11 部。他对印度数学奇才拉曼努詹(S. Ramanujan, )的 无私提携和真心帮助在数学史上留芳千古。他在数学界留下的名言是： “年轻人 应该证明定理，而老年人应该去写书。 ” 哈代对黎曼猜想的最大贡献是于 1914 年证明了 ζ (s ) 在直线 σ = 1 / 2 上有无 穷多个零点，但仍未彻底解决黎曼猜想。 还有一个编造的故事： 魔王听说有个叫黎曼的绝顶聪明的地球人居然研究了 一个绝顶聪明的猜想，还提出了黎曼几何等非同小可的创造，就来到黎曼面前对 他说： “你这个家伙，跟我到 X 星座 Y 星系 Z 星球去吧，那里都是宇宙中的顶尖 智者，你去和他们讨论吧。余下的难题就让它留给地球人好了。 ”说完不由分说 抓起黎曼的灵魂就奔向黑洞……因此，黎曼年仅 40 岁就离开了人间。 这可真是一个跨世纪难题，一个最难最难的难题呢！ 一代又一代数学家的努力付之东流…… 黎曼猜想究竟有什么了不起的意义值得如此去努力？请继续阅读下一章。 正好似： 路漫漫其道远兮，谁敢上下去求索？Copyright?Y.Ye11http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题猜想起来也该是对的。猜想应当证明。要证明它却很难很难。 ——引自徐迟《哥德巴赫猜想》4 纯粹数学航标解决黎曼猜想的意义何在？一句话，黎曼猜想就像是纯粹数学航标，可以指 引纯粹数学的航向。 从现有数学研究和推论看，黎曼猜想是合理的，因此希望最终能证明它。 或者，设法找出 ζ (s ) 的哪怕只是一个不在 1/2 线上的非平凡零点，就可以否 证黎曼猜想。 与费马猜想有些类似的欧拉(L. Euler, )猜想就是因为发现反例而 被否证。欧拉是举世公认的少数几个大数学家之一，对数学做出过极大贡献，数 学中以他的名字命名的公式、 方程、 定理等比比皆是。 有人曾问数学大师克莱因： “你认为数学中最伟大的公式是什么？” 克莱因毫不含糊地回答： “欧拉公式。 ” 为什么呢？据说克莱因的解释是：你看欧拉公式e iz = cos z + i sin z当 z=π时，成为e iπ = 0 ? 1它把数学中 5 个最重要的数联系在一起：0，1，π，i 和 e。0 和 1 是我们计数 的基础，π使我们认识了圆和球，i 让我们知道了虚数和复数，e 则给我们带来 了高等数学。由此，简单之中蕴涵的深刻可见一斑，欧拉的功绩也昭然在目。 而欧拉猜想则是说：当 n≥4 时，方程x n + y n + z n = wn无解。 自欧拉猜想提出 200 多年来，既未能证明它又未能否证它。虽然不少数学家 认为欧拉猜想应能成立，但 1988 年，哈佛大学的埃尔基(N. Elkies)教授却发现 了一个反例： +
= 随后埃尔基还证明 4 次方情形有无穷多个解。 这说明未经证明的猜想是多么不可 靠，无论提出它的人多么著名和伟大，猜想必须证明。 黎曼猜想之所以重要，原因在于它不是孤立的猜想，通过它可以将纯粹数学 中的许多问题联系在一起。下面分三个方面说明： 首先， 黎曼ζ函数与狄里赫利(P. G. L. Dirichlet, )L 函数一道构成解 析数论的核心。 设 q≥1，χ是模 q 的特征，则复变函数L( s, χ ) = ∑ χ ( n) n ? sn =1∞上式称为对应于特征χ的狄里赫利 L 函数。显然，狄里赫利 L 函数是黎曼ζ函Copyright?Y.Ye 12 http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题数的推广，相应于狄里赫利 L 函数有广义黎曼猜想：L 函数的所有非平凡零点都 在临界直线 σ = 1 / 2 上。 解析数论在很大程度上是围绕黎曼ζ函数和狄里赫利 L 函数的零点性质展 开的，许多数论函数的母函数最终也都与黎曼ζ函数和狄里赫利 L 函数有关。 解析数论的一个最基本、最重要的内容，就是研究黎曼ζ函数和狄里赫利 L 函 数及其零点性质。 代数数论在很大程度上则是围绕戴德金(J. W. R. Dedelkind, ) ζ函 数 ζ K (s ) 展开的：ζ K ( s ) = ∑ N ( A) ? s = ∑ a n n ? sA n ≥1其中 A 过代数数域 K 的整数环的所有非零理想。 ζ K (s ) 的解析性质包含了数域 K 的许多算术和代数信息。 ζ K (s ) 也是黎曼ζ函数的一个推广。 实际上，数论研究的中心问题可以归纳如下： 对于各种数论研究对象 X，可以考虑构造一个复变函数ζ或 L，使得ζ或 L 的解析特性(包括零点和极点特性、函数方程等)能反映 X 的算术和代数特性。 因此，黎曼ζ函数和狄里赫利 L 函数处于数论的中心地位。 其次，以黎曼猜想为基础，可以证明许多有趣的推论，尤其是有些推论后来 被无条件地证明了，这样，就加强了人们认为黎曼猜想成立的信心。 例如，如果黎曼猜想成立，则ζ函数在除 σ = 1 / 2 以外的地方就肯定没有零 点，这样，在 σ = 1 上显然也没有零点。于是，法国数学家哈达马(Hadamard)和 比利时数学家德万普(de la Vallee Poussin)据此在 1896 年分别独立证明了素 数定理：当 x → ∞ 时， log x π ( x) →1 x 后来，素数定理被许多数论专家用其他方法进一步证明或改进，现已确认无疑。 第三，通过研究黎曼猜想的等价命题、强命题、弱命题、关系命题等，可以 将纯粹数学的一些核心问题紧密地联系在一起，使之构成一个美妙的系统。 黎曼猜想的等价命题如刘维尔(Liouville)函数猜想：对任何ε&0，有∑ λ ( n) = O ( xn≤ x1 / 2 +ε)其中λ(n)是刘维尔函数：λ ( n) = ?1, n = 1 ? a1 +...+ ar , n = p1a1 ... p rar ?(?1)黎曼猜想的强命题如梅顿(Mertens)猜想(1897 年由奥地利数学家梅顿提出)： 对于 x&1,| M ( x) |& x1 / 2其中M ( x ) = ∑ μ ( n)n≤ xCopyright?Y.Ye13http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题而μ(n)是梅比乌斯(Mobius)函数。由梅顿猜想可以立即推出黎曼猜想。 但 1983 年奥丁科(Odlyzko)和里尔(Riele)借助计算机证明了梅顿猜想是错误 的，推翻了这个猜想。因此，比黎曼猜想强的猜想似乎很难成立。 黎曼猜想的弱命题如韦伊猜想：对于亏格为 g 的曲线 C，有：| Nn ? (1 + q n ) |≤ 2 g q n由韦伊猜想可以推出 ζ C ( s ) = ∑ N ?1a ? s = ∏ (1 ? Np ?s ) ?1 的所有零点在 Re s =a &0 p1 上。 21934 年哈斯(H.Hasse)证明它对于椭圆曲线成立； 1948 年韦伊证明对于一般代数 曲线成立； 1973 年德列(P. Deligne)证明对于一般代数簇成立； 使曲线的黎曼猜想 得到证明。这样，比黎曼猜想弱的命题似乎不难成立。 既然比黎曼猜想强的猜想很难成立，比黎曼猜想弱的猜想不难成立，那么问 题的关键就是黎曼猜想本身了。 与之相关的还有贝赫-斯维讷通-戴尔(Birch-Swinnerton-Dyer)猜想， 是说对于 有理数域 Q 上的椭圆曲线 E，L(E,s)在 s=1 上有一零点，其零点阶 r 等于 E 的蒙 德尔-韦伊(Mordell-Weil)群的秩。该猜想已被克莱数学会与黎曼猜想一道列入七 个千禧年数学难题之一。 因此，黎曼猜想成为纯粹数学的核心问题之一。解决了黎曼猜想，纯粹数学 的许多问题就将迎刃而解。 有没有解决的办法或思路呢？请继续阅读下一章。 这正是： 困难重重，敢问路在何方？Copyright?Y.Ye14http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题且让我们这样稍稍窥视一下彼岸彼土，那里似有美丽多姿的白鹤在飞翔舞 蹈。 你看那玉羽雪白， 雪白得不沾一点尘土； 而鹤顶鲜红， 而且鹤眼也是鲜红的。 它踯躅徘徊，一飞千里。还有乐园鸟飞翔，有鸾凤和鸣，姣妙、娟丽，变态无穷。 在深邃的数学领域里，既散魂而荡目，迷不知其所之。 闵嗣鹤老师却能够品味它，欣赏它，观察它的崇高瑰丽。 ——引自徐迟《哥德巴赫猜想》5 解决费马猜想的启示陈景润当年是不幸的，只能在 6 平方米的陋室中攻克世界难题；但他又是幸 运的，因为有闵嗣鹤这样的老师能欣赏他的成果。但愿我们的后代不再经历如此 艰辛的人生。 面对黎曼猜想，没有现成的道路可走，但有一些经验可供借鉴。这里就有怀 尔斯证明费马大定理的卓绝思路，可供参考。这条通达费马猜想的小道也许可能 提供用迂回战术解决黎曼猜想的思路…… 费马猜想是说，对于不定方程：xn + yn = z n当 n≥3 时无整数解。 这是一个很容易理解的问题，但要证明它却很难。 据考证， 费马(Pierre de Fermat,
)约在 1637 年前后将这个猜想记在 丢番图《算术》一书的页边，但直到他的长子整理成书于 1670 年正式发表前一 直不被世人所知。 贝尔(E. T. Bell)把高斯称为 “数学家之王” “数学王子” 费马则被称做 或 ， “业 余数学家之王”或“业余数学王子” 。这位“业余数学王子”总是喜欢恶作剧， 他居然在猜想旁边草草写下一个注记： 对此命题， 我有一个十分美妙的证明， 这里空白太小， 写不下。Copyright?Y.Ye15http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题图 5 费马： “业余数学家之王” 这小小的一段文字不要紧，却让后人为此冥思苦想。300 多年来，不知有多 少绝顶聪明的数学家为找到这个写不下的证明费尽心思， 1670 年到 1995 年被 从 怀尔斯最终解决，共经历了 325 年时间。的确，怀尔斯的证明长达 108 页，当年 费马就是要写也确实“写不下” 。 费马猜想如此引人注目，还得从沃尔夫斯凯尔奖说起。 1908 年，德国实业家沃尔夫斯凯尔(Paul Wolfskehl)在他的遗嘱中宣布，把 他财产中的一大部分遗赠作为一个大奖，奖金为 10 万马克，奖给任何能证明费 马大定理的人， 因为费马大定理在他因失恋绝望准备自杀时， 曾奇迹般吸引住他， 从而挽救了他的生命。 奖金由格廷根皇家科学协会负责掌管， 它在同一年正式宣布了沃尔夫斯凯尔 奖的规则： 根据在达姆斯塔物去世的保罗·沃尔夫斯凯尔博士授予我们的权力，我们在 此设立 10 万马克的奖赏，准备授予第一个证明费马大定理的人。 下列规定将予以遵守： (1)格廷根皇家科学协会拥有绝对的权力决定该奖授予何人。本会拒绝接受 任何以参与竞赛获得该奖为惟一目的而写的任何稿件。 本会只考虑在定期刊物上 以专著形式发表的或在书店中出售的数学专题论著。协会要求作者呈交至少 5 本已出版的样稿。 (2)凡以评委会挑选的学术专家不能理解的语言发表的著作，不属本竞赛考 虑范围。这类著作的作者可以用忠实于原文的翻译本代替原著。 (3)协会没有责任审查未提请它注意的著作，也不对可能由于著作的作者、 或部分作者不为协会所知这个事实而造成的差错承担责任。 (4)在有多名人员解答了这个问题，或者该问题的解答是由几名学者共同努 力所致的情况下，协会保留决定权，特别是对奖金分配的决定权。 (5)协会举行颁奖不得早于被选中的专著发表后的两年。这段时间供德国和 外国的数学家对所发表的解答的正确性提出他们的意见。 (6)此奖的授予由协会确定后，秘书就以协会的名义立即通知获奖者，此结 果将在上一年曾宣布过这项奖的各地公布。协会对该奖的指派一经决定，就不再 更改。 (7)在颁布后 3 个月内，将由格廷根大学皇家出纳处向获奖者支付奖金，或 者由受奖者自己承担风险在他指定的其他地点支付。 (8)钱款可按协会的意愿以现金或等值的汇票送收。汇票送达即认为已完成 奖金的支付，即使在这天结束时汇票的总价值可能不到 10 万马克。 (9)如果到 2007 年 9 月 13 日尚未颁布此奖，将不再继续接受申请。 格廷根皇家科学协会 1908 年 6 月 27 日 所有的专业数学杂志都刊登了设立沃尔夫斯凯尔奖的通告。 消息迅速传遍德 国和欧洲，接着传遍全世界。这则通告虽然对职业数学家来说几乎毫无意义，但 它却成功地唤起了公众对纯粹数学的注意和青少年一代的热情。当时，职业数学 家大多将证明费马大定理看作是不可能的事。确实没错，能证明它的人近半个世 纪后才出生呢。 1953 年，怀尔斯来到了这个世界上，他从小就迷上了数学。10 岁那年的一 天， 怀尔斯放学回家， 顺道去了一个小图书馆， 没想到被其中一本叫做 《大问题》Copyright?Y.Ye 16 http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题(The Last Problem)的书吸引住了，其中通俗地讲述了看起来如此简单却难倒无 数大数学家的费马大定理，怀尔斯一口气读完了它，暗暗下定决心： “我必须解 决它。 ” 怀尔斯的中学和大学时代平淡无奇，但是他知道，他所做的每一件事都是为 证明费马猜想做准备的。没有坚实的基础，就不可能摘取这颗夜明珠。 1974 年，怀尔斯从剑桥大学莫尔顿学院毕业；1975 年，怀尔斯被剑桥大学 克莱尔学院录取为研究生，导师是研究椭圆曲线的专家科茨(John Coates)。在 科茨的指导下，怀尔斯精心研究了各种椭圆曲线、椭圆方程，为他攻克费马猜想 奠定了方法论基础。1977 年，怀尔斯获得剑桥大学博士学位。 获得博士学位后，怀尔斯横渡大西洋到美国哈佛大学当了 3 年助理教授，然 后于 1981 年应聘入美国普林斯顿高等研究院任研究员，次年任普林斯顿大学教 授。 经过多年研究，怀尔斯先后解决了岩泽主猜想和特殊 BSD 猜想等数学难题， 算是完成了总攻费马猜想的所有知识和技能准备。 因此，专家总是告诫年轻人：在当今知识积累如此丰厚的数学领域，要想解 决数学难题必须首先进行系统的学习训练， 完成博士学业后才算勉强进入专业前 沿，接着还要经过多年实际研究才具备攀登数学高峰的基础。靠小聪明碰巧解决 数学难题的时代已经一去不复返了。当然，少年立志也很关键。所以，尽管怀尔 斯像常人一样生活：读书、工作、恋爱、抚养孩子，但他却一直关注着费马大定 理的研究动向，这是他的人生目标和理想寄托之所在。 1986 年夏末，怀尔斯得知，伯克利加州大学里比特(Ken Ribet)教授已经在 弗莱(Gerhard Frey)的想法基础上、在哈佛大学马休尔(Barry Mazur)教授启发 下证明了费马猜想等价于志村-谷山-韦伊猜想， 立即意识到总攻费马猜想的时刻 来到了。于是，一个专心孜孜的攻坚计划启动了。 怀尔斯坚决地放弃了所有与证明费马猜想无直接关系的工作， 也不再参加没 完没了的学术会议和报告会，而躲进了他家顶楼的书房，开始了研究证明志村谷山-韦伊猜想的方法。从开始着手证明的时刻起，怀尔斯就作了一个与当代注 重学术交流与合作的科研形式背道而驰的决定：要完全独立和保密地进行研究。 因此，除了他的妻子娜达(Nada Wiles)，谁也不知道怀尔斯试图证明费马猜想这 个秘密。怀尔斯后来解释说，他决定秘密地工作的部分原因是他希望自己的工作 不受干扰；而保密的另一个原因估计是为了避免今后麻烦：通常人们会讥笑那些 想证明费马猜想这样的世界难题、最后却不能如愿的“狂人” ，如果真的不能完 成证明就自己默默承受，能证明时也可以独享证明的荣誉。 从 20 世纪 80 年代早期开始， 怀尔斯一直在从事某些特殊类型的椭圆方程的 重要研究，为了不引起怀疑，怀尔斯还是在一点一点地发表他的研究成果，即每 隔 6 个月左右发表一篇小论文。 这些看得见的成果使他的同行们认为他仍然在继 续他平常的研究，而未透露出任何证明费马猜想的工作。 怀尔斯雄心勃勃试图解决费马猜想的总体策略是想要通过椭圆曲线中的志 村-谷山-韦伊猜想(所有椭圆曲线均为模曲线)来证明费马大定理。 设 E 是定义在数域 K 上的一条椭圆曲线 y 2 = x 3 + ax + b(a, b ∈ K ) ，则 E 在 K 上的全体点可以构成有限生成交换群 E(K)。构作 E 的 L 函数LE ( s ) = ∑ a n n ? sn =1∞Copyright?Y.Ye17http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题1967 年，韦伊猜想，对于 LE (s ) ， f ( s ) = ∑ an e 2πins 一定是权 2 的海克形式。n =1∞这与志村-谷山猜想(每一个椭圆方程必定与一个模形式相关联)等价，因而合称 志村-谷山-韦伊猜想(Shimura-Taniyama-Weil Conjecture)。怀尔斯最后就是通 过对于一类半稳定的椭圆曲线证明了志村-谷山-韦伊猜想， 从而证明了费马大定 理。 为了证明志村-谷山-韦伊猜想，必须首先证明：无限多个椭圆方程中的每一 个可以和一个模形式相配对。具体方法是：可以先证明某一个椭圆方程的全部基 因(即 E-序列)可以与一个模形式的全部基因(即 M-序列)相配对，然后转移到下 一个椭圆方程。虽然这是一种完全可以想得到的处理方法，但是由于是面对无限 序列， 所以当时还没有人找到一种能对无限多个椭圆方程和模形式反复地重复这 个过程的方法。 一开始，怀尔斯采用伽罗瓦群实现了第一步：每一个椭圆方程的一小部分解 可以用来构成一个群。经过几个月的分析，怀尔斯证明了这个群的每一个 E-序 列的第一个元素确实可以和一个 M-序列的第一个元素配对。为了对付无限性， 他需要证明每一个 E-序列的第一个基因可以和每一个模形式的第一个基因配 对，怀尔斯的处理方式比之传统的处理方式有很大的优点。因为在旧的方法中， 一旦证明了某一个 E-序列的全部元素与一个 M-序列的全部元素可以配对，那么 就必然要问：哪一个 E-序列和 M-序列是接着要进行尝试配对的？这无限多个 E序列和 M-序列并没有自然的次序，因而接着选择哪一个来处理有很大的任意性。 而在怀尔斯的方法中，极为关键的是 E-序列中的基因确实有自然的次序，因而 在证明了所有的第一个基因配对(E1=M1)后，下一步就理所当然是证明所有的第 二个基因配对(E2=M2)，依此类推。这样，实际上就是应用归纳法。 怀尔斯花了两年的时间完成了这一步，但前程并不明朗。他开始研究一种在 剑桥当科茨的研究生时已经学过的分析椭圆方程的一种方法——伊娃沙娃理论 (Iwasawa theory)。虽然这个方法本身不足以解决问题，但他希望能够改进它， 使它变得足够强。 1991 年夏天， 怀尔斯发现他改进伊娃沙娃理论的努力已经失败。 他必须证明： 如果椭圆方程的 E-序列中的一个元素与模形式的 M-序列中的一个元素相配，那 么下一个元素也应如此。 他还必须能保证每一个椭圆方程和每一个模形式都是这 种情形。伊娃沙娃理论不可能给予他所需要的这种保证。他再一次查遍了所有的 文献，仍然找不到一种可替代的方法来帮助他实现他所需要的突破。在普林斯顿 “隐居”达 5 年之后，他认定必须重返学术交流圈以便了解最新的数学成果，于 是他北上波士顿去出席一个关于椭圆方程的重要会议， 在那里怀尔斯受到来自世 界各地的同行们的欢迎， 他们很高兴在他这么长时间不参加各种会议之后又见到 他。 特别重要而关键的事情发生了，怀尔斯碰见了他以前的导师科茨，科茨对他 说：最近俄国的科利瓦金(V.A. Kolyvagin)教授设计了一种新的方法，一个名叫 弗拉奇(M. Flach)的研究生正在改进这种方法并用它写一篇精妙的分析椭圆方 程的论文。怀尔斯如获至宝，这一方法似乎完全是为他的问题特制的。 回到了普林斯顿后，他将伊娃沙娃理论完全丢在一边，夜以继日地专心于扩 展科利瓦金-弗拉奇方法。从理论上说，科利瓦金教授设计的这种数学方法极其 强有力，而弗拉奇的进一步改进使得它更具潜力。怀尔斯采用这个新方法后，可Copyright?Y.Ye 18 http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题以将论证从椭圆方程的第一项扩展到所有各项， 并且有可能对每一个椭圆方程都 有效。 不久，对一种特殊的椭圆方程，怀尔斯已经用科利瓦金-弗拉奇方法使归纳 证明奏效。但科利瓦金-弗拉奇方法对一种特殊的椭圆方程能行得通，不一定对 别的椭圆方程行得通。怀尔斯进一步研究后发现，所有椭圆方程可以分类为不同 的族，一旦科利瓦金-弗拉奇方法经修改后对某个椭圆方程奏效，那它就对那一 族中所有的别的椭圆方程都有效。于是，怀尔斯的任务就是要改造科利瓦金-弗 拉奇方法使得它对每一族都能奏效。尽管有些族比其他族更难对付，怀尔斯却坚 信他能用科利瓦金-弗拉奇方法一个接一个地解决它们。 经过 3 年的艰苦努力，怀尔斯相信胜利已经在望。每个星期他都有进展，证 明了更新、更大族的椭圆曲线一定是可模形式化的。看来，好像证明那些尚未解 决的椭圆方程只是个时间问题了。在证明的最后阶段，怀尔斯开始意识到，他的 整个证明必须以严格的方式进行检验。 大约在 1993 年 1 月份的上半月，怀尔斯请在普林斯顿大学数学系任教的凯 兹(Nick Katz)教授协助检验，他们商量了一个既保密又稳妥的办法，就是对研 究生开设一门名叫“椭圆曲线的计算”的研究生课程。课程一开始就进入专门性 的计算， 世界上不可能有人能猜到这种计算的真正目的。 这种计算既冗长又乏味， 选课的研究生们一个接一个溜走了，几个星期后，凯兹教授就成了留在听众席上 仅有的一个人。 “椭圆曲线的计算”作为研究生课程无疑是失败了，但它作为辅助检验怀尔 斯的证明却成功了。凯兹教授在课程结束时评价说，科利瓦金-弗拉奇方法应该 是完全可行的。 于是，怀尔斯就沿着这条证明的道路坚定地走下去了。他成功地将科利瓦金 -弗拉奇方法应用于一族又一族的椭圆方程。最后，只剩下一族椭圆方程了。 1993 年 5 月末的一个早晨，娜达带着孩子们一起出去了，怀尔斯坐在书桌旁 思考着剩下的一族椭圆方程。他随意地翻看着马休尔教授的一篇论文，恰好其中 有一句话引起了他的注意。马休尔教授提到一了个 19 世纪的构造，怀尔斯突然 意识到应该能够使用这个结构来使科利瓦金-弗拉奇方法也适用于最后一族椭圆 方程。怀尔斯一阵欣喜，立即投入工作，忘记了下楼吃午饭，直到下午。到了大 约三四点钟饮茶休息的时间，他解决了最后剩下的问题，怀尔斯走下楼来。娜达 看看表，非常惊奇地望着他，他却平静地对她说： “我已经解决了费马大定理。 ” 全家人立即为他欢呼起来。 从 1986 年到 1993 年，经过 7 年的专心努力，怀尔斯终于完成了对志村-谷 山-韦伊猜想的证明，作为一个结果，经历了从 10 岁到 40 岁共计 30 年对它的梦 想，他也证明了费马大定理。 恰好 1993 年 6 月末在剑桥有一个数论方面的工作报告会要举行，怀尔斯想， 这也许是宣布证明费马大定理的好地方——“它是我古老的家乡，我曾经是那里 的一个研究生。 怀尔斯如是说。 ” 怀尔斯为这次会议带去了一个系列演讲，标题为“模形式、椭圆曲线和伽罗 瓦表示” 。会议在剑桥大学牛顿研究所举行，会议名称叫做“L 函数和算术” ，组 织者之一是怀尔斯的博士导师科茨。值得一提的是，每一个对促成证明费马大定 理的思想方法作出过贡献的人实际上都到了会场， 包括马休尔教授、 里比特教授、 科利瓦金教授以及许许多多数论专家。 怀尔斯到达剑桥后，首先将一份证明复印稿交给了马休尔教授。里比特教授Copyright?Y.Ye 19 http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题也从四处扩散的电子邮件中听见了一些蛛丝马迹， 数论方面最杰出的人物一个接 一个地来到了牛顿研究所。 怀尔斯没有被外界传闻和日益上升的压力所干扰， 仍按照既定计划分三次完 成他的系列演讲。 第一次和第二次演讲均平淡无奇， 只是为解决志村-谷山-韦伊猜想作准备工 作。 1993 年 6 月 23 日，一个具有历史意义的时刻来临了，似乎剑桥数学界的每 一个人都听到了风声， 特地赶来参加这最后一次演讲。 运气好的人挤进了演讲厅， 而其他的人只能待在走廊里，踮起脚站在那儿，透过窗子往里看。里比特教授和 马休尔教授一起坐在前排，会场气氛充满激情，人们非常兴奋，大家意识到时间 正在走向费马大定理的证明，在场的人都会成为历史的见证人。 怀尔斯时而轻声细语，时而奋笔疾书，当他宣读证明时，会场上保持着特别 庄重的寂静， 时 30 分， 10 当他平静地写完费马大定理这个命题时， 对听众说道： “我想我就在这里结束。 ”大家立即活跃起来，会场上爆发出一阵持久的掌声， 牛顿研究所所长、当代著名数学家阿蒂亚(M. Atiyah)随后打开了一瓶事先准备 好的香槟酒。图 6 怀尔斯：费马大定理的证明者 怀尔斯的论文被分送 6 名审稿人审核，真是好事多磨，负责审核第 3 章的凯 兹教授在仔细审核时发现了一个缺陷。怀尔斯要么补上这个缺陷，要么这个缺陷 将导致怀尔斯的整个证明崩溃。 历史上这样的失败确有先例，弄不好轻则被人讥笑，重则身败名裂。 怀尔斯不得不再次闭门谢客，躲到阁楼上继续他的研究。转眼半年过去了， 情况似乎没有明显改善。 外界开始传闻怀尔斯证明失败， 费马猜想还是悬而未决。 1994 年 1 月， 怀尔斯决定邀请他过去的学生、 剑桥大学讲师泰勒(R. Taylor) 到普林斯顿一道来帮助检查。 1994 年 9 月，经过反复检验和修改，看起来还是没有成功的迹象，泰勒已 经准备 9 月份过后回英国了。9 月 19 日星期一的早上，奇迹发生了，朝思暮想 的怀尔斯忽然灵感涌现：单靠科利瓦金-弗拉奇方法不足以解决问题，而如果用 科利瓦金-弗拉奇方法激活伊娃沙娃理论，则二者的结合就能使问题得到完美解 决。啊！这是多么简单和美妙。怀尔斯激动得热泪盈眶，他的梦想终于实现了。Copyright?Y.Ye 20 http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题经过数学专家的严格核查，1995 年 5 月，怀尔斯证明费马大定理的原始论 文《模椭圆曲线和费马大定理》及与泰勒合作的补充论文《某些赫克代数的环论 性质》一道发表于《数学纪事》(Annals of Mathematics)，总计 128 页。这是 数学史上核查得最彻底的稿件，数学界和全世界都可以确信无疑了：费马大定理 终于彻底解决了。 尤为重要的是， 怀尔斯使更加宏伟的朗兰兹的统一计划——朗兰兹纲领跨出 了第一步。 20 世纪 60 年代，美国普林斯顿高级研究院的朗兰兹(Robert Langlands)提出 一个宏伟的计划，被称为朗兰兹纲领(Langlands Programme)，其主要思想是认为 数学领域的许多猜想组成一个错综复杂的网络， 而解决的办法是将某个数学领域 中难以用该领域方法解决的问题或猜想转换成另一数学领域中的等价问题或猜 想，再用那个领域中的成熟方法研究解决。如果仍然难以找到解答，那么可以再 转换到第三个数学领域中，继续下去直到被解决为止。这样，不断使用不同数学 领域的不同方法，再难的深奥问题也总有一天能化解。 这是一个伟大的想法！怀尔斯就是通过这样的途径最后解决了费马猜想。 怀尔斯证明费马大定理依靠的是 20 世纪 50 年代诞生的一个猜想， 论证利用 了 20 世纪最后 10 年中发展的一系列数学技巧， 其中某些部分是怀尔斯自己创造 的。这个证明是现代数学的一件杰作，它必然引出这样的推论：怀尔斯对费马大 定理的证明与费马的“证明”绝对是不相同的，因为在几个世纪前费马肯定没有 发明出志村-谷山-韦伊猜想、伊娃沙娃理论和科利瓦金-弗拉奇方法。尽管怀尔 斯不得不借助 20 世纪的方法来证明一个 17 世纪的难题， 但还是按照格廷根皇家 科学协会的规定战胜了费马猜想。1997 年 6 月 27 日，怀尔斯收到了价值 5 万美 元的沃尔夫斯凯尔奖金，费马大定理被正式承认解决了。 世界上最重要的数学奖是菲尔兹奖(Fields Prize)和沃尔夫奖(Wolf Prize，不 要与沃尔夫凯尔奖混淆)，前者授予 40 岁以下青年数学家，后者授予一生中有杰 出数学贡献的人。1996 年 3 月，怀尔斯和朗兰兹分享了 10 万美元的沃尔夫奖。 沃尔夫奖委员会认为， 怀尔斯对费马大定理的证明就其本身来说是一个令人震惊 的成就，而同时它也给朗兰兹雄心勃勃的计划注入了生命力，这真是当代数学的 双璧。 解决费马猜想给黎曼猜想的启示是：可否也通过类似的“迂回战术”来逼近 黎曼猜想？ 第一种思路是：将代数和分析形式的黎曼猜想转化为等价的几何和拓扑问 题，通过解决等价的几何和拓扑问题，使黎曼猜想获得解决。 第二种思路是： 将其他数学领域中新发明的适合用于黎曼猜想的数学方法试 用于黎曼猜想，并与老的方法相结合，以促进问题的解决，就像用科利瓦金-弗 拉奇方法与伊娃沙娃理论相结合最终解决费马猜想一样。 但是也要注意转换后的一致性和全等性以及新方法的有效性和局限性， 否则 可能失真或误用。在解决费马猜想的历史上就发生过类似事件：1988 年 3 月 8 日，日本东京大学 38 岁的年轻微分几何学家宫冈洋一(Yoichi Miyaoka)在德国波 恩马普数学研究所的一次报告会上， 宣称他已经通过对宫冈不等式的证明表明了 费马方程解的个数只能是零。两周后，他公布了共 5 页的证明要点。但仅仅又两 周后，数学界就发现了他的致命错误，错误的关键就是宫冈没有绝对严格地将微 分几何思想转换到他不够熟悉的数论领域， 虽然他应用微分几何解决数论问题的 方法非常精妙。Copyright?Y.Ye 21 http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题可惜性急的新闻界早已将“费马大定理已被证明”的消息传遍世界，尤其是 《华盛顿邮报》和《纽约时报》的头版报道当时确实让怀尔斯大吃一惊。然而几 周后报界刊出了简短的更正新闻，说明费马猜想依然是个谜，怀尔斯才松了一口 气，接着进行自己独特的研究。同时，纽约地铁第八街车站也出现了一段模仿费 马当年口气的俏皮话：x n + y n = z n ：无解对此，我已经发现了一种真正美妙的证明， 可惜我现在没有时间写出来， 因为火车正在开来。 而现在，费马大定理被怀尔斯证明了的消息真的被证实了，这一消息真的震 动了整个世界，被誉为 20 世纪纯粹数学领域中最伟大的成就。 其中的思想和方法，无疑值得解决黎曼猜想借鉴。 数学中还有多少类似这样的能“惊天地，泣鬼神”的难题？请继续阅读下一 章。 这正是： 功夫不负有心人，成功激励后来人。Copyright?Y.Ye22http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题大凡科学成就有这样两种：一种是经济价值明显，可以用多少万、多 少亿人民币来精确地计算出价值来的，叫做“有价之宝” ；另一种成就是 在宏观世界、微观世界、宇宙天体、基本粒子、经济建设、国防科研、自 然科学、辩证唯物主义哲学等等等等之中有这种那种作用，其经济价值无 从估计，无法估计，没有数字可能计算的，叫做“无价之宝”…… ——引自徐迟《哥德巴赫猜想》6 激励数学进步的猜想数学难题是美妙的，它们往往能吸引数学家千方百计地去解决。下面就是一 次数学猜想的小会聚…… 1900 年 8 月 6 日，第二届国际数学家代表大会在巴黎召开。8 月 8 日，年方 38 岁的德国数学家希尔伯特在经过 8 个月的精心准备后登上讲台，向来自世界 各地的数学家代表奉献了一篇具有珍贵价值的佳作： 《数学问题》 。 希尔伯特的演讲稿大体分为两部分：第一部分是导言，从一般理论上阐述了 重大数学问题的意义、特点、起源及其研究的原则；第二部分列举和讨论了 23 个具体的数学问题。 这些问题是希尔伯特从前辈人遗留下来的和当代人新提出的 纷繁众多的数学问题中，经过反复考虑，精心挑选出来的。它们横跨集合论、数 学基础、几何基础、群论、数论、函数论、不变量理论、代数几何学、微分方程 论和变分学等众多数学分支。这些问题的选择虽然受到希尔伯特个人科学素养、 研究兴趣的影响，不可避免地带有一定的局限性，但仍然不失为通入数学未来的 窗口。图 7 希尔伯特：20 世纪数学的开拓者 希尔伯特 23 个问题一提出，立即受到数学界的普遍关注，许多数学家都奔 上了攻克这 23 个问题的征途，有的还把尝试解决其中的某一个问题作为终生奋 斗的目标。 一个人只要能解决其中的任何一个问题， 都会因此而赢得巨大的声誉。 《数学问题》这一报告就这样以现代数学史上著名的“希尔伯特 23 个问题”之 美名载入史册。 这 23 个当时看来最有价值的数学问题是：Copyright?Y.Ye 23 http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题(1)康托尔的连续统基数问题 1963 年，美国数学家科恩(P.Cohen)证明连续统假设不能在 ZF 公理系统内 判明其真伪。 (2)算术公理的相容性(无矛盾性)问题 1936 年根茨(G.Gentzen)在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相 容性。 (3)两个等底等高四面体的体积相等问题 在希尔伯特发表演说的当年，他的学生、22 岁的麦克思·戴恩(M.Dehn)就 给出了该问题的部分解答，次年获得完全解答，戴恩也因此被载入数学史册。 (4)直线作为两点间的最短距离问题 这个问题的提法过于一般。许多数学家在某些限定条件下研究了该问题， 1973 年苏联数学家波格列洛夫(Poglelov)在对称距离条件下使问题得以解决， 但问题的一般提法并没解决。 (5)连续群的解析性问题 这个问题的具体内容是：一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不 假定是可微的。在冯·诺伊曼、邦德里雅金、歇瓦莱等人工作的基础上，1952 年由格利森(Gleason)、蒙哥马利(Montgomery)、齐宾(Zippin)共同给出了肯定 的答案。 (6)物理学的公理化数学处理问题 量子力学和热力学已经可以公理化。但是物理学能否全盘公理化，很多人表 示怀疑，对物理学家而言，公理化也并不重要，故该问题实际上没有彻底解决。 (7)某些数的无理性与超越性问题 这个问题要求证明：若α是代数数，β是代数无理数，则 α β 是超越数，至少 是 无 理 数 。 1934 年 ， 前 苏 联 数 学 家 盖 尔 封 ( А . О . Г е л ь ф о н д , A.O.Gelfond)和德国数学家施奈德(T.Schneider)分别独立地解决了这一问题的 部分情况。他们的结果于 1966 年又被巴克(A.Baker)等人加以推广和发展。 (8)素数问题 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数问题等，未解决。 (9)任意数域中最一般的互反律的证明问题 1927 年德国数学家阿廷(E.Artin)基本解决了这一问题。 (10)丢番图方程的可解性判定问题 1970 年 ， 苏 联 数 学 家 马 蒂 雅 塞 维 奇 ( М а т и й а с е в и ч , Matiyasevich)在美国数学家戴维斯(Davis)、 普特南(Putnam)、 罗宾逊(Robinson) 等人工作的基础上证明了该问题的答案是否定的。 (11)任意代数数系数的二次型问题 德国数学家海塞(Hasse)在 1929 年、 西格尔(Siegel)在 1936 年和 1951 年分 别取得重要成果。20 世纪 60 年代，法国数学家魏依(A.韦伊)又取得新进展。 (12)阿贝尔数域上克洛尼克定理推广到任意代数数域问题 这一问题只取得部分进展，离彻底解决还相差甚远。 (13)用两变量函数解一般七次方程不可能问题 1957 年，苏联数学家阿诺尔德(Арнолд, Arnold)解决了连续函数的 情形。1964 年维土斯金(Витускин, Vituskin)又推广到连续可微函数 情形。对解析函数情形，问题尚未彻底解决。Copyright?Y.Ye 24 http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题(14)某些完备函数系的有限性的证明问题 1958 年，日本数学家永田雅宜给出了否定解决。 (15)舒伯特计数演算的严格基础问题 代数几何的基础已由维登(Waerden)在
年和韦伊在 1950 年建立， 但严格的基础迄今仍未确立。 (16)代数曲线和代数曲面的拓扑问题 问题的前半部分已取得部分成果。问题的后半部分，曾由前苏联数学家彼德 洛夫斯基(Петровокий, Petrovskii)给出特殊情况的结果，1979 年， 中国数学家史松龄和王明淑举出反例推翻了这一结果。于是问题继续存在。 (17)半正定形式的平方和表示问题 1927 年，德国数学家阿廷(E.Artin)证明了这一问题。 (18)用全等多面体构造空间问题 1910 年德国数学家比勃巴赫(Bieberbach)、1928 年莱因哈特(Reinhardt) 分别取得部分重要成果。 (19)正则变分问题的解是否一定解析问题 前苏联的伯恩斯坦(Бернстеин, Bernstein)和彼德罗夫斯基 (Петровокий, Petrovskii)分别得出了一些结果。但一般性研究不 多。 (20)一般边值问题的可解性问题 这一问题的研究发展十分迅速，进展很大，但因范围很广，目前仍在深人研 究之中。 (21)具有给定单值群的线性微分方程的解的存在性问题 由希尔伯特本人于 1905 年、勒尔(Rohrl)于 1957 年、德利涅(Deligne)于 1970 年、保里布鲁赫(Bolybrukh)于 1992 年推进式解决了该问题。 (22)由自守函数构成的解析函数的单值化问题 1907 年德国数学家克伯(Koebe)取得重大进展，但因涉及艰深的黎曼曲面 论，问题并未彻底解决。 (23)变分法的进一步发展问题 20 世纪以来，在物理学的促进下，变分法已取得长足发展。 到目前为止，希尔伯特 23 个问题中已有 15 个基本被解决，7 个仍有疑问， 惟有黎曼猜想，数学家们至今无能为力，这反过来也使黎曼猜想保持着神秘吸引 力，因而成为最具挑战性的纯粹数学难题，故美国克莱数学会将其收入了千禧年 大奖难题。这是惟一一个希尔伯特当年留下的、一个世纪后仍原封未动的难题。 希尔伯特第十八问题中涉及球的密堆积的部分则是另一个存在已久的著名 猜想，这就是开普勒(Kepler)猜想或球堆积问题。 原始的开普勒猜想或球堆积问题是开普勒于 1611 年提出的：在一个大立方 体中堆放同样的小球，小球们所占据的体积与立方体的体积之比不会超过π / 18 。该原始猜想已由赫尔斯(Hales)于 1998 年彻底证明。目前，广义球堆积问题的一般提法是：在一个大的 n 维立方体中堆放 m 维 小球，小球们所占据的体积与立方体体积之比是多少？可简记为 V(n, m)。 如果在以上广义问题中增加格子限制，就成为相应狭义问题。 利用数论中的正定二次型理论，已求得狭义( 格子 ) 球堆积问题的下列已知 解：Copyright?Y.Ye 25 http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题V(2, 2)= π / 12V(5, 5)= π 2 / 15 2 V(8, 8)= π 4 / 384V(3, 3)= π / 18 V(6, 6)= π 3 / 48 3V(4, 4)= π 2 / 16 V(7, 7)= π 3 / 105但 9 维以上近 60 年来无进展。 1997 年 6 月，1966 年菲尔兹奖得主、曾解决高维广义庞加莱猜想的当代著 名数学大师斯马尔(S. Smale)在加拿大多伦多召开的一个学术讨论会上，作了题 为“未来数学世纪问题”的报告，又明确提出以下 18 个问题作为新的世纪难题： (1)黎曼猜想 (2)庞加莱猜想 (3)P=NP 问题 (4)多项式的整数零点问题 (5)丢番图曲线高度的界 (6)天体力学中相对平衡态数目的有限性 (7)二维球面上点的分布 (8)把动力学理论引进经济学中 (9)线性规划的多项式时间计算问题 (10)流形上可微逼近的封闭定理 (11)一维动力学通常是双曲的吗？ (12)微分同胚的中心化子 (13)希尔伯特第 16 问题 (14)洛伦兹(Lorenz)吸引子问题 (15)纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的光滑性 (16)雅可比猜想 (17)解多项式方程组 (18)人工智能的极限 该 18 问题清单于 1998 年发表，在数学界的影响虽不及希尔伯特 23 问题， 但也确有其重要性，其中一些问题确实是当今数学面临的关键问题。斯马尔本人 认为前三个问题特别重要，而首当其冲的就是黎曼猜想。 以上是从整个数学领域来看存在的最重要难题， 它们遍布数论、 拓扑、 形论、 分析等领域。而从单个数学分支看，最能被公众理解并能吸引大家注意的是数论 难题，黎曼猜想就是其中之一。 数论中还有一些问题， 如素数定理、 华林(Waring)问题和哥德巴赫(Goldbach) 猜想等，也都是著名的难题。 素数定理已获解决。 华林问题是 1770 年提出的，原初提法是：每个正整数(自然数)N 一定至多 是 4 个平方数之和、9 个立方数之和、19 个四次方数之和。其一般提法是：对任 给正整数 k≥2，存在 m=m(k)，使不定方程k k x1k + x2 + ... + xm = N ( x j ≥ 0, j = 1,2...m)对每个自然数必有解。研究华林问题一般用圆法。 如果把使上述不定方程对所有 N 可解的最小 m 值记为 g(k), 猜测 k≥2 时，Copyright?Y.Ye 26 http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题有：g (k ) = 2 k + (3 / 2) k ? 2实际上，g(k)正是表示每个正整数至多可以表示成为 g(k)个 k 次方数之和。 目前，关于 g(k)的研究已基本完成，已知 g(2)=4(四平方和定理)；g(3)=9； g(4)=19(原初华林问题，1986 年解决)；g(5)=37(陈景润在 20 世纪 60 年代早期 即证得)。因此，原初华林问题可以说已经完全解决。 不过，衍生的华林问题却不少，例如 G(k)问题，是研究使上述不定方程对 充分大 N 可解的最小 m 值 G(k),猜测 k≥2 时，有：? 4k , k = 2 l ≥ 4 G (k ) = ? ?≤ 2k + 1, 其它G(k) 表示每个充分大正整数至多可以表示成为 G(k)个 k 次方数之和， 显然， G(k)≤g(k)。对于 G(k)，目前仍知道得很少，只知道 G(2)=4；4≤G(3)≤7； G(4)=16；G(5)≤21；G(6)≤31；G(7)≤45；G(8)≤62；G(9)≤82。故现在的华 林问题主要就是指 G(k)问题。 哥德巴赫猜想是 1742 年提出的，包括两点：(1)每个不小于 6 的偶数是 2 个奇素数之和；(2)每个不小于 9 的奇数是 3 个奇素数之和。其中(2)已被证明， (1)的最好结果是 1973 年陈景润证出的 “充分大偶数是一个素数与一个素因子不 超过 2 的数之和”(简称“1+2”)，是用筛法证得的。有人认为，筛法已经被陈 景润发挥到了极限，今后要推进哥德巴赫猜想研究大约只能采用其他创新方法 了。而且，值得指出的是：迄今为止，哥德巴赫猜想研究的最好结果是在广义黎 曼猜想成立的前提下证得的， 而哥德巴赫猜想本身已经成为数论中一个相对孤立 的猜想。 华林问题与哥德巴赫猜想相结合，形成华林-哥德巴赫问题：充分大的正整 数是否可以表示成为有限个素数的 k 次方和？这是一个华林问题和哥德巴赫猜 想的孪生难题，现在只证明了任一充分大的奇数可以表示成为 9 个素数的立方 和。 数论中著名的猜想和难题不少，值得一提的还有： 高斯猜想： 将实整数的素因子惟一分解定理推广到复整数是数学王子高斯的 一大数学贡献，但是，对某些实代数数域中的代数整数，素因子惟一分解定理却 不一定成立。引进类数 h 后，数学家们研究发现，只有当 h=1 时，素因子惟一分 解定理才成立。然而，计算类数却是非常困难的数学问题，高斯猜想是说，类数 h=1 的实二次数域(属于实代数数域)有无穷多。这是一个有近 200 年历史的代数 数论难题。 闵可夫斯基猜想：闵可夫斯基曾是爱因斯坦的数学老师，他的数学工作为相 对论提供了坚实的数学基础，同时，他也在纯粹数学方面作出重大贡献。闵可夫 斯基猜想是说：n 维欧氏空间中 n 个线性独立向量组成的平行六面体的体积必大 于或等于 2 n 倍 n 个独立向量线性组合与任意实数之差的绝对值的乘积。设 a1 、a 2 … a n 为 n 个线性独立向量， a1 j 、 a2 j … anj 为坐标基， k1 、 k 2 … k n 为整数，则n 个独立向量线性组合为Li = k1ai1 + k 2 ai 2 + ... + k n ain ,1 ≤ i ≤ nCopyright?Y.Ye 27 http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题再设 r1 、 r2 … rn 为任意实数，V 为 n 个线性独立向量组成的平行六面体的体积， 则V ≥ 2 n | L1 ? r1 | ... | Ln ? rn |目前证明的结果是将 2 n 换成了 2 n / 2 。 卡塔兰猜想：卡塔兰(Catalan)是比利时数学家，150 前他猜想不定方程xu ? y v = 1(其中 x,y,u,v 均为正整数)只有 32 ? 2 3 = 1 一组正整数解。 可是后来数学家们又证明它最多只有有限多组解。 究竟有多少组解，至今是个谜。 广义贝特兰猜想：贝特兰(Bertrand)是法国数学家，1845 年他提出一个猜 想， 说对于 n&1， n 和 2n 之间一定存在素数。 在 这个猜想 1852 年就获得了证明， 是对的。可是数学家们接着又提出了广义贝特兰猜想——素数间隔猜想：对于正 整数 n≥1，(A) n 2 和 ( n + 1) 2 之间一定存在素数；(B) n 2 和 (n 2 + n) 之间一定存在 素数。该猜想仍等待证明，其中(B)难于(A)。 狄里赫利除数问题：是研究除数函数和D2 ( x ) = x (log x + 2γ ? 1) + Δ 2 ( x )要求出其主项并尽可能好地估计余项。这是一种特殊的整点问题。1849 年，狄 里赫利猜测对于ε&0，有 Δ 2 ( x ) && x1 / 4+ε ，但至今未决。 另外，数论中还有三个古老的问题： 完全数问题。等于自己因数之和的正整数叫完全数，例如 6=1+2+3 ， 28=1+2+4+7+14，等等。现在已经发现的完全数均为偶数。完全数问题是：奇完 全数是否存在？完全数究竟有多少？这是一个从古希腊延续至今悬而未决的最 古老数论难题，已有 2500 多年历史。 亲和数问题。 真因子之和互为对方的一对正整数叫亲和数， 例如 220 和 284， 220 的真因子和为 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284，而 284 的真因子和 为 1+2+4+71+142=220。亲和数问题是：是否存在由一个偶数和一个奇数构成的 亲和数？亲和数究竟有多少？这也是一个古希腊时代流传下来的难题。 合同数问题。三边均为有理数的三角形叫有理三角形，可以作为有理三角形 面积数的正整数叫合同数。例如 6 就是边长分别为 3，4，5 的三角形的面积数， 因而是个合同数。 合同数问题是： 究竟哪些正整数是合同数？这是一个具有 1000 多年历史的问题，目前只确切知道 4000 以下的正整数中的合同数。 除数论外，在其他数学专业领域，也存在不少猜想或问题。例如，对于微分 几何，在丘成桐、孙察理合著的《微分几何》(科学出版社，1988)后就附有 60 个问题。 只是，大多数专业数学问题或猜想并不像黎曼猜想这样引人注目，因为有些 问题或猜想的意义仅局限于很小的范围，也不太容易被普通人理解。 不过，它们都是激励数学进步的猜想，这些猜想都是无价之宝。 黎曼猜想是无价之宝中的瑰宝，因而人们千方百计想要证明它。Copyright?Y.Ye 28 http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题然而值得指出的是：对以上所有难题的证明应该是严谨的分析证明，这需要 具备专深的数学基础。 解答这样的难题一般是不能用初等的方法来实现的。 因此， 不要指望专业数学家承认一个只用初等算术的所谓“证明” 。每天都有人宣称自 己用简单的方法就解决了某某难题(国内尤以哥德巴赫猜想为多)， 甚至不惜自己 花钱广而告知。实际上这是毫无意义的。这样的“证明”对专家而言，真的看也 不用看，因为这就像是用粗糙的工具去进行精密的雕琢，方法本身就存在问题， 不能保证结果在逻辑上严密完整。故此，奉劝有志于攀登数学高峰、采摘数学宝 珠的年轻人，先踏踏实实打好基础，再一步一个脚印地前进。 克莱数学会也在新千年中于 2000 年 5 月 24 日向全世界公布了七大数学难题 并每题悬赏 100 万美元征解： (1)P-NP 问题 (2)霍奇(Hodge)猜想 (3)庞加莱(Poincare)猜想 (4)黎曼(Riemann)假设 (5)杨－米尔斯(Yang-Mills)场存在性和质量破缺 (6)纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性 (7)贝赫-斯维讷通-戴尔(Birch-Swinnerton-Dyer)猜想 黎曼猜想也在其中。 欲知这七大难题详情，请继续阅读下一章。 这真是： 难题如同百花开， 百花开处，一枝红杏出墙来。Copyright?Y.Ye29http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题现在，离开皇冠上的明珠，只有一步之遥了。 但这是最难的一步。且看明珠归于谁之手吧！ ——引自徐迟《哥德巴赫猜想》7 未来展望开放难题征解……悬赏 100 万美元：求解黎曼猜想！ 别以为这是商业广告，这是真实的科学声明。 任何人只要在国际公认的专业数学杂志上发表证明黎曼猜想的论文并在两 年内得到同行专家的一致认可，就可能获得 100 万美元奖励。 今天，黎曼猜想再次引人注目，这也是一个原因。 让我们把镜头退回到 2000 年 5 月 24 日。在巴黎这座历史名城，美国克莱数 学会向全世界公布了 7 个“千禧年大奖难题” ，以每题悬赏 100 万美元的高额奖 金征解，你可以在美国克莱数学会的网站(http://www.claymath.org)上看到这一消 息，参见图 8。图 8 美国克莱数学会的千禧年大奖难题 通知声称： 为庆贺新千年数学进步，位于美国麻省剑桥的克莱数学研究所(CMI)已经命 名了 7 个千禧年大奖难题。 克莱数学研究所的科学顾问局是从多年难以解决的重 要经典问题中选出这些问题的。克莱数学研究所的主任局已经指定 700 万美元， 以每题 100 万美元的额度重奖这些问题的解决者。2000 年 5 月 24 日，在法国巴 黎召开的千禧年大会上，Timothy Gowers 向公众作了“数学的重要性”的演讲， 同时，John Tate 和 Michael Atiyah 向大家公布了这些难题。克莱数学研究所 已邀请专家对每一问题作了定义和规范。 早在 100 年以前，1900 年 8 月 8 日，同样是在巴黎，David Hilbert 在第二 届国际数学家大会上发表了他关于开放数学问题的著名演讲。 这是我们今天在巴 黎会议上作出千禧年难题大奖决策的渊源。 大奖规则已经克莱数学研究所的科学顾问局签署， 并经克莱数学研究所的主 任局批准。科学顾问局和主任局的所有成员均有责任保持本大奖的性质、完整和 精神。 克莱数学研究所科学顾问局：Alain Connes Arthur JaffeCopyright?Y.Ye30http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题Andrew Wiles Edward Witten克莱数学研究所主任局：Finn M. W. Caspersen Landon T. Clay Lavinia D. Clay William R. Hearst, III Arthur M. Jaffe David B. Stone 2000 年 5 月 24 日，巴黎大奖规则要点如下： 克莱数学研究所千禧年大奖难题规则 位于美国麻省剑桥的克莱数学研究所(CMI)已经命名了 7 个千禧年大奖难 题。 克莱数学研究所的科学顾问局是从多年难以解决的重要经典问题中选出这些 问题的。克莱数学研究所的主任局已经指定 700 万美元，以每题 100 万美元的额 度重奖这些问题的解决者。除克莱数学研究所主任局外，没有其他任何个人有权 授予支付奖金或修改大奖规则。 克莱数学研究所主任局负责制定克莱数学研究所 的所有决策，并推荐克莱数学研究所的科学顾问局人选。 克莱数学研究所科学顾问局(SAB)将负责从某一千禧年大奖难题的完整数 学解中考虑提名解。(如果某人发现的是数学反例而非证明，则另行考虑，见后 述。) 千禧年大奖难题的提名解不能直接提交给克莱数学研究所。在被考虑前， 提名解必须发表在世界公认的专业数学杂志上，并被数学界普遍接受 2 年以上。 2 年等待期之后，SAB 将决定授奖解细节。对肯定情形，SAB 将组建一个特别顾 问委员会，该委员会将包括至少 1 名 SAB 成员和至少 2 名非 SAB 成员，这些成员 应是所解问题领域的专家。SAB 将寻找并决定所解问题领域中无偏见的、国际公 认的数学家作为非 SAB 成员。作为既定程序的一个组成部分，每一被考虑的提名 解必须经一个或一个以上特别顾问验证。 特别顾问委员会将在有限时间内向 SAB 报告。基于该报告和可能的进一步 调查，SAB 将决定向 CMI 主任局推荐。SAB 可以推荐将全部奖金奖给一个人，也 可以推荐将奖金分奖给一个问题的多个解决者或他们的继承人。SAB 将特别关注 一个授奖解是否在关键要点上取决于某个先于授奖解发表的成果。SAB 可以(但 不是必须)推荐认可授奖工作引用的先期成果，并可以(但不是必须)推荐分配奖 金给先期成果的作者。 如果 SAB 不能对一个问题的解的正确性、奖金的属性或恰当性做出清晰决 策，SAB 可以推荐某特定问题无奖。如果有了明朗的新的信息，SAB 可以(但不是 必须)重新考虑提名授奖，但只有在获得新的信息之后的附加 2 年等待期后。SAB 具有向 CMI 主任局推荐任何适当奖项和任何 CMI 千年大奖宣告效力的权利。 对于做出大奖问题反例的数学发现，SAB 将在该反例发表后就予以考虑， 并在同样 2 年等待期后作为提名解申请。 如果反例表明原始问题在重新规范或消 除某些特例后仍成立，则 SAB 可以推荐授予作者一个小奖。奖金额不从千禧年大 奖难题基金中支出，而从其他 CMI 基金中开支。在 P-NP 问题中，SAB 可以推荐 决定任一解决方向的千禧年大奖。 这就是克莱数学研究所举办的“千禧年大奖” ，悬赏破解七大难解的数学家，Copyright?Y.Ye 31 http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题解题奖金每题 100 万美元！这一灵感出自德国数学大师希尔伯特 1900 年在巴黎 会议上公布的上一章已介绍的 23 个数学问题， 23 个问题 100 年来令数学英才 这 绞尽脑汁，其中公认的纯数学中最亟待解决的难题“黎曼假说”现在仍非常醒目 地列入了千禧年大奖难题中。 由于参赛者的解答必须刊登在世界公认的专业数学期刊上， 并在刊出后至少 要接受两年的检验才能评奖，这意味着最快也要 2003 年后才会颁奖。不过，解 题时间没有限制。 七个“千禧年大奖难题”的大体内容是： (1) P-NP 问题 多项式算法是计算步数由各多项式系数数目的一个多项式所界定的算法。 令 Z 表示由 0 和 1 两元素组成的域，设输入了 k 个系数在 Z 中的 n 元多项式，试问 能否有一个多项式时间算法来判定它们有没有公共零点？这一问题是加拿大多 伦多大学考克(Stephen Cook)于 1971 年首先陈述的，被看作是逻辑和计算机科 学中最突出的问题之一。 在确定性机器上的多项式时间内可解的问题叫 P 问题， 在非确定性机器上的 多项式时间内可解的问题叫 NP 问题，或者说，P 是指具有确定性多项式时间算 法的判定问题组成的类，NP 是指具有不确定性多项式时间算法的判定问题组成 的类，它们都具有计算复杂性。P-NP 问题就是问 P 是否等于 NP，或在什么样的 条件下 P 等于 NP。 P-NP 问题的标准数学表述由加拿大多伦多大学 S. Cook 教授提供，见 http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/。 (2)霍奇(Hodge)猜想 霍奇猜想是说，对于射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇类 的部件是否是称作代数圈的几何部件的有理线性组合。 这个猜想的表述是简单的，但要证明却很难。 霍奇猜想的标准数学表述由美国普林斯顿高等研究院 P. Deligne 教授提供, 见 http://www.claymath.org/millennium/Hodge_Conjecture/。 (3)庞加莱(Poincare)猜想 1904 年，法国巴黎大学数学系教授庞加莱(H. Poincare, )提出 如下问题：考虑一个无边界紧致三维流形 V，即使 V 不与三维球面同胚，V 的基 本群是否是平凡的？ 后来数学界就将这个问题称为庞加莱猜想。其一般提法是：n 维空间中一个 光滑紧致的 n-1 连通的 n 维流形是否一定和 n 维球面同胚？ 令人奇怪的是，一般数学问题都是高维问题比低维问题困难，而庞加莱猜想 却是高维问题比低维问题容易。斯马尔(S. Smale)1960 年证明了 n≥5 时庞加莱 猜想的答案是肯定的，斯马尔因此获得菲尔兹奖。对于 4 维情形，直到 1981 年 才被弗里德曼(M.Freedman)最终证明，弗里德曼也因此获得菲尔兹奖。而对于 3 维情形，最新进展是 2004 年 1 月 29 日出版的 Nature 427 卷 6973 期上报道的俄 罗斯数学家佩雷尔曼 （Grigori Perelman） 给出了证明， 其原始论文发表在 arXiv 网站上。2006 年 6 月 3 日,哈佛大学教授、国际著名数学家丘成桐在中国科学院 晨兴数学研究中心宣布，在美、俄等国科学家的工作基础上，中国数学家朱熹平 教授和美国华人数学家曹怀东教授已在美国《亚洲数学期刊》6 月号上以专刊方 式，发表了题为《庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明：汉密尔顿－佩雷尔曼理 论的应用》的长篇论文，标志证明庞加莱猜想的工作已经完成。2006 年 8 月 22Copyright?Y.Ye 32 http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题日，国际数学联盟(IMU)主办的第 25 届国际数学家大会（ICM）在西班牙首都马 德里开幕，同时宣布 4 年一次的菲尔兹奖授予俄罗斯数学家佩雷尔曼（Grigori Perelman） 、奥昆科夫（Andrei Okounkov，任职 Berkeley） 、法国数学家维尔纳 （Wendelin Werner，任职 Paris 11）和澳大利亚华裔数学家陶哲轩（Terrence Tao，任职 UCLA） 。31 岁的陶哲轩因在调和分析研究方面的杰出成就而成为继丘 成桐 1982 年获奖后的第二位获奖华人。Perelman 则因证明庞加莱猜想（如果一 个封闭空间中所有的封闭曲线都可以收缩成一点，那么这个空间一定是三维圆 球）的奠基性贡献而获奖，美国院士 Hamilton 开拓 Ricci 流以及曹怀东和朱熹 平的“封顶”工作完善了猜想的证明和本次授奖。可是 Perelman 却拒绝领奖， 这位淡泊名利的隐士，当然不会在乎刻有阿基米德头像的金质奖章和 1500 美元 奖金。 庞加莱猜想的标准数学表述由美国纽约州立大学石溪分校 J. Milnor 教授提 供,见 http://www.claymath.org/millennium/Poincare_Conjecture/。 (4)黎曼(Riemann)假设 本书已经详细叙述了德国数学家黎曼的这个猜想： 复函数方程 ζ (s ) 的所有有 意 义 的 解 ( 非 平 凡 零 点 ) 都 位 于 实 部 为 1/2 的 一 条 直 线 上 。 数 学 家 们 已 对 1,500,000,000 个解进行过验证，表明黎曼猜想是正确的。 现在的问题是谁能证明它？ 黎曼假设的标准数学表述由美国普林斯顿高等研究院 E. Bombieri 教授提供, 见 http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/。 (5)杨-米尔斯(Yang-Mills)场的存在性和质量破缺 1954 年，杨振宁和米尔斯提出了现在通称为杨-米尔斯规范场的方程，但这 一既描述物理粒子、又在数学上严格成立的方程没有已知的解。特别是，被大多 数物理学家所确认、 并且在他们的对于 “夸克禁闭” 的解释中应用的 “质量破缺” 假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题需要在物理和数学 两方面引进根本上的新观念才可望解决。 标准数学表述由美国哈佛大学 A.Jaffe 教授和加州理工工学院 E. Witten 教 授 ( 普 林 斯 顿 高 等 研 究 院 终 身 教 授 ) 提 供 , 见 http://www.claymath.org/millennium/Yang-Mills_Theory/。 (6)纳维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性 数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，无论是托起船舶的起伏的波 浪还是现代喷气式飞机飞行后留下的湍急的气流，都可以通过求出纳维-斯托克 斯方程的解来进行解释和预言。虽然纳维-斯托克斯方程是 19 世纪写下的，但我 们对它的理解仍然极少。关键在于纳维-斯托克斯方程是非线性的偏微分方程， 而对非线性偏微分方程，数学上还没有完全成熟的一般处理方法。 力学上有一个百年难题，叫做湍流问题，其根本症结也是因为不能精确求解 纳维-斯托克斯方程而造成。 标 准 数 学 表 述 由 美 国 普 林 斯 顿 大 学 C.L. Fefferman 教 授 提 供 , 见 http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations/。 (7)贝赫-斯维讷通-戴尔(Birch-Swinnerton-Dyer)猜想 数学家总是对诸如 x 2 + y 2 = z 2 那样的代数方程的所有整数解问题着迷。 事实 上，正如马蒂雅塞维奇(Матийасевич, Matiyasevich)所指出，希尔Copyright?Y.Ye 33 http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题伯特第十问题是不可解的， 即不存在一般的方法来确定这样的方程是否有一个整 数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫-斯维讷通-戴尔猜想认为，对于有理数 域 Q 上的椭圆曲线 E，L(E,s)在 s=1 上有一零点，其零点阶 r 等于 E 的蒙德尔韦伊(Mordell-Weil)群的秩。有理零点的群的大小取决于一个 Zeta 函数 z(s)在点 s=1 附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果 z(1)=0，那么存在无限多 个有理点(解)，相反，如果 z(1)≠0，那么只存在有限多个这样的点。 该猜想的标准数学表述由美国普林斯顿大学 A. Wiles(就是证明费马猜想的 怀 尔 斯 ) 教 授 提 供 , 见 http://www.claymath.org/millennium/Birch_and_Swinnerton-Dyer_Conjectu re/。 在这些难题中，历史最悠久、似乎也最难的还是黎曼猜想，它是纯粹数学的 核心难题。贝赫-斯维讷通-戴尔猜想和哥德巴赫猜想等都与黎曼猜想密切相关。 在攻克黎曼猜想的征途中，华人数学家应当奋发努力。今天，华人遍布世界 各地，在数学领域已经具有相当实力，获得过沃尔夫奖的陈省身()教授 和获得过菲尔兹奖的丘成桐(1949-)教授是其中最杰出的代表。 陈省身教授归国创 建南开数学研究所的壮举为 21 世纪中国成为数学大国带来了希望，陈省身教授 也多次指引青年数学家“一定要做好的数学” ，就是要研究有开创性的、有发展 前途的、有深远意义的、有永恒价值的数学课题，而放弃平庸的一般性论题，这 无疑指明了数学创新性研究的大方向。如果将数学难题的难度分成 10 级，级数 越高越难；解决难题的意义也分成 10 级，级数越高越有意义(越“好”)；则可 以将前述主要数学猜想的难度级和意义级归纳如下： 数学猜想 难度级 意义级 ---------------------黎曼猜想 10 10 庞加莱猜想 10 10 霍奇猜想 10 9 开普勒猜想 9 9 费马猜想 9 9 哥德巴赫猜想 9 8 高斯猜想 9 8 相对而言，解决费马猜想比解决哥德巴赫猜想要更有意义，而解决黎曼猜想 又比解决费马猜想更有意义，因而黎曼猜想是一个具有重大意义的“好”课题。 中国数学家在哥德巴赫猜想研究领域卓有成效， 但在解决费马猜想过程中却未留 下任何历史痕迹，希望今后能有辉煌成果载入征服黎曼猜想的光荣史册。 最后，值得总结如下：黎曼猜想是一个世界公认的、开放的数学难题，欢迎 任何人提供解决方案。 解决黎曼猜想需要的是一个证明， 而不是简单的实例列举， 而且，证明应该是一个分析的、归纳的证明，因为面对的是无穷多的情形，数学 知识的积累和经验表明不可能用简单的初等方法解决这样的难题。 任何想解决黎 曼猜想的人都必须循序渐进地登攀， 就像正规学习弹钢琴应该按照车尔尼教程从 作品 139 或 599 开始，经 849、299 到 699；练习小提琴也如此，不能一上来就 想拉帕格尼尼，而必须从霍曼练习曲开始，经过开塞、顿特、罗德、巴赫、门得 尔松等等才行；数学也一样，必须首先学好并掌握好数学分析、复变函数、抽象 代数、拓扑学、泛函分析等基本知识与工具，才谈得上研究解决世界难题。 计算机对于进行程序化计算卓有成效， 但对证明像黎曼猜想这样的世界难题Copyright?Y.Ye 34 http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题却无济于事，例如，对于哥德巴赫猜想：偶数=素数+素数，人们已经对小于 10,000,000,000,000 的每一个偶数都用计算机进行过检验，发现是正确的；对 于黎曼猜想，也验证过 1,500,000,000 个解。但这都不是证明，只是为猜想增添 了例证而已。因为马上就有人会问：更大的数字如何呢？你能保证猜想对直至无 穷大的所有数字都正确无误吗？ 再多的数字例证和用计算机计算都不能代替证明。 努力吧，解决黎曼猜想的天才很可能就是你。 但也应该提醒： 神秘的仙女吹响芦笛， 吸引了痴迷的牧童。 芦笛引导牧童走向峰巅？走向深渊？ 而你，聪明的读者，可别上当受骗： 数论是一片山林、一条深河， 黎曼猜想足以淹没你的一生， 如果你准备奋勇向前， 必须把自己的才能和时间掂掂…… 当然，也应该鼓励： 别怕高山险阻， 宝珠就在上面； 有志者，事竟成， 只要你一往无前！深入研究参考文献 [1]潘承洞、潘承彪. 解析数论. 科学出版社，1991 [2]楼世拓,邬冬华著. 黎曼猜想(世界数学名题欣赏丛书). 沈阳: 辽宁教育出版社, 1987 [3]S. Chowla. The Riemann Hypothesis and Hilbert’s Tenth Problem. New York: Gordon & Breach, 1965 [4]E. Bombieri. Problems of Millennium: The Riemann Hypothesis. http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/ [5]A. Wiles. Modular Elliptic Curves and Fermat’s Last Theorem. Annals of Mathematics, : 443-551 [6]R. Taylor and A. Wiles. Ring Theoretic Properties of Certain Hecke Algebras. Annals of Mathematics, : 553-572Copyright?Y.Ye35http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题结束语遨游数学猜想， 回转现实人间； 黎曼猜想待来人， 要相信，自古英雄出少年！Copyright?Y.Ye36http://libweb./yy/科技前沿博学丛书黎曼猜想：跨世纪难题丛书后记 作者自学生时代起就对求解科学难题和科技前沿问题颇有兴趣， 后来在工作 中又从信息分析研究的角度追踪一些科学难题和科技前沿问题多年，偶有心得， 便记录在案，现应约整理编写成这套小丛书。 本丛书选题内容大体可以分为两大类：一类是公认科学技术难题，如黎曼猜 想、统一场论等；另一类是科技前沿热点，如信息科技、基因工程等。对公认科 学技术难题，侧重讲清来龙去脉；对科技前沿热点，侧重介绍实际应用。希望读 者能从中获得启发。 有感于现在适合高层次读者阅读的科普书籍奇缺， 笔者试图改变科普书籍尽 量少用公式和专业术语的“行规”而当用则用，以面向大学生、研究生为主的读 者群体。本丛书的主要特色是融知识性、趣味性和学术性为一体，既寓知识于故 事之中以增强可读性，又不失学术严谨性，将传统知识和前沿进展有机地结合成 一个完整的体系，以尽可能少的篇幅汇集尽可能多的科技知识，简明扼要地阐述 主题思想，希望能启迪青少年的科学兴趣，并提供值得科技工作者参考的前沿信 息，同时培育公众的科学思维，最终达到提高全民科学素质之目的。 普及科技前沿知识意义重大，个人力量实在微薄，时间和精力有限，确实是 “生有涯而知无涯” ，愿与读者一道不断学习。 写作过程中参考了有关科普著作和专业著作，并通过网络获得一些最新信 息，谨向参考过的著作和信息的作者致谢。因本丛书主要为科普而作，故未一一 列出参考文献，仅将进一步学习和研究所必需的参考文献列上几种，作为深入钻 研相应问题的导引读物，读者可以由此而逐步扩充知识范围和增加研究深度。 书稿完成后，承蒙浙江大学校长潘云鹤院士制序，谨致谢意！叶 鹰 理学学士；文学硕士；哲学博士 浙江大学教授 上海交通大学兼职教授 2002 年 8 月 18 日注：Open Access Web 版内容将根据科技进展适时更新。Copyright?Y.Ye37http://libweb./yy/
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