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2014全国优秀教师
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3秒自动关闭窗口趣文选读——数学篇
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/ 趣文选读——数学篇　
内容简介　　这套趣文选读系列丛书，包括有“品德篇”、“历史篇”、“智谋篇”、 “军事篇”、“语文篇”、“数学篇”、“地理篇”、“生物篇”、“科学 篇”等 9 本。这 9 本书，分别收集了相关方面的知识短文及故事若干篇。这 些文章及故事，思想内容健康，题材风格多样。知识性趣味性极强，读来引 人入胜。可以帮助广大读者尤其是青少年读者扩展知识视野，陶冶思想情操， 提高阅读欣赏能力。　　“汝人学字”和“十进制”　　从前有一个故事，叫做《汝人学字》。说的是一个小孩向老师学认字。 老师第一天就教他认“一”，第二天教他认“二”，第三天教他认“三”。 于是，这个小孩就说：“哈！认字这么容易，我已经学会认字了。”他爸爸、 妈妈听了十分高兴，以为儿子真的学会认字了。过了几天，他爸爸要请一位 姓万的客人吃饭，就叫儿子写张请贴。小孩答应马上就去写，他爸爸等呀等， 过了老半天还没见儿子来，他十分奇怪，走到书房一看，只见儿子正在纸上 一划一划地划个不停。他看见爸爸来了，就说：“这个客人真怪，不姓别的 偏要姓万，我才写了几百呢！”　　这是古代的一个笑话，当然不会确有其事。但是，如果我们的祖先不创 造出一套好的记数方法的话，那么我们可真得像这个小孩一样，写个万字要 划上一万道杠杠了！人类是怎样巧妙地用十个阿拉伯数字来表示许许多多的数呢？ 让我们先看一看古埃及人的记数方法。下面是古埃及人记数的符号：10 100
0　　记数时，有 10 个■就用一个■表示，10 个就用一个■（或）■表示?? 这种记数法具有“逢十进一”的特点。这就是我们常说的十进制的记数方法。 他们是从右往左来表示数的。例如。古埃及的记数法虽然有趣，却不方便。用 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这十个阿拉伯数字来记数可方便多了。无论多大的一个数，用这个数字都 可以简便地写出来。阿拉伯数字记数也是十进制，具有“逢十进一”的特点，就是十个一用10 表示，十个十用 100 表示，十个百就用 1000 表示，如此等等。这“一、 十、百、千、万，十万、百万、千万、亿??”叫做计数单位。在阿拉伯数 字记数法中，每一个计数单位不像古埃及那样用不同的符号表示，而是把它 们从小到大依次由右往左排列在一定的位置上，这样就得到一系列记数的数 位。{ewc MVIMAGE,MVIMAGE, !2_2.bmp}　　同一个数字在不同的数位上所表示的数值是不同的，当它向左移动一位 时，它的值就扩大 10 倍。例如，“5”记在个位上表示 5 个一，记在百位上 表示 5 个百，记在万位上表示 5 个万，等等。这就是说，记数时，每个数字 除了它本身所表示的数值外，还有一个位置值。这就是记数的位置原则。　　有了十个阿拉伯数字和十进位值原则，就可以很方便地写出任何一个数 了。例如，三十八万五千六百二十九就可以写成 385629；一千零七万六千零 六，就可以写成 。（王福田 杨爱霞）奇妙的进位　　世界上所有的发明和创造，归根结底都是为了应用。数学也是一样，抽 象的逻辑关系往往是由具体的事物和矛盾而发生出来的。数字运算中不可缺 少的进位制就是一个例子。　　上古时候，人们为了数出物体的个数，便产生了自然数的概念。但是， 如何读出和说出这些数呢？由于自然数有无限多个，如果每一个都用一个独 立的名称和记号来表示，这显然是不可能的。有人对莎士比亚著作中的单词 作过统计，共有 1 万 7 千个不同的词，即使一个英文程度很好的人，在阅读 这些著作时，也非有一本专门辞典不行。文字是如此的复杂，数字要是没有 一种简化的方法去表示，也像文字这样复杂，那在表达数量关系时所出现的 困难，是很难设想的。实践的需要促使进位制的产生。　　早在有文化的初期，多数民族由于实际生活的需要，都或多或少地创造 出一定的进位制；但是，用专门数码来表示数的书写方法，却产生得很晚， 甚至像古代希腊、罗马这样有高度文化的民族，用数码来表示数的书写方法 也是极不完整的。直到纪元初年，人们才初步应用数码，并按一定的进位制 来表示数。国际上通用的是十进制读数与记数方法，即较低位上的十个单位组成较高位上的一个单位。在我国，很早就运用了这种进位制。如周代《易经》中 表示数量时曾有“万有一千五百二十”的记载，说明早在 2 千多年前，我国 就有了十进位制。后来，甄鸾在他的《数术记遗》（成书于公元 6 世纪）中 还有下面一段话：“黄帝为法，数有十等，乃其用也，乃有之焉。十等者： 亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载。三等者，谓上中下也。其下数 者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也。中数者，万万变之， 若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京也。上数者，数穷则变，若言万万 曰亿，亿亿曰兆，铛兆曰京也。”从这段话我们可以看出，当时虽采用了十 进制，但缺乏统一的规定，主要原因是那时的生产力不发达，人们在实际生 活中还不迫切需要用很大的数记载。据调查，美国原始亚美利加各族的 307 种计数系统中，有 146 种是十进位的，106 种是五进位和二十进位的。可见，十进位制在历史上为人们所普 遍采用。人类为什么喜欢十进位呢？根据语言学家对世界各进化民族和多数 原始民族语言的研究，这是由于人类的手有十个手指，可以自由伸展。是一 个很好的天然计数工具，因而不谋而合地都采用了十进位制。在英文中， “dight”这个单词既可以当“手指”讲，又可以理解为“数字”，这与人们 长期用手指表示数字，是有必然联系的。另外，十进位制比较简单，这也是 它传播最广的一个重要原因。　　当然，除了十进位制外，还有其它进位制。实际上除了 0 和 1 以外，任 何自然数都可以用来作为进位制的基础数。例如：二进位制，三进位制、五 进位制等等。像北美的印第安人，中南美的少数民族、西伯利亚的北部民族 及非洲人等，常用五进位制和二十进位制。1937 年在罗马尼亚境内发现旧石 器时代的一根幼狼的挠骨，长七英时，上面有五十五个刻痕，前面二十五个 是五个一组地排列着，随后一个刻痕是原长的两倍，作为这一列的结束。这 是五进位制应用的一个证明。巴比伦人最初使用六十进位制，直到现在我们 还在使用这种进位制，如一小时等于六十分钟，一分钟等于六十秒，圆周等　　于三百六十度，一度等于六十分等。在今天还在应用的进位制还有十二进位 制，如一年有十二个月，一天是二十四小时（钟表面上仍只用十二）等，从 英文数字的构词形式上也能看出十二进位制的痕迹。学过英语的人都知道， 英文中从 1 到 12，这十二个数字是独立的，13 以后才有一个统一的构成法。 科学技术发展到今天，很多问题的解决都需要进行大量的计算。在许多 情况下计算速度要求很高，必须使用自动控制。有些数学问题计算工作量很 大，如建筑巨型水力发电站的拦河坝工程，就需要进行极为繁杂的计算。这 里遇到的联合方程已经不是两三个未知数，而是十几个、几十个乃至上百个 未知数，其计算的艰难复杂程度可想而知。堤坝设计不仅是整个工程的关键， 而且直接关系到千百万人的生命安全，要求计算准确，迅速，这些都促进了 计算机技术的不断发展。为了适应这样的需要，人们发明了二进位制，用 0和 1 两个符号，就可以把一切自然数表现出来。如 自然数一，二，三，四，五，六，七，八，九，十，?? 十进制 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，??二进制 1，10，11，100，101，110，111，，1010，?? 为了区别不同的进位制，我们常用括号加注的方法。如，在十进位制里，数 101 表为（101）10；在二进位制里，数 101 表为（101）2。　　由于二进位制只有两个数字（0，1 ），人们就把电路的“开”、“关” 分别表示 0 和 1 这两个数码，进行复杂的运算，这就是电子计算机的简单原 理。随着科学技术的发展，奇妙的进位必将得到更加深入的研究和广泛的使用。（谭英）数学，你从哪里来　　记得有这样一个真实的笑话：一所城市小学的一年级新生入学测试，老 师问一个从未到过农村的孩子：“你知道吃的米和面是从哪里来的？”“是 从粮店来的。”“粮店里的粮是从哪里来的呢？”“不知道。”你觉得幼稚 可笑吗？　　其实，虽然今天你已经是六年级的学生，快要毕业了。如果提出一个类 似的问题：“数学是从哪里来的？”你会不会认为是从教科书上来的呢？或 者是从数学家的头脑里想出来的呢？那么，数学到底是从哪里来的呢？你知 道吗？你能说清楚吗？　　你可知道，你在小学学过的和将来升入中学还要学的数学知识——算 术、几何、代数、三角，是人类从远古经过长期的生活实践才获得的。人类 在地球上已经生活二、三百万年了，可是直到二、三万年前，才建立起初步 的数和形的概念，积累了一点数学知识，这些知识就是幼儿园孩子们学的那 些简单的数与形。大约在公元七世纪欧洲最有学问的英国学者倍达曾经说 过：“没有比算术四则再难的了！现在从小学到中学学的算术、几何、代数、 三角直到 400 年前公元十六世纪才完备起来。可是到了公元十八世纪，人们 还对分数感到头痛。这就是说，你在学校的几年里，学完了人类二、三百万 年里通过生活实践积累起来的数学知识！这真了不起！可是，当你回忆当初 扳手指头数数的时候，你是不是感到当时真是太幼稚了呢？”你知道算术的“算”字为什么是竹字头吗？　　1954 年在湖南长沙一座战国晚期的楚墓中，发掘出一个竹笥（si），里 面装有 40 根长约 12 厘米的竹棍，这就是中国古代的计算工具——算筹。到 了十三世纪人们用竹棍把算珠穿起来，制成了一直到今天仍流传使用的算 盘，用它来计算、加、减、乘、除，这就是小学数学的四则计算。人们最初的计算只是数数。数过去，再数过去，这就是加法：数过去，再数回来，这就是减法。减法是加法的逆运算。随着熟练程度的提高和经验， 人们总结出便于记忆和提高计算速度的加法口诀??七四一十一，七五一十 二，七六一十三，七七一十四，七八一十五??后来人们注意到一种情况：几个相同的数相加，例如二个九相加得十八，三个九相加得二十七??九个九相加得八十一。于是人们为了简便总结 出乘法九九口诀。可见，乘法只是加法的简便算法。那么，知道“二五一十” 这句乘法口决，十里有几个五，几个二呢？这就是除法。可见，除法是乘法 的逆运算。由于加与减、乘与除是互逆关系，所以可以利用加法口决计算减 法，用乘法口决计算除法。在分数除法中，除以一个分数，可以把分数颠倒 相乘。同时除法也可看成是减法的简便计算。（彭景康）“方程”的由来　　同学们，我们已经知道了方程的意义。但是，“含有未知数的等式”丝 毫没有“方”的意思，为什么叫做“方程”呢？要说明“方程”的由来，先得从我国古代的“筹算”说起。 我们现在都用拉丁字母表示数，用阿拉伯数字写数。可是我国古代的人们既不知道拉丁字母，也不认识阿拉伯数字。他们是用“算筹”记数的。你 看这个“算”字多有意思！上面是“竹”字，下面是“具”字，所以，“算” 就是“竹制的计算工具”。从汉朝开始，人们用竹子制成许多长六寸（合现 在的 4.15 市寸）的小竹棒，这些小竹棒就叫“算”，或者叫“筹”，我们现在把它叫做“算筹”，用算筹来计算的方法叫做“筹算”。1—9 这九个数字用算筹表示出来就是：　　那么算筹又怎样表示方程呢？公元 263 年，数学家刘徽所注《九章算术》 一书里有一个例子：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两。 问牛羊各值金几何？”刘徽列出的“方程”如图所示。　　右行表示“牛五、羊二，值金十两”，左行表示“牛二、羊五、值金八 两”。要写成现在的方程，就得先设未知数，用 x 表示一头牛的价钱，用 y 表 示一只羊的价钱, 就得到：?5x＋2y
= 10（右行）?2x＋5y = 8（左行）这是两个方程所组成的方程组，这种方程组要在初中数学才学到。　　现在小朋友该明白了：在“方程”这个词里，“方”就是“列筹成方” 的意思，刘徽用算筹列出的方程不就是把算筹摆成了一个长方形吗？“程” 就是“课程”，所以“方程”就是“列筹成方的课程”。方程的英语是 equation，就是“等式”的意思。这里当然不会有“方”的含义。清朝初年。中国的数学家把 equation 译成“相等式”，到清朝咸丰 九年（公元 1859 年）才译成“方程”。从这时候起，“方程”这个词就表示 含有未知数的等式，而刘徽所说的“方程”就叫做“方程组”了。什么叫“几何”　　初次接触几何知识的同学，会提出这样的问题：“什么叫‘几何’？” 原来在古埃及，这种关于几何知识的学科叫 geometria，“geo”的原意 是“土地”，“metria”的原意则是“测量”。这说明古埃及人的几何知识主要来自测量土地。 后来希腊人欧几里德总结前人的几何知识写成了一本书叫《几何原本》，现在初、高中用的几何教科书基本上还是属于欧几里德《几何原本》， 可见它的影响之大。　　在我国明朝，一个意大利传教士利玛窦来到中国。利玛窦精通数学，在 传教的同时也传授数学、天文学知识。当时我国上海人徐光启对数学极感兴 趣，就与利玛窦一起翻译“几何原本”。在翻译中，他们不知把“geometria” 翻译成什么。一些数学家认为，根据“geo”的读音，译成汉字“几何”。从 此，“几何”一词，作为一门学科的名字被一直沿用到现在。　　但是别以为几何知识都是由埃及和希腊传来的。在我国出土的古代文物 中，有一幅画：两个人，一个人手里拿“矩”，就是三角尺那样的工具；一 个人手里拿“规”，就是圆规。古语说：不以规矩，不成方圆。这足以说明 我国人民早就掌握了几何知识。（彭景康）列表解逻辑问题　　在数学智力题中，有一些比较复杂的逻辑问题，如果我们用列表的方法 来解，不仅条理清楚，而且可以使一些比较隐蔽的条件和关系明朗化。这里 举两个例子：　　红光小学，李老师、王老师、张老师分别教一门课，但不知他们教什么 课，只知道这三门课是语丈、数学、外语。另外还知道：①李老师不会外语；②外语老师是一个学生的哥哥；③张老师是女的，她和数学老师同住在一个楼里。 请问三位老师各教什么课？ 我们列表时，先列出下面的表格：
李老师
王老师
张老师
语 文
根据题中①知道，李老师不是外语老师。在李老师一栏外语一行中填上“ 0 ” （ 表 示 否 定 ） 。
李老师
王老师
张老师
语 文
由②可以推知，外语老师是男的。由③知张老师是女的，所以张老师不是外语老师。在张老师一栏外语一行中也填上“0”，于是由表中外语一行中 可知，外语老师必定是王老师。在王老师一栏外语一行中填上“1”（表示肯 定）。王老师既然是外语老师，就不可能再教语文和数学，可以在王老师一 栏的数学和语文两行中都填上“0”。
李老师
王老师
张老师
语 文
外 语
0
1
0
由③还可知张老师不是数学老师，在张老师一栏数学一行中填“0”，由此栏可知，张老师一定是语文老师，在张老师一栏语文一行中填“ｌ”， 同时在李老师一栏语文一行中填“0”，最后由表可知，李老师必定是数学老 师。
李老师
王老师
张老师
语 文
0
0
1
数 学
1
0
0
外 语
0
1
0
　　通过上面分析，我们知道：李老师教数学，王老师教外语，张老师教语 文。我们再来举一个列表解逻辑问题的例子： 五年级有四个班，每班都有正、副班长各一人。平时召开五年级班长会议时，各班都只派一名班长参加。参加第一次会议的是小杨、小童、小方、 小刘；参加第二次会议的是小叶、小童、小汪、小刘；参加第三次会议的是 小杨、小叶、小童、小徐。三次会议小金都因病没参加。你能说出哪两位班 长是同班的。我们把参加会议情况列表如下：
小杨
小童
小方
小刘
小叶
小汪
小徐
小金
第一次会议
1
1
1
1
0
0
0
0
第二次会议
0
1
0
1
1
1
0
0
第三次会议
1
1
0
0
1
0
1
0
由题意可知，两人同班的必要条件是他们没有一次会议是同时出席的。按照这个条件，从表上首先可以发现，三次会议都出席的小童一定与三次会 议都没出席的小金是同班；因为小杨参加了第一、三次会议，而小汪参加了 第二次会议，所以小杨与小汪同班；小刘参加了第一、二次会议，小徐参加 了第二次会议，所以小刘与小徐同班；剩下小叶与小方同班。从这两个例题中我们看出，用列表的方法解答逻辑问题是个好方法。（孙义信）蜘蛛的启示　　什么是数学？一言以蔽之曰：数学是研究数和形的学问。但是在漫长的 数学征途中，数和形各自默默走着自己的路，由于没有共同语言，谁也不理 谁。就这样数和形各自背着装有一大堆不解难题的沉重包袱，足足走了一千 多年，相互不说一句话！和古希腊三大几何难题一样，人们在计算圆内接正 多边形时，发现用尺规作图法能作出正方形、正三角形、正五边形、正六边 形，可是怎么也作不出正七边形来，难怪人们说“7”是一个特殊的神秘数字！ 知识愈向纵深挖掘，钻头碰到的石头就愈多。在探讨尺规作图三大难题时， 几何学遇到了许多作图难题。大自然啊，我们赞美你的巧妙、神奇，但是你 为什么要在路上设下这么多障碍和不解之谜？“我劝天公重抖擞，不拘一格 降人才。”但是，哪里会有天生的天才数学家呢？就拿为解答几何三大难题 奠定基石——创建解析几何的法国大数学家笛卡尔来说吧，他的著名的“笛 卡尔坐标”竟是受到一只蜘蛛的启示！这到底是怎么一回事呢？ “世上无难事，只怕有心人。”面对一千年历史遗留下来的三大几何难题，笛卡尔认真总结前人大量的解题教训后感到：需要探究一条前人没走过 的新思路！他怀疑几千年以来人们用圆规和直尺作图这把“万能钥匙”了： 一千多年的失败教训说明什么呢？是不是尺规作图法这把钥匙不可能打开三 大难题的锁呢？人们总是“就形论形”，能不能把“形”化成“数”来研究 呢？能不能在“形”与“数”之间架起一座桥梁呢？一个新的数学求异思维 在他的头脑中萌发了，他朝思薯想，梦寐以求，恰是“衣带渐宽终不悔，为 伊消得人憔悴。”艰苦的脑力劳动使体质虚弱的笛卡尔病倒了，可是躺在病 床，他仍在瞑思苦索着??突然，他的眼前一亮，一只蜘蛛激发了他的灵感： 他目不转睛地望着天花板——一只蜘蛛正忙着在墙角结网。它像一个小小的 黑点在天花板与两面墙壁三条直线构成的直角中移动着??一个智慧的闪 光，照亮了笛卡尔的头脑，也照亮了数学界：用点到两条垂直的直线的距离 表示点的位置。是一只蜘蛛的启示，笛卡尔建立起“形”与“数”的桥梁这 就是神通广大的笛卡尔坐标。由此笛卡尔建立了一门崭新数学分支——解析 几何。（彭景康）奇偶数趣谈　　你知道，能被 2 整除的数叫做偶数；不能被 2 整除的数叫做奇数。你可 注意到奇数与偶数有一个显著的特点：就是它们的相间性，即一个奇数后面 是一个偶数；一个偶数后面是一个奇数。利用奇偶数的这一特征，和下面一 些显而易见的运算性质：奇教±奇数=偶数偶数±偶数=偶数偶数±奇数=奇数 奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数，我们可以解决很多用其 他方法不好解决的问题。如：“7 只茶杯口朝上放在桌上，每回翻转其中的 4 只，能不能做到使 7 只茶杯全部变成口朝下？”　　如果当真去试验一下的话，情况将会很复杂，因为每回究竟翻转哪 4 只 有许多不同的选择，于是，我们把思路集中到 1 只茶杯上，容易想到，一只 茶杯无论翻多少次，只要翻转的次数是偶数，杯口的方向一定会保持原样； 只有当翻转的次数是奇数时，杯口的方向才会向下。所以 7 只杯口要从向上 变为向下，翻转的总次数一定是 7 个奇数的和，仍然是一个奇数。而每回翻转 4 只相当于 1 只 1 只地翻转 4 次，无论翻转多少回，总次是都是偶数，即4 的倍数，因此，所提要求是无法实现的。 从上面题目得到一个经验：当一件事物只有两种状态时，如上与下，正与反，开与关，通与断??就可以联系奇偶数来考虑。　　有时还可以采取形象化的处理方法。在中国象棋盘上，马跳奇数次能不 能回到原来的位置？这里用试验的方法是不行的。因为我们不能断言要试多少次才能发生这种情况。为此，我们用黑白相间的两种颜色把棋盘上的点分成黑点白点两类， 正如整数分成奇、偶数一样。现在我们可以知道，马在原来的位置无论向什 么方向每跳一步，点的颜色就会随着改变一次。因此，马跳了奇数次后，颜 色必然与原来不同，更谈不上跳回原位了。再看一个例子：“在一张纸上画了 34 个方格（如图 1），能不能用一些两个方格连在一起的小纸片，把这 34 个方格全部盖住而没有重叠？　　这道题如果简单地根据 34 能被 2 整除就作出肯定的回答是没有说服力 的，因为没有考虑小纸片的排法。那么能不能用试验的方法来解决呢？这里 我们采取染色的方法（如图 2），可见，图中有 16 个黑格子，18 个白格子， 小纸片无论怎样放，盖住的格子总是一黑一白，所以无论每样排都会剩下两 个白格盖不上。上面两题所使用的方法叫“染色法”，是对奇偶相间性的巧妙应用。 最后请看一道有趣的题： 有一只奇怪的猫不仅非常善于捕鼠，而且吃老鼠的方式也很独特。每天晚上它总是让捕到的老鼠站成一行从 1 开始编号，然后把编号是奇数的吃 掉，再让剩下的老鼠原地不动重新从 2 开始编号，再把编号是奇数的吃掉?? 照此方法直到吃到剩下一只为止，让这只老鼠留下来。可有一天，这只猫忽 然发现有一只小白鼠一直留了下来。那么这只聪明的小白鼠是采用了什么方法躲过了一关又一关呢？
我们假定小猫一天捕 10 只老鼠，从下图可以看出，8 号老鼠在前 3 轮编 号一直处于偶数位置。　　从上面过程可以想到，因为每一轮总是把偶数号的老鼠留下来，所以谁 编号中含有因数 2 越多，谁留下的机会就越多。聪明的小白鼠采取的策略是： 先数一下是多少只老鼠，然后找出这个范围内含因数 2 最多的数是几，当它 看到老鼠的总数刚刚大于其中某个数时，就抢先站在这个编号的位置上，于 是它就能成为唯一的幸存者。（彭景康）数列与新星　　1766 年，德国有位叫提丢斯的中学数学教师，他发现如果写出这样一列 数字：0，3，6，12，24??不难看出：从第 3 个数起，以后每个数字都是它前面相邻数字的 2 倍。 如果在这列数每个数字上都加上 4 ，再除以 10，就得到一个新数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，?? 有一天，提丢斯的朋友天文学家波得来看望他。他们从天气说到天文，又从天文谈到数学。提丢斯把自己近来的教学手稿拿来请波得过目。在手稿 最后一页上，波得以天文家的敏感发现了上面的那个数列：“我的上帝，这 些数字多么近似水星、金星、地球、火星、木星、土星到太阳的距离的比值 啊！”两个朋友惊喜地互相拥抱着，欢呼他们的巧合和胜利！1772 年波得公 布了他们的这个发现，引起了世界科学界的重视，把这个发现称为“提丢斯——波得定则”。1781 年，英国业余天文学家赫歇尔在接近 19.6 的位置发 现了太阳系的一颗新星——天王星。1801 年 1 月 1 日晚上意大利天文学家皮 亚齐又在火星与木星之间的 2.8 位置上发现了一颗体积不大的“谷神星”， 然而像是在捉迷藏，这颗行星只在皮亚齐眼中露一次面就不见了，尽管皮亚 齐宣布了自己的发现，但是天文学家们说：眼见为实！皮亚齐只好说：信不 信由你！正当天文学家们对皮亚齐发现的“谷神星”半信半疑的时候，数学家高斯提出要通过理论上的推导和计算找回这颗丢失的行星！ 听到这个“门外谈”的消息，好心的朋友劝阻高斯说：“你是个数学家，天文学家找不到的谷神星，你怎么可能算出来呢？”高斯没有动摇，当年牛顿不是凭着渊博的数学知识，发现了万有引力吗？他相信宇宙是按照数学规 律构成的，数学是科学之母。高斯在前人研究的基础上，运用自己卓越的数学知识，创立了比前人更加精确完整的计算理论，只用了一个小时就计算出了结果，他根据理论计算， 断定谷神星确定存在，并根据它的运行轨道准确地推算出它在什么时间会出 现在哪一片天空。在高斯预言的时间里，天文学家在望远镜中，果然在那片 天空捉到了谷神星！啊，数学，天机妙算的数学，你是多么神奇，威力无穷！（彭景康）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　模糊数学数学还能模糊吗？ 多少年来，人们都把数学看成是一门最精确的科学，认为高度的精确性是数学与其他学科的主要区别之一。有的人还说过数学是科学的女王或皇后 之类的话，大概就是为了称赞数学的精确性。　　其实，与其说数学是科学的女王，不如说数学是科学的仆人。数学是基 础学科，它是为其他学科服务的。　　数学不能只讲精确。人们在生活、生产和科研中，常常要用到一些模糊 的概念、判断和推理，数学也应该想办法研究这些东西，解决有关的问题， 同时也丰富自己。一个人如果拒绝使用模糊的概念、判断和推理，他大概会成为精神病患者。比如说，你请他替你去告诉李鹏同学一件事。可是他并不认识李鹏。你就告诉他说，请他到操场的东南角去找李鹏，李鹏正在那里和几个同学玩， 他是个矮个儿，胖子。　　你以为已经说清楚了，可是他问：“矮个儿，身高不超过一米几？胖， 他的腰围多少？体重多少？”就算你的答复能使他感到满足了，他拿起皮尺和磅秤去操场了。可是问题又来了，“东南角”，这是多大的个范围？是半径五米的一个圆？还是边 长三米的一个正方形？如果有一个人一只脚站在这个范围内，另一只脚站在 这个范围外，应该不应该考虑在内？??他还在郑重其事地考虑这些问题，天早已黑下来了，操场上只剩他一个人了。　　可见不允许用模糊的概念是不行的。那么，人们是怎样利用模糊概念去 思考的呢？起初，人们以为模糊就是近似。人们就去研究有关近似的计算、误差等的数学道理，取得了不少成果。 后来，人们把模糊和偶然性联系在一起。人们就去研究有关随机变量、随机过程和数理统计方面的数学道理，也取得了不少的成果。但是，人们渐渐发现，这些并没有抓住模糊的概念的主要特点。 精确的概念是什么呢？假如我们谈论你班上的男同学，这“男同学”就是一个精确的概念。为什么精确？因为一个同学概括不概括在这个概念内，是完全确定的，你和我都清清楚楚。当然，我没见过你班上的同学，所以我 并不知道某一个同学，比如李明，是不是一个男同学。但是这并不要紧，因 为我很清楚，他或者是个男同学，或者不是个男同学，这是明确的。我们可 以把一个明确的概念看成一组事物的总称，用现代数学的术语来说，就是一 个“集合”的名称。　　模糊的概念与此不同，比如我们谈论你班上的高个子，这“高个子”就 是一个模糊的概念。李华身高 1.90 米，他算高个子是当之无愧的。张明身高1.44 米，他和高个子根本不沾边。但是王虎呢？他身高 1.65 米，算不算你 班上的高个子呢？这就很难说了。　　所以“高个子”这个概念是个模糊的概念，主要不是因为测量可能有误 差，也不是因为人的身高会随着他的健康情况、运动情况等发生偶然的变化，　　而是因为我们对“高个子”这个概念根本没有一个明确的界限。 如果要把你们班上身高在 1.70 米以上的同学挑出来，这“身高 1.70 米”就不是一个模糊概念。模糊概念的最根本特点就是：有些事物是否概括在这 个概念里，是不太明确的。　　当然，一个同学的个子越高，他越可以算作高个子。所以不同的事物， 能否概括在一个模糊概念中的资格也不同。　　这样，我们就可以把一个模糊概念与一张表联系起来，表上列出了每一 个事物是否能概括在这个概念中的资格。例如，概念：你们班上的高个子李 华 张 明 王小虎 陈大刚100.40.75?? ??　　这叫资格表。1、0、0.4 等表示资格的多少。对不同的模糊概念，资格 表也不同：概念：你们班上的胖子李 华 张 明 王小虎 陈大刚00.20.90.75?? ??　　模糊数学的研究工作，就是以这种表为基本材料。比如说，两个概念可 以合成一个新的复杂概念。对于精确的概念来说，“你们班上的身高超过 1.70 米、体重超过 70 公斤的同学”是个复杂概念。这个概念是一些什么事物的总 称呢？就是你们班上的同学必须既属于“身高超过 1.70 米”这一组，又属于 “体重超过 70 公斤”这一组，也就是说这两组的共同部分。用现代数学的术 语来说，就是这两个集合的交集。对于模糊的概念来说，“你们班上的高个胖子”这个复杂概念，有一个什么样的资格表呢？就是“你们班上的高个子”这个资格表与“你们班上的 胖子”这个资格表中，每行的两个数中的较小的一个：概念：你们班上的高个胖子李 华 张 明 王小虎 陈大刚000.40.75?? ??　　李华太瘦了，他根本没有资格叫做胖子，虽然他完全有资格叫做高个 子，还是根本没有资格叫做高个胖子。张明呢？他完全没有资格叫高个子， 所以不管他是胖是瘦，反正没有资格叫做高个胖子。王小虎相当胖，但是只有 0.4 的资格叫做高个子，所以他也只有 0.4 的资格叫高个胖子。陈大刚与 他们都不同， 叫高个子与叫胖子都有 0.75 的资格，所以他有 0.75 的资 格叫高个胖子。如果你班上就只有这四个同学，你要我去找你班上的高个胖子，我毫不犹豫地就把陈大刚找来了，虽然李华比他高，王小虎比他胖。 说到这里，你多少可以觉出一点模糊数学的味道了。模糊数学利用了资格表——用现代数学的术语来说叫做特征函数，就可以用精确的数量关系来 表达模糊的概念和它们的关系了。所以模糊数学处理的虽然是模糊的东西， 但是它本身并不是模糊的！　　在数学的各种分支中，类似模糊数学的例子还有。比如研究数量变化， 这个变化可以非常复杂，甚至可以反复无常，但是变量的数学—一微积分， 却是一门脚踏实地的严肃学科，丝毫也没有反复无常的地方。　　以不变对万变，以精确对模糊，这都是现代数学的深刻性和技巧性的精 彩所在！（马希文）椭 圆人造地球卫星的轨道1970 年 4 月 24 日，我国成功地发射了第一颗人造地球卫星。 我国在新闻公告中，公布了有关这颗卫星的几个重要数字：重量 173 公斤，远地点 2384 公里，近地点 439 公里，周期 114 分钟，与赤道平面夹角68.5 度。 这几个数字像一幅速写画，寥寥几笔，就把卫星飞行的情况勾画出来了。卫星飞　　行到离地面最远的时候是 2384 公里，飞行到离地面最近的时候是 439 公里，说明它的飞行轨道不是圆，而是一个椭圆。　　椭圆很好画。在桌子上放张纸，把两颗大头钉钉在纸上，再把一根线的 两头结在大头钉上，用一支铅笔把线拉成折线，顺着一个方向，像用圆规画 圆那样，画出来的就是一个椭圆。　　这个画法告诉我们：一个动点到两个定点的距离保持不变，动点画出来 的图形，就是椭圆。要是我们改变大头钉之间的距离，或者改变线的长短，可以画出各种各样的椭圆来。　　线的长度不变，两个大头钉之间的距离越远，椭圆越扁；两个大头钉之 间的距离越近，椭圆就越鼓；两个大头钉要是重合在一起，椭圆就变成圆了。 要是大头钉之间的距离不变，线越长，椭圆越大越鼓；线越短，椭圆就越少 越扁，直到成为一条直线段。椭圆各部分都有名字，两个定点 F1、F2 叫做焦点；过焦点 F1、F2 的直线与椭圆交于 A 、B 两点，AB 叫做椭圆的长轴；AB 的中垂线与椭圆交于 C、D，CD 叫做椭圆的短轴。椭圆的焦点总是在长轴上。　　人造地球卫星的轨道，除个别是圆外，绝大多数是椭圆，地球的中心， 也就是地心，位于椭圆的一个焦点上。　　一个物体围绕地球旋转，要不被地球引力拽[zhuài]下来，它的初速度不 能小于 7.9 公里/秒，这叫做第一宇宙速度。　　如果飞行速度恰好等于第一宇宙速度，那么，物体正好维持自己不被地 心引力拽下来，它飞行的轨道是一个圆。如果物体飞行速度大于第一宇宙速 度，它就要挣脱地心引力往外飞。物体在飞离地球的过程中，要不断克服地 心引力，飞行速度就会逐渐变小，到速度减小到不足以挣脱地心引力的时候， 它会被地心引力往回拽。在接近地球的过程中，物体飞行的速度又逐渐加大， 最后又挣脱地心引力往外飞。这样周而复始，物体的飞行轨道就成了椭圆了。 物体初速度越大，它挣脱地心引力往外飞得越远，它的椭圆形轨道的长轴也 越长。　　
物体需要多大初速，才能挣脱地心引力，飞离地球呢？经计算，初速度 不能小于 11.2 公里/秒，这叫做第二宇宙速度。　　我国第一颗人造地球卫星的轨道既然是一个椭圆，那么，它的（长轴 AD）=（远地点 AB）+（近地点 CD））+（地球直径 BC）= × 公里。我们还可以算出它在近地点的速度最大，等于 8.1 公里/ 秒；在远地点的速度最小，等于 5.2 公里/秒。　　太阳系的九大行星，围绕太阳旋转的轨道都是椭圆，太阳位于一个焦点 上。在太阳系中，还有慧星和流星等天体，它们运行的轨道，也有许多是椭 圆的。壮观的狮子座流星雨　　夏天的晚上，人们都喜欢在庭院里乘凉。在繁星点点的夜空中，有时会 出现一道亮光，一闪即逝。孩子们看见了，高兴地叫起“流星”来。流星是 地球以外的物质。它们进入地球的大气层，与空气磨擦，发热燃烧，留下的 一条光亮的痕迹。1833 年 11 月 13 日凌晨，全世界很多地区的居民，都看到了满天流星，像下雨似地落下来，情景十分宏伟。在几小时之内，出现的流星和火球有 20 万个之多。看起来，它们像节日夜晚放的札花那样，好像从一个点迸[bèng] 发出来的。这个点的位置在狮子座附近，于是人们把这次流星雨称为“狮子 座流星雨”。　　天文学家查考了中国和阿拉伯 的古书，发现常有关于 11 月流星雨的记 载，而且出现的年代是有规律的，大约每隔 33 年或者 34 年出现一次。于是， 人们满怀信心地等待着它下一次再出现。过了 33 年，到了 1866 年，不少天 文爱好者守望天空，果然又看见了流星雨。狮子座流星雨是怎样产生的呢？原来流星雨本是集结成群的无数小流星，它们也以椭圆形的轨道绕着太阳转圈子。狮子座流星群的轨道很扁，远 日点在天王星的轨道以外，近日点正好和地球的轨道相交。每隔 33 年或者34 年，这群流星正好和地球相遇，其中有些受到地心引力，进入地球的大气层，与空气相磨擦，燃烧发光，于是形成了光彩缤纷的流星雨。这时候地球 运行的方向正指向狮子座，所以这些流星好像都是从狮子座附近迸发出来 的。右图的 A 是太阳，B 是地球的轨道，C 是流星群的轨道，D 表示狮子座的 方向。　　不过最近几次，狮子座流星雨越来越少，只偶尔有疏疏落落的几点。可 能是这个流星群已经衰落了，也可能因为地球只在它的边缘擦过。等到 1998 年，地球将再一次和狮子座流星群相遇，不知我们能不能看到它告别二十世 纪的壮丽情景？　　椭圆和声音
椭圆有一个重要的性质，就是从一个焦点上发出来的声音、光或者热， 经椭圆反射，可以全部聚集到另一个焦点上。
我们以椭圆的长轴为轴，把椭圆旋转一周，可以得到一个旋转椭球面。 过长轴的任一平面，与椭球面的交线都是相同的椭圆。这个事实告诉我们， 椭球面和椭圆有相同的性质，也可以把一个焦点处的声、光或者热，全部反 射集中到另一个焦点处去。　　古代的希腊人，曾经修建过椭球形的音乐厅，把演奏台设在其中的一个 焦点上。他们认为把音乐厅修建成这样，一个乐队演奏，两个焦点处同时发 出声音，就相当于两个乐队同时演出，听众可以大量增加。实际上，这样的 音乐厅并没有使用价值，因为音乐厅中，除了在另一个焦点上能听到很大的 声音以外，其它许多位置上的听众，听到的声音都不大。椭圆和激光　　椭圆在声学上虽然没有多少作为，但是在光学上却大显身手，越来越得 到人们的重视。　　你知道激光吗？有一些物质，比如红宝石、钕[nǔ]玻璃、二氧化碳等， 在外界强光的刺激下，可以发出一种能量非常集中、方向性非常好的单色光， 这就是激光。　　激光本领高强，在工业、通讯、测量、医疗、军事等各个方面，已经开 始发挥强大的作用，前途不可限量。用激光测量地球到月球的距离，在遥远的 384400 公里距离中，误差只有几厘米，还不到一根指头那么长。牙科医生 用激光来治疗牙病，外科医生用激光手术刀代替一般手术刀。在军事上，甚 至可以做成激光炮，用来打敌人的飞机和导弹。　　各种激光材料需要在外界强光的刺激下，才能发出激光。目前，外界光 源多选用高压氙气灯。人们考虑把氙灯发出来的光，最大限度地集中到激光 材料上去，经过研究，科学家看中了椭圆。他们用反光性能非常好的材料，　　做成一个椭圆形柱面的聚光器；然后把棒状激光材料和氙灯，放在所有椭圆 的焦点所组成的两条焦线位置上，使氙灯发出来的光，经椭圆形柱面反射， 绝大部分集中在激光材料上，使激光材料得到更好的激发。怪模样的电影放映灯　　我们都喜欢看电影。当电影院的铃声响过以后，窗帘拉上了，灯也熄了， 一束很强的光，从后面的放映孔中射出来。你也许这样想过：电影放映机中 装了多大度数的灯泡，才能发出这么强的光来？　　把电影胶片上的图像放映在比它大许多倍的银幕上，需要有一束很强的 光线。怎样才能得到一束很强的光线呢？当然要求灯泡的度数大。但是，仅 仅有一个大灯泡还是不够的，因为灯泡发出的光射向四面八方，只有很小的 一部分照在胶片上，绝大部分都浪费掉了。人们想，能不能把灯泡发出来的 光集中起来，让它尽可能多地照在胶片上呢？这个问题，被圆和椭圆很好地 解决了。　　下页的图是一个叫做“全反射式放映灯”的断面图。你看它样子长得挺 怪，一边鼓，一边扁，除去右边正中有一个圆形的窗口 mn，其余都镀上一层 亮亮的铝。它的右侧 AB 是圆弧，灯丝 F1 是这段圆弧的圆心；左侧 AC 是椭圆 弧，灯丝 F1 是这段椭圆弧靠左边界的焦点。把电影胶片放在椭圆靠右边的焦点 F2 处，让我们来看看，圆和椭圆是怎样密切合作，把光都集中到胶片上去的：灯丝 F1 发出的一部分光，能直接通过窗口 mn 照射到 F2 处的胶片上去。F1 发出的另一部分光，射到椭圆面 AC，经过反射，就可以照射到胶片上去。其余的光，经圆面 AB 反射到椭圆面 AC，再一次反射，也可以照射到胶片上 去。在全反射式放映灯里，圆和椭圆真称得起精打细算的能手。它们俩把绝大部分的光，都反射到胶片上去了，使胶片得到很强的光。 椭圆的用途可不止以上几种，在科技和生产的许多领域里都少不了它，比如在机械加工中，现在有椭圆形齿轮，椭圆形凸轮；在光学研究中，有椭 圆偏振光等等。（李毓佩）数学家趣闻　　据说，凡是能成为数学家的人多少总有一点诗人的气质；喜欢一个劲儿 地动脑筋琢磨。数学家为了解决一个数学难题，不仅坐在办公室里想，等公 共汽车时也想，躺在床上休息的时候也想，在幽静的小路上散步也想，以致 像陈景润那样朝思暮想“哥德巴赫猜想”。“哥德巴赫猜想”是怎么一回事呢？　　1742 年 6 月 7 日，俄国彼得堡科学院士欧拉接到早年做过驻俄国公使 的德国老朋友哥德巴赫的一封信。信是这样写的：“欧拉，我亲爱的朋友： 您用极其巧妙而又简单的方法，解决了千百人为之倾倒而又百思不得其解的‘七桥问题’，使我受到莫大鼓舞，鞭策着我在数学的山路上攀登。 经过充分的酝酿，我想冒险地发表一个大胆的猜想。现来信征求您的意见。我的问题如下：任意取一个奇数，如 77，它可以写成 3 个数（即质数） 之和，即 77=53+17+7。再任取一个奇数 461，那么 461=449+7+5 ，或461=257+199+ 5 ，都是 3 个数之和。这样我发现：任何大于 5 的奇数都是3 个素数之和。但怎样证明呢？虽然任何一次试验都可得到上述结论，但不 可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。 你能帮忙吗？”这就是至今 200 多年尽管无数数学家为此付出艰辛劳动，绞尽脑汁，仍然还没有最后被证明，也没有被推翻的“哥德巴赫猜想”！ 哥德巴赫在给欧拉的信中提到“七桥问题”又是怎么回事呢？故事发生在 1736 年的德国。普雷格尔河在北欧平原上静静地流着，它像一条银色的飘带系在波罗的海岸古老的领地哥尼斯堡的胸前，贯穿市区的 河流像“8”字结一样，环绕着两座风景秀美的小岛，在两岸和小岛之间有七 座桥把它们连结起来，这别出一格的天然公园成了游人络绎不绝的乐园。不 知是谁提出一个有趣的数学游戏：一个游人怎样才能一次走遍七座桥，而且 每座桥只过一次，最后回到出发地点。从此这里变成了“数学游戏迷宫”， 吸引了许多游人前来试验自己的能力。无论是风华正茂的少年，还是满头银 发的学者，他们都不厌其烦地在七座桥上穿来穿去，从旭日东升到日薄西山， 从春暖花开到雪花飘飘，人们不断地穿行着??，时间，像桥下的河水一样， 无情地流驶着。有的人从少年时代起就迷在七座桥上，直到老态龙钟仍然念 念“七桥问题”；甚至在生命最后一息还想再试最后一次，找不到“七桥问 题”的答案，死不瞑目！　　一传十，十传百，“哥尼斯堡七桥问题”很快传遍了欧洲，成了全欧闻 名的难题。　　“哥尼斯堡七桥问题”这个耗费不知多少人生命和精力的难题最后是怎 样解决的呢？　　还是让我们从俄国彼得堡科学院士欧拉说起吧 ！1735 年因为他长期观 测太阳致使右眼失明，他忍受着痛苦，开始潜心研究“七桥问题”。他想： 千百万人的无数次失败，是不是就断定不存在一条能行得通的走法呢？开始 他想用“穷举法。，对“七桥问题”中的 7×6×5×4×3×2=5040 条路线逐 个查证，但太麻烦了！何况，如果是更多桥的问题又怎么证明呢？于是他改 换了思考问题的方法，七桥图巧妙地抽象化了：　　他从而得到了一个用 4 个点表示两岸和两个小岛，用 7 条线表示七座桥，这里岛的大小、形状和桥的长短都是无关紧要的表面现象，图 3 的点与 线的关系才是问题的本质。最后欧拉用“一笔画”的方法证明图 3 是不可能 一笔画成的，也就是不可能一次走遍七座桥又回到原来出发点的。　　善于动脑的欧拉，竟如此简单地用“一笔画”定理，解决了千百万人耗 费生命和精力百思不解的难题。但，欧拉并没在世界数坛一片赞叹声中故步 自封，在此基础上他开创了数学的一个新的分枝——拓扑学。（彭景康）二月为啥少两天　　小朋友，你能回答这个问题吗；闰年全年有多少天？平年全年有多少 天？一年多少天是不能随意增减的，而一个月多少天却是人们自己规定出来 的。　　据说很早以前，古罗马儒略，凯撒大帝修改历法时，原定一、三、五、 七、九、十一月各为 31 天，二、四、六、八、十、十二月各为 30 天，全年共 366 天，平年减少一天为 365 天。但在平年应从哪个月里去减少一天呢？ 当时古罗马处决犯人都规定在二月份执行，因此人们把二月份看作不吉利的 月份，厌恶它希望缩短它，所以就把二月份减少一天，改为 29 天。后来罗马 帝王奥古斯特在修订历法时，为表彰自己的功绩，又从二月份里取出一天， 加在他出生的八月份里。这样一来二月只有 28 天了。同时又把九、十一两个 大月改在十、十二月上，就成了现在大、小月的样子。　　那么闰年的二月为啥有 29 天呢？现在规定平年是 365 天，可是事实上 地球绕太阳一周的精确时间是 365.2422 日，就是说有 365 天多一点。这样每 过四年就会多出一天。于是制订历法的人就把这一天放到二月份，这样闰年 的二月就有 29 天了。因为要经过 4 年才多出一天，所以隔四年就有一个闰年。根据规定：以公元年份为标准，凡是 4 的倍数的年份必是闰年。公历年份是整百数的，必 须是 400 的倍数才是闰年，这也就是历法规定的：“百年少一闰，每四百年 加一份闰”。（卫 华）　　　　　　　　　　　　　　　　数数问题谁不会数数？这也算个问题？ 当然罗，人有几个手指，屋子里有几把椅子，这谁也会数。 但是也有一些数，不能靠“一、二、三??”这样简单的办法去数。 比如中国有十二亿人口，如果一、二、三??这样地数，就算一秒钟数两个，一天二十四小时不停地数，也只能数 24×60×60×2=172800 个，一年数 5= 个，也就是六千三百万多一点，十二亿个就要数 十五年还不止。在这个时间内，不知有多少人死去，多少人出生，怎么数得 清呢？　　又比如教室里有多少座位，我们一般不是一个一个地数，而是数数有多 少排，每一排有多少个座位，然后用乘法来计算。　　有一些数字很大，又只需要一个比较粗略的近似值，这时候，我们就要 利用种种的办法进行估计。一本书有多少字？大体上可以用页数乘上每页的 行数，再乘上每行的字数来估计。　　不过，即使是估计，有时候也需要认真思考，才能找到一个切实可行的 好办法。例如，你头上有多少根头发？　　据说，人的头发有几十万根之多，当然不可能一根一根地去数。你想用 乘法来计算，可是头发不是成行成垅、整整齐齐地排好的。一种切实可行的办法，是测量一下长着头发的皮肤面积有多大，再数一数一个平方厘米的头皮上有多少根头发，这是可以数得清的。 当然罗，头上这一平方厘米和那一平方厘米的头发可能不一样多。我们可以仔细观察一下，选有代表性的一个平方厘米。　　数头发并不重要，数森林中的树有多少棵，可是一件重要的事。这两个 问题十分相似，可以用相同的办法去解决。但是，森林中的树木长得有稀有密，我们根难走遍整个林区，来挑选一块最典型的地方。这怎么办呢？ 最好的办法是任意挑选若干块地方，分别计算，然后求出平均数来。数学的研究说明，平均数总是更加接近实际。　　研究这类问题的数学叫做数理统计。这是现代数学中一个非常活跃的分 支。这里用的方法，叫做抽样方法。我们再举一个例子，来说明数理统计的用途。　　水库里养了鱼，每年要捕捉一些供应市场需要，爱吃鱼的人很多，最好 多捕一些。捕得太多了，剩得就太少，会影响鱼的繁殖，明年就捕不到多少 鱼了。　　为了掌握好捕鱼的数量，就需要知道水库里到底有多少鱼。这个问题看 来和上面的问题很相像，其实要困难得多。因为鱼是游来游去的，而我们也 不好选出一平方米水面，来数一数下面有多少鱼。　　渔业人员想出了一个巧妙的办法，他们捕上一千条鱼，给每条鱼都做上 记号，比如在尾巴上剪去一个小角，然后放回水中。　　鱼儿到了水里就四散游开去。过了几天，这些鱼均匀地散布在水库的各 个地方了。渔业人员再捕上一千条鱼，一看，其中有二十条是做过记号的。他们想，如果水库中共有 X 条鱼，其中有一千条被我们做过记号，那么，做过记号的鱼占全部X条鱼的几分之几呢？当然是 1000 了。现在捕X了一千条鱼，其中有二十条做过记号，也就是说，在这一千条鱼中，有记号的鱼占20=10001。这个比和前面那个比的值，大体上应该是一样501000 1的。所以， ≈ 。这样一来，就计算出X≈5000 。X 50五万条鱼，今年捕上三四万条，大概没问题吧！ 这个问题，简直像一个简单的比例问题，其实不然。你也去那里捕一千条鱼，数数有几条是做过记号的，你敢保证也是二十条吗？不敢吧！ 实际情况必然是这样，每捕一千条鱼，其中做过记号的鱼的数目，不会是一成不变的。 比如说，你捕的一千条鱼中有二十五条是做过记号的，你列出的方程就会是251000≈ 1000 ，算出的结果是X≈40000 ，比刚才算的少了一万条。X那么，水库里到底有多少鱼呢？ 数理统计可以帮助我们解决这个问题。它告诉我们，在后捕上来的一千条鱼中有多少条做过记号，数目虽然不是固定的，而是可变的，但是有一定的变化的规律。一旦掌握了这个变化的规律，我们不但可以用比例的办法来 估计出水库中的鱼的总数，而且可以掌握这个估计会有多大的误差。数理统 计还可以给我们提出一些更好的办法，来帮助我们尽可能地减少这种误差。 这样，就在数理统计的基础上，发展出一整套调查动植物资源和研究许多其他问题的方法。（马希文）该跟踪谁　　侦察员小王接到命令，去跟踪一个重要的间谍“熊”。现在，“熊”正 在一间密室里和另外两个间谍碰头。小王只知道“熊”是三个人中最高的一 个，但是无法看到他们三个人碰头的情况，因而也不知道三个人中哪个身材 最高。小王只能在门口等待他们出来。他想：这三个间谍如果不一块儿出来， 可能最先出来的是“熊”，也可能最后出来的是“熊”，也可能中间那一个 是“熊”，我应该跟踪哪一个呢？三个间谍在密室里也正考虑呢，为了防备外面有人盯梢，谁先出去好呢？这就是一个对策论的问题。 对策论是现代数学的一个重要分支，在军事、公安、经济和日常生活各个方面，都很有用处。由于对策论经常用智力游戏——打扑克、下棋等做模 型，所以又叫博奕论。博就是赌博，奕就是下棋。其实，赌博如果去掉输赢 财物的规定，就是智力游戏。　　再举一个例子：有人要买外国一家公司的一条旧船。他知道这家公司有 三条旧船，价格一样。双方商定先看第一条船，如果他表示不要，再看第二 条船，如果又表示不要，再看第三条船。既然三条船价格一样，他当然要尽 可能买最好的，但是哪一条是最好的呢？公司呢？它知道这次只能卖掉一条船，为了多赚一些钱，当然希望把最坏的一条卖掉，那它应该按什么顺序介绍呢？ 这两个对策论的问题含意是不同的，但是在数学上，它们是相同的问题。　　一般的对策问题都是这样：双方各有一些可以采取的策略，一旦双方的 策略都确定了，就会出现一定的结果，问题是双方怎样找到最好的策略？孩子们很喜欢的“石头、剪子、布”划拳游戏，就可以作为对策论的一个例子：甲乙二人同时伸出手来，做出石头、剪子、布的样子。两个人如果 手势相同，就算平局；如果不同，石头可以砸坏剪子，剪子可以把布剪破， 布可以把石头裹起来，那就有了胜负。　　在这个问题里，甲和乙各有三种可以采取的策略。结果如何？我们列出 一个输赢表来：这是甲的“得分”表。“0”表示平局，“一 1”表示输，“1”表示赢。
乙
石头
剪子
布
甲
石头
0
1
-1
剪子
-1
0
1
布
1
-1
0
我们把对策问题列成这样的表，就成了“表上游戏”。这种表是由若干行和若干列数字组成。甲可以指定其中的某一横行，乙可以指定其中的某一 直行。规定他们同时说出他们指定的横行或直行。在这两行的交叉点上的数， 就是甲得到的分数。例如在这个表格里：　　如果甲指定第二横行，乙指定第三直行，甲就得到-3 分，也就是说输 3 分。到此为止，我们为对策问题找到了一个数学模型。在代数课上，我们常常要为一个应用题列出方程式来。这个方程式就是应用问题的数学模型。有 了数学模型，我们就可以暂时丢开原来的应用问题，全力去解决这个数学模 型中的问题了。　　所以现在，我们就暂时丢开什么“熊”呀，船呀，手势呀，全力以赴去 研究这样的一个问题：在表上游戏中，怎样找出最好的策略。（马希文）一次游戏　　小王和小张是同班同学。在小学的时候，他们没有学好数学，也不喜欢 数学。一起进了中学，两年来，在李老师的耐心帮助下，他们越来越喜欢数 学了，特别爱钻研各种有趣的数学问题。这一天，他们去看望李老师，想请 他出一些题给他们做。　　李老师笑了笑，说：“今天我们做一个游戏吧！你们每人任意想一个正 整数，按照我说的进行运算，我就能知道你们的答案是多少。”“真的？” “当然是真的。你们每人拿一张纸，各人算各人的，不要互相看。” 等他们准备好了，李老师说：“你们每人任意想一个正整数，——想好了吗？” “想好了。”小王在纸上写了一个数——7。 “给这个数加上任意一个正整数。” 小王写：7 + 4=11。” “把所得的和，用任意一个正整数乘。” 小王写：11×6=66。“把所得的积，再用小于乘积的任意一个正整数来除。”李老师继续说。小王继续写：66÷5 =13 余 1。 “如果不能整除，把商和余数相加。” 小王写：13+1=14。 “然后把计算结果，用 45 乘。” 小王算：14×45=630。“现在，把所得的积的各位数字加起来，比如得到 231，就 2 加 3、再加 1 得 6 。加起来如果是两位以上的数，再这样相加下去，直到得到一位数 字时为止。比如第一次相加后得到 43，就把 4 和 3 加起来，得到 7。”小王按李老师说的写：6+3=9。“你们都得到一位数字了吧？” “是的。” “现在，你们把所得的结果用 3 乘。” 小王写：9×3=27。“再给积加上 23。”小王写：27+23=50。 李老师问道：“你们的答案是不是 50？”　　“对！”“是的！”小王和小张高兴得站了起来，异口同声地问道：“老 师，你是怎样知道我们的答案的？为什么答案都是 50？”李老师说：“你们先互相看一看所设的数和计算过程吧！” 小王先看完小张的计算过程，惊讶地说：“真奇怪！我们所设的数，所加、所乘、所除的数都不一样，可最后的答案都是 50，真巧呀！” 李老师笑了，看着他们的草稿纸说：“这是由于你们的一个老朋友在作怪。这个朋友，你们每天见面，每天和它打交道，可是你们对它的脾气和特 点，还不完全了解。这个老朋友，你们猜是谁？”小王和小张想了一会，说：“不知道。” “就是 9。”“9？”“9？” “就是这个老朋友。”李老师接着说，“刚才这个游戏，关键的一步，就是我让你们用 45 乘你们前面的计算结果。因为 45 等于 5 乘 9，就等于用 5 乘后再用 9 乘，所得的结果，必然是 9 的倍数。凡是 9 的倍数，它的各位数 字相加后，最后的结果必然是 9。用 3 乘 9，再加 23，那当然是 50 了！至于乘 45 之前的各种运算，目的是要得到一个正整数。只要能保证得到一个正整 数，怎么运算都行。”弄清了这个游戏的秘密，小王、小张高兴地说：“真有意思！” 李老师说：“9 的学问还多着哩！”善于动脑筋的小王问道：“老师，刚才的游戏，如果不用 45 乘，而用 9 或者 18、27、36、54 等9 的倍数乘，那么，积的各位数字相加，所得的最后结果，是不是也是 9 呢？” 李老师答道：“对，也是 9！你们回去还可以再算一算，想一想其中的道理。” 小王和小张知道李老师还要批改作业，就告辞了。 李老师说：“好，欢迎你们常来！”（杨勇光）寻找秘密　　在庆祝“五四”青年节的晚会上，小王要登台表演一个叫做《数学魔术》 的节目。幕拉开了，只见台上正中放着一块黑板，小王从后台走了出来，大声说道：“同学们，为了使我们的晚会内容丰富多采，我代表我们班来演出《数学魔术》。其实，这不是什么‘魔术’，也不是我一个人来演，而是要大家 来演。　　“同学们，请上来一位，在黑板上任意写上几个正整数，只要这几个数 的位数相同就行了。然后，我也很快写几个数，我马上就能知道这些数的和 是多少。请上来一位试试吧！”　　观众中有好几位同学都离开座位准备上台去，但小张上去最早。他拿起 粉笔，在黑板上连续写了三个三位数：523，618，462。　　字写得很大，台下的观众都看得很清楚。小张刚写，小王马上也跟着写 了三个三位数：537，476，381。并且紧接着说：“请小张和同学们都算一算，这六个数的和是不是2997！”　　　　　小张拿起粉笔，列成竖式，整整算了两分钟才算出来： 小张刚算完，写出答数，台下就响起了热列的掌声。 和小王、小张很熟的小吴急了，以为里边有鬼，赶忙抢上台去，尽快在黑板上写了三个五位数：4，94182。 小王马上也写了两个数：7。　　小王刚写完，就说：“这五个数的和是 245234，请小吴和同学们都算一 算。”说完，在黑板上写下 245234。小吴列成竖式，足足用了三分多钟才算出来，答案和小王说的完全相同。台下又响起了热烈的掌声。 早已作好准备的文莉走上台去，用最快速度在黑板上写了四个七位数：9351437942。 小王接过粉笔，立即写了三个数：064853862057； 并且接着在旁边写了一个数——3268462。　　然后说：“这个 ，就是上面七个数的和，请文莉同学和同学们 都算一算，看对不对！”文莉列成算式，一个一个地加，用了四分多钟才算出来，答案果然是！台下又响起了掌声。 小王在掌声中向大家鞠躬谢幕。但是，同学们一致大声鼓掌，要求讲一讲这个“魔术”的秘密在哪里。小王重新出台，边写边说： “说穿了，很简单！这都是利用 9 的特点来计算的。刚才小张写的三个数是：523，618，462； “我写的三个数是这样得来的：537=999－462，476=999－523，381=999－618。 “所以这六个数的和必然是 999×3=2997。至于后面小吴和文莉写的数和我写的数，大家一看就会明白的。”又是一阵掌声?? 晚会结束后，小吴回到家里，把记录下来的数拿出来看了一遍又一遍，终于发现小王写的两个数的秘密：－2=9， 所以这五个数的和等于：×2==245234。 他又想，小王为什么会算得那样快呢？想啊，算啊，终于发现：199998 不是等于
吗？给 45236 加上 199998 就等于加上200000，再减去 2；也就是给 45236 前边写一个 2 ，从个位数字 6 中减去 2 ， 不就是 4 吗？所以：=245234。小吴高兴地跳起来，拍着手说：秘密找到了！”　　关于文莉所写的四个七位数以及小王所写的三个数的和，究竟是怎样计 算出来的，请你自己进行分析吧！（杨勇光）意外发现爱动脑筋的小吴和文莉经过准备，决定用一个有趣的难题来考住小王。 这一天下课后，他们两个笑嘻嘻地对小王说： “听说你挺喜爱数学，来！我们考一考你。” “爱是有点爱，可是没学好，应该向你们学习。” “那好！你拿上笔，任意写一个三位数，要求第一位数字大于第三位数字，例如 523 就可以。把它倒转过来得到另一个三位数，例如 523 倒转得 325。 从第一个三位数中减去第二个三位数。把所得的差的最后一位数告诉我们， 我们就知道你得的差是多少。”小王想了一个三位数，算好后，说：“最后一位数字是 5。” “你得的差是 495，对吧？”文莉问。“完全对！我想的数是 853，倒转后得 358，853—358= 495。” “请问我们是用什么方法算出来的？”小吴说。 小王一时答不上来。小吴和文莉说：“可以三天以后交卷，但是不准和任何人商量。” 说也巧。小王边想边走，回到家里，正好弟弟等着要他帮助算一道算术题。他一看，题目是：甲乙两组拾棉花，甲组共拾 521 斤，乙组比甲组少拾125 斤，已知乙组共九人，问乙组每人平均拾多少斤？ 小王给弟弟讲了题意，列出了算式，让弟弟计算：（521－125）÷9 = 396÷9=44（斤）　　“哪，秘密在这儿！”小王惊奇地说着。原来他发现 521 倒转后得 125， 相减后的差是 396，可以被 9 整除；又看了看 396 这个数，中间是 9 ，首末 两位 3+6=9，他联想到自己所得的差 495，也符合这个规律。所以他想：知道 了最后一位数字是几，当然知道差是多少了。这真是意外的发现，把我的问 题也解决了！接着，小王又想了一个三位数 846，倒转后得 648，846－648=198，中间还是 9 ，首末两位是 1+8=9，完全符合自己分析出来的规律。 小王进一步观察，还发现这样算出来的差，不但可以被 9 整除，同时还能被 11 整除，也就是说可以被 99 整除。　　小王想，李老师常说数学是很严密的科学，只有经过证明，才能算是规 律或定理。怎样才能证明这一规律呢？他想啊，算啊，终于证明出来了：设一个三位数 ABC，其中 A＞C，列成竖式：　　因为 A ＞C ，所 C －A 不够减，必须在 B 中借 1 ，就变成（10+C ）， 所以差的个位数字是（10+C－A ）。　　这样，B －1 要减去 B ，也不够减，又向 A 借 1 ，变成“10+B—1 ”， 再减去 B 就得（10+B－1 ）－B =1－1=9。所以差的中间一位数字一定是 9 。很显然，差的第一位数字必然是 A —C —I 。 所以差的首末两位数字的和是：（A -C-1 ）+ （10+C-A）=10-1=9。 这就证明了这个规律的正确性。　　由于差的中间一个数字是 9 ，首末两个数字的和是 9 ，所以知道了末 位数，当然就知道整个差数了。同理，知道了首位数字，也能立即说出整个差数。 第二天，小吴和文莉听小王讲了详细情况，高兴地称赞道：“我们只知道方法，你还加以证明，很会动脑筋，该得双百分！”（杨勇光）有趣的“三”　　数字中最神秘、最受青睐的大概要算“三”了。在我国，从许慎的《说 文解字》到《淮南子·天文训》，历来注家对此都有解释。其中，较为科学 的解释是：“道始于一；一而不生，故分而阴阳；阴阳合和而万物生，故曰： 一生二，二生三，三生万物”。“三”是两性合和的成果，是万物生殖繁衍 的体现。　　如中国古代建筑，王城的营建制度是九里见方，城的每一面各开三个城 门；城内南北道路、东西道路各九条，路宽 72 尺。这些数字都是三或三的倍 数。为何要这样修建呢？一是帝王都自称“受命于天”，表示其统治人民的 权力是上帝赋予的；于是干什么都打着“行天之道”的旗号；二是因为“三 生万物”，王朝要兴盛发达，就得行“三”之法。再如历史上的“三公”“九卿”“二十七大夫”“八十一元士”，共计120 个官。这说明王朝设官也是以“三”为法的，其用意仍然是为了表明王 者法天，即所谓“顺天成道”。　　在社会和民俗方面，“三”这个数字也是无所不在的。“一问三不知” 中的“三”体现了事物的开始、过程和结果。“三羊开泰”中的“三”在民 俗中有“吉祥”之意。“三教九流”中的“三”和“九”概括了社会各行业 的方方面面。自古以来，中国就有礼仪之邦的美称。通过对中国古代礼节的研究，我们不难发现这样一个有趣的事情，古代的礼节也多与“三”这个数字有关。 古时候，中国人待客，往往要客人熏三次香，洗三个澡，叫做“三衅”、 “三浴”，表示极高的尊重。古有“退避三舍”之说，也是起源于一种礼节。 晋重耳为报楚王之恩，在两国交兵时，后退三次，以表示感谢和敬畏之心。 古代，臣民们拜见帝王都得行三叩九拜之礼，同时还得三呼万岁。如遇家中 长辈死丧，晚辈人还有守孝三年之说。《三国演义》中，诸葛亮高卧隆中， 刘备一而再，再而三地去请他出山，帮他打天下，演出了一部思贤若渴“三顾茅庐”的剧目，诸葛亮在三请之下如再不出山，恐怕就失礼之嫌了。　　古代的许多礼节对于现代人来讲是很繁琐的了，没有必要去讲究了，但 是有的礼节我们还仍然保留着，如去吊唁时，面对死者，哀悼者要三鞠躬； 去别人家里作客，需得敲门而进，而敲门三下，则是比较礼貌的行为；现在 还有一种礼貌是与“三”联系比较密切的表现，就是我们常见到汽车的厢板 上往往写着“礼让三先”。　　“三”这个数字也被广泛地应用于时空和算数。凡极言时间之长、空间 之大、数量之多，古时多用三或三的倍数来表示。如“三思而行”，“三人 行必有吾师”、“九天”、“十八层地狱”、“三百六十行”等等。　　“三”这个数字还与人体结下了不解之缘。人体结构的基本单位——细 胞，是由细胞膜、细胞质和细胞核三部分组成；人体各组织和器官的形成， 开始于外、中、内三胚层的形成和分化；构成完整的人体系统，有运动系统、 循环系统、消化系统、呼吸系统、泌尿系统、生殖系统、脉管系统、神经系 统和内分泌系统，其数目正好是三和三的倍数。　　可见，关于“三”这个数字，在中国古代被广泛运用到自然和社会的各 个方面。在国外，“三”也同样受到人们的重视。　　古希腊人把“三”称为完美的数字，说它体现了“开始、中期和终了”， 因而具备神性。　　在民间流传的希腊罗马神话中，世界是由三位神灵统治的——主神朱比 特、海神尼普顿、冥神普路托。朱比特手执三叉闪电，尼普顿挥舞三叉戟， 普路托牵着一条三头狗。女神也有三位——命运女神、复仇女神、美惠女神。 那时的西方文化认为，世界由三者合成——大地、海洋、天空；大自然 有三项内容——动物、植物、矿藏；人体具有三重性——肉体、心灵、精神； 基督教主张三位一体——圣父、圣子、圣灵；人类需要三种知识——理论、实用、鉴别。 到了近现代，世界名人的理性思维也离不开“三”。雨果说：“人的智慧掌握着三把钥匙：一把启开数字，一把启开字母，一把启开音符。”车尔 尼雪夫斯基说：“要使人成为真正有教养的人，必须具备三个品质：渊博的 知识、思维的习惯和高尚的情操。”爱因斯坦则总结了成功的三条经验；艰 苦的工作、正确的方法和少说空话。数字巧对趣事多　　数字嵌入诗中能编写出妙趣横生、耐人寻味的数字诗，而数字嵌入对联 中同样可以组成构思新奇和令人叫绝的数字联。　　嵌有数字的对联很多，如“四面荷花三面柳，一城山色半城湖”，“辞 旧岁，十亿人民重添百倍劲；迎新年，四化建设更上一层楼”，“六塔重重， 四面七棱八角；一掌平平，五指三长两短”，联中都嵌有一些数量不等的数 字，它使对联显得更加生动形象，也增加了趣味感。再如杜甫草堂的对联“诗 史数千言，秋天一鹄先生骨；草堂三五里，春水群鸥野老心”，云南黑龙潭 的对联“万树梅花一潭水，四时烟雨半山云”，“千朵莲花三尺水，一弯明 月半亭风”，以及戏剧家田汉的“二河两岸双江口，单人独马一杆枪”，联 中不仅有数字，还有一些数量词，搭配起来，则更使对联增色不少。　　然而更为巧妙的是，有些对联竟把一至十这十个数字全嵌进了联中，有 的是有规律地排列，有的是无规律地排列，有的则全联均由数字组成，而且 还有的对联则大量使用数字迭字，真是满目琳琅，多姿多采，妙趣无穷。全由数字组成的对联　　据说有一年腊月的一天，郑板桥和苏州蔡州官同游苏州城，见有一户人 家门上贴了这样一副对联：二三四五
六七八九 郑板桥见后便跟蔡州官说：“请稍等一会，我马上就来。”一会，郑板桥手拿几件衣服，拎了几斤肉，还背了一袋粮食回来了，他敲开那家的门，把衣服、粮食等给了主人。主人千恩万谢，说衣服和粮食送得好，救了他们 的命，否则很难过这个年。离开这家后，州官问郑板桥怎么知道这家人缺少衣服和粮食，郑板桥说：“他家大门上不明明白白地写着吗，你看那对联是‘二三四五，六七八 九’，这不就是缺一（衣）少十（食）吗？”此上下联各隐去“一”（衣）和“十”（食），构思精巧，修辞方法奇妙，且又合情合理，毫不牵强附会，实让人拍手叫好！ 民国初，军阀混战，民不聊生，窃国大盗袁世凯假称“人民拥戴”，竟恬不知耻地演出了称帝的闹剧，有人便为其写了这样一副对联：一二三四五六七 孝悌忠信礼义廉　　此联下联虽无数字，但上联却全是数字。上联隐去了“八”，下联隐去 了“耻”，从而影射袁世凯“忘（王）八无耻”的丑恶行径，以这种奇特的 方法对袁予以嘲讽和抨击，真是入木三分，大快人心！　　嵌“一”至“九”的数字联
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