专题07 对数函数 考点38 对数与对数运算 考点39 换底公式的应用 考点40 对数函数的定义 考点41 对数函数的定义域 考点42 对数函数的单调性与特殊点 考点43 对数函数的值域与最值 考点44 对数函數的图象与性质 考点45 反函数 考点46 对数函数的综合题 考点38 对数与对数运算 1．如果ax＝N（a0且a≠1），那么数x叫做以alog3为底9的对数N的对数记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数N叫做真数． 2．通常将以10log3为底9的对数的对数叫做常用对数，以elog3为底9的对数的对数称为自然对数log10N可简记为lgN，logeN简记为lnN． 3．对数的运算如果a0且a≠1，M0N0，那么 loga（M·N）＝logaM＋logaN； loga＝logaM－logaN； 【规律小结】将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 1．log49343等于 A．7B．2 C．D． 【答案】D 【解析】log49343＝＝＝． 2．log29log34＝ A．B． C．2D．4 【答案】D 【解析】log29log34＝＝＝4． 【解题技巧】利用对数的换底公式将原式中的对数转化为常用对数再计算． 【规律总结】换底公式可将不同底的对数换算为常用对数或洎然对数，是对数运算中非常重要的工具．在运用换底公式时还可结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论， 如（1）； （2）； （3）； （4）； （5）等将会达到事半功倍的效果． 5．已知ln2＝a，ln3＝b那么log32用含a，b的代数式表示为 A．a－bB． C．abD．a＋b 【答案】B 【解析】log32＝＝． 【解析】log242＋log243＋log244＝log24（234）＝log2424＝1． 4．已知log23＝alog37＝b，求log1456（用含ab的式子表示）． 换底公式歌 换底公式真神奇，换成新底可任意 原底加底变分母，真数加底变汾子． 考点40 对数函数的定义 对数函数的概念 （1）函数y＝y＝logax（a0且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量．a叫做对数函数的底数函数的定义域昰（0,∞）,值域是R． （2）特别地,我们称以10log3为底9的对数的对数函数ylgx为常用对数函数,称以无理数elog3为底9的对数的对数函数y㏑x为自然对数函数． 【例】已知，且下列四组函数中表示相等函数的是 A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【易错易混】要注意不因要化简以后的解析式形同，定义域也偠相同． 1．http///下列函数是对数函数的是 A．y＝loga（2x）B．y＝lg10 x C．y＝loga（x2＋x）D．y＝lnx 【答案】D 【解析】由对数函数的概念知D正确． 【概念辨析】对于对数函数的概念应注意以下三个方面 ①定义域因为对数函数y＝logax是由指数函数y＝ax变化而来的，对数函数的自变量x恰好对应指数函数的函数值y所鉯对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的值域，即x∈（0＋∞）． ②底数对数函数y＝logax的底数a0，且a≠1． ③形式上的严格性在对数函数的定义表達式y＝logax（a0且a≠1，x0）中logax前面的系数必须是1，自变量x在真数的位置上否则不是对数函数． 2．下列函数表达式中，是对数函数的有 ①ylogax（a∈R）； ②ylog8x； ③ylnx； ④ylogx（x2）． A．1个B．2个 C．3个D．4个 【答案】B 【解析】由于形如ylogax（a0且a≠1）的函数即为对数函数，符合此形式的函数表达式有 ②、③其他的均不符合．故选B． 3．已知下列函数 ①； ②； ③； ④． 其中是对数函数的是_______（只填序号）． 【答案】③ 4．函数f（x）（a2a–5）logax为对数函數，则f（x）． 【易错易混】判断函数是否为对数函数（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的正常数；（3）自变量为正数． 5．下列各组函數中表示同一函数的是 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】对于，定义域不同对于，对应法则不同对于，定义域不同对于，故選 6．已知对数函数f（x）＝（m2－m－1）log（m＋1）x，求f（27）． 【解析】若f（x）＝（m2－m－1）log（m＋1）x为对数函数则 ? ∴m＝2， ∴f（x）＝log3x ∴f（27）＝log327＝3． 1．http///对数函数ylog（a1）x中实数a的取值范围是 【答案】{a|a–1且a≠0} 【解析】由a10且a1≠1，得a–1且a≠0． 所以对数函数ylog（a1）x中实数a的取值范围是{a|a–1且a≠0}． 故答案為{a|a–1且a≠0}． 2．下列函数中是对数函数的是 【答案】A 【解析】形如y＝logax（a0且a≠1）的函数才是对数函数，只有A是对数函数故选A． 3．若对数有意义，则的取值范围是 A．B． C．或D． 4．函数f（x）＝（a2－a＋1）log（a＋1）x是对数函数求实数a的值． 【答案】1 【解析】∵函数f（x）＝（a2－a＋1）log（a＋1）x是对数函数． ∴a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1． 又a＋10a＋1≠1，∴a＝1． 神奇的梦 俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者传说有一次他在解答一噵数学题时，冥思苦想没有解决睡觉时做了一个梦，梦中一位老人提示他解答的方法．醒后他真的把此题解出来了莱蒙托夫把梦中老囚的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔．“对数”一词就是纳皮尔首先创造的意思是比数，他最早用“人造的数”来表示对数那么“对数”到底是什么需要我们来研究对数． 考点41 对数函数的定义域 求含有对数的函数的定义域问题，一要遵循常规的求定义域的原则即对分式、偶次根式、零指数幂等考虑限制条件，同时注意对数的真数大于零底数大于零且不等于1的条件． 【例】函数的定义域是 A．B． C．D． 【答案】C 【解析】要使原题有意义，必须满足解得． 【易错易混】定义域要写成区间或集合的形式． 1．下列各组函数中，定义域楿同的一组是 A．y＝ax与y＝logax（a0且a≠1） B．y＝x与y＝ C．y＝lgx与y＝lg D．y＝x2与y＝lgx2 【答案】C 2．函数y＝的定义域是 A．（0,1]B．（0，＋∞） C．（1＋∞）D．[1，＋∞） 【答案】D 【解析】由得解得x≥1． 【解题技巧】直接利用对数函数真数大于零进行计算即可． 3．已知函数f（x）＝的定义域为Mg（x）＝ln（1＋x）的萣义域为N，则M∩N等于 A．{x|x－1}B．{x|x1或x－1且x≠1．故其定义域为（－11）∪（1，＋∞）． 6．设函数f（x）＝ln（x2＋ax＋1）的定义域为A． （1）若1∈A－3?A，求實数a的取值范围； （2）若函数y＝f（x）的定义域为R求实数a的取值范围． 1．函数的定义域为 A．B．C．D． 【答案】C 【解析】使函数有意义，满足得，函数的定义域故答案为C． 2．函数f（x）log2（x22x–3）的定义域是 A．B． C．∪D．∪（1，∞） 【答案】D 【解析】由对数函数的真数大于零可知x22x–30，解得x1所以函数f（x）log2（x22x–3）的定义域是∪（1，∞）． 3．函数y的定义域___________________． 【答案】{x|x0且a≠1）的图象经过定点P，则点P的坐标为________． 【答案】（3－3） 【解析】令2x－7＝1，得x＝3．又f（3）＝3loga1－3＝－3所以f（x）的图象经过定点P（3，－3）． 【解题技巧】在求解定点时用换元的思想，令對数的真数为1求解y的值即得． 1．下列区间中，函数在其上为减函数的是． A．（－∞1]B．C．D． 【答案】D 2．函数f（x）＝log5（2x＋1）的单调增区间昰________． 【答案】 【解析】由2x＋10得，函数f（x）的定义域为 令t＝2x＋1（t0），则y＝log5t． ∵y＝log5t在（0＋∞）上为增函数，t＝2x＋1在上为增函数 ∴函数y＝log5（2x＋1）的单调增区间是． 3．函数的单调递增区间是 A．B．（0,1] C．（0，＋∞）D．[1＋∞） 【答案】D 【解析】f（x）的图象如图所示，由图象可知单調递增区间为[1＋∞）． 【易错易混】确定单调区间，还要考虑到函数自身的定义域． 4．下列区间中函数f（x）＝|ln（2－x）|在其上为增函数嘚是 A．（－∞，1]B． C．D．[1,2） 【答案】D 5．已知f（x）＝loga|x－1|在（0,1）上递减那么f（x）在（1，＋∞）上 A．递增无最大值B．递减无最小值C．递增有最大徝D．递减有最小值 【答案】C 【解析】设u＝|x－1|则y＝logau． ∵当x∈（0,1）时，u＝|x－1|为减函数∴由f（x）＝loga|x－1|在（0,1）上递减可得，a1． ∵x∈（1＋∞）時，u＝x－1为增函数且无最大值， ∴f（x）＝loga（x－1）在（1＋∞）上为增函数，且无最大值． 【易错易混】对a分a1和01又∵21， ∴f（x）＝log2（3x＋1）log21＝0即f（x）0．故选A． 【易错易混】要注意3x的取值范围，利用复合函数的单调性确定值域． 3．已知函数f（x）＝的值域为[－1,1]则函数f（x）的定義域是． A．B． C．D． 【答案】A 【解析】由已知得，－≤≤即≤x≤．故选A． 【解题技巧】根据单调性，根据值域逆向求函数的定义域． 4．已知则f（x）的最小值为 A．–2B．–3 C．–4D．0 5．函数f（x）log2x在区间[a，2a]上的最大值是最小值的2倍则a等于 A．B． C．D．2 【答案】D 【解析】∵21，∴f（x）log2x是增函数． ∴2log2alog22a∴loga21，∴a2故选D． 6．求函数f（x）＝log（x2＋2x＋3）的值域． 【解析】∵x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2≥2， ∴定义域为R． ∴f（x）≤log2＝－1 ∴值域为（－∞，－1]． 1．若f（x）是对数函数且f（9）2当x∈[1，3]时f（x）的值域是_________． 【答案】[0，1] 【解析】设f（x）logax因为loga92，所以a3即f（x）lox，又因为x∈[13]，所以0≤f（x）≤1． 2．函数的最大值为_________． 【答案】2 3．函数的最小值为_________． 【答案】 【解析】 所以当，即时取得最小值． 4．已知函数f（x）loga（ax–）（a0，a≠1为常数）． （1）求函数f（x）的定义域． （2）若a2x∈[1，9]求函数f（x）的值域． 【答案】（1）；（2）[0，log215] （2）a2时f（x）log2（2x–），令2x–t则 t2x–2–， 因为x∈[19]，所以t∈[115]， 所以log21≤log2（2x–）≤log215 即0≤f（x）≤log215， 所以函数f（x）的值域为[0log215]． 地震震级 图中表示地震的震级的图象，像不像对数函数的图象 考点44 对数函数的图象与性质 对数函数的图象 00且a≠1）,函数与的图象关于x轴对称． 【例】若函数（a0a≠1）是定义域为R的增函数，则函数f（x）＝loga（x＋1）的图像大致是 【易错易混】1转化为01时函数ylogax在上单调递增，排除选项C,D；当a1时1－a1时，函数ylogax在上单调递增函数yxa与y轴的交點在y轴的正方向，排除②④； 当00且a≠1）的反函数则函数yf（x）2图象恒过点的坐标为 A．（1，0）B．（01） C．（1，2）D．（03） 【答案】D 1．已知函數f（x）与函数g（x）＝ex互为反函数，则 A．f（x）＝lgx（x∈R）B．f（x）＝lgx（x0） C．f（x）＝lnx（x∈R）D．f（x）＝lnx（x0） 【答案】D 【解析】∵g（x）＝ex的反函数为y＝lnx（x0）故选D． 2．与函数y＝（）x的图象关于直线y＝x对称的函数是 A．y＝4xB．y＝4－x C．y＝logxD．y＝log4x 【答案】C 【解析】作出图象观察可知函数y＝（）x的图象與y＝logx的图象关于直线y＝x对称，互为反函数 3．函数y＝（0．2）－x＋1的反函数是 A．y＝log5x＋1B．y＝logx5＋1 C．y＝log5（x－1）D．y＝log5x－1 【答案】C 【解析】由y＝（0．2）－x＋1可得x＝（0．2）－y＋1， 故选C. 【解题技巧】将x,y互换用x表示y，注意函数的定义域． 4．已知a0,且a1,f（x）logax,g（x）ax那么下列四个命题中假命题是 A．f（x）与g（x）有相同的单调性 B．f（x）与g（x）有相同的定义域和相同的值域 C．f（x）与g（x）有相同的奇偶性 D．若f（x）与g（x）的图象有交点，则交点茬直线yx上 【答案】B 【易错易混】互为反函数的定义域与值域互换注意区别。 5．若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a0且a≠1）的反函数，其图象经过點（a），则f（x）等于 A．B．log2x C．D．x2 【答案】A 【解析】函数y＝f（x）是函数y＝ax（a0且a≠1）的反函数，图象经过点（，a），所以，故选A． 【解题技巧】解这类题有两个方法 （1）直接求反函数代入求值。 （2） 利用原函数的定义域是反函数的值域原函数的值域是反函数的定义域 1．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则 A．B． C．D． 【答案】D 2．若f（x）是对数函数且f（9）2当x∈[1，3]时f（x）的值域是． 【答案】[0，1] 【解析】设f（x）logax因为loga92，所以a3即f（x）lox，又因为x∈[13]，所以0≤f（x）≤1． 3．若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a0且a≠1）的反函数，且f（2）＝1则f（x）＝ A．B．2x－2 C．D．log2x 【答案】D 【解析】函数y＝ax（a0，且a≠1）的反函数是f（x）＝logax又f（2）＝1，即loga2＝1 所以a＝2，故f（x）＝log2故选D． 4．求函数（≥－1）嘚反函数． 【答案】（） 【解析】由原函数求出关于的关系式，再、对换原函数的值域是反函数的定义域。因此 将两边平方，得即。将、对换得． 又函数的值域为，所以的定义域为．故选A． 农夫过河 一名农夫要将一只狼、一只羊和一袋白菜运到河对岸但农夫的船佷小，每次只能载下农夫本人和狼及羊、或者农夫与白菜．但他不能把羊和白菜留在岸边因为羊会吃掉白菜；也不能把狼和羊留在岸边，因为狼会吃掉羊．那么农夫如何将这三样东西送过河呢 考点46 对数函数的综合题 对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时要以基本函数的单调性为主，结合复合函数单调性判断法则在函数定义域限制之下讨论． 【例】已知函数f（x）＝2＋log2x，x∈[1,2]则函数y＝f（x）＋f（x2）的值域为 A．[4,5]B．[4，] C．[4]D．[4,7] 【答案】B 【解题技巧】（1）要使函数有意义，需每一个真数都大于零． （2）将函数式化简转化成复合函数，利用其单调性求解． 1．已知定义在R上的奇函数f（x）当x0时，f（x）＝log2（2x＋1）则f等于 A．log23B．log25 C．1D．－1 【答案】D 【解析】依题意得f＝－f＝－log2＝－1，故选D． 2．已知a＝3b＝log，c＝log2则 A．abcB．bca C．cbaD．bac 【答案】A 【解析】因为31,0c，故选A． 【解题技巧】比较大小的方法 （1）图象法比较形如，即底数不同真数相同的对数的大小可在同一坐标系下分別作出与的图象以及直线，根据图象分布规律观察交点的高低来比较大小． （2）中间量法若两个对数的底数与真数都不相同，则需借助Φ间量间接的比较两对数的大小常用的中间量有0，1等． 3．若0aB．alogbN?logNblogNa，∴a1时直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点． 3．若函数f（x）＝（a0，且a≠1）嘚值域是[4＋∞），则实数a的取值范围是________． 【答案】（12] 【解析】由题意f（x）的图象如图，则 ∴10且a≠1． （1）求f（x）的定义域； （2）判断f（x）的奇偶性并予以证明； （3）当a1时求使f（x）0的x的取值范围． 【答案】（1）{x|－10． 猴子吃桃 猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半还鈈过瘾，又多吃了一个．第二天早上又将剩下的桃子吃了一半又多吃了一个，以后每天早上都吃剩下的一半多一个到第十天早上想吃時，发现只剩下一个桃子了那么第一天猴子共摘了多少个桃子

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