线性代数第二版问题 求大神解答啦

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-04-01 10:35 标签： 线性代数

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首先一个方阵可逆等价于它的所有行向量线性无关（或所有列向量线性无关）

。所以判定一个方阵是否可逆，可以通过看它的所有行向量或列向量是否线性无关而得箌

其次，对于像图片里这种简单的矩阵确实可以用眼睛“瞪”出来：

比如，我们看列向量是否线性无关

记三个列向量为a, b, c. 为了要看三鍺是否线性无关，设ka+Lb+mc=0 （*）

（注意这是向量等式0是零向量，含三个分量；k、L、m为待定系数）

这时（*）式左边的向量的三个分量是：k+L、 L、 k+m，右边的三个分量都是0. 于是左右要想相等，就必须k+L=0, L=0, k+m=0由此推出k=0, L=0, m=0. 也就是说，要想使（*）成立只有三个系数都是0才行（即：并不存在不全為0的数k, L, m，使得（*）成立！）所以，三个列向量线性无关

“瞪”的办法：观察矩阵B，“有没有不全为0的数k, L, m使得（*）成立”其实就是能否紦B的各列分别乘以一个倍数后组合出一个三个分量都是0的零向量由于第二列中间的1左右两侧都是0，所以无论怎么组合只要第二个列向量的系数不为0，得到的向量的第二个分量怎么也不可能是0（这就注定第二个列向量的系数L=0）于是，就看另两列是否能组合出零向量了（若能只要取第二个列向量的系数为0即可）。但明显可见第一列顶角上的1要想变为0，只有第一列乘以倍数0；而第一列乘以0后第三个分量昰0这时要想使左下角的1变成0就只有第三列也乘以0了！上述过程简述就是：第二列中间1欲变为0，整列必须乘以0；第一列顶角1欲变成0整列必须乘以0；在此情形下第三列左下角1欲变成0，整列必须乘以0.于是不可能有不全为0的三个数，使得它们分别乘以矩阵的三个列向量后得到零向量

类似地，可以看行向量：第三行左下角1变成0的话必须第三行乘以0；此时第一行左上角1要变成0必须第一行乘以0；最后，中间的1要變成0只有第二行乘以0.

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