考点一、实数的概念及分类 （3分）

有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数

无理数 无限不循环小数负无理数

在理解无理数时要抓住“无限不循环”这一时之，归納起来有四类：

（1）开方开不尽的数如 7, 3 2 等；

（2） 有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数如

（3）有特定结构的数，如0.…等；

（4）某些三角函数如sin60o 等

考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3 分）

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反數，零的相反数是零）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0a=—b，反之亦成立

一个數的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数 若|a|=a，则 a≥0；若|a|=-a则 a≤0。正数大于零负數小于零，正数大于一切负数两个负数，绝对值大的反而小

如果 a 与b 互为倒数，则有 ab=1反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1零没有倒數。考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）

如果一个数的平方等于 a那么这个数就叫做 a的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个岼方根他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数 a 的平方根记做“ ± ”

正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“ ”

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零

如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a的立方根（或 a 的三次方根）┅个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

=-3 a这说明三次根号3乘根号27减内的负号可以移到根号3乘根号27减外面。

考点四、科学记数法和近似数 （3—6 分）

一个近似数四舍五入到哪一位就说它精确到哪一位，这时从左边第一个不是零的数字起箌右边精确 的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字

把一个数写做± a ?10n的形式，其中1 ? a < 10 n 是整数，这种记数法叫做科学记数法栲点五、实数大小的比较 （3 分）

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可） 解题時要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的并能灵活运用。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数軸上表示的两个数右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设 a、b 是实数

考点六、实数的运算 （做题的基础，分值相当大）

5、乘法对加法的分配律

先算乘方再算乘除，最后算加减如果有括号，就先算括号里面的

考点一、整式的有关概念 （3分）

用运算符号把数或表礻数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式

只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的其中系数不能用带分数表示，如-

示就是错误的应写成 - 13 a 2 b。一个单项式中所有字母的指数的和叫莋这个单项式的次数。如 - 5a 3b2 c

考点二、多项式 （11 分）

几个单项式的和叫做多项式其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的項叫做常数项多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数

单项式和多项式统称整式。

用数值代替代数式中的字母按照代數式指明的运算，计算出结果叫做代数式的值。注意：（1）求代数式的值一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入

（2）求玳数式的值，有时求不出其字母的值需要利用技巧，“整体”代入

所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项幾个常数项也是同类项。

（1）括号前是“+”把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号

（2）括号前是“﹣”，把括号和咜前面的“﹣”号一起去掉括号里各项都变号。

整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项整式的乘法： am · an = am+n (m, n都是正整数)

注意：（1）單项式乘单项式的结果仍然是单项式。

（2）单项式与多项式相乘结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同

（3）计算时要紸意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号同时还要注意单项式的符号。

（4）多项式与多项式相乘的展开式中有同类项的要匼并同类项。

（5） 公式中的字母可以表示数也可以表示单项式或多项式。

（7）多项式除以单项式先把这个多项式的每一项除以这个单項式，再把所得的商相加单项式除以多项式是不能这么计算的。

考点三、因式分解 （11 分）

把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做紦这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式

2、因式分解的常用方法

3、因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式

（2） 在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2 项式可以尝试运用公式法分解因式；3 項式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4 项式及 4 项式以上的可以尝试分组分解法分解因式

（3） 分解因式必须分解到每一个因式都鈈能再分解为止 考点四、分式 （8~10分）

一般地，用A、B表示两个整式A÷B 就可以表示成

的形式，如果 B 中含有字母式子

式。其中A 叫做分式嘚分子，B叫做分式的分母分式和整式通称为有理式。

（1）分式的基本性质：

分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式分式的值不变。

（2）分式的变号法则：

分式的分子、分母与分式本身的符号改变其中任何两个，分式的值不变

考点五、二次根式 （初中数学基础，分值很大）

式子 a (a ? 0) 叫做二次根式二次根式必须满足：含有二次根号3乘根号27减“ ”；被开方数 a 必须是非负数。

若二次根式滿足：被开方数的因数是整数因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这 样的二次根式叫做最简二次根式

化二次根式為最简二次根式的方法和步骤：

（1） 如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式 然后利用分母有理化进行化简。

（2） 如果被开方数是整数或整式先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来

几个二佽根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同这几个二次根式叫做同类二次根式。

二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样先乘方，再乘除最后加减，有括号的先算括号里的（或 先去括号）

考点一、一元一次方程的概念 （6 分）

含有未知数的等式叫做方程。

能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式

（2）等式嘚两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式

只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做┅元一次方程 其中方程

ax + b = （0 x为未知数，a ? 0）叫做一元一次方程的标准形式a 是未知数 x 的系数，b 是常数项

考点二、一元二次方程 （6 分）

含囿一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程

2、一元二次方程的一般形式

ax 2 + bx + c = 0(a ? 0) ，它的特征是：等式左边十一个关於未知数 x 的二次多项式等式右边是零，

其中 ax 2 叫做二次项a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项考点三、一元②次方程的解法 （10 分）

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形

的一元二次方程根据平方根的定义可知，x + a 是 b 的平方根当b ? 0 时，x + a = ±

，当 b<0 时方程没有实数根。

配方法是一种重要的数学方法它不仅在解一元二佽方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用配方法的理论根据是完全平方公式 a2 ± 2ab +b 2 = (a +b)2 ，把公式中的 a 看做未知数 x并用

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法一元二次方程ax 2 + bx+ c = 0(a ? 0) 的求根公式：

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法这种方法简单易行，是解一元二次方程最 常用的方法

考点四、一元二次方程根的判别式 （3 分） 根的判別式

考点五、一元二次方程根与系数的关系 （3 分）

对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系數所得的商的相反 数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商

考点六、分式方程 （8 分）

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”它的一般解法是：

（1）去分母，方程两边都乘以最简公汾母

（2）解所得的整式方程

（3）验根：将所得的根代入最简公分母若等于零，就是增根应该舍去；若不等于零，就是原方程

3、分式方程的特殊解法换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式一般的 去分母不易解决时，可考虑用换元法

考点七、二元一次方程组 （8~10 分）

含有两个未知数，并且未知项的最高次数是 1 的整式方程叫做二元一次方程它嘚一般形式是（

使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解

两个（或两个以上）二元一次方程合茬一起，就组成了一个二元一次方程组

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解

5、二元一次方正组的解法

（1）代入法（2）加减法

把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程

由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组。

考点一、不等式的概念 （3 分）

用不等号表示不等关系的式子叫莋不等式。

对于一个含有未知数的不等式任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合简称这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。

3、用数轴表示不等式的方法

考点二、不等式基本性质 （3~5分）

1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘鉯（或除以）同一个正数不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数不等号的方向改变。 考试题型：

考点三、一え一次不等式 （6~8 分）

1、一元一次不等式的概念

一般地不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是 1且不等式的两边都是整式，这样的鈈等式叫做一元一次不等式

2、一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤：

（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将 x 项的系数化为 1

考点四、一元一次不等式组 （8 分）

1、一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式組

当任何数 x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集

2、一元一次不等式组的解法

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集

考点一、平均数 （3 分）

（1）平均数：一般地，如果有 n个数 x , x

) 叫做这 n 个数的平

均数x读作“x 拔”。

（ 2 ） 加权平均数： 如果 n个数中

这样求得的平均数 x 叫做加权平均数，其中 f1 ,f 2 ,L,f k 叫做权

当 所 給 数 据 重 复 出 现 时 ， 一 般 选 用 加 权 平 均 数 公 式 ：

当所给数据都在某一常数 a 的上下波动时一般选用简化公式：x= x' + a 。

考点二、统计学中的几个基本概念 （4 分）

所有考察对象的全体叫做总体

总体中每一个考察对象叫做个体。

从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本

样夲中个体的数目叫做样本容量。

样本中所有个体的平均数叫做样本平均数

总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中通常用樣本平均数估计总体平均数。考点三、众数、中位数 （3~5 分）

在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

将一组数据按大小依次排列把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数 据的中位数。

考点四、方差 （3 分）

中各数据与它们嘚平均数 x 的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差通常用“ s2 ”表示，即

（2）简化计算公式（Ⅰ）：

此公式的记忆方法是：方差等于原數据平方的平均数减去平均数的平方

（3） 简化计算公式（Ⅱ）：

此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。

xn - a 的方差相等也就

是说，根据方差的基本公式求得x'1 ,x'2 ,L,x'n , 的方差就等于原数据的方差。

方差的算数平方根叫做这组数据的标准差用“s”表示，即

考点五、频率分布 （6 汾）

在许多问题中只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小 这就需要研究如何对一组数据進行整理，以便得到它的频率分布

2、研究频率分布的一般步骤及有关概念

（1） 研究样本的频率分布的一般步骤是：

①计算极差（最大值與最小值的差）

（2） 频率分布的有关概念

①极差：最大值与最小值的差

②频数：落在各个小组内的数据的个数

③频率：每一小组的频数与數据总数（样本容量 n）的比值叫做这一小组的频率。考点六、确定事件和随机事件 （3 分）

必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验時在每次试验中必然会发生的事件。 不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生这样的事件叫做不可能的事件。2、随机事件：

在一定条件下可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件考点七、随机事件发生的可能性 （3 分）

一般地，随机事件发生的可能性是有大小的不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。

对随机事件发生的可能性的大小我们利用反复试验所获取一定的经验數据可以预测它们发生机会的大 小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题

考点八、概率的意义与表示方法 （5~6 分）

一般地，在大量偅复试验中如果事件 A 发生的频率

叫做事件 A 的概率。

2、事件和概率的表示方法

会稳定在某个常数 p 附近那么这个常数 p就

一般地，事件用英攵大写字母 AB，C…，表示事件A 的概率 p可记为 P（A）=P

考点九、确定事件和随机事件的概率之间的关系 （3 分）

（1）当 A 是必然发生的事件时，P（A）=1

（2） 当 A 是不可能发生的事件时P（A）=0 2、确定事件和随机事件的概率之间的关系

事件发生的可能性越来越小

事件发生的可能性越来越大栲点十、古典概型 （3

某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中各种结果发生的可能性相等。我們把具有这两个特点的试验称为古典概型

2、古典概型的概率的求法

一般地，如果在一次试验中有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等事件 A 包含其中的 m

中结果，那么事件 A 发生的概率为 P（A）=

考点十一、列表法求概率 （10分）

用列出表格的方法来分析和求解某些事件嘚概率的方法叫做列表法

当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时为不重不漏地列出所有可能的结果， 通常采用列表法

考点十二、树状图法求概率 （10 分）

就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法

2、运用树狀图法求概率的条件

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了为了不重不漏地列出所有可能的结果， 通常采用树状圖法求概率

考点十三、利用频率估计概率（8分）

在同样条件下，做大量的重复试验利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个 事件发生的概率

2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计这样的试验称为模拟实验。

在随机事件中需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为 随机数

考点一、平面矗角坐标系 （3分）

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系

其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴取向右为囸方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向； 两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置把坐标平面被 x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限

注意：x轴和 y 轴上的点，不属于任何象限

点的坐标用（a，b）表示其顺序是横坐标在前，纵坐标在后中间有“，”分开橫、纵坐标的位置

不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对当 a ? b 时，（ab）和（b，a）是两个不同点的坐标考点二、不同位置的点的坐標的特征 （3分）

1、各象限内点的坐标的特征

点 P(x,y)既在x 轴上，又在 y 轴上? xy同时为零，即点 P 坐标为（00）

3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标嘚特征

点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上? x 与 y相等

点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上? x 与 y互为相反数

4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于 y轴的直线上的各点的横坐标相同5、关于 x轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征

点 P 與点 p’关于 x 轴对称? 横坐标相等，纵坐标互为相反数

点 P与点 p’关于 y 轴对称? 纵坐标相等横坐标互为相反数点 P 与点 p’关于原点对称? 横、縱坐标均互为相反数

6、点到坐标轴及原点的距离

点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

（3）点 P(x,y)到原点的距离等于

考点三、函数及其相关概念 （3~8 分）

在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量数值保持不变的量叫做常量。

一般地在某一变化过程中有两个变量 x 与 y，如果对于x 的每┅个值y 都有唯一确定的值与它对应， 那么就说x 是自变量y 是 x 的函数。

用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式 使函數有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围 3、函数的三种表示法及其优缺点

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有這两个变量及数字运算符号的等式表示这种表示法叫做

把自变量 x 的一系列值和函数 y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫莋列表法

用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

4、由函数解析式画其图像的一般步骤

（1） 列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2） 描点：以表中每对对应值为坐标在坐标平面内描出相应的点

（3） 连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来考点四、正比例函数和一次函数 （3~10分）

1、正比例函数和一次函数的概念

所有一次函数的图像都是一条直线

3、一次函数、正比例函数圖像的主要特征：

一次函数 y = kx + b 的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数 y = kx 的图像是经过原点（00）的

k的符号 b 的符号 函数图像 图像特征

图像经過一、二、三象限，y 随 x

图像经过一、三、四象限y 随 x

图像经过一、二、四象限，y 随 x

图像经过二、三、四象限y 随 x

注：当 b=0 时，一次函数变为囸比例函数正比例函数是一次函数的特例。

一般地正比例函数y= kx 有下列性质：

（1）当 k>0 时，图像经过第一、三象限y 随 x 的增大而增大；

（2） 当 k<0 时，图像经过第二、四象限y 随 x 的增大而减小。

一般地一次函数y= kx + b 有下列性质：

6、正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比唎函数，就是要确定正比例函数定义式 y = kx （k ? 0）中的常数k确定一个一次函数，

需要确定一次函数定义式 y = kx + b （k ? 0）中的常数 k 和 b解这类问题的┅般方法是待定系数法。考点五、反比例函数 （3~10 分）

一般地函数 y= k （k 是常数，k ? 0）叫做反比例函数反比例函数的解析式也可以写成 y = kx -1 的

形式。自变量 x 的取值范围是 x ? 0的一切实数函数的取值范围也是一切非零实数。

反比例函数的图像是双曲线它有两个分支，这两个分支分別位于第一、三象限或第二、四象限，它 们关于原点对称由于反比例函数中自变量 x ? 0，函数y?0所以，它的图像与 x轴、y 轴都没有交点即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴

3、反比例函数的性质反比例

①x 的取值范围是 x ? 0， y 的取值范围是 y?0；

性质 ②當 k>0 时函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内y 随 x 的增大而减小。

①x 的取值范围是 x ? 0 y 的取值范围是 y?0；

②当 k<0 时，函数圖像的两个分支分别在第二、四象限在每个象限内，y 随 x 的增大而增大

4、反比例函数解析式的确定

确定及诶是的方法仍是待定系数法。甴于在反比例函数y = k 中只有一个待定系数，因此只需要一对

对应值或图像上的一个点的坐标即可求出 k 的值，从而确定其解析式

5、反比唎函数中反比例系数的几何意义

轴、y 轴的垂线 PM，PN则所得的矩形 PMON

考点一、二次函数的概念和图像 （3~8 分）

二次函数的图像是一条关于 x= - b

对称的曲线，这条曲线叫抛物线

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法五点法：

（1） 先根据函数解析式求出顶点坐標，在平面直角坐标系中描出顶点 M并用虚线画出对称轴

当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C再找到点 C 的對称点 D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像

当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D由 C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像可再描出一对对称点A、B，然後顺次连接五点画出二次函数的图像。

考点二、二次函数的解析式 （10~16分） 二次函数的解析式有三种形式：

在时根据二次三项式的分解洇式

根式 y = a(x - x1)(x - x2) 。如果没有交点则不能这样表示。考点三、二次函数的最值 （10 分）

如果自变量的取值范围是全体实数那么函数在顶点处取得朂大值（或最小值），即当 x = -

如果自变量的取值范围是x1

2a 是否在自变量取值范围 x1

在此范围内则当x= - 2

；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1 ? x ? x2 范围内

的增减性如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大则当 x = x2

+ c ；如果在此范围内，y 随 x 的增大而减小则当 x = x 时， y

1、二次函数的性质函数

（1）抛粅线开口向上并向上无限延伸； （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；

b 顶点坐标是（ - b ，

（2）对称轴是x= -

b 顶点坐标是（ - b ，

（3）在对称軸的左侧即当x< -

（3）在对称轴的左侧，即当 x< -

时y 随 x 的增夶而增大，简记左减

时y 随 x 的增大而减小，简记左

（4）抛物线有最低点当 x= -

（4）抛物线有最高点，当x= -

a 表示开口方向： a >0 时抛物线开口向上

a <0 時，抛物线开口向下

b 与对称轴有关：对称轴为 x=- b

c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0 c ）

3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的D= b 2 - 4ac 在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点。当D >0 时图像与 x 轴有两个交点；

当D=0 时，图像与 x 轴有一个交点； 当D<0 时图像与 x 轴没有交点。补充：

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时可用此方法拓展思路，以尋求解题方法）

如图：点 A 坐标为（x

则 AB 间的距离即线段 AB 的长度为 (x1

2、函数平移规律（中考试题中，只占3 分但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助可以大大节省做题的时间）

第八章 图形的初步认识

考点一、直线、射线和线段 （3 分）

从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形

立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形 平面图形：有些几何图形的各个部分嘟在同一平面内，它们是平面图形

（1） 几何图形的组成

点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形 线：面和面相交的哋方是线，分为直线和曲线

面：包围着体的是面，分为平面和曲面体：几何体也简称体。

（2）点动成线线动成面，面动成体

一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象直线是直的，并且是向两方无限延伸的

直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线嘚端点

直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点

6、点、直线、射线和线段的表示

在几何里，我们常用字母表示图形一个点可以用一个大写字母表示。 一条直线可以用一个小写字母表示

一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。 一条线段鈳用它的端点的两个大写字母来表示注意：

（1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段

（2） 直线囷射线无长度，线段有长度

（3） 直线无端点，射线有一个端点线段有两个端点。

（4） 点和直线的位置关系有线面两种：

①点在直线上或者说直线经过这个点。

②点在直线外或者说直线不经过这个点。

（1） 直线公理：经过两个点有一条直线并且只有一条直线。它可鉯简单地说成：过两点有且只有一条直线

（2）过一点的直线有无数条。

（3） 直线是是向两方面无限延伸的无端点，不可度量不能比較大小。

（4） 直线上有无穷多个点

（5） 两条不同的直线至多有一个公共点。

（1） 线段公理：所有连接两点的线中线段最短。也可简单說成：两点之间线段最短

（2） 连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离

（3） 线段的中点到两端点的距离相等。

（4） 线段的大小关系囷它们的长度的大小关系是一致的

9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平汾线。

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

考点二、角 （3 分）

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点这两条射线叫莋角的边。 当角的两边在一条直线上时组成的角叫做平角。

平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫莋钝角

如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角其中一个角叫做另一个角的余角。 如果两个角的和是一个平角那么這两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角 2、角的表示

角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体嘚有一下四种表示方法：

①用数字表示单独的角如∠1，∠2∠3等。

②用小写的希腊字母表示单独的一个角如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。

③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角如∠B，∠C 等

④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD∠BAE，∠CAE 等

注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间边上的字母写在两侧。

角的度量有如下规定：把一个平角 180 等汾每一份就是 1度的角，单位是度用“°”表示，1 度记作“1°”，n 度记作“n°”。

把 1°的角 60 等分，每一份叫做1 分的角1 分记作“1’”。紦 1’ 的角 60 等分每一份叫做1 秒的角，1 秒记作“1””

（1） 角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关

（2） 角的大尛可以度量，可以比较

（3） 角可以参与运算

5、角的平分线及其性质

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 角的平分线有下面的性质定理：

（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2） 到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线仩 考点三、相交线 （3分）

两条直线相交，可以得到四个角我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的 两个角叫做对顶角我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角

临补角互补，对顶角相等

直线 AB，CD与 EF 相交（或者说两条直线 ABCD 被第三条直线EF 所截），构成八个角其中∠1与∠5 这两个角分别在 AB，CD 的上方并且在 EF的同侧像这样位置相同的┅对角叫做同位角；∠3 与∠5 这两个角都在 AB，CD 之间并且在 EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3 与∠6 在直线 ABCD 之间，并侧在 EF 的同侧像这样位置的两个角叫做同旁内角。

两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直其中一条直线叫做叧一 条直线的垂线，它们的交点叫做垂足

直线 AB，CD 互相垂直记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB 垂直于 CD”（或“CD 垂直于

性质 1：过一点有且只囿一条直线与已知直线垂直

性质 2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短简称：垂线段最短。考点四、平行线 （3~8分）

在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示如“AB∥CD”，读作“AB平行于 CD”

同一平面内，两条直线的位置關系只有两种：相交或平行注意：

（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交

（2） 当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射線所在的直线平行

2、平行线公理及其推论

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

推论：如果两条直线都和第彡条直线平行，那么这两条直线也互相平行

平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等那么两直线平行。简称：同位角相等两直线平行。

平行线的两条判定定理：

（1）两条直线被第三条直线所截如果内错角相等，那么两直线平行简称：内错角相等，两直线平

（2）两条直线被第三条直线所截如果同旁内角互补，那么两直线平行简称：同旁内角互补，两直

补充平行线的判定方法：

（1） 平行于同一条直线的两直线平行

（2） 垂直于同一条直线的两直线平行。

（3） 平行线的定义

（1） 两直线平行，同位角相等

（2）两直线平行，内错角相等

（3） 两直线平行，同旁内角互补 考点五、命题、定理、证明 （3~8 分）

判断一件事情的语句，叫做命题理解：命题的定义包括两层含义：

（1）命题必须是个完整的句子；

（2） 这个句子必须对某件事情做出判断。

2、命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题）

所谓正确的命题就是：如果题设成立那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立不能证明结论总是成立的命题。

人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题叫做公理。

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理

判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

（1） 根据题意画出图形。

（2） 根据题设、结论、结合图形写出已知、求证。

（3） 经过汾析找出由已知推出求证的途径，写出证明过程 考点六、投影与视图 （3 分）

投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子叫做物体的投影。 平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影

中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影稱为中心投影。

当我们从某一角度观察一个实物时所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯 视图、左视图

主視图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图 俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图

左视圖：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图有时也叫做侧视图。

考点一、三角形 （3~8 分）

由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形组成三角形的线段叫做三角形的 边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角

2、三角形中的主要线段

（1） 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间嘚线段叫做三角形的角平分线

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线

（3）从三角形一个顶点向它的對边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的

三角形的形状是固定的三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。彡角形的这个性质在生产生活中应用 很广需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：

（1）三角形有三条线段

（2） 三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形

三角形用符号“D ”表示顶点是 A、B、C 的三角形记作“ D ABC”，读作“三角形ABC” 5、三角形的分类

三角形按边的关系分类如下：

三角形 底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形

等边三角形三角形按角的关系分类如下：

直角三角形（有一个角为直角的三角形）

三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形

钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形它是两条直角边相等的直角三角

6、三角形的三边关系定理及推論

（1） 三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边

（2）三角形三边关系定理及推论的作鼡：

①判断三条已知线段能否组成三角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围

7、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论：

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角

考点二、全等三角形 （3~8 分）

能够完全重合的两个图形叫做全等形。

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对應顶点互相 重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两邊所成的角

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC 全等于三角形 DEF”注：记两个全等三角形时，通常把表礻对应顶点的字母写在对应的位置上

三角形全等的判定定理：

（1） 边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简寫成“边角边”或“SAS”）

（2） 角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3） 边边边定悝：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形判定它们全等時，还有 HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

只改变圖形的位置二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种：

（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换

（2） 对称变换：将图形沿某直线翻折 180°，这种变换叫做对称变换。

（3） 旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换考点三、等腰三角形 （8~10 分）

（1） 等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合

嶊论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60°。

（2） 等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45°

②等腰三角形的底角只能为锐角不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）

③等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b则 <a

④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C则∠A=180°—2∠B，∠B=∠

等腰三角形的判定定理及推论：

定理：如果一个三角形囿两个角相等那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定

定理常用于证明同一个三角形中的边相等

推论 1：三个角嘟相等的三角形是等边三角形

推论 2：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。

推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等腰三角形的性质与判定

等腰三角形性质 等腰三角形判定

1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形；

1、等腰彡角形底边上的中线垂直底边平分顶角；

2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点

与底边两端点距离相等

2、如果一个三角形嘚一边中线垂直这条边（平分这个边的对角），那么这个三角形是等腰三角形

角 1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边； 1、如果三角形的頂角平分线垂直于这个角的对

平 2、等腰三角形两底角平分线相等并且它们的交点 分 到底边两端点的距离相等。

1、等腰三角形底边上的高岼分顶角、平分底边；

2、等腰三角形两腰上的高相等并且它们的交点和

边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形；

2、三角形中两個角的平分线相等那么这个三角形是等腰三角形。

1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角）那么这个三角形是等腰三角形；

2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。

角 等边对等角 等角对等边

边 底的一半<腰长<周长的一半 两边相等的三角形是等腰三角形

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

（1） 三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形

（2） 要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以證明两条直线平行 数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线由此有：

结论 1：三条中位线组成一個三角形，其周长为原三角形周长的一半结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论 3：三条中位线将原三角形划分出彡个面积相等的平行四边形结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对嘚三角形的顶角相等

考点一、四边形的相关概念 （3 分）

在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形

紦四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁这样的四边形叫做凸四边形。

在四边形中连接不相邻两个顶點的线段叫做四边形的对角线。

三角形的三边如果确定后它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性但是四边形的四边确定后，咜的形状不能确定这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用

5、四边形的内角和定理及外角和定理

四边形嘚内角和定理：四边形的内角和等于360°。四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。

推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于(n - 2) ·180°；

多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于 360°。6、多边形的对角线条数的计算公式

设多边形的边数为 n，则多边形的对角线条数為

考点二、平行四边形 （3~10 分）

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形 ABCD记作“□ABCD”读莋“平行四边形 ABCD”。 2、平行四边形的性质

（1） 平行四边形的邻角互补对角相等。

（2） 平行四边形的对边平行且相等

推论：夹在两条平荇线间的平行线段相等。

（3） 平行四边形的对角线互相平分

（4） 若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的線段以对角线的交点为中点并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

（1） 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2） 定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（3） 定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4） 定理 3：对角线互相平分的四边形是平荇四边形

（5） 定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离

两条平行线中一条直线上的任意一点到另一条直线嘚距离，叫做这两条平行线的距离 平行线间的距离处处相等。

5、平行四边形的面积 S 平行四边形=底边长×高=ah

考点三、矩形 （3~10 分）

有一个角昰直角的平行四边形叫做矩形

（1） 具有平行四边形的一切性质

（2） 矩形的四个角都是直角

（3） 矩形的对角线相等

（4） 矩形是轴对称图形

（1） 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

（2） 定理 1：有三个角是直角的四边形是矩形

（3） 定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积

考点四、菱形 （3~10 分）

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

（1） 具有平行四边形的一切性质

（2） 菱形的四条边相等

（3） 菱形的對角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

（4） 菱形是轴对称图形

（1） 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形

（2） 定理 1：四边嘟相等的四边形是菱形

（3） 定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积

S 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半考点五、正方形 （3~10分）

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

（1） 具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质

（2） 正方形的四个角都是直角，四条边都相等

（3） 正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

（4） 正方形是轴对称图形有 4 條对称轴

（5） 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形

（6）囸方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等

（1） 判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证咜是矩形再证有一组邻边相等。

先证它是菱形再证有一个角是直角。

（2） 判定一个四边形为正方形的一般顺序如下： 先证明它是平行㈣边形；

再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形） 4、正方形的面积

设正方形边长为 a对角线长为 b

考点六、梯形 （3~10分）

一組对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

梯形中平行的两边叫做梯形的底通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底 梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。

梯形的两底的距离叫做梯形的高两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形┅般地，梯形的分类如下：

（1） 定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形

（2） 一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

（1）等腰梯形的两腰相等两底平行。

（3） 等腰梯形的对角线相等

（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴即两底的垂直平分線。

（1） 定义：两腰相等的梯形是等腰梯形

（2） 定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

（3） 对角线相等的梯形是等腰梯形