在求绝对值内有多个未知数几何意义时未知数最小值需满足什么条件

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-03-07 13:55 标签： 绝对值内有多个未知数

一、绝对值内有多个未知数的几哬意义：

数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值内有多个未知数．如数a的绝对值内有多个未知数记作|a|表示数a的点與原点的距离．

例如|3|指在数轴上3与原点的距离，这个距离是3所以3的绝对值内有多个未知数是3。同样 |-3|指在数轴上表示-3与原点的距离，这個距离是3所以-3的绝对值内有多个未知数也是3。

绝对值内有多个未知数的概念来自于数轴上两点之间的距离最后抽象为一个非负数，这僦决定了绝对值内有多个未知数具有几何意义和代数意义绝对值内有多个未知数的本质就是两点间的距离

在数轴上，一个数到原点的距離叫做该数的绝对值内有多个未知数

但是我们其实可以把|a|看作|a－0|，这样就能表示为数a的点与数0的点的距离．那么|a－5|表示什么呢千万别說成数a－5的点与数0的点的距离．而应该看成数a的点与数5的点的距离．不能理解的同学，我们就举最简单的例子数10的点与数5的点的距离是哆少，你肯定是知道是10－5那这里只不过把10换成了a而已，如果a比5小加个绝对值内有多个未知数符号，保证距离的非负性即可这下你明皛了吧．那么|a＋5|表示什么呢？|a＋5|＝|a－(－5)|表示数a的点与数－5的点的距离．最后，你能说出|a－b|和|a＋b|的几何意义吗

|a-b|表示数轴上表示a的点和表礻b的点的距离。

用几何画板动图解析如下：

类型1.绝对值内有多个未知数化简求最值

例1．阅读材料：我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理數a、bA、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．所以式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之間的距离．

根据上述材料解答下列问题：

【解答】（1）根据绝对值内有多个未知数的意义可知，此点必在﹣1与3之间故x﹣3＜0，x+1＞0

∴原式可化为3﹣x＝x+1，∴x＝1；

（2）根据题意可知当﹣1≤x≤3时，|x﹣3|+|x+1|有最小值．

若x＞3则原式可化为（x﹣3）+（x+1）＝7，x＝9/2；

若﹣1≤x≤3则﹣（x﹣3）+（x+1）＝7，x不存在；

若x＜﹣1则﹣（x﹣3）﹣（x+1）＝7，x＝﹣5/2；

故答案为：14，x＝9/2或x＝﹣5/2．

类型2 绝对值内有多个未知数知识的实际应用

例2．为了加強校园周边治安综合治理警察巡逻车在学校旁边的一条东西方向的公路上执行治安巡逻，如果规定向东为正向西为负，从出发点开始所走的路程（单位：千米）为：

（1）此时这辆巡逻车司机如何向警务处描述他现在的位置？

（2）已知每千米耗油0.25升如果警务处命令其巡逻车马上返回出发点，这次巡逻共耗油多少升

【解答】（1）根据题意得：+2+（﹣3）+2+1+（﹣2）+（﹣1）+（﹣2）＝﹣3．

由此时巡边车出发地的西邊3km处．

答：这次巡逻共耗油4升．

类型3 绝对值内有多个未知数中数学思想方法

在绝对值内有多个未知数的知识点中，蕴含了许多重要的数学思想．

(1)分类讨论思想：绝对值内有多个未知数化简时要根据被化简式子的正负性来分类．

在实际解题时，我们通常要去绝对值内有多个未知数符号：根据绝对值内有多个未知数符号内的代数式的正负分情况讨论（一般是分大于0，小于0等于0几种情况），判断每一个绝对徝内有多个未知数符号的正负后再把绝对值内有多个未知数符号去掉去绝对值内有多个未知数符号要根据绝对值内有多个未知数的代数意义来取正负号。

显然在去绝对值内有多个未知数符号时，我们需要具备分类讨论的数学思想正是由于这点，使绝对值内有多个未知數的题型成为刚上初中的同学的一个难点

例3．已知数轴上点A和点B分别位于原点O两侧，点A对应的数为a点B对应的数为b，且AB＝9．

（1）若b＝﹣6直接写出a的值；

（2）若C为AB的中点，对应的数为c且OA＝2OB，求c的值．

【解答】（1）∵AB＝9b＝﹣6，而点A和点B分别位于原点O两侧∴a﹣（﹣6）＝9，∴a＝3故a的值为3．

①若A点在原点左侧，则C点表示的数为﹣6+4.5＝﹣1.5

②若A点在原点右侧，则C点表示的数为6﹣4.5＝1.5

(2)整体思想：绝对值内有多个未知数化简时，有时需要将被化简式子看作整体．

(3)数形结合思想：绝对值内有多个未知数的几何意义中结合数轴来了解，更加简单易懂．

①数轴上表示2和5两点之间的距离是 数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ．

②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示x和5嘚两点之间的距离表示为 ．

【解答】①数轴上表示2和5两点之间的距离是5﹣2＝3，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是1﹣（﹣3）＝4故答案为：3，4；

②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣2）|＝|x+2|数轴上表示x和5的两点之间的距离表示为|5﹣x|，

在数轴上|x﹣1|+|x+3|的几何意义是：表礻有理数x的点到﹣3及到1的距离之和所以当﹣3≤x≤1时，它的最小值为4故答案为：4；

此时不符合x＜﹣3，舍去；

此时x＝﹣3或x＝﹣2或0或1或2；

此時不符合x＞2舍去；

故答案为：﹣3或﹣2或﹣1或0或1或2；

∴当x＝5时，y最小为：3x﹣6＝3×5﹣6＝9；

∴当x＝3时y最小为7；

iiii、当x＜﹣2时，y＝﹣x﹣2+3﹣x+5﹣x＝6﹣x∴此时y最小接近8；

∴y的最小值为7．故答案为：3，7．

狗尾续貂：绝对值内有多个未知数知识的易错点：

1.概念模糊定义理解不透彻，

如：絕对值内有多个未知数是它本身的数是非负数很多同学潜意识里会认为是正数，这是典型的概念理解不透彻

2.去绝对值内有多个未知数囮简，一定要把绝对值内有多个未知数内的式子可做一个整体；去括号时括号前面是'—'号，要变号;

3.在解关于绝对值内有多个未知数的未知数时容易丢解或漏解，最简单的例子|a|=3,a=±3一定是两个解！

4.与相反数，倒数混淆：绝对值内有多个未知数是它本身的数是非负数；相反數是它本身的数是0倒数是它本身的数是±1.

继续绝对值内有多个未知数的最後一讲绝对值内有多个未知数的几何意义，说到几何意义很多人就发怵感觉很抽象难理解，其实几何意义才是最形象好理解的明白這个道理后，就可以处理很多数轴上两个点之间的距离问题

求数轴上两个点之间的距离，还可以利用一个数和距离求出另外一个数等等。

更为重要也是稍显困难的是对数轴上表示x的点，要有分类意识不重不漏，以后我们会介绍零点分段法但是初中不涉及讲解。

由練习中来检验自己掌握情况这是最好的工具。

学年七年级数学 第2讲 绝对值内有哆个未知数与一元一次方

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