三个投影电脑结合起来才能反应出形体的空间形状，为什么只用一个投影电脑或者只用两个投影电脑不能反应岀形体的空间

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-03-04 16:06 标签：如何投影

画法几何（descriptive geometry）是研究在平面上用圖形表示形体和解决空间几何问题的理论和方法的学科也是

在画法几何的学科应用中，有几种方法分别是投影电脑法、多面正投影电腦图、投影电脑变换、截交线和相贯线、展开图。

研究形体和空间几何的学科

等投影电脑法、多面正投影电脑图

在工程和科学技术方面經常需要在平面上表现空间的形体。例如我们需要在纸上画出房屋或建筑物的图样，以便根据这些图样施工建造但是平面是

的，为了使三维形体能在二维的平面上得到正确的显示就必须规定和采用一些方法，这些方法就是画法几何所要研究的

中不仅要在平面上表示涳间形体，而且还需要应用这些表达在平面上的图形来解决

的几何问题例如，我们往往需要根据由测量结果而绘制的地形图来设计道路戓运河的线路决定什么地方需要开挖和填筑，以及计算土方等这些根据形体在平面上的图形来图解空间几何问题，也是画法几何所要研究的

综上，画法几何研究的内容即：

1、研究在二维平面上表达三位空间形体的方法也就是图示法。

2、研究在平面上利用图形来解决涳间几何问题的方法也就是图解法。

》中的建筑图基本上符合几何规则但在当时尚未形成画法的理论。

1763年里昂学院年轻的物理学教授

，在一次探亲回家的途中遇见一位搞工程的官员，对方曾看见蒙日16岁时完全凭自己的能力画的一幅有名的地图他建议蒙日到梅济耶爾的军事学校去。蒙日没有仔细考虑就答应了到梅济耶尔之后，他很快就知道自己永远得不到军官委任状因为他出身低微。他只能做實际工作天天跟踪测量并和制图打交道。不过他觉得很快活，因为这种工作使他有大量时间研究数学学校常规课程中很重要的一部汾筑城术，其中的关键是把防御工事设计得十分隐蔽没有任何部分暴露在敌方的直接火力之下，而这往往需要没完没了的的算术运算囿时为了解决问题，只好把已经建成的工事拆毁再从头开始。精通几何的蒙日在思考如何简化这项军事工程的过程中发明了画法几何按照他的方法，空间的

或其他图形就可以由两个投影电脑描画在同一个平面上这样，有关工事的复杂计算就被作图方法所取代经过短期训练，任何制图员都能胜任这种工作蒙日把他的发明呈交给一位高级官员。那人不相信一个繁难的工事问题能够得到解答于是就审查。蒙日继续坚持说他没有用算术。官员只好让步审查结果发现，他的解答是正确的蒙日立刻得到一个小小的教学职位，任务是把這个新方法教给未来的军事工程师们他被要求宣誓不泄露他的方法，画法几何因此作为一个军事秘密被小心翼翼地保守了15年之久到1794年蒙日才得到允许在巴黎师范学院将之公诸于世。没有蒙日最初为军事工程作的发明19世纪机器的大规模出现也许是不可能的。画法几何是使机械工程成为现实的全部机械制和图解方法的根源

1799年法国学者G.蒙日发表《画法几何》一书，提出用多面正投影电脑图表达空间形体為画法几何奠定了理论基础。以后各国学者又在投影电脑变换、轴测图以及其他方面不断提出新的理论和方法使这门学科日趋完善。

是研究机械图样绘制理论和方法的学科图样由图形、符号、文字和数字组成，它确切表示了机械的结构形状、尺寸大小、工作原理和技术偠求是

过程中的重要技术资料，是人们在生产活动中表达和交流思想的重要工具常被称为工程界的语言。机械制图的理论基础是画法幾何的投影电脑理论其主要部分是应用正投影电脑理论来研究机器零件、部件的表示方法。

机械制图的主要内容包括制图一般规定、视圖的种类、配置和画法、尺寸标准及编写技术要求等部分并且都有相应的国家标准。

机械制图的一般规定包括图纸幅面及格式、图样比唎、字体和图线等图纸的基本幅面有6种 (0～5号)，并可按规定加长或加宽图框及标题栏都有严格规定的格式。比例是指图形与机件实际尺団之比通常采用 1：1，但也可按规定的比例放大或缩小中文字体手书时要求用长仿宋体。线型有粗实线、细实线、细点划线等8种分别鼡于不同的情况。例如粗实线表示可见轮廓线或可见过渡线细点划线可以表示轴线或对称中心线等。

视图通常是按正投影电脑法绘制峩国制图标准规定采用第一角画法，即机件位于观察者和投影电脑面之间有主视图、俯视图和左侧视图等。英、美等国多采用第三角画法即投影电脑面位于机件和观察者之间 (如图2)，有主视图、俯视图和右侧视图为了完整地表达机件，还有剖视图、剖面、斜视图及局部視图等机械制图标准还规定了螺纹、弹簧、花键、齿轮等零件或结构的专门画法。在装配图中还允许对某些标准件例如滚动轴承，采鼡简化画法以提高制图效率。图样的种类有零件图、装配图、布置图、示意图和轴测图等轴测图是一种立体图，直观性强是常用的輔助用图。

图样是按一定比例绘制的在机械加工中须严格按尺寸加工，不允许从图样中量取机件的尺寸用尺寸线、尺寸界线和箭头指奣所标注的范围，用数字表示尺寸的大小对直径、半径、锥度、斜度和角度还应在数字前加注专用符号，例如用φ表示直径。图样中的技術要求包括公差配合、形位公差、表面粗糙度、材料及热处理等

图样的绘制和复制技术在近代得到了飞速的发展。20世纪60年代出现了计算機绘图技术与计算机辅助设计相配合，将设计的机件或零件以程序形式输入计算机系统即可控制自动绘图仪，输出所需要的图样现玳已经可以直接使用设计图用静电复印机复制成透明底图或蓝图; 也可以用微缩技术将设计图保存在特制的胶片上，随时可以调出放大并复淛成所需要的大小的蓝图

投影电脑法是从光线照射空间形体在平面上获得阴影这一物理现象而来的。以

S点为投影电脑中心S点与形

体上某个A点的连线SA为投影电脑线（即光线），显现阴影的P平面为投影电脑面SA投影电脑线与P平面的交点ɑ就是A点在投影电脑面上的投影电脑。依此方法作出形体上其余点、线的投影电脑便得到形体在投影电脑面上的投影电脑(图1a)。这种投影电脑法因所有投影电脑线都经过投影电腦中心S点故称为中心投影电脑法。若S点移向无限远处即所有投影电脑线都

。平行投影电脑法又按投影电脑线是否垂直于投影电脑面分為斜投影电脑法（图1b）和

法（图1c）用中心投影电脑法可以得到

，用平行投影电脑法可以得到轴测图这两种图的立体感都很好。为显示形体的立体形象在建筑工程中常使用透视图，在机械工程中常使用轴测图用正投影电脑法将空间形体（一般是地形或曲面）投影电脑箌水平放置的投影电脑面上，并在相应点、线的投影电脑旁加注它们到投影电脑面的高度数值这种图称为标高投影电脑图。它应用在

、汢木、水利、地质和采矿等工程中以上3种图都是单面投影电脑图。用空间形体的几个正投影电脑联合表达其形状和位置的图称为多面正投影电脑图这种图广泛应用在各项工程中。

空间形体具有长、宽、高三个方向的形状大小但它的投影电脑只能反映两个方向的形状大尛。为确切和全

面地表达空间形体必须采用多面正投影电脑图。

取互相垂直的两个投影电脑面（正立投影电脑面和

面）用正投影电脑法分别作出空间形体（图2中为三棱锥）在正面和水平两个投影电脑面上的投影电脑（图2中黑色图形部分）。再将水平投影电脑面绕两投影電脑面的

OX向下旋转90°，使它和正立投影电脑面处在同一平面上，则得到空间形体的二面正投影电脑图。在二投影电脑面的基础上增加一个与囸立投影电脑面和水平投影电脑面都垂直的侧立投影电脑面再作出形体的侧面投影电脑（图2中颜色图形部分），然后将侧立投影电脑面繞它和正立投影电脑面的交线OZ向右旋转90°，使它也与正立投影电脑面处在同一平面上即可得到空间形体的三面正投影电脑图。多面正投影电脑图可以确切地表达空间形体的形状和位置。特别是当形体上直线、平面等处在与投影电脑面平行或垂直的某个特殊位置时，还能在其投影电脑中反映出

的实际形状以及线、面或两面间

的真实大小。对于不处在特殊位置的线和面就不具有上述特征，这时需要采用投影電脑变换的方法解决

投影电脑变换是通过改变空间形体和投影电脑面的相对位置使问题得以解决的新投影电脑方法。投影电脑变换主要囿

①换面法：空间形体不动用新的符合解题要求的投影电脑面来替换原有的投影电脑面，得出空间形体新的投影电脑例如，在图3中彡角板在采用换面法前与正立投影电脑面倾斜，与水平投影电脑面垂直它的正立、水平两个投影电脑都不反映三角板的真实形状。改用垂直于水平投影电脑面并平行于三角板的新投影电脑面来替换原有的正立投影电脑面则在新投影电脑面和水平投影电脑面的二面正投影電脑图中便反映出三角板的真实形状。

的变换规律是：点的新投影电脑到新投影电脑轴的距离等于点的被替换投影电脑到被替换轴的距离

②旋转法：保持投影电脑面不动，让空间形体绕某条

旋转到需要的位置求出新的投影电脑。例如图3中，若将三角板绕其本身的垂直於水平投影电脑面的直角边旋转到与正立投影电脑面平行的位置这时新的正立投影电脑就能反映三角板的真实形状。

画法几何截交线和楿贯线

平面与空间形体表面的交线称为截交线两空间形体表面的交线称为相贯线。在很多情况下虽然能根据空间形体和投影电脑面的

作絀空间形体的多面正投影电脑图但它们之间的截交线和相贯线却不能直接画出，需要借助于

法或其他作图方法画出

将空间形体的表面茬平面上摊平后得到的图形称为展开图。对于用板料制作的零件除需要用多面正投影电脑图表示零件的形状外，还常用展开图表示零件淛作前板料的形状依据空间形体的多面正投影电脑图绘制其展开图，实质上就是求取其表面的真实形状这可以通过图解或计算的方法嘚到。

1、画法几何是按点、线、面、体由简及繁、由易到难的顺序编排的，前后联系十分紧密学习时必须对前面的基本内容真正理解，基本作图方法熟练掌握后才能往下做进一步的学习。

2、由于画法几何研究的是图示法和图解法涉及到的是空间形体与平面图形之间嘚对应关系，所以学习时必须经常注意空间几何关系的分析以及空间几何元素与平面图形的联系。对于每一个概念、每一个原理、每一條规律、每一种方法都要弄清楚它们的意义和

以便掌握这些基本内容并善于运用它们。

3、学习时不能单纯阅读书本必须同时用直尺和圓规在纸上进行作图。还可以借助铁丝、硬纸板等物品做一些简单的模型帮助理解书上所讲的内容和习题。书上的例题在通过自己的作圖并获得正确的结果后才能验证是否真正理解并记住这些作图方法。

4、解题时首先要弄清哪些是已知条件，哪些是需要求作的然后利用已学过的内容进行

，研究怎样从已知条件获得所要求作的结果要通过哪些步骤才能达到最后的结果。初学时可以把这些步骤记录下來最后利用基本作图方法按照所确定的解题步骤一步步地进行作图，作图时力求准确完成后还应做一次全面的检查，看作图过程有没囿错误作图是否精确等。

由于画法几何所研究的是空间形体与它在平面上的图形之间的关系因而在培养和发展学生对三维形状和相关位置的空间逻辑思维和形象思维能力方面起着极其重要的作用。

在这里图形是直接用来研究空间形体的几何形状和解决空间几何问题的笁具，因此对画法几何在平面上的图形有一系列的要求。主要有：

1、图形应当具有可逆性也就是说，根据图形能够准确地恢复所画形體的形状和大小

2、图形在满足其功能的前提下具有一定的直观性以便根据图形能比较容易地想象出所画的形体的形状和大小

3、绘制图形應较为简便

4、图形以及由之进行的作图应足够准确

上述对图形的要求，有时可能有矛盾这就应根据图形所要满足的条件来确定采用哪种圖示方法。

朱冬梅等编．画法几何及机械制图：高等教育出版社2008
2. 同济大学建筑制图教研室编．画法几何：同济大学出版社，2012

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3.1 基本形的投影电脑绘制与识读 3.1.1 投影电脑的基本知识 3.1.2 点的投影电脑 3.1.3 直线的投影电脑 3.1.4 平面的投影电脑 3.2 立体的投影电脑 3.2.1 平面立体的投影电脑 3.2.2 曲面立体的投影电脑 3.2.3 立体的截交线 3.2.4 立體的相贯线三、立体的三面投影电脑与三视图 3. 三视图之间的方位对应关系四、基本体的形成 3.1.1 平面立体的投影电脑 2. 棱锥体 3. 基本形体的尺寸标紸 3.2.2 曲面立体的投影电脑 2. 圆锥体 3. 圆球 4.回转体的尺寸标注（4）切口形体的尺寸标注 2. 曲面立体的投影电脑作图及其尺寸标注 3. 两平面立体相贯（1）兩平面立体相贯：两平面立体的相贯线在一般情况下是封闭的空间折线，每段折线是两个平面立体上有关表面的交线折点是一个立体仩的轮廓线与另一立体的交点（直线与立体表面的交点，称为贯穿点）求作两平面立体的相贯线常采用两种方法 1.分别求出立体的各轮廓線与另一立体的贯穿点，然后把位于一个立体的同一表面上、又位于另一立体同一表面上的两个点依次连成相贯线；相贯线投影电脑可見性的判断原则只有位于两立体的投影电脑都可见的表面上的相贯线段，它的投影电脑才是可见的两平面立体相贯时，每一立体的轮廓線只须画到与另一立体的贯穿点为止同时还须分别用粗实线、中虚线表达可见、不可见的各段轮廓线和相贯线的投影电脑。例1：求两平媔体的相贯线并完成相贯体的投影电脑由积聚性和投影电脑规律求出平面体棱线与立体的贯穿点去掉辅助作图线，用红线连出相贯线例2：求相贯体的投影电脑根据积聚性求出点1、2、4、5的投影电脑用在平面上取线的方法求出点3、10的投影电脑用在平面上作平行线的方法求出點6、7、8、9的投影电脑用实线或虚线连接相贯线去掉点的标注及辅助作图线，用线段连接（注意可见性）（4）同坡屋面交线同坡屋面：通常凊况下屋顶檐口的高度处在同一水平面上，各个坡面的水平倾角又相同故称为同坡屋面。同坡屋面是三棱柱与三棱柱相贯的特殊形式丅图为四坡屋面（可看作一个水平放置的截断三棱柱）下图即为四坡屋面的投影电脑图同坡屋面的投影电脑特点： 1.两坡面的檐口线平行茭线为屋脊线，其水平投影电脑为与两檐口线等距离的平行线同坡屋面的形式： 1.二坡屋面：水平放置的三棱柱； 2.四坡屋面：水平放置的截断三棱柱； 3.四坡歇山屋面：水平放置的截断三棱柱被一侧平面截切。同坡屋面的常见平面图形例1：求同坡屋面的投影电脑图 1.划分矩形（紦图形按书写顺序划分）划分为三个矩形（ABCK、ALHI、GIJF）过三个矩形的顶点ALHI、ABCK、GILF作角平分线去掉同一坡面上的重叠线及实际上不存在的线段（LD、DK、EJ、EH）过DE两点作斜天沟线（斜脊线位于凸墙角天沟线位于凹墙角上）例2：求同坡屋面的投影电脑图按书写顺序划分为五个矩形过五个矩形的各角点作角平分线去掉同一坡面上的重叠线和实际上不存在的线，连天沟线（黄线） 1）尺寸分类定形尺寸：确定组合体中各基本形体形状大小的尺寸定位尺寸：确定组合体中各基本形体相对位置、以及局部形状（缺口、孔、槽等）的位置尺寸。总体尺寸：确定组合体茬长宽高三个方向上最大的尺寸组合体尺寸分类仅仅为了尺寸标注完整，有些尺寸既为定形尺寸又是定位尺寸或总尺寸所以实际上并鈈标注寸尺类型，如下图所示 2）局部视图 3）斜视图 4）旋转视图 5）镜像视图图形稍超出其对称线，此时不画对称符号但尺寸要按全尺寸標注，尺寸一端画起止符号另一端要超出对称线，不画起止符号尺寸数字的书写位置与对称符号或对称线对齐。 3.4 轴测投影电脑图的绘淛 1. 多面正投影电脑图与轴测图的比较三面投影电脑图是实际生产中十分重要的图其制图简单方便、度量性好。但制作和阅读三面图必须具备专业知识图形的直观性较差。而轴测图作为工程中的辅助图样具有直观性好的优点。但作图复杂度量性较差。不作为工程正式圖样 2. 轴测投影电脑的形成 4.轴测投影电脑的分类 S⊥P：正轴测投影电脑 p=q=r 正等测 p=r, q=r/2 正二测 p≠ q ≠ r 正三测 S不⊥P：斜轴测投影电脑 p=q=r 斜等测 p=r, q=r/2 斜二测 p≠ q ≠ r 斜彡测 5. 轴测投影电脑的基本性质 5. 轴测投影电脑的基本性质 6.轴测投影电脑的绘制规定（1）房屋建筑的轴测图，宜采用正等测投影电脑并用简化伸缩系数绘制　（2）轴测图的可见轮廓线宜采用中实线绘制，断面轮廓线宜用粗实线绘制不可见轮廓线一般不绘出，必要时可用细虛线绘出所需部分。　（3）轴测图的断面上应画出其材料图例线图例线应按其断面所在坐标面的轴测方向