• 第三讲  长方形和正方形（一） ……………………8
• 第四讲  长方形和正方形（二） ……………………11
• 第五讲  算式谜（一）……………………………… 14

◆第十五讲  还原问题（一）  …………………………… 43

• 第21讲  计数问题（一）…………………………… 17
• 第22讲  计数问题（二）………………………… 19
• 第24讲   容斥问题（二）……………………………26

◆   能力测试（二） ………………………………………63

第一讲  找规律（一）

事物的发展中有规律的只有认为观察倳物，找到事物发展变化的规律才能深入地了解和掌握它，从而找到解决问题的方法和途径在数学竞赛中，常常出现按规律填数的题目找规律的方法是根据已知数的前后（可上下）之间的联系，找出其中的规律求得相应的数。

1. 请找出下列各组数排列的规律并根据規律在括号里填上适当的数。

   例2．根据下表中数的排列规律在空格里填上适当的数。

例3．下面每个括号里两个数按一定规律组合在里填上适当的数。

   例4．根据前面两个圈里三个数的关系在第三个圈里的（   ）里填上适当的数。

   1．找出下面各组数排列的规律并根据规律茬括号里填上合适的数。

   2．找规律在空格里填上适当的数。

   3．下面括号里和两个数是按一定规律组合根据规律在   里填上适当的数。

（2）（13），（59），（713），（9  ）。

    例1．请先计算下面一组算式的前三题然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后六题的得数

  唎2．请先计算下现的一组算式的第一题，然后找出其中的规律并根据规律直接写出后几题的得数。

  例3．下面每行的数字是按一定规律排列下去的请找出规律，并写出第六、七、八的数字

例4．有一列数组：（1，11），（24，16）（3，981），…求第100组的三个数之和比第50组嘚三个数之和多多少

2．找出规律后，直接填写出括号内的数

4．找出下列算式的规律，把算式填写完整

同学们已经学会长方形、正方形的周长与面积的计算，利用公式很容易算出它们的面积与周长但在遇到一些较复杂的有关长方形和正方形的周长和面积计算时，一些哃学就会感到棘手这两讲我们将教给大家一些平移、转化、分解、合并等技巧，使大家在解题中能顺利地找到突破口化难为易，化繁為简

    例1．有一块长8分米，宽4分米的长方形纸板与两块边长4分米的正方形拼也一个正方形拼成的正方形的周长是多少分米？

1. 两个大小数點相同的正方形拼成一个长方形后周长比原来的两个正方形周长的和减少6厘米。原来一个正方形的周长是多少厘米

1. 图7是一座厂房的平媔图，求这座厂房平面图的周长

1. 图9是个多边形，图中每个角都是直角它的周长是多少？

1. 一个正方形被分成3个大小、形状完全不一样的長方形（如图10）每个小长方形的周长都是24厘米，求这个正方形的周长

图11是由四个一样大的长方形和一个周长是4分米的小正方形拼成的┅个边长是11分米的大正方形。每个长方形的长和宽各是多少周长是多少？

1. 一根铁丝长12厘米能围成几种长和宽都是整厘米数的长方形，烸咱长方形的长和宽各是几厘米围成的正方形的边长是几厘米？

1. 把一个长10厘米宽5厘米的长方形，分成两个大小一样的正方形每个正方形的周长是多少？
2. 用一个长8厘米宽4厘米的长方形与7个边长4厘米的正方形，拼成一个大正方形拼成的大正方形的周长是多少？
3. 求图12、圖13的周长

1. 图14是一座楼房的平面图，这座楼房平面图的周长是多少米

把一个正方形分成甲、乙两个部分（如图15），比较甲、乙两个部分周长的长短并求出乙的周长。

1. 有两个相同的长方形长7厘米，宽3厘米把它们按图（16）的样子重叠在一起，这个图形的周长是多少厘米
2. 一个正方形被分成6个大小、形状完全一样的长方形（如图17），每个长方形的周长都是14厘米原来正文武的周长是多少厘米？
3. 一块长方形咘周长是18米，长比宽多1米这块布的长是几厘米？宽是几米
4. 用4个一样大的长方形和一个小正方形，拼成一个边长是16分米的大正方形（洳图18）每个长方形的周长是多少？

第四讲  长方形和正方形（二）

一块长方形土地长是宽的2倍，中间有一座雕塑雕塑的底面是一个正方形，周围是草坪（如图1）草坪的面积是多项式少平方米？

1. 图2是由6个相等的三角形拼成的图形求这个图形的面积。
2. 已知图3中大正方形仳小正方形的边长多4厘米大正方形面积比小正方形多96平方厘米。大正方形和小正方形的面积各是多少

1. 如图4，正方形中套着一个长方形正方形的边长是15厘米，长方形的四个角的顶点恰好分别把正方形四条边都公成两段，其中长的一段是短的2倍这个长方形的面积是多尐？
2. 如图5已知正方形ABCD的边长为6分米，长方形BCEF和长方形AGHD的面积分别为24平方分米和20平方分米求阴影部分和面积。
3. 一个边长是7厘米的正方形紙片最多能裁出多少个长是4厘米，宽是1厘米的纸条请画图说明。

1.用长36厘米长的一根铁丝围成一个正方形它的面积是多少？用这根铁絲围成一个长12厘米的长方形它的面积是多少？

2.有一个长方形的市民广场长100米，宽80米广场中间留了宽4米的人行道，把广场平均分成四塊（如图6）每一块的面积是多少？

3.图7是由12个相等的三角形拼成的这个图形的面积是多少？

4.如图8已知大正方形的面积比小正方形多52平方分米，大正方形比小正方形的边长多2分米小正方形的面积是多少？大正方形的面积是多少

5.图9是由9个小长方形组成的，按图中编号苐1，23，45号的面积分别是1平方米，2平方米3平方米，4平方米5平方米，那么第6号长方形和面积是多少呢？

6.如图10一个正方形中套着一個长方形，已知正方形的边长是16分米长方形的四个角的顶点恰好把正方形四条边都分成两段，其中长的一段是短的3倍阴影部分的面积昰多少？

7.图11中阴影部分的面积是多少

8.把一块长6分米，宽5分米的长方形钢板截成长3分米波，宽2分米的小长方形钢板最多能截几块？请畫图说明

算式谜是一种有趣的数学问题，它的特点是在算术运算的式子中使一些数字或运算符号“残缺”，要我们根据运算法则进荇判断推理，从而把“残缺”的算式补充完整研究和解决算式谜问题，有利于培养我们观察、分析、归纳、推理等思维能力从这个意義上讲，算式谜问题是一种很好的锻炼思维的“体操”

1. 在下面算式的括号里填上合适的数。

例2．A、B、C、D分别代表4个不同的数字相同的芓母代表相同的数字，求使得下面算式成立A、B、C、D各自代表的数字

例3．A、B、C、D分别代表不同的数字，它们各是什么数字时同上面的算式荿立

例4．下面的算式中的“数”、“学”、“俱”、“乐”、“部”这五个汉字各应代表什么数字？

例5．下面算式中不同的字母所找表嘚数字均不同当这些字母代表什么数时，算式成立

例6．在括号里填数，使下面的竖式成立

1. 下面的算式中，相同的汉芓代表相同的数字不同的汉字代表不同的数字，求这个算式

1．在□里填上适当的数，使等式成立

2．下面算式中不同的图形代表不同嘚数，不同的字母代表不同的数请将算式中的图形或字母还原成数字。

3．在（ ）里填上适当的事使算式成立。

4．下媔算式中汉字或字母分别代表不同的数字请将汉字或字母还原成数字。

5．在□里填上适当的数使算式成立。

6．下面算式中不同的汉字玳表不同的数字相同的汉字代表相同的数字，求出每个汉字所代表的数字

第六讲  算式谜（二）

例2．将1，23，45，67，89这九个不同的數字分别填在□中，使下面三个算式成立

    例3．在1，23，45，67，89这九个数字中，添上+、-两种运算符号使其结果都等于100（数字的顺序鈈能改变）。

例4．在下面的式子里加上括号使等式成立。

    1．从+、-、×、÷、（  ）中选出合适的符号添入下列算式的五个数字之间，使算式成立

2．把0，12，34，56，78，9这十个数字填到下面的圆圈内使三道算式成立（每个数字只能用一次）。

3．在下面等号左边的数字之間添上一些加号使结果等于99（数的顺序不能改变）。

4．把一个乘号和七个号添在下面算式合适的地方使结果等于100（数的顺序不能改变）。

5．把+、-、×、÷分别填在适当的圆圈内（每个运算符号只能用一次）并在方框中填上适当的整数，使两个等式成立

6．在下面的算式Φ加上括号，使等式成立

在一定长度的线路上，等距离地安排若干个点植树植树的棵数、株距（相邻两棵树之间的距离）与线路的总長之间存在某种数量关系，研究这种数量关系的问题通常被称为植树问题植树问题一般分为线段上的植树问题和环形线路上的植树问题。

1．线段上的植树问题分以下三种情形讨论：

 （1）如果植树线路的两端都要植树那么，

 （2）如果植树线路的一端要植树另一端不要植樹，那么

线路的全长 = 株距×植树的棵数

 （3）植树的棵数 = 线路和全长÷ 株距-1

2．环形线路上的植树问题，线路的全长、植树的棵树、株距之間的数量关系是：

线路的全长 = 株距×植树的棵数

 株距 = 线路的全长÷植树的棵数

从以上数量叛乱中容易看出：植树的棵树株距与线路的全長三个量中，只要知道其中的两个量就能求出第三个量。

例1．在一条路的一边种树从头到尾一共种了45棵，相邻两棵树之间相距5米这條路长多少米？

1. 在一条长42米的街道两边每隔6米插一面彩旗（两端不插），一共需要插多少面彩旗
2. 在一个湖泊周围筑成周长是3060米的大堤，堤上每隔6米栽柳树1棵然后在相邻的两棵柳树之间栽桃树2棵，大堤上栽柳树和桃树各多少棵
3. 把一根木头锯成4段需要6分，如果要锯成13段需要多少分？
4. 小平和小亮同住在一幢大楼里小平住五楼，小亮住四楼小平每天回家要走80级台阶，小亮回家要走多少级台阶

    1．一条蕗长100米，在这条路的一旁从头到尾每隔5米插1面彩旗一共要插多少面彩旗？

2．在一条长75米的长廊一边摆花盆起点和终点都摆，一共摆了26盆相邻两盆花之间的距离相等，相邻两盆花之间相距多远

3．在一条马路的两侧种树，每隔10米种一棵（两端都不种）这条马路全长240米，一共需种多少棵树

4．在一条道路的两旁栽树，一共栽了32棵每隔8米栽一棵（两端各栽一棵），这条路长多少米

5．在一个鱼塘周围筑荿周长是1200米的土堤，堤上每隔8米栽一棵杨树然后要相邻两棵杨树中间栽一棵松树。土堤上栽杨树和松树各多少棵

6．有4根木料，每根都鋸成6段每锯开一处需付锯板费2元，全部锯完需付锯板费多少钱

7．要把一根木头锯成5小段，每锯一小段要用15分李叔叔从上午8时10分开始鋸，中间不休息锯完时是几时几分？

8．小红家所在的那座楼房每上一层楼要走21个台阶，到小红空要走126个台阶小红家住几楼？

9．一个囚到一幢十层大楼的第八层办事不巧停电，电梯停开如果这个人从第一层走到第四层要48秒，那么他以同样的速度从第四层走到第八層，需要多少秒

10．在一条路的一边每隔8米放一盆花，连两端在内共放了16盆现在拿走花盆，种植小松树连两端在内共种了7棵，相邻两棵小松树相距多远

    例1．四年级学生260人排成十路纵队做操，也就是每十个人一排排成放多排。已知相邻两排之间相隔1米这支队伍长多尐米？

例2．时钟4点钟敲4下6秒敲完，那么8点钟敲8下，几秒敲完

例3．在一个正方形广场四周安装路灯，四个顶点都装有一盏这样每边嘟有15盏，四周共装路灯多少盏

例4．一个老人以变的速度在公路上散步，他从第1根电线杆走到第12根电线杆用了22分如果这个老人走了36分，那么他应该走到第几根电线杆？（相邻两根电线杆之间的距离相等）

例5．两棵树相隔115米，中间原来没有树现在中间以相等的距离增加22棵树后，第16棵树与第1棵树之间相隔多少米

1. 在马路的一边摆一排菊花，一共5盆再在每两盆菊花中间摆3盆桂花，一共要摆我少盆桂花
2. 伍（1）班48名学生排成四路纵队，已知相邻两排之间相隔2米这支队伍长多少米？
3. 时钟6时敲6下5秒敲完。那么这只钟12时敲12下，几秒敲完
4. ┅位科学家在做一项实验，他从下午9时30分开始做第一次记录以后每隔20分做一次记录，他做第七次记录时是几时几分
5. 在一个正方形操场㈣周插彩旗，四个顶点都插一面这样每边都有10面。四周共插彩旗多少面
6. 小平以不变的速度在小路上散步，他从第1棵树走到第7棵树用了24汾如果他走了40分，应该走到第几棵树（相邻两棵树之间的距离相等。）
7. 两棵树相隔220米在中间以相等的距离增加10棵树后，第1棵树与第7棵树之间相隔多少米
8. 要两棵松树之间以相等的距离摆放了14盆花（松树与相邻花盆的间隔等于相邻两盆花的间隔），第1棵松树与第5盆花相隔10米那么，两棵松树相隔多远
9. 一座桥全长168米，计划在桥的两侧栏杆上各安装16志广告牌每块广告牌的横长为3米，靠近桥两头的广告牌距离桥端都是15米相邻两块广告牌之间相隔几米？
10. 有一根180厘米长的绳子从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号然后将标囿记号的地方剪断，绳子共被剪成了多少段

（满分100分，90分钟完成）

• 填空题（每小题4分共44分）。

 3．找出下面各组数排列的规律并根据規律在括号或方框里填上合适的数。

4．用一块长6米、宽3米的长方形铁皮拼成的大方形铁皮的周长是（    ）。

5．两个大小相同的正方形拼成┅个长方形后长方形的周长比原来的两个正方形周长的和减少了10厘米，原来每个正方形的周长是（    ）

6．在一个湖泊周围筑了一条大堤，堤上每隔4米栽柳树一棵然后在相邻两棵柳树之间栽2棵桃树，堤上一共栽了桃树400棵这条大堤长（    ）米。

7．观察算式找出规律，在括號里填上适当的数

8．在括号里填上适当的数，使算式成立

9．下列算式中，“数”、“学”、“俱”、“乐”、“部”分别代表哪几个數字请填在下面相应的括号里。

10．在下列五个5之间添上适当的运算符号＋、－、×、÷和（ ），使算式成立

11．将01，23，45，6这七个數字分别填入下面的七个□内，使算式成立

□×□=□□÷□=□□

二、判断题（对拓括号里打“√”错的打“×”。每小题3分，共9分。）

 2．用8分米长的铁丝围成的正方形要比围成的长方形的面积大。（   ）

 3．一个边长是7厘米的正方形纸片最多能裁出10个长是4厘米，宽是1厘米嘚小长方形纸条（   ）

• 应用题第1题11分，其余每题6分共47分）。

1. 下面是两座楼房的平面图这两个平面图的周长各是多少？

1. 下面图中的正方形被分成5个大小、形状完全一样的长方形每个长方形的周长都是12厘米，求原来正方形的周长

1. 如图，正方形中套着一个长方形正方形嘚边长是8分米，长方形的四个角的顶点恰好把正方形四条边分成两段其中长的一段是短的3倍。阴影部分的面积是多少平方分米

1. 广场上囿一面大钟，5时敲5下8秒敲完。照这样计算11时敲11下，几秒敲完
2. 有6根木头，把每根锯成6段每锯开一处需付锯板费6元。全部锯完需付锯板费多少元
3. 小赵和小王住在同一幢楼，相邻两层楼之间的台阶数相同小赵住六楼，小王住三楼小王每天回家要走40级台阶，小赵回家偠走多级台阶
4. 林林以不变的速度在小路上散步，小路边有一排树他从第1棵树走到第9棵树用了32分。如果从第1棵树算起他走了60分，那么应该走到第几棵树？（假定相邻两棵树之间的距离都相等）

    例1．植树节，育红小学五、六年级学生共植树106棵六年级比五年级多植树24棵，五、六年级各植树多少棵

例2．小明期终考试，语文和数学的平均分数是97分语文比数学系少6分，语文和数学各得了几分

例3．一部書有上、中、下三册，上册比中册贵1元中册比下册贵2元，这部书售价32元上、中、下三册各多少元？

例4．甲、乙两筐香蕉共64千克从甲筐里取出5千克放到乙筐里去，结果甲筐的香蕉还比乙筐的香蕉多2千克甲、乙两筐原有香蕉各多少千克？

例5．这里有三道加法算式当正方形、三角形、圆形各代表什么数，才能使等式成立

□+□+△+○=20……（1）

□+△+△+○=17……（2）

□+△+○+○=15……（3）

    1．小红家养了30只鸡，母鸡比公鸡多8只小红养母鸡、公鸡各多少只？

    2．甲、乙、丙三个数和为300，已知甲比乙大50乙比丙大20，甲数是多少

3．甲、乙、丙三个同时参加储蓄。甲、乙两人共储蓄220元乙、丙两人共储蓄180元，甲、丙两人共储蓄200元问：三人各储蓄多少元？

4．两筐苹果遇上梨共重64千克如果從第一筐中取出8千克放入第二筐后，那么第一筐苹果遇上梨比第二筐少2千克。两筐苹果遇上梨原来各有多少千克

5．小明比小华多30块糖果，小明给小华25块糖果这时谁的糖果多？多几块

6．小强沿长与宽相差20米的游泳池池边跑步5圈，作下水前的准备活动已知他共跑了700米，游泳池的长和宽各是多少米

7．张宁同学期末考试成绩如下：语文和数学平均成绩是94分，数学和外语平均成绩是88分外语和语文平均成績是86分。张宁同学语文、数学、外语各得多少分

8．两个加数之和比一个加数大25，比另一个加数大52这两面三刀个加数的和与差各是多少？

9．如果两个数的和与差的积是77这两个数各是多少？

10．已知△=8你能根据下面两道算式，算出□和○各表示几吗

我们把已知几个数的囷及它们之间的倍数关系，求这几个数各是多少的问题称为和倍问题解答和倍问题，要在已知条件中确定一个数为标准（一般以小数作為标准）假定小数是1倍或1份，再根据其他几个数与小数的倍数关系确定总和相当于1倍数的多少倍，然后用除法求出小数再算出其他各数。

和倍问题的数量关系是：

    例1．六he农场把98000千克粮食分别存入两个仓库已条存入第一仓库里的粮食是第二仓库的3倍。两个仓库各存多尐千克粮食

例2．被除数、除数、商三个数的和是212，已知商是2被除数和除数各是多少？

例3．三篮桃子共有117个第一篮的桃子是第二篮的2倍，第三篮的桃子是第一篮的3倍这三篮桃子各有多少个？

例4．两个数的和是682其中一个加数的个位是0，若把0去掉则与另一个加数相同。这两个数各是多少

例5．有两堆棋子，第一堆有67个第二堆有53个。问：从第一堆中拿出多少个棋子放入第一堆就能使第一堆的棋子是苐二堆了2倍？

2．长方形的周长是36分米已知长是宽的2倍，长方形的面积是多少平方分米

3．两数相除，商3余4如果被除数、除数、商及余數相加，和是43求被除数和除数。

4．姐姐和妹妹共有人民币264元（两人都是整元的钱）姐姐的钱数的个位是0，如果姐姐把自己钱数的个位仩的0去掉恰好和妹妹的钱数相等。姐姐、妹妹各有人民币多少元

5．甲、乙两人共储蓄人民币1790元，甲取出540元后乙的钱数比甲的3倍还多50え。甲、乙两人原来各储蓄多少元

6．王村原有水田325公顷，旱田155公顷现在计划把一部分旱田改成水田，使全村水田的公顷数相当于旱田嘚3倍应该把多少公顷旱田改成水田？

7.甲、乙两箱茶叶共84千克如果从乙箱取出12千克放入甲箱，则甲箱茶叶的重量是乙箱的2倍两箱原来各有茶呆多少千克？

8．把一个减法算式里的被减数、减数与差相加得数是990，已知减数是差的2倍减数是多少？

    例1．百货公司卖出花布和皛布共395米卖出的花布是白布的4倍，花布每米6元白布每米5元，卖出的花布和白布共值多少元

例2．甲、乙两数之积为2500，是甲、乙两数之囷的20倍而甲数又是乙数的4倍，甲、乙两数各是多少

例3．甲、乙两人共储蓄1000元，甲取出240元乙又存入80元，这时甲蓄储的钱正好是乙的3倍原来甲比乙多储蓄多少元？

例4．光明小学买来足球和篮球共30个已知买来足球的个数比篮球的2倍少3个，学校买来足球的篮球各多少个

唎5．大水池里有水2600立方米，小水池里有水1200立方米如果大水池的水以每分23立方米的速度流入小水池，那么多少分后小水池中的水是大水池的4倍？

    1．甲瓶里有酒精470毫升乙瓶里有酒精190毫升，为了使甲瓶的酒精是乙瓶酒精的2倍应该把甲瓶的酒精倒入乙瓶多少毫升？

2．两个自嘫数的和是286其中一个数的末位数是0，如果把这个0去掉所得的数与另一个数相同。原来两个数的积是多少

3．甲、乙两人存款数相等，洳果取出30元乙存入30元，那么乙的存款数恰好是甲的5倍。甲、乙两人这时各有存款多少元

4．有两层书架，共186本书如果从第一层拿走25夲书后，第二层的书就比第一层的2倍还多11本第二层有多少本书？

5．甲、乙两个冷藏库共存鸡蛋1570箱从甲库运走350箱后，这时乙库存的鸡蛋仳甲库剩下的2倍还多80箱甲、乙两库原来各存鸡蛋多少箱？

6．两个数的和是13002其中一个数的百位和十位上的数都是6，另一个数百位和十位仩的数都是3如果用0代替这两个数里的6与3，那么所得的一个数是另一个数的2倍，原来的两个数各是多少

7．商店运来梨子、苹果遇上梨、香蕉共53千克，梨子的重量是苹果遇上梨的3倍少3千克香蕉的重量是苹果遇上梨的2倍多2千克，梨子重多少千克

8．南水池有水3830立方米，北沝池有水850立方米如果南水池里的水以每分32立方米的速度流入北水池，那么多少分后南水池中的水是北水池的3倍？

9．面值10元的面值5元的鈔票若干张共175元。10元的张数是5元张数的3倍这两种钞票各几张？

    例1．暑假里兄弟两人去池塘钓鱼，哥哥比弟弟多钓20条哥哥钓的条数昰弟弟的3倍。哥哥与弟弟各钓了多少条鱼

例2．参加学校课外舞蹈小组的同学，女生比男生多45人女生比男生的4倍少15人，男、女生各有多尐人

例3．两堆煤重量相等，第一堆运走7吨第二堆运走19吨以后，第一堆剩下的吨数是第二堆的3倍两堆煤现在各有多少吨？

例4．一个畜牧场原有山羊和绵羊的只数同样多，如果卖出山羊200只买进绵羊350只，那么绵羊的只数是山羊的6倍还多50只畜牧场原有山羊、绵羊各多少呮？

例5．有两筐桔子如果从第一筐拿出9个放入第二筐，则两筐桔子的个数相等；如果从第二筐拿出12个放入第一筐则第一筐桔子的个数等于第二筐的2倍。原来每筐桔子各有多少个

1.暑假里，哥哥做的数学题比弟弟多180道哥哥做的数学题是弟弟的4倍多9道。两人各做多少数学題

2.甲、乙两人的钱一样多，甲给乙30元则乙的钱是甲的5倍。甲、乙原来各有多少元

3．甲粮仓的大米比乙粮仓多600袋，如果从乙粮仓运出300袋给甲粮仓那么，甲粮仓的大米是乙粮仓的2倍两粮仓原来各有大米多少袋？

4．两块同样长的花布第一块卖出25米，第二块卖出7米剩丅的布，第二块的长度是第一块的3倍这两块布原来各有多少米？

5．已知两个数的商是4这两个数的差是39。那么这两个数中较小的一个數是多少？

6．小英的故事书的本数是小娟的3倍如果小英借给小娟10本故事书，小娟的故事书的本数等于小英的3倍小英、小娟原来各有故倳书多少本？

7．水果店有重量相等的苹果遇上梨和梨子各一筐苹果遇上梨卖出60千克，梨子又放入40千克结果梨子的重量是苹果遇上梨的3倍。原来苹果遇上梨、梨子各有多少千克

8．四（1）班和四（2）班原有图书的本数一样多。后来四（1）班又买事新书126本，而四（2）班从夲班原有的书中取出234本借给四（3）班这时，四（1）班图书的本数是四（2）班的3倍四（1）班和四（2）班原来各有图书多少本？

9．一天甲、乙、丙三人去郊外钓鱼，甲比乙多钓6条丙钓的鱼是甲的2倍，比乙多钓22条他们三人一共钓了多少鱼？

10．甲对乙说：“你给我100元我嘚钱将比你多1倍。”乙回答说：“你只要给我10元我的钱就比你多5倍。”问：两人各有多少元

日常生活中到处存在着数学，一些关于年齡的数学趣题尤其使人迷恋。

大象对长颈鹿说：“我现在的年龄等于我像你那么大时你的年龄的2倍，而等你长到我这么大时我俩的姩龄之和是63岁。”

你能根据大象的话算出大象与长颈鹿的年龄吗？

小鲸鱼说：“妈妈我到您现在这么大时，您就31岁啦！”鲸鱼妈妈说：“我像你那么大年龄时你只有1岁。”

你能根据他们的对话算出鲸鱼妈妈和小鲸鱼现在各是多少岁吗？

年龄问题生动有趣又往往是囷差、倍数等问题的综合，因此需要灵活地解决

例1．妈妈今年43岁，女儿今年11岁几年后妈妈的年龄是女儿的3倍？几的前妈妈的年龄是女兒的5倍

例2．今年，父亲的年龄是女儿的4倍3年前，父亲和女儿年龄的和是49岁父亲、女儿今年各是多少岁？

例3．一家有三口人三个人姩龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁妈妈的年龄是孩子的4倍。三人各是多少岁

例4．王英5年前的年龄等于李明7年后的年龄，王英4年后与李明3姩前的年龄和是35岁王英、李明二人今年各几岁？

例5．哥哥与弟弟两人3年后的年龄和是27岁弟弟今年的年龄等于两人的年龄差。哥哥和弟弚今年各几岁

2．父亲今年38岁，儿子今年10岁几年之后，父亲的年龄是儿子的3倍

3．父子两人的年龄和是64岁，儿子年龄的3倍比父亲多8岁父子两人的年龄各是多少岁？

4．爸爸比小刚大25岁爸爸的年龄比小刚年龄的5倍少3岁。爸爸多少岁

5．小丽今年7岁，小丽妈妈今年35岁小丽哆少岁时，妈妈的年龄是小丽的8倍

6．4年前，妈妈的年龄是娟娟的4倍娟娟今年12岁，今年妈妈的年龄是小丽的几倍

7．爸爸今年35岁，妈妈紟年31岁当爸爸和妈妈年龄之和等于98岁时，爸爸和妈妈各是多少岁

8．哥哥5年前的年龄等于妹妹7年后的年龄，哥哥4年后与妹妹3年前年龄的囷是35岁求哥哥、妹妹今年的年龄？

9．今年哥哥16岁弟弟比哥哥小3岁，多少年后兄弟两年龄的和为45岁那时哥哥和弟弟各几岁？

10．甲的年齡比乙的年龄的3倍少4岁甲7年前的年龄和乙9年后的年龄相等。甲、乙现在各是多少岁

    例1．已知祖父和父亲、父亲和孙子年龄的差是一样嘚，又知祖父和孙子的年龄之和为84岁这个岁数再加上孙子的年龄，正好是100岁问：三人的年龄各是多少岁？

例2．祖孙三人的年龄加在一起正好是100岁祖父过的年数正好等于孙子过的月数，儿子过的星期数正好等于孙子过的天数问：三人的年龄各是多少岁？

例3．王叔叔对尛明说：“我15年前的岁数和你6年后的岁数相同7年前，我的年龄是你的年龄的8倍”小明今年多少岁？王叔叔今年多少岁

例4．小英一家甴小英的她的父母组成。小英的父亲比母亲大3岁今年全家年龄的总和是71岁，8年前这个家庭的年龄总和是49岁今年小英多少岁？父亲多少歲母亲多少岁？

    1．今年小明和妈妈的年龄和是42岁6年前，妈妈的年龄是小明年龄的14倍小明和妈妈今年各多少岁？

2．李老师的年龄比小紅年龄的2倍多8岁李老师10年前的年龄和小红8年后的年龄相等。小红今年几岁

3．15年前父亲的年龄是儿子的7倍，10年后父亲的年龄是儿子的2倍父亲、儿子现在各多少岁？

4．大马年龄是小马年龄的4倍再过20年大马的年龄比小马的2倍小14岁。大马、小马现在各多少岁

5．四个人年龄の和是77岁，最小的是10岁最大的与最小的年龄之和比另外两人年龄之和大7岁。最大的年龄是多少岁

6．4年前，母亲的年龄是芳芳的4倍芳芳今年12岁了。今年母亲的年龄是芳芳年龄的几倍

7．哥哥对弟弟说：“当我是你今年的岁数那一年，你刚刚3岁”弟弟对哥哥说：“当我長到你今年的岁数时，你就是15岁了”哥哥、弟弟今年各多少岁？

    还原问题是指条件中只说明了中间的发展过程和最后结果要求最初状態的一类问题。解答这类问题逆向思维很重要通常要运用倒推法（还原法），即从最后一步出发一步一步倒着往前推算，逐步倒着往湔推算逐步靠拢已知条件，直到问题解决

    例1．某数加上6，乘以6减去6，除以6其结果等于6，求某数

例2．有一位老人说：“把我的年齡加上14后除以3，再减去26最后用25乘，恰巧是100岁”这位老人今年多少岁？

例3．在做一道加法式题时某学生把个位上的5看作9，把十位上的8看作3结果所得的和是123。正确的答案是多少

例4．工人们修一段路，第一天修了公路全长的一半还多2千米第二天修了余下了一半还少1千米，还剩20千米没有修完公路的全长是多少千米？

    2．《小学生数学报》少年数学爱好者俱乐部成立的年份数加上2后缩小100倍，再扩大4倍朂后减去25，正好是55这个俱乐部成立于哪一年？

3．有一个说：“把我的年龄加上28后除以15再用8乘，就是32岁”这个人多少岁？

4．小明在做┅道加法计算题时把个位上的4看作7，十位上的8看作2结果和是306。正确的答案应该是多少

5．王大爷去粮站买米，粮站的陈叔叔因粗心錯把一袋米少算了20千克，把另一袋米多算了3千克合计卖给王大爷60千克米。王大爷实际购买了多少千克米

6．一捆电线，第一次用去全长叻一半多3米第二次用去余下的一半多5米，还剩下7米这捆电线原来长多少米？

7．有一篮鸡蛋第一次取出一半多2个，第二次取出余下的┅半多2个第三次拿出8个，篮里还剩2个鸡蛋篮里原来有多少个鸡蛋？

8．小刚买毛巾用去所带钱的一半买手帕用去2元钱，买香皂用去剩餘钱的一半这时还剩4元钱。小刚买毛巾用去多少钱一共带了多少钱？

9．某仓库运出三次原料第一次运出总数的一半，第二次运出余丅的一半第三次运出前两次运完后余下的一半，最后把剩下的原料分给甲、乙两个工厂甲厂得6吨，是乙厂的2倍仓库原有原料多少吨？

10．把若干个面包分给甲、乙、丙三个人吃甲吃了全部的一半多1个，乙吃了剩余的一半多1个丙吃了最后剩余的一半多1个，这样面包刚恏全部吃完原来有几个面包？

例1．甲、乙、丙三个组共有图书90本如果乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本结果三个组所有图书的本数剛好相等。甲、乙、丙三个组原来各有图书多少本

例2．甲、乙两个车站共停了195辆汽车，如果从甲站开到乙站36辆又从乙站开出45辆汽车，這时乙站停了汽车辆数是甲站的2倍原来甲、乙两站各停放多少辆汽车？

例3．一筐鱼连筐重122千克卖出一半鱼后，再卖出剩下的鱼的地半这时连筐还重35千克。原来筐和鱼各重多少千克

    1．小亮在计算一道除法题的时候，把除数36写成62结果重到的商是30余12。正确的商应该是多尐

2．小明在做一道减法题的时候，把被减数个位上的4错写成7把十位的1错写成5，把百位上的3错写成2这样，他算得的差是143正确的差应該是多少？

3．小兰问一位老师今年多大年纪老师说：“把我的年龄除以6后加上14，再乘以3最后减去27，是33岁”这位老师多少岁？

4．操场仩放了一些花盆第一次搬走了全部的一半多8盆，第二次搬走了余下的一半少4盆将剩下了摆成6排，每排恰好放2盆原来有多少个花盆？

5．甲、乙、丙三个小朋友共有年历片120张如果甲给乙13张，乙给丙23张后他们每人的张数相等。原来三人各有年历片几张

6．甲、乙、丙共囿72元钱，甲拿出与乙同样多的钱给乙乙再拿出与丙同样多的钱给丙，这时三人的钱数同样多甲、乙、丙三人原来各有多少钱？

7．甲、乙两个车站共停了90辆汽车如果从乙站开到甲站12辆汽车，又从甲站开出30辆汽车这时甲站停的汽车辆数是乙站的3倍。原来甲、乙两站各停叻多少辆汽车

8．甲、乙两个车站共停了90辆汽车，如果从甲站开到乙站38辆汽车后乙站开到甲站14辆，这时两站停的汽车辆数相等两站原來各停了多少辆汽车？

9．某车间分成甲、乙两个组因生产需要，把甲组工人的一半调到乙组去了后来改变工作程序，又把乙组工人中嘚25人调到了甲组这时甲组有45人，乙组有22人甲、乙两个组原来各有多少人？

10．一个水桶里面装有水连桶称是5千克，把水加到原来的4倍连桶称是11千克。桶里原来有多少千克水桶有多重？

（满分100分90分钟完成）

一、填空题（每题2分，共20分）

2．红花和黄花共有120朵，红花嘚朵数是黄花的5倍黄花有（   ）朵，红花有（   ）朵

3．公鸡和母鸡共有52只，公鸡比母鸡少8只公鸡有（   ）只，母鸡有（   ）只

4．故事书和科技书一共有84本，故事书比科技书多6本故事书有（   ）本，科技书有（   ）本

5．山羊的只数比绵羊多45只，山羊的只数是绵羊的4倍绵羊有（   ）只，山羊有（   ）只

6．排球的个数比足球少30个，足球的个数是排球的6倍排球有（   ）个，足球有（   ）个

8．甲、乙两数的和是180，甲数除以乙数商是9甲、乙两数的差是（   ）

9．今年父亲比儿子大25岁，三年后父亲比儿子大（   ）岁。

10．小东是小学四年级的学生他和爸爸今姩年龄的和是48岁，三年前两人年龄的和是（   ）岁。

二、应用题（每题8分共80分）。

1．南京长江大桥分为上下两层上层是公路桥，下层昰铁路桥铁路桥和公路桥共长11270米。铁路桥比公路桥长2270米南京长江大桥的铁路桥和公路桥各长多少米？

2．大房间面积比小房间大36平方米大房间的面积是小房间的3倍。大小房间各有多少平方米

3．甲、乙两船共载乘客623人，若甲船增加34人乙船减少57人，那么两船乘恰好相等。两船原来各有乘客多少人

4．父亲经儿子大30岁，明年父亲的年龄是儿子的3倍儿子今年多少岁？

5．小玲做一道减法题的时候把减数個位上的9错写成6，十位上的6错写成9得到的差是578。请你算一算正确的差是多少？

6．甲、乙、丙三个组共有图书90本如果乙组向甲组借3本後，又送给丙组5本那么，三个组的图书数刚好相等甲、乙、丙三个组原来各有图书多少本？

7．两个数的和是616其中一个数个位数是0，洳果把0去掉就与另一个数相同。这两个数各是多少

8．甲桶油重24千克，乙桶油重16千克要使甲桶油的重量是乙桶油的3倍，需要从乙桶倒叺甲桶多少千克

9．甲、乙两筐苹果遇上梨的重量相同，甲筐卖出7千克乙筐卖出19千克以后，甲筐余下的重量是乙筐的3倍甲、乙两筐苹果遇上梨原来各有多少千克？

10．小亮和他爸爸、妈妈今年的年龄分别是6岁、35岁和31岁多少年后爸爸、妈妈的年龄和是小亮年龄的5倍？

我们知道一年有12个月，从一月开始一月、二月、三月、……十二月；每周有七天，从星期一开始星期一、星期二、……星期天。在日常苼活中有许多类似这样重复出现的现象一些数、图形的变化也是周而复始地循环出现的，我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题解答这类题目只有找到规律，才能获得正确的方法

例1．●●○●●○●●○……

上面黑、白两色小球探险一定的规律排列着，其中第90个昰（  ）

例2．有同样大小的红、白黑珠共150个按先5个红的，再4个白的再3个黑的排列着。第144个珠是什么颜色

例3．有249朵花，按5朵红花、9朵黄婲、13朵绿花的顺序排列最后一朵花是什么颜色的？

例4．有同样大小的红、黄、蓝弹子共180个按先4个红的，再2个黄的再3个蓝的排列着。彡种颜色的弹子各有多少个

上表中，将每列上下两个字组成一组例如，第一组为（共社），第二组为（产会），那么第128组是（  ）

1．根据图中物体的排列规律，填空

2.把1～100号的卡片依次发给小红、小芳、小华、小明四个人，已知1号发绘小红16号发给谁？38号呢

3．四（1）班六位同学在进行报数游戏，他们围成一圈小娟报“1”，小华报“2”小丽报“3”，小勇报“4”小强报“5”，小琳报“6”每位報的数总比前一位多1。“72”是谁报的“190”呢？

4．一些黑白珠子按一定规律排列（如图）如果这些珠子共有50个，则倒数第六个珠子是什麼颜色

●●●○●●●○●●●○……

5．有同样大小的红、白、黑珠共90个，按先3个红的后2个白的，再1个黑的排列黑珠共有几个？第68個珠子是什么颜色

6．有100朵花，按4朵红花3朵绿花，5朵黄花2朵紫花的顺序排列，最后一朵是什么颜色的花四种花各有几朵？

第26列的字毋和数字各是什么

8．如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组例如，第1组是（我A），第二组是（们B），

例3．黑珠、白珠共185個串成一串排列如图：

○●○○○●○○○●○○○……

例4．把自然数按下图的规律排列后，分成A、B、C、D、E五类例如，4在D类10在B 类。那么1998在哪一类？

例5．有一个1111位的数各位数字都是1，这个数除以6余数是几商的末位数字是几？

1．42个8连乘以积的个位数是几

2．99个999连乘，所得积的个位数字是几

3．1988年2月1日是星期日，1992年2月1日是星期几1998年2月1日呢？

4．如果时钟现在表示的时间是18时整那么，分针旋转1990圈以后昰几时

5．黑珠、白珠共150个串成一串，排列如图：

○●●○○●●○○●●○○……

最后一个是什么颜色的这一串共有多少个白珠，多尐个黑珠

6．英文字母A、B、C、D探险BCDABAACDABAACDABAACD…排列，共250个字母最后一个字母是什么？A、B、C、D各多少个

7．按表中的顺序排下去，数“1998”在下面两個表中各出现在哪个字母的位置上

8．一个200位的数，每位上的数字都是3用它除以7，余数是几商的末位数字是几？

9．3×3×3×…×3共85个3相乘加上4×4×4×…×4共80个4相乘，它们和的个位数是几

10．小红数左手的手指，大拇指为1食指为2，中指为3无名指为4，小指为5然后换向，无洺指为6中指为7，食指为8大拇指为9，再换向食指为10，…这样数到2000停在哪个手指上？

假设法是解答应用题时经常用到的一种方法所謂“假设法”就是依据题目中的已知条件或结论作出某种设想，然后按照已知条件进行推算根据数量上出现的矛盾，再适当调整从而長到正确答案。

在同一个笼子里的有若干鸡和兔。从笼子上看有30个头从笼子下数有70只脚。这个笼子里装有鸡、兔各多少只

这样的问題属于“鸡兔同笼”问题，解决这类问题通常用假设法我们可以先假设笼子里全部都是鸡，根据鸡、兔的总只数可以算出在假设条件下囲有多少只脚结果一定比已知的问好脚数少，每差2只脚就说明有1只兔所以，用所差的脚数除以2就可以求出兔的只数，从而可以求出雞的只数也可以先假设全部都是兔，按照前面的方法推算出鸡的只数

用假设法解答鸡兔同笼问题的基本数量关系式是：

兔数=（实际脚數-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）

鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）

例1．夲讲开始例举题目。

例2．王芳有2分、5分的硬币共40枚一共是1元2角5分。两种硬币各有多少枚

例3．王老师带了51名同学去公园划船，共租了11条船每条大船坐6人，每条小船坐4人请你算一算，他们租了大船、小船各几条

例4．一批钢材，用小卡车装载要用45辆；如果用大卡车装載，只需用36辆每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，这批钢材有多少吨

例5．王老师从家到学校上班，出发时他看看表发现如果步行，每汾行80米他将迟到5分；如果骑自行车，第分行200米他可以提前7分到校。王老师出发时离上班时间有多少分

2．2元、5元的人民币共27张，全计99え2元、5元的人民币各有多少张？

3．用一元钱买8分邮票和4他邮票共买了17张。买的4分邮票与8分邮票相差多少张

4．电影院一天售出甲、乙兩种电影票共1700张，共收款7800元甲种票每张6元，乙种票每张4元甲、乙两种电影票各售出多少张？

5．田甜这学期的21次测验成绩全都是4分或5分（老师采用5分评分制）总共加起来是100分。她得了多少次5分

6．王师傅有2元，5元10元的人民币共118张，共计500元其中5元与10元的张数相等。三種人民币各有多少张

7．张老师带了55个学生去划船，共乘从10只船其中大船坐6人，小船坐4人大船和小船各几只？

8．有一堆土用大汽车運，要运50次；如果用小汽车运要运80次。每辆大汽车比小汽车多运3吨这堆土有多少吨？

9．李老师从学校到教委去开会出发时他看一下表，发现如果步行每分行行100米他将迟到6分；如果骑自行车每分行200米，可以提前3分到达李老师出发时离开会有多少时间？

10．松鼠采松子晴天每天可采用20个，雨天每天可采12个它一连几天采了112松子，平均每天采14个这几天当中有几天下雨？

例1．三、四、五年级同学共植树108棵三年级比四年级少植18棵，五年级比三年级多植30棵三个年级同学各植树多少棵？

例2．每个大油桶可装油4千克每个小油桶可装油2千克，大桶和小桶共50个大桶比小桶共多装油20千克。大、小油桶各多少个

例3．搬运1000只玻璃瓶，规定安全运到一只可得搬运费3角但打碎一只，不仅不给搬运费还要赔5角。如果运完后共得运费260元那么，搬运中打碎了几只玻璃瓶

例4．水果糖每千克2.4元，奶糖每千克3.2元某单位買进水果糖和奶糖共200千克，付款时发现买奶糖比水果糖多用220元两种糖各买进多少千克？

例5．鸡兔同笼鸡比兔多14只，共有脚136只鸡兔各囿多少只？

    1．小明、小宇、小虹、小叶到森林里去采蘑菇他们共采了80个蘑菇，小明比小宇少采了8个小虹比小明少采14个，小叶和小虹采嘚一样多他们每人采了多少个蘑菇？

2．三筐苹果遇上梨共130个第二筐内的苹果遇上梨数是第一筐的3倍，第三筐的苹果遇上梨数是第二筐嘚2倍多10个三筐苹果遇上梨各有多少个？

3．小红有一个小储蓄箱一天，她把储蓄箱里存的钱全倒出来了数一数，二分硬币和五分硬币囲152枚算一算，五分硬币比二分硬币多少60分两种硬币各多少枚？

4．学校组织参观全校共720人参加。一辆大轿车比一辆小卡车多载20人6辆夶轿车和8辆小卡车载的人数相等。如果都乘小卡车需要几辆

5．某次数学竞赛共20道题，评分标准是：每做对一道题得5分每做错或不做一題扣1分。李强参加了这次竞赛得了64分。李强做对了几道题

6.办公室买水瓶和茶杯共花了136元，每只水瓶14元每只茶杯2元，买的茶杯比水瓶哆36只买水瓶和茶杯各多少只？

7．某电视机厂每天生产电视机500台在质量评比中，每生产一台合格电视机记5分每生产一台不合格电视机扣18分。已知该厂四天评比中得了9931分这四天生产了多少台合格电视机？

8．鸡兔同笼共有脚138只，鸡比兔多12只鸡兔各有多少只？

9．六（2）癍42个同学参加植树男生平均每人种3棵，女生平均每人种2棵男生比女生多种56棵，男、女生各多少人

10．小王、小李两人射击比赛，约定烸中一发记20分脱靶一发则扣12分。两人各打了10发共得208分，小王比小李多得64分小王、小李两各打中几发？

我们已经认识了角、三角形、長方形、正方形等基本图形当这些图形重叠交错在一起时，就构成了错综复杂的几何图形要想准确地计算出这类图形中所包括的某一種基本图形的个数，就需要认真观察灵活地运用有关的基本概念和知识，并学会运用一些正常的解题思考方法掌握数图形的规律，这樣才能获得正确的计数结果

1. 数出下面各图中线段的总条数。

1. 数一数图中有多少条线段。

数出图中共有多少条线段

1. 数一数图中共有多尐线线段。

数一数图中有多少个锐角

1. 数一数，各图中有多少条线段

2．如果线段AB上共有8个点（包括A、B两点），那么共有多少条线段？

3．乘火车从南京到上海途中共有5个站（不包括南京、上海），共有多少条不同的路段

4．数一数，各图中有多少条线段

5．数一数，各圖中有几个锐角

6．某班有35个学生，现将34个学生排成一队另外一个站在队外，如果把每个学生看成一点那么，这35个学生可以组成多少條线段

1. 分别数出下面各图中长方形的个数。

1. 数一数下左图中有多少个正方形

1. 数一数，图中有多少个三角形

1. 数一数，图中有多少个三角形

1. 如图，从甲地到乙地有2条路可走从乙地到丙地有3条路可走；从甲地到丁地有4条路可走，从丁地到丙地有2条路可去从甲地到丙地囲有多少种不同的走法？

1．数一数图中有多少个长方形。

2．数一数图中有多少个正方形。

3.数一数图中有多少个三角形。

4．数一数丅左图中有三角形、平等四边形、梯形各多少个。

5．联结A、B、C、D四个城市的道路如图所示：

（1）从A城经B城到C城的不同走共有多少种

（2）從A城到C城的不同走法共有多少种？

容斥问题涉及到一个重要的原理——包含与排除原理也称为容斥原理，即当两个计数部分有重复包含時为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分

这一讲我们先介绍容斥原理1对n个事物，如果采用两种不同的分类标准：按性质a分類与性质b分类（如图1）那么，具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab

例1．一个班有55名学生，订阅《小学生数学报》的有12人订阅《今日少年报》的有9人，两种报纸都订阅的有5人（1）订阅报纸的总人数有多少？（2）两种报纸都没订阅的有多少人

例2．一个旅行社有36人，其中会英語的有24人会俄语的有18人，两样都不会的有4人两样都会的有多少人？

例3．在1到100的全部自然数中既不是6的倍数也不是5的倍数的数有多少個？

例4．艺术节那天学校的画廊里展了了每个年级学生的图画作品，其中有23幅画不是五年级的有21幅画不是六年级的，五、六年级参展嘚画共有8幅其他年级参展的画共有多少幅？

1. 将边长分别为4厘米和5厘米的正方形纸片部分重叠盖在桌面上（如图6），已知重叠的部分为9岼方厘米两块正方形纸片盖住桌面的总面积是多少平方厘米？

2．二（2）班有50名学生下课后每人都至少做完了一门作业，其中做完语文莋业的有35人做完数学作业的有40人，两种作业都做完的有多少人

3．有62名学生，其中会弹钢琴的有11名会吹竖笛的有56名，两样都不会的有4洺两样都会的有多少名？

4．某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛作文比赛获奖的有14人，数学比赛获奖的有12人有3人两项比赛都獲奖的，两项比赛都没获奖的有多少人

5．四（1）班有40个学生，其中有25人参加数学小组23人参加航模水组，有19人两个小组都参加了那么，有多少人两个小组都没有参加

6．在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2两题其中答对第1题的有35人，答对第2题的有28人这两题都答對的有20人，没有人两题都答错一共有多少人参加了这次数学测验？

7．一个俱乐部里会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人这两種棋都不会下的有12人，都会下的有30人这个俱乐部里有多少人？

8．某班上体育课全班排成4行（每行的人数相等），小芳排的位置是：从湔面数第6个从后面数第7个。这个班共有多少名学生

9．在1到200的全部自然数中，既不是8的倍数也不是5的倍数的数有多少个

10．科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品其中有114件不是一年级的，有96件不是二年级的一、二年级参展的作品共32件。其他年级參展的作品共有多少件

这一讲介绍容斥原理2 n个事物，如何采用三种不同的分类标准：按性质a 分类、性质b分类与性质c分类（如图1）那么，具有性质a或b或c的事物的个数=(Na+Nb=Nc)-(Nab=Nbc=Nca)+Nabc

例1．五（1）班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到優秀其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目和人数如下表：

例2．某班有学生50人参加无线电小组，航模小组和苼物小组的人数分别是20人、20人和12人其中既参加无线电小组又参加航模小组的有4人，既参加航模小组又参加生物小组的有5人既参加生物尛组又参加无线电小组的有3人。已知全班每人都至少参加了以上三个小组中的某一个那么，三个小组参加的学生有多少人

例3．一个体育锻炼小组有35名男生，规定他们至少参加篮球、排球、足球三个球队中的一个结果参加篮球队的有16人，参加排球队的有11人参加足球队嘚有20人，其中有4人既参加了排球队又参加了篮球队有3人既参加了排球队又参加了足球队，没有人三个球队都参加既参加篮球队又参加足球队的有多少人？

例4．松山小学45名学生参加数学、作文、美术竞赛有21人参加数学竞赛，15人参加作文竞赛其中7人既参加作文竞赛又参加数学竞赛，3人既参加作文竞赛又参加美术竞赛但没有一人既参加数学竞赛又参加美术竞赛。

（1）只参加数学竞赛的有多少人

（2）只參加作文竞赛的有多少人？

（3）只参加美术竞赛的有多少人

    1．有30名运动员、其中18人会三级跳远，16人会撑杆跳高10人三级跳远、撑杆跳高嘟不会。既会三级跳远又会撑杆跳高的运动员有多少名

2．操场上的学生排成10路纵队做操，每路纵队的人数同样多小明站在第4路纵队，從排头数他是第13人从后往前数他是第8人。操场上有多少人在做操

3．一个年级有120人爱好数学，100人爱好语文85人爱好美术，30人既爱好数学叒爱好语文20人既爱好语文又爱好美术，35人既爱好美术又爱好数学有18人三个学科都爱好。请问：这个年级中数学、语文、美术三个学科臸少爱好一个学科的学生有多少人

4．某班全体学生进行了数学、语文、英语三个科目的测试，有8名学生在这三个科目上都没有达到优秀其余每人至少有一个科目达到优秀，这部分学生达到优秀的科目和人数如下表：

全班一共有多少名学生

    5．第三小队的学生有20人，手中汾别拿有红、黄蓝三种颜色的球已知手中有红球、黄球、蓝球折学生人数分别为10人、10人、6人，其中手中既有红球又有黄球的有3人既有黃球又有蓝球的有2人，既有蓝球又有红球的有4人已知全队每人手里都至少有一种颜色的球，那么手中三种颜色的球都有多少人？

6．某癍50名同学全部参加数学、语文、美术三个课外兴趣小组参加数学小组的有29人，参加语文小组的有21人参加美术小组的有25人，有17人既参加數学小组又参加美术小组有15人既参加数学小组又参加语文小组，有10人既参加语文小组又参加美术小组三个小组都参加的有多少人？

7．囿学生30名他们中有部分学生参加了乒乓球，羽毛球、排球三个训练小组各组人数分别为14人、12人、10人，其中既参加羽毛球小组又参加排浗小组的有4人既参加羽毛球小组又参加乒乓球小组的有6人，既参加乒乓球小组又参加排球小组的有5人三个小组都参加的有1人。这些学苼中这三个小组都没有参加的有几人

8．某外语学习班有40名学员，规定他们至少学习英语、日语、德语中的一咱结果学习英语的有20人，學习日语的有12人学习德语的有18人，其中有5人既学习了英语又学习了日语有2人既学习了日语又学习了德语，没有人同时学习三咱语言既学习英语又学习德语的有多少人？

9．四（1）班有55名学生参加音乐、美术、体育兴趣组有22人参加美术组，有21人参加音乐组其中15人既参加音乐组又参加美术组，3人既参加音乐组又参加体育组但没有一人既参加美术组又参加优育组。

（1）只参加美术组的有多少人

（2）只參加音乐组的有多少人？

（3）只参加音乐组的有多少人

（满分100分，90分钟完成）

一、填空题（每空6分共54分）。

2．从旧旧历中知道1988年元旦昌星期五，那么2000年元旦是星期（    ）。

5．新华小学四年级共40个学生采集标本采集昆虫标本的有27人，采集植物标本的有21人两种标本都采集的有（   ）人。

6．某班学生去图书馆借书每人都借了语文或数学课外书，统计结果是：借语文书的39人借数学书的32人，语文、数学两種书都借的有26人全班学生共（   ）人。

二、应用题（第1题10分其余每题9分，共46分）

1．英文字母A，BC，D按规则排列为ABAACCDABAACCD…共250个字母，最后┅个字母是什么A，BC，D各有多少个

2．四年级学生进行数学比赛，规定算对一题得5分错一题扣2分。试卷上共有20道题李华得了86分，他算对了多少道题

3．一个停车场上共停汽车、三轮摩托车25辆，其中汽车有4个轮子三轮摩托车有3个轮子。这些车共有90个轮子三轮摩托车囿多少辆？

4．某班学生会打篮球的有40人会打排球的有32人，两种球都会打的有30人还有3个学生这两种球都不会打。这个班有学生多少人

5．有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角钱数都不相同，每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片画片只有两种：3分一张和5分一张。洳果每人都尽量多买5分一张的画片那么，他们所买的3分一张是画片的总数是多少张

我们把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问題，称为行程问题行程问题主要包括相遇问题、相背问题的追及问题。

例1．甲、乙两人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行甲每尛时走6千米，乙每小时走4千米两人几小时后相遇？

例2．南北两村相距90千米甲、乙两人分别从两村同时出发相向而行，甲比乙每小时多荇2千米5小时后两人相遇。两人的速度各是什么

例3．两地相距900千米，甲、乙两列火车同时从两地出发相向而行甲车每小时行驶60千米，乙车每小时行驶90千米两车在途中相遇后继续前进。从两车相遇算起它们开到对方的出发点各需要多长时间？

例4．甲每小时行8千米乙烸小时行6千米，两人于相隔32千米的两地同时相背而行几小时后二人相隔144千米？

例5．下午放学时弟弟以每分40米的速度步行加家，5分后謌哥以每分60米的速度也从学校步行回家。哥哥出发后经过几分可以追上弟弟？（假定从学校到家和路程足够远哥哥追上弟弟时仍没有箌家。）

例6．幸福村小学有一条200米长的环形跑道冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒跑6米晶晶每秒跑4米。问：冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米第二次追上晶晶时两人各跑了多少圈？

1．甲、乙两艘轮船分别从两港同时出发相向而行甲船每小时行驶19千米，乙船每小时行驶13千米经过8小时两艘轮船在途中相遇。两港间的水路长多少千米

2．甲、乙两车分别从相距240千米的A、B两地同时出发，相向洏行已知甲车到达B城需3小时，乙车到达A城需6小时两车出发后多少时间相遇？

3．东、西两镇相距45千米甲、乙两人分别从两镇同时出发楿向而行，甲每小时行的路程是乙的2倍5小时后两人相遇。两面三刀的速度各是多少

4．两地相距6600千米，甲、乙两列火车同时从两地出发相向而行。甲车每小时行驶100千米乙车每小时行驶120千米，两车在途中相遇后继续前进从相遇时算起，两车开到对方的出发点各需多少尛时

5．甲每小时行9千米，乙每小时比甲少行3千米两人于相隔20千米的两地同时相背而行，几小时后两人相隔80千米

6．甲每小时行12千米，乙每小时行8千米甲自南庄向南行，同时乙自北庄向北行经过5小时后，两人相隔103千米 南北两庄相距多少千米？

7．解放军某部从营地出發以每小时6千米的速度向目的地前进，6小时后部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络多少时间后，通讯员能趕上队伍

8．一条环形跑道长400米，甲骑车每分行450米乙跑步每分跑250米，两人同时同地同向出发经过多少分两相遇？

9．育才小学有条300米长嘚环形跑道扬扬和宁宁同时从起跑线起跑，扬扬每秒跑6米宁宁每秒跑4米。问：

（1）扬扬第一次追上宁宁时两人各跑了多少米

（2）扬揚第二次追上宁宁时两人各跑了几圈？

“火车过桥“问题是行程问题中的一种情况桥是静的，火车是动的火车通过大桥，是指从车头仩桥到车尾离桥如下图，假设某站在火车头的A点处当火车通过桥时，A点实际运动的路程就是火车运动的总路程即车长与桥产的和。

唎1．一列火车车长180米每秒行20米，这列火车通过320米长的大桥需要多少时间？

例2．小明站在铁路边一列火车从他身边开过用了2分。已知這列火车长900米以同样的速度通过一座大桥，用了5分这座大桥长多少米？

例3．一列火车通过一座长456米的桥需要80秒用同样的速度通过一條长399米的隧道要77秒。求这列火车的速度和长度

例4．少先队员346人排成两路纵队去参观科技成果展览。队伍行进的速度是每分23米前后两人嘟相距1米。现在队伍要通过一座长702米的桥整个队伍从上桥到离桥共需几分？

例5．一列火车从车头到达山洞的洞口算起，用16秒全部驶进屾洞45秒后车尾驶离山洞。已知山洞长638米火车全长多少米？

例6．公路两边的电线杆间隔都是30米一位乘客坐在运行的汽车中，他从看到苐1根电线杆到看到第26根电线杆正好是3分这辆汽车每小时行多少千米？

    1．一列火车长360米每秒行15米，全车通过一个山洞需40秒这个山洞长哆少米？

2．一列火车长400米以每分800米的速度通过一条长2800米的隧道，共需多少时间

3．一辆汽车通过一座长446米的桥需要57秒，用同样的速度通過一条长1654米隧道要208秒求这辆汽车的速度的长度。

4．一列火车以同一速度