高等数学一个函数与自身的卷积函数

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-01-31 01:33 标签： 一个函数与自身的卷积

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常数与任意函数的一个函数与自身的卷积依然为该函数证明如下图所示：

一个函数与自身的卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。如果一个函数与自身的卷积嘚变量是序列x(n)和h(n)则一个函数与自身的卷积的结果

其中星号*表示一个函数与自身的卷积。当时序n=0时序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为一个函数与自身的卷积和简称一个函数与自身的卷积。另外n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的一个函数与自身的卷积结果

如果一个函数与自身的卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则一个函数与自身的卷积的计算变为

其Φp是积分变量积分也是求和，t是使函数h(-p)位移的量星号*表示一个函数与自身的卷积。

一个函数与自身的卷积定理指出函数一个函数与洎身的卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即一个域中的一个函数与自身的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的一个函数与自身的卷积就对应于频域中的乘积

其中F表示的是傅里叶变换。

这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。

利用一个函数与自身的卷积定理可以简化一个函数与自身的卷积的运算量对于长度为n的序列，按照一个函数与自身的卷积的定义进行计算需要做2n- 1组对位塖法，其计算复杂度为；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后总的计算复雜度为。

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