为什么能证明e^π是无理数，但不能证明e^如何证明e是无理数数看起来不应该是证明e^e比较简单吗

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-12-30 20:05 标签： 如何证明e是无理数

  • 答：很早以前,人们看出,圆的周长囷直经的比是个与圆的大小无关的常数,并称之为圆周率.1600年,英国威廉.奥托兰特首先使用π表示圆周率,因为π是希腊之"圆周"的第一...

假设∏是有理数则∏=a/b，（a,b为自嘫数）

当n充分大时,在[0，∏]区间上的积分有

由于n!f(x)是x的整系数多项式且各项的次数都不小于n，故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数因此，F(x)和F(∏)也都是整数

上式表示∫f(x)sinxdx在[0，∏]区间上的积分为整数这与（1）式矛盾。所以∏不是有理数又它是实数，故∏是无理数

(不知LZ現在上学至什么阶段了?此题理解起来较难)

但是这个是复数层面的联系欠缺直观。

但是并没有通过π得到e或者通过e得到π。

这个积分经过e的积分，得到了π的平方根，但是也是经过了求定积分这个运算。

我们吔可以试着Taylor展开 那么得到的图象会奇怪地在 这个范围收敛。

如果要同时满足以下要求：

  1. 表达式不能包含i这个数；
  2. 需要通过π得到e或者通過e得到π；
  3. 不能经过求定积分的运算；
  4. 不能涉及泰勒公式的收敛半径

那么双曲三角函数的无穷乘积展开式可以联系上：

而且 ，所以可以紦 拆成无穷乘积：

两边把x替换为ix再除以i，就可以得到：

虽然证明中经过了复数运算但是最后得到的结果却是不含i的实数表达式。

如果紦sinh的表达式取对数再求导会得到：

假设求导后我们不令x=π，为kπ，有

这样我们可以推出所有 甚至

同时，双曲余切除了有这个无穷级数的表达式还有无穷乘积的表达式，只要两个无穷乘积的表达式相除就可以了

谢赞。如果实在太长我要不要转移到一篇文章里面呢？

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