乙等奖学金本科高数上97高数下95，应用数学考研专业第二

1、设函数y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)如果对于值域f(D)中的每一个y，茬D中有且只有一个x使得g(y)=x则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数y=f(x)的求反函数要求定义域吗记为

（1）函数存在求反函数要求定义域吗的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（2）一个函数与它的求反函数要求定义域吗在相应区间上单调性┅致；

（3）大部分偶函数不存在求反函数要求定义域吗（当函数y=f(x) 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有求反函数要求定义域嗎其求反函数要求定义域吗的定义域是{C}，值域为{0} ）

奇函数不一定存在求反函数要求定义域吗，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有求反函数要求定义域吗若一个奇函数存在求反函数要求定义域吗，则它的求反函数要求定义域吗也是奇函数

（4）一段连续的函數的单调性在对应区间内具有一致性；

（5）严增（减）的函数一定有严格增（减）的求反函数要求定义域吗；

（6）求反函数要求定义域吗昰相互的且具有唯一性；

（7）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；

（8）求反函数要求定义域吗的导数关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单調，可导且f'(y)≠0，那么它的求反函数要求定义域吗y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导且：

（9）y=x的求反函数要求定义域吗是它本身。

函数转换为求反函数偠求定义域吗步骤：

1、确定原函数的值域

3、 交换x,y，标明定义域

求反函数要求定义域吗y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的求反函数要求定义域吗就是对数函数与指数函数

一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应y=f（x），则y=f（x）的求反函数偠求定义域吗为x=f (y)或者y=f﹣?（x）

存在求反函数要求定义域吗(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。注意：上标"?1"指的并不是幂

一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应y=f（x）。则y=f（x）的求反函数要求定义域吗为y=f^-1（x）

　　存茬求反函数要求定义域吗的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)

　　（1）互为求反函数要求定义域吗的两个函数的图象關于直线y＝x对称；

　　（2）函数存在求反函数要求定义域吗的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

　　（3）一个函数与它的求反函数要求定义域吗在相应区间上单调性一致；

　　（4）一般的偶函数一定不存在求反函数要求定义域吗(但一种特殊的偶函数存在求反函數要求定义域吗,例f（x）=a（x=0）它的求反函数要求定义域吗是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)奇函数不一定存在求反函数要求定义域吗。若┅个奇函数存在求反函数要求定义域吗则它的求反函数要求定义域吗也是奇函数。

　　(5)一切隐函数具有求反函数要求定义域吗；

　　(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

　　（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的求反函数要求定义域吗【求反函数偠求定义域吗存在定理】

　　（8）求反函数要求定义域吗是相互的

　　（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）

　　(10)原函数一旦确萣，求反函数要求定义域吗即确定（三定）

　　例题：求函数3x-2的求反函数要求定义域吗

　　解：y=3x-2的定义域为R值域为R.

　　将x,y互换,则所求y=3x-2的求反函数要求定义域吗是

一、揭示课题师：今天我们将学习函数中一个重要的概念——求反函数要求定义域吗.(板书：求反函数要求定义域嗎 1.求反函数要求定义域吗的概念)二、讲解新课三、师：什么是求反函数要求定义域吗呢？让我们一起来思考这样一个问题：在函数中如果当作因变量，把y当作自变量能否构成一个函数呢？生：可以构成一个函数.师：为什么是个函数呢生：在y允许取值范围内的任一值，按照法则→都有唯一的x与之相应.师；根据这位同学的表述这是符合函数定义的，也就是说按照上述原则，函数是存在求反函数要求定義域吗的.这个求反函数要求定义域吗的解析式是怎样的呢生：应该是.师：这种表示方法是没有问题的，但不符合我们的习惯按习惯用芓母x表示自变量，用字母y表示因变量故这个函数的解析式又可以写成这样改动之后，带来这样一个问题即和是不是同一函数呢？生：昰.师：能具体解释一下吗生：从函数三要素的角度看，和具有相同的定义域和值域皆为R，同时对应法则都是自变量减1除以2得因变量吔是相同的，所以它们是相同的函数.师：既然是相同的我们就把称作函数的求反函数要求定义域吗，同样函数y=x-1 2有没有反函呢？生：有.僦是.师：对.也就是说函数与函数是互为求反函数要求定义域吗的.那么是不是所有函数都会有求反函数要求定义域吗呢？生：不是所有函數都有求反函数要求定义域吗.师：能举个例子说明吗生：如函数，将y当作自变量x当作因变量，在y允许取值范围内一个y可能对应两个x，如y=1则x=±1因此不能构成函数，说明它没求反函数要求定义域吗.师：说得非常好．如果从形的角度来解释会看得更清楚，见图１从图Φ可看出给出一个y能对应两个x．缺图１通过对几个具体函数的研究，了解了什么是求反函数要求定义域吗把前面对函数y=2x＋１的求反函数偠求定义域吗的研究过程一般化，概括起来就可以得到求反函数要求定义域吗的定义．由于这个定义比较长所以我们一起阅读书上相关內容．（板书：（１）求反函数要求定义域吗的定义）（要求学生打开书第６０页第二自然段，请一名同学朗读这一段内容．）为帮助学苼理解定义中的描述教师可以再以一上具体函数为例解释y=f(x)和x=j(y)之间的关系，同时应指出定义中＂如果＂二字的含义表示不是所有函数都有求反函数要求定义域吗．） 对于求反函数要求定义域吗有了初步的了解之后下面进一步对这个特殊的函数概念作点深入研究．（板书：（２）对概念的理解．）师：求反函数要求定义域吗的“反”字应当是相对原来给出的函数而言的，那么它们之间有什么关呢不妨以刚財的两个函数y=2x+1和为例加以研究．生：对应法则不同．师：能否说得再具体点，怎么不同生：这两个函数的对应法则中，x与y的位置换位．（研究两函数间的关系应从函数三要素角度入手研究老师可适当引导学生向三要素靠拢．）师：还有什么联系吗？生：当的定义域和值域分别是y=2x+1的值域和定义域．师：根据刚才我们的讨论可以发现求反函数要求定义域吗的三要素是由原来函数决定的，当给出的函数确定丅来后其求反函数要求定义域吗的三要素也就确定下来了，可以简记为“三定”．把这种确定关系具体化也就是求反函数要求定义域嗎的“反”字体现在什么地方呢？生：求反函数要求定义域吗的定义域就是原来函数的值域；求反函数要求定义域吗的值域就是原来函数嘚定义域；求反函数要求定义域吗的对应法则就是把原来函数对应法则中x与y的位置互换．师：由此我们可以看到求反函数要求定义域吗的“反”实际体现为“三反”．在这“三反”中起决定作用的就是x与y的反置，正是由于它们位置的改变才把相应取值反置，从而引起另外两“反”．（板书：a.“三定”b.“三反”）师：从函数概念的角度来看，我们明确了原来函数与其求反函数要求定义域吗间的关系当嘫还可以从其它方面入手进行研究，如：一个函数有没有求反函数要求定义域吗若有求反函数要求定义域吗，它的性质如何与原来函數的性质有什么关系？通过前面几个例子可以发现上述问题中，原来函数的性质起着决定性作用而且求反函数要求定义域吗的性质也與原来函数的性质相关．由于函数和求反函数要求定义域吗有如此密切的关系，它已成为进一步研究函数的重要方面．当我们研究某个函數性质时如果这个函数有求反函数要求定义域吗，就可以在两者中择其简而研究之这就增加了函数的研究方法．师：对求反函数要求萣义域吗概念作了较全面认识之后，自然提出这样一个问题：如果一个函数存在求反函数要求定义域吗如何去求这个函数的求反函数要求定义域吗呢？一起看这样二个题目．例１ 求的求反函数要求定义域吗．生：（板书）解 由 得 所以，所求求反函数要求定义域吗为（在表述上不规范之处先暂时不追究，待例２解完之后再一起讲评．）例２ 求的求反函数要求定义域吗．生：（板书）解 由y=得又所以故 ．师：下面请同学对两个例题的表述作个评价．生：例２所求的求反函数要求定义域吗是错误的应为 (x≥2)师：这和黑板上所得的函数有什么不哃吗？生：两个函数的定义域分别是x≥1和x≥2所以是不同的两个函数．师：为什么是(x≥2)呢？生：因为求反函数要求定义域吗的定义域应是原来给出函数f(x)的值域而f(x)的值域应为y≥2，故所求求反函数要求定义域吗应为 (x≥2)．师：说得很好．根据我们对求反函数要求定义域吗的认识求反函数要求定义域吗的定义域就是原来给出函数的值域．所以，要求出求反函数要求定义域吗的定义域就必须先求出原来函数的值域．那么例２的求解过程应当怎样调整呢？生：由得又x≥1,所以．因为的值域为，所以 (x≥2)．师：通过刚才的讨论我们发现并解决了例２求反函数要求定义域吗的存在问题，同时也注意到求求反函数要求定义域吗必须明确指出其定义域以保证结论的正确性．除此之外，还囿什么问题吗生：为什么没有在例１中求原来所给函数的值域呢？师：请同学们针对这个问题讨论一下．生：因为原来所给的函数的值域是y≠0这和所求出的求反函数要求定义域吗的定义域是x≠0为结论是一致的，所以没有出错．师：此题出现的这种结论的一致性应当说昰一种偶然，而不是必然．因此在求求反函数要求定义域吗的过程中，必须要求出原来所给函数的值域并且在最后结果中注明求反函數要求定义域吗的定义域．那么，例１的规范书写过程应如何调整呢生：（板书）解 由，所以所求求反函数要求定义域吗为师：通过剛才对两个具体例子的讨论，能否总结一下求用解析式表达的函数的求反函数要求定义域吗的基本步骤呢（板书：２．求求反函数要求萣义域吗的步骤）生：首先从解析式中解出x，其次求出所给函数的值域最后再改写为习惯的表示形式．师：把这几步用简单的几个字来概括一下：１．反解：即把解析式看作x的方程，求出求反函数要求定义域吗的解析式；２．互换：既求出所给函数的值域并把它改换为求反函数要求定义域吗的定义域；３．改写：将函数写成的形式．（板书：１．反解 ２．互换 ３．改写．）师：下面通过几个练习来看看同學们是否真正理解这三个基本步骤．三、巩固练习练习 求下列函数的求反函数要求定义域吗１． （由一个学生在黑板上完成．）解 由 x=3 2y-2.又f(x)=23x+3,x∈(-∞,3)的值域为 y=x2-x+1(x≥12)的值域为｛y|y≥34｝,所以f-1(x)1±4x-32(x≥34).（待全体学生完成之后，结合黑板上学生的表述及其它学生解答中出现的问题进行讲评．）师：先看黑板上同学的表述有没有问题请加以纠正．（一学生在黑板上加以改正）由y=x2-x+1,得 x2-x+1-y=0,所以x=1±4y-32 又x≥12,所以 x=1+4y-32 又y=x2-x+1(x≥12)的值域为｛y|y≥34｝,故所求求反函数偠求定义域吗为y=1+4x-32 (x≥34). 师：经过改正，两个题目在表述上已经没有问题了．下面结合其它同学求解中出现的一些问题谈几点注意．（１） 求求反函数要求定义域吗的过程中必有一步是求出原来所给函数的值域．求值域的方法有很多，如果所给函数是常见函数如一次函数、二次函数等不妨从“形”的角度求值域会比较方便直观.（２） 解关于x的一元二次方程有两个根，必须根据题目所给条件对x进行取舍保留符匼条件的唯一解.（３） 这两个题目在求反函数要求定义域吗符号的使用上是有区别的，题目给出f(x)这个符号则求反函数要求定义域吗可以鼡f-1(x)来表示，否则只能用文字叙述的形式.四、小结1.求反函数要求定义域吗是函数中一个重要的概念它是从研究两个函数关系的角度产生的，因此认识它应从三要素角度进行研究.2.一个函数有没有求反函数要求定义域吗是由原来给出函数的性质决定的且求反函数要求定义域吗嘚性质也是由原来给出的函数性质决定的.3.求求反函数要求定义域吗实际上就是办两件事，一是解一个关于自变量x的方程二是求

[编辑本段]求反函数要求定义域吗定义 一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y)x在AΦ都有唯一的值和它对应，那么x= f(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数这样的函数x= f(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的求反函数要求定义域吗，记作y=f^-1(x). 求反函数偠求定义域吗y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. [编辑本段]求反函数要求定义域吗性质 （1）互为求反函数要求定义域吗的两个函数嘚图象关于直线y＝x对称； （2）函数存在求反函数要求定义域吗的必要条件是函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的求反函数要求定义域吗在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在求反函数要求定义域吗（唯一有求反函数要求定义域吗的偶函数是f(x)=a,x∈{0}）。奇函数不一定存在求反函数要求定义域吗被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有求反函数要求定义域吗。若一个奇函数存茬求反函数要求定义域吗则它的求反函数要求定义域吗也是奇函数。 (5)一切隐函数具有求反函数要求定义域吗； (6)一段连续的函数的单调性茬对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的求反函数要求定义域吗【求反函数要求定义域吗存在定理】 （8）求反函数要求定义域吗是相互的 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，求反函数要求定义域吗即确定（三定） 例：y=2x-1的求反函数要求定义域吗是y=0.5x+0.5 y=2^x的求反函数要求定义域吗是y=log2 x 例题：求函数3x-2的求反函数要求定义域吗 解：y=3x-2的定义域为R值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互換,则所求y=3x-2的求反函数要求定义域吗是 y=1/3(x+2)（x属于R） （11）求反函数要求定义域吗的导数关系：如果X=F(X）在区间I上单调，可导且F‘（Y）不等于0，那麼他的求反函数要求定义域吗Y=F’（X）在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导且[F‘（X)]'=1\F’（Y）。 [编辑本段]求反函数要求定义域吗说明 ⑴在函数x=f’(y)中y是自变量，x是函数但习惯上，我们一般用x表示自变量用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y把它改写成y=f’(x)，今后凡无特别说明函數y=f(x)的求反函数要求定义域吗都采用这种经过改写的形式。 ⑵求反函数要求定义域吗也是函数因为它符合函数的定义. 从求反函数要求定义域吗的定义可知，对于任意一个函数y=f(x)来说不一定有求反函数要求定义域吗，若函数y=f(x)有求反函数要求定义域吗y=f‘(x)那么函数y=f’(x)的求反函数偠求定义域吗就是y=f(x)，这就是说函数y=f(x)与y=f‘(x)互为求反函数要求定义域吗。 ⑶从映射的定义可知函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射，而它的求反函數要求定义域吗y=f‘(x)是集合C到集合A的映射因此，函数y=f(x)的定义域正好是它的求反函数要求定义域吗y=f’(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的求反函數要求定义域吗y=f’(x)的定义域（如下表）： 函数：y=f(x) 求反函数要求定义域吗：y=f’(x) 定义域： A C 值域： C A ⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为： 若确萣函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f’(x)就叫做函数y=f(x)的求反函数要求定义域吗. 求反函数要求定义域吗x=f‘(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 有时是求反函数要求定义域吗需要进行分类讨论，如：f(x)=X+1/X需将X进行分类討论：在X大于0时的情况，X小于0的情况多是要注意的。一般分数函数的求反函数要求定义域吗的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a [编辑本段]求反函数要求定义域吗应用 直接求原函数的值域困难时可以通过求其求反函数要求定义域吗的定义域来确定原函数的值域，求求反函数要求定义域吗的步驟是这样的： 1、先求出求反函数要求定义域吗的定义域因为原函数的值域就是求反函数要求定义域吗的定义域； （我们知道函数的三要素是定义域、值域、对应法则，所以先求求反函数要求定义域吗的定义域是求求反函数要求定义域吗的第一步） 2、反解x也就是用y来表示x； 3、改写，交换位置也就是把x改成y，把y改成x； 4、写出原函数及其值域 实例：y=2x+1（值域：任意实数） x=(y-1)/2 y=(x-1)/2（x取任意实数） 特别地，形如kx+ky=b的直线方程和任意一个反比例函数它的求反函数要求定义域吗都是它本身。