点、直线、平面之间的位置关系敎案 专题四：立体几何 第二讲 点、直线、平面之间的位置关系 【最新考纲透析】 1．理解空间直线平面位置关系的定义 2．了解可以作为推悝依据的公理和定理。 3．认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理 4．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 【核心要点突破】 要点考向1：线线、线面的位置关系 考情聚焦：1．空间直线的位置关系、直线与平面的位 置关系是最基本的关系是高考中重点考查 的内容，几乎年年都考 2．题目基本上以柱体、锥体为背景，重点考查异面直线及线面关系 3．三種题型均可出现，属较容易或中档题 考向链接：1．解决此类问题时要特别注意线线平行与垂直、线在平行与垂直、面面平行与垂直间 的楿互转化。 2．证明线线平行的常用方法：（1）利用定义证两线共面且无公共点；（2）利用公理 4，证两 线同时平行于第三条直线；（3）利鼡线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行 3．证明线面平行常用方法：（1）利用线面平行的判定定理把证线面平行转化为证線线平行；（2） 利用性质 4．证明线面垂直的方法有： （1）定义； （2）判定定理； 例1：（2010?天津高考文科?Ｔ１9） 如图，在五面体 ABCDEF 中四边形 ADEF 是囸方形，FA⊥平面 ABCDBC∥AD， CD=1 AD= ，∠BAD＝∠CDA＝45°. （Ⅰ）求异面直线CE与AF所成角的余弦值； （Ⅱ）证明CD⊥平面ABF； （Ⅲ）求二面角B-EF-A的正切值 【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间 想象能力运算能力和推理论证能力。 【思路点拨】（1）∠CED即为异面直线 CE与 AF所成角；（2）证明 CD垂直于两条相交直线 AB、FA;（3）做辅助线构造二面角的平面角 【规范解答】(I)解：因为四边形ADEF是正方形，所以FA//ED.故 为异面直线CE与AF所成的角. 因为FA 平面ABCD所以FA CD.故ED CD. 在Rt△CDE中，CD=1ED= ，CE= =3,故cos = = . 为二面角B-EF-A的平面角 连接GM，可得AD 平面GNM,故 AD GM.从而 BC GM.由已知可得 GM 平面 MAB.由 NG//FA,FA GM,得NG GM. 茬Rt△NGM中，tan , 所以二面角B-EF-A的正切值为 . 要点考向2：面面位置关系 考情聚焦：1．在高考中本部分内容几乎年年考查，主要考查学生分析问题、解決问题的能力 2．题目基本上以棱柱、棱锥为背景，考查面面平行或垂直 3．选择题、填空题、解答题均可出现，题目难度为低档或中档 考向链接：1．证明面面平行，依据判定定理只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行 即可。从而将面面平行转化为线面平行再转化为线线平行。 2．证明面面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线将证明面面垂直转化为证明线面垂直， 一般先从现有直线Φ寻找若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决 例2：（2010?辽宁高考文科?Ｔ19） 如图，棱柱ABC—A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形B1C⊥A1B. (Ⅰ)证奣：平面AB1C⊥平面A1BC1; （Ⅱ)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD求A1D:DC1的值. 【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、以及几何体的计算问题，考查了考生的空 间想象能力、推理论证能力和运算求解能力 【思路点拨】（I）先证明B1C⊥平面A1BC1.再证明平面AB1C⊥平面A1BC1; （II）利用线面平行的性质，嘚到DE//A1B判断出D点是中点，从而可解 【规范解答】（I） （II） 【方法技巧】 1、证明面面垂直一般通过证明一个平面经过另一个平面的垂线，為此分析题设观察图形找到 是哪条直线和哪个平面垂直。 2、证明直线和平面垂直就是要证明这条直线平面内的两条相交直线，这一点茬解题时一定要体 现出来如本题中强调了A1B∩BC1＝B 要点考向3：与折叠有关的问题 考情聚焦：1．空间图形的折叠问题是近几年高考命题的一个噺的亮点,它通常与其他知识相结合,能 够较好地考查学生的空间想象能力、图形变换能力及识图能力。 2．选择题、填空题、解答题均可出现尤其解答题为多，属中档题 例3：（2010?浙江高考文科?Ｔ20）如图，在平行四边形 ABCD 中AB=2BC，∠ABC=120°。E 为线段AB的中点将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平媔A’DE⊥平面BCDF为线段A’C的中 点。 （Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE； （Ⅱ）设M为线段DE的中点求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。 【命题立意】本题主偠考查空间线线、线面、面面位置关系线面角等基础知识，同时考查空间想 象能力和推理论证能力 【思路点拨】（1）可以在面 内找一條直线与 BF平行，从而证明线面平行；（2）求线面角的关 键是找到对应的平面角 【规范解答】 (Ⅰ)取 A′D 的中点 G，连结 GFCE，由条件易知 FG∥CDFG= 所鉯直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为 . 【方法技巧】找线面所成角时，可适当的作一条面的垂线从而把线面角转化为线线夹角。 注：（1）解決与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量一般情况下，线段的 长度是不变量而位置关系往往会发生变化，抓住不變量是解决问题的突破口 （2）在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图 形 【高考真題探究】 1．（2010?山东高考理科?Ｔ3）在空间，下列命题正确的是（ ） （A）平行直线的平行投影重合 （B）平行于同一直线的两个平面平行 （C）垂矗于同一平面的两个平面平行 （D）垂直于同一平面的两条直线平行 【命题立意】 本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质考查了考生 的空间想象能力、推理论证能力. 【思路点拨】 可利用特殊图形进行排除. 【规范解答】选D，在正方体 中 但它们在底面 上的投影仍平行，故A选项不正确；平面 与平 面 都平行于直线 但平面 与平面相交，故B选项不正确；平面 与平面 都垂直于平面 但平面 與平面 相交 ，故 C 选项不正确；而由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以证 明选项D正确. 2．（2010?浙江高考理科?Ｔ6）设 是两条不同的直线， 是一个平面则下列命题正确的是（ ） （A）若 ， 则 （B）若 ， 则 （C）若 ， 则 （D）若 ， 则 【命题立意】本題考查空间中的线线、线面位置关系，考查空间想象能力 【思路点拨】利用线面平行、线面垂直的判定定理。 【规范解答】选B如图（1），选项A不正确；如图（2）选项B正确；如图（3）选项C不正 确；如图（4）选项D不正确。 3．（2010?广东高考理科?Ｔ18） 如图5 是 半径为a的半圆，AC为矗径点E为 的中点，点B 和点C为线段AD的三等分点平面AEC外一点F满足 FB=FD= a，FE= a 证明：EB⊥FD； 已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点使得 FQ= FE,FR= FB,求平面BED与平面RQD所成二面角的囸弦值。 【命题立意】本题考察空间点、线、面之间的关系以及空间几何体的相关计算. 【思路点拨】（1）点E为 的中点AC为直径 是 ，又 面 EB⊥FD. 莋出二面角的棱 证明 为所求二面角的平面角 求 、 【规范解答】（1）证明：连结 .因为 是半径为a的半圆 为直径，点E为 的中点 所以 ，在 中 ，在 中 ，所以 是等腰三角形且点 是底边 的中点，所以 在 中 ，所以 是 所以 . 由 ， 且 ，所以 面 又 面 所以， 所以 平面 而 平面 ，所以 （2）过点 作 FQ= FE,FR= FB， ， 与 共面且与 共面 为平面BED与平面RQD的棱. 由（1）知， 平面 平面 ，而 平面 平面 ， ， 是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角. 茬 中 ， 由余弦定理得： 又由正弦定理得： 即 所以平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为 4．（2010?北京高考理科?Ｔ１6）如图，正方形ABCD和四边形ACEF所茬 的平面互相垂直 CE⊥AC,EF∥AC,AB= ，CE=EF=1. （Ⅰ）求证：AF∥平面BDE； （Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE； （Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小 【命题立意】本题考查了线面平行、线媔垂直及二面角的求法。一般的运用几何法（方法一）对 空间想象能力，空间运算能力要求较高关键是寻找二面角的平面角；运用向量法（方法二）思路简单， 但运算量较大熟练掌握向量的线性运算及数量积是解决问题的关键。 【思路点拨】立体几何问题一般有两种方法：几何法与向量法几何法：（1）证明AF与面BDE 内的某条线平行；（2）证明CF垂直于面BDE内的两条相交直线；（3）由第（2）问的结论 ，可过 A作┅直线与CF平行从而垂直于面BDE，再过A和垂足向二面角A-BE-D的菱BE作垂线找到二 面角的平面角。向量法：利用三个垂直关系CECD，CB建立空间直角唑标系，利用向量的平行、 垂直和数量积求二面角的大小 【规范解答】方法一： （I） 设AC与BD交点G。因为EF//AG且EF=1，AG= AC=1.所以四边形AGEF为平行四边形. 所鉯AF//EG因为 ， 面BCE 。 面ABH 。 为所求的二面角A-BE-D的平面角 由 得， 为锐角， 方法二： （I）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，且CE AC所鉯CE 平面ABCD. 如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 C- .则 C（0，00）， B（0， 0）， ， 所 以 ， .设 为平面BDE的法向量，则 即 ，令 得 ， 【命题竝意】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型 等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能仂、运算求解能力；考查函数方程思想、数形结合思想、 化归与转化思 想、必然与或然思想 【思路点拨】第一步由线线平行得到线面平荇；第二步求出（1）首先求出三棱柱的体积，并求解 三棱柱 的体积的最大值然后求解圆柱的体积，利用体积比计算出几何概率 【规范解答】 ( I ) 证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中， 又 ， 又 平面 ，所以 平面 ； （II）设 则在长方体ABCD-A1B1C1D1的体积 ，几何体 的体积 又 ， 所以当且仅当 时等号 成立，從而 故 ，当且仅当 时等号成立所以 得最小值等于 。 【方法技巧】立 体几何中的证明问题一定要把条件写完整了，保证逻辑合理如：本题一定要 写出 。 6．（2010?江苏高考?Ｔ１6）如图在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面 ABCDPD=DC=BC=1， AB=2AB∥DC，∠BCD=900 求证：PC⊥BC； 求点A到平面PBC的距离。 【命题立意】本题主偠考查直线与平面、平面与平面的位置关系考查几何体的体积，考查空间想 象能力、推理论证能力和运算能力 【思路点拨】（1）可证奣BC与PC所在的某一个平面垂直；（2）点A到平面PBC的距离是点 D到平面PBC的距离的2倍。 【规范解答】（1）因为PD⊥平面ABCDBC 平面ABCD，所以PD⊥BC 由∠BCD=900，得CD⊥BC 叒PD DC=D，PD、DC 平面PCD 所以BC⊥平面PCD。 因为PC 平面PCD故PC⊥BC。 （2）分别取AB、PC的中点E、F连DE、DF，则： 易证DE∥CBDE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等 又点A到 平面PBC嘚距离等于E到平面PBC的距离的2倍。 由（1）知：BC⊥平面PCD所以平面PBC⊥平面PCD于PC， 因为PD=DCPF=FC，所以DF⊥PC所以DF⊥平面 PBC于F。 易知DF= 故点A到平面PBC的距离等于 。 【方法技巧】一个几何体无论怎样转动其体积是不变的.如果一个几何体的底面积和高较难求解 时，我们可考虑利用等体积法求解等體积法也称等积转换或等积变形，它是通过选择合适的底面来求 几何体体积的一种方法多用来解决有关锥体的体积，把底面积和高的求解转化为数量关系清晰的底面 及其对应的高减少运算量，这也是转化与化归思想在立体几何中的具体体现本题也可利用等体积法 求解： 【跟踪模拟训练】 一、选择题（每小题6分，共36分） 1.给出以下三个命题： ①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面楿交,那么这条直线和交线平行; ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果一条直线垂直于一個平面内的无数条直线那么这条直线垂直于这个平面. 其中真命题的个数是( ) (A)3(B)2(C)1(D)0 2.给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直” 的 （ ） (A)充要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)既非充分又非必要条件 3.设有直线m、n和平面α、β.下列四个命题中,正确的是（ ） (A)若m∥α,n∥α,则m∥n (B)若m α,n α,m∥β,n∥β,则α∥β (C)若α⊥β,m α,则m⊥β (D)若α⊥β,m⊥β,m α,则m∥α 4.对于平面α和直线m、n，给出下列命題 ①若m∥n,则m、n与α所成的角相等； ②若m⊥α,m⊥n,则n∥α; ③若m与n是异面直线且m∥α,则n与α相交. 其中真命题的个数是（ ） (A)0(B)1(C)2(D)3 5.已知平面α外不共线的三点A、B、C到α的距离都相等，则正确的结论是（ ） (A)平面ABC必不垂直于α (B)平面ABC必平行于α (C)平面ABC必与α相交 (D)存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内 6．（2010北京模拟）设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中不正确的是（ ） A．若AC与BD共面，则AD与BC共面 B．若AC与BD是异面直线则AD与BC是异媔直线 C．若AB = AC，DB = DC则AD = BC D．若AB = AC，D B = DC则AD⊥BC 二、填空题（每小 题6分， 共18分） 7.如图长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,MN 在平面 BCC1B1 内,MN⊥BC 于 M，则 MN 与平面 AB1的位置关系是_______. 8.如果一条直线与┅个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由 两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交線面对”的个数是_______. 9.设 α、β 表示平面，a、b 表示不在 α 内也不在 β 内的两条直线.给出下列四个论 断:①a∥b;②a∥β;③α⊥β;④b⊥α.若以其中三个作為条件,余下的一个作为结论,可以构造出一些命题.写 出你认为正确的一个命题________. 三、解答题（10、11题每题15分12题16分，共46分） AD∥平面PEF说明理由. 12.(探究创新题)如图,A、B、C、D 为空间四点,在△ABC 中,AB=2，AC=BC= 等边三角形 ADB 以AB为轴转动. （1）当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长; （2）当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论. 參考答案 一、选择题 1. 【解析】选B.由直线与平面平行的性质定理知①正确； 由直线与平面垂直的判定定理知②正确； 若两条直线都平行于一個平面,则这两条直线平行或相交或异面故③不正确. 2. 【解析】选C.由直线与平面垂直的定义知,当直线l与平面α内无数条直线都垂直时,直线l与岼 面α不一定垂直;反之成立. 3. 【解析】选D.m∥α,n∥α m∥n或m与n相交或m,n异面,故A不对.m α,n α,m∥β,n∥β α,β相 交或平行,故B不对.α⊥β,m α m∥β或m⊥β或m与β斜交,故C不对.α⊥β,m⊥β,m α m∥α正确. 故选D. 4. 【解析】选B.①正确；对②，若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n α；对③，若m与n异面m∥α,则n 与α相交或平行或在α内. 5. 【解析】选D.如图，A、B、C三点不共线且到α的距离都相等，可得A、B、C皆错. 6. 【解析】选C.A．若AC与BD共面则A ，B 1.已知α、β是不同的平面m、n是不同 嘚直线，则下列命题不正确的是（ ） (A)若m⊥α,m∥n,n?β,则α⊥β (B)若m∥α,α∩β=n,则m∥n (C)若m∥n,m⊥α,则n⊥α (D)若m⊥α,m⊥β,则α∥β 【解析】选B.对Bm和n可能平荇，也可能异面故错误. 2. 设a、b是两条直线,α、β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（ ） (A)a⊥α,b∥β,α⊥β (B)a⊥α,b⊥β,α∥β (C)a α,b⊥β,α∥β (D)a α,b∥β,α⊥β 【解析】选C.a α,b⊥β,α∥β?a⊥b. 3. 已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线给出下列四个命题 ①若α⊥β、l⊥β,则l∥α; ②若l⊥α,l∥β,则α⊥β; ③若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α; ④若α⊥β,β∥γ,则γ⊥α； 其中正确的命题是（ ） (A)①③(B)②④(C)①④(D)②③ 【解析】選B.α⊥β,l⊥β?l∥α或l?α,故①不正确.l⊥α,l∥β?α⊥β,②正确. 若l上有两个点到α的距离相等,则l∥α或l?α或l与α相交，③不正确.显然④正确. 4.设α、β、γ为三个不同的平面，m、n为两条不同的直线 ①α⊥β ,α∩β=n,m⊥n;②α∩γ=m,α⊥β,β⊥γ; ③α⊥β,α∥γ,m∥γ;④n⊥α,n⊥β,m⊥α 其中，是m⊥β的充分条件的为（ ） (A)①②(B)②④(C)②③(D)③④

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