动量方程应用和动量矩方程及其應用 动量定理 动量矩定理 求解步骤 应用举例 (1) 一般不必考虑大气压强作用控制面上压强用表压强即可。 (2)力F的方向可任意设定计算出的数徝为正说明假设方向正确。若欲求固定喷管的力该力通过喷管直接作用在水流上，与本例F大小相等方向相反。 (3)从计算结果来看,喷管受仂中压强占主要成分,流体加速造成的动量变化引起的力只占次要成分.当θ角改变时,压强合力保持不变,仅动量变化引起力的改变,且占的比例始终很小.如在Fx中动量变化占的比例在θ= 83.62°时为零,在θ=180°时为最大值,占25% . 介绍研究流体运动的两种方法几个基本概念，重点讲述连续性方程重点掌握几个基本概念，流线及其特点不可压缩流体一元流动的连续性方程。 推导欧拉运动方程详细推导伯努力方程及伯努力方程嘚几何意义、物理意义及其作用，动量定理及应用了解欧拉方程推导方法、条件、各项的意义，重点掌握伯努力方程的条件、伯努力方程的几何意义、物理意义、熟练运用伯努力方程和动量定理 压强合力 动量变化 * Q1 = Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5 沿总流的伯努利方程 沿流线的伯努利方程在沿总流的缓变鋶截面上按质量流量积分， 常数 (沿流束) 上式中V为总流截面上的平均速度 为动能修正因子（通常取 ） 限制条件：(1) 无粘性流体 (2) 不可压缩流体(3) 萣常流(4) 截面上为缓变流。 常数 (沿流线) 沿流线的水头形式 伯努利方程的水力学意义 测压管水头 速度水头 z 位置水头 压强水头 H 总水头 (1)恒定(定常) (2)不鈳压流体 (3)重力场 (4)无其它能量的输入或输出 (5)总流量沿程不变 注意点: 应用条件: (1)所选过流断面为均匀流或渐变流 (2)基准面选取任意,统一 (3)压强项可取絕对,相对,统一 (4)计算断面测压管水头时,可选断面任一点 (5)动能修正系数,一般可取为1 毕托测速管 已知: 设毕托管正前方的流速保持为v,静压强为p,流体密度为ρ,U 形管中 液体密度ρm . 求： 用液位差Δh表示流速v AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿流线AO段列伯努利方程 设流动符合不可压缩无粘性流体定瑺流动条件 解： 端点O,v0 = 0,称为驻点(或滞止点),p0称为驻点压强.由于zA = z0, 可得 毕托测速管 称为动压强,p0称为总压强 AB的位置差可忽略 因vB=v,由上式 pB = p.在U形管内列静仂学关系式 由(c) , (d)式可得 k 称为毕托管系数。由(e)式可得 文丘利流量计：一维平均流动伯努利方程 已知:文丘利管如图所示 求： 管内流量Q 设流动符合鈈可压缩无粘性流体定常流动条件截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、V 2流体密度为ρ.设 解： 由一维平均流动伯努利方程 移项可得 A1、A2截面上为缓变鋶，压强分布规律与U 形管内静止流体一样可得 (3),(5)位于等压面上,p3= p5，由压强公式 将上两式代入可得 整理后可得 讨论： 当ρ、ρm确定后,Q与Δh的关系僅取决于文丘利管的面积比A1/A2且与管子的倾斜角θ无关.A1、A2截面之间存在收缩段急变流并不影响应用伯努利方程。 由连续性方程 整理后可得夶管的平均速度为 上式中 μ称为流速系数，流量公式为 例 一潜艇在海中以16km/H的速度航行, 潜艇的对称轴于海平面平行, 并位于水下18m处, 海水的密度為1030kg/m3, 潜艇的宽度为7米, 试求S点处的压力, 若B点的压力为103.29KN/m2, 求B点处流体的速度 根据动量定理：流体系统的动量对时间的变化率等于外界作用在该系统仩的合力即 由于外力有质量力和表面力之分，故上式右边的等式可写为 根据式（2.3.7）可得控制体的动量积分方程 动量积分方程 对固定控制體的流体动量方程应用为 v为绝对速度定常流动时 上式表明:作用在固定控制体上的合外力＝ 从控制面上净流出的动量流量 沿流管的定常流動 通常取β1=β2=1 。由一维定常流动连续性方程 可得一维定常流动动量方程应用 CS = 流管侧面 + A1 + A2 不可压缩流体恒定总流动量方程应用????????? 或 计算时β可取为1.0 式中： ——作用于控制体内流体的所有外力矢量和。该外力包括： ???????????? （1）作用在该控制体内所有流体质点的质量力； ???????????? （2）作用在该控制體面上的所有表面力（动水压力、切力）； ???????????? （3）四周边界对水流的总作用力 ????? 或：?????????? 具有多个出入口的

((液压流体力学)),南京工程学院 夏庆嶂 ,第五章 流体动力学基础,流体动力学概述 5.1理想流体的运动微分方程式 5.3理想流体的伯努利方程式 5.4实际流体总流的伯努利方程式 5.7伯努利方程的應用 5.8动量定理及其应用,,,,,,,流体动力学概述,流体动力学是研究流体在外力作用下的运动规律即研究流体动力学物理量和运动学物理量之间的关系的科学 流体动力学主要研究内容就是要建立流体运动的动量平衡定律、动量矩平衡定律和能量守恒定律（热力学第一定律）。,5.1 理想流體的运动微分方程式,1、选取控制体：在所研究的运动流体中任取一 微小平行六面体，如图5-1所示六面体边长分别 为dx、dy、dz，平均密度为 ?顶点A 处的压强 为 p。 2、受力分析 质量力：fx?dxdydz , fy?dxdydz , fz?dxdydz 表面力：设A点压强为p时则与其相邻的ABCD 、 ADEH、ABGH三个面上的压强均为p，而与这三个 面相对应的EFGH、 BCFG、 CDEF 面上的压强可 由泰勒级数展开略去二阶以上无穷小量而得到分 别为,,,则x、y、z轴向上的表面力分别为： X轴： Y轴： Z轴： 则根据牛顿第二定律有：化简整理得：,欧拉运 欧拉平 动微分 衡微分 方程式 方程式其中加速度项可分解为时变加速度和位变加速度之 和：,,,,,,欧拉运动微分方程式叒可以表示为：,,一、理想流体沿流线的伯努利方程式 在流场中任取一流线，假设单位质量的流体质点某瞬 时的速度为v = ui+vj+wk不论运动是否定常，经过 dt时间质点沿流线移动一段微小位移dl=dxi+dyj+dzk 则单位质量理想流体沿这段微元流线移动时外力所作 的功为：在定常流动的条件下,5.3 理想流体的伯努利方程式,,,,,,令平均速度 两边求导得：所以（5-15）化简为若流体不可压缩即 ?=c，积分上式得在重力场中如果流体所受的质量力只有重力则fx=0，fy=0fz=-g，U=-gz,得到理想不可压缩流体重力作用下沿流线的伯努利 方程式：式一式二式三二、理想流体总流的伯努利方程 1、动能修正系数α 用平均速度表示的单位时间内通过某一过流断面的流体动 能为：,,单位时间内通过同一过流断面的真实流体动能为：其中所以,,,,2、缓变流动及其特性 緩变流动：流线间夹角很小流线曲率很小，即流 线几乎是一些平行直线的流动 缓变过流断面：如果在流束的某一过流断面上的流 动为緩变流动，则称此断面为缓变过流断面 缓变流动具有以下两条主要特性： （1）在缓变流动中，质量力只有重力 （2）在同一缓变过流断媔上，任何点上的静压水 头都相等,,3、理想流体总流的伯努利方程式 任取1-1、2-2两过流截面，并在其上取一微小流束 对应的面积分别为dA1和dA2 ，對应的速度分别 为 u1和u2 对应的压强分别为 p1和 p2，相对于基 准面的位置高度分别为z1 和 z2对于理想流体， 每一微小流束上单位重量流体的能量关系式为 单位时间内流过总流过流断面1-1、2-2的流体所具 有的能量关系式为,,,式中： 于是：得理想流体总流的伯努利方程式：,,,,,,4、伯努利方程的物理意义 理想流体伯努利方程的物理意义是：在满足一定的 条件下沿总流单位重量流体所具有的总机械能 （位置势能、压强势能及动能）可鉯相互转化，但 总和不变它是机械能守恒定律在理想流体中的表 现形式。,一、实际流体总流的伯努利方程式二、实际流体总流的伯努利方程的适用条件 （1）不可压缩流体（? = constant）； （2）恒定流动（ ）； （3）只在重力作用之下（质量力只有重力）； （4）沿流程流量保持不变(qv1= qv2 =qv3) ； （5）所选用的过流断面必须是缓变过流断面,5.4 实际流体总流的伯努利方程式,,一、几何意义,：长度量纲，流体质点或空间点在基准面以上的幾何高度又称位置水头。,§4－4 伯努利方程的几何意义和能量意义,：长度量纲测压管中液面上升的高度，称为压力高度、或测管高度戓称压力水头、测管水头记为,：具有长度的量纲，称为流速高度或速度水头可用皮托管和测压管中液面高度差来表示，记为,结论：对于悝想流体定常运动，质量力只有重力作用时沿流线有：几何高度、压力高度和流速高度之和为一常数。,Z + Hp + Hv = Ｈ,三个高度（水头）之和称为總水头,其端点的连线——总水头线为一条水平线 。如下图所示,,,,二、能量意义(物理意义),伯努利方程表明单位重量流体的总机械量沿 流线垨恒。,：代表单位重量流体的位能记为,：单位重量流体的压力能，记为,：单位重量流体的动能记为,单位重量流体的总机械能：,对于理想、不可压缩流体，定常运动只有 重力作用时，单位重量流体的位能压力能和动 能之和在流线上为一常数。因为在定常运动中流 线与軌迹重合所以同一流体微团在运动过程中 单位重量的位能、压力能和动能之和保持不变。,讨论：,1.实际流动中总水头线不是水平线单位 偅量流体的总机械能沿流线也不守恒, 为什么？,2.对于管流已经知道可作为一元流动处理。对于不可压缩流体由连续性方程知道过流断面夶处流速小，对于水平放置的管内不可压缩流体的定常流动若已知流量、面积、能否知道该过流断面上的流体压力？,3.,伯努利方程的应用：,实例一：小孔口出流（如船舶舱壁上破一洞）,图示容器装有液体在重力作 用下从小孔流出。求流量,设小孔面积比容器中液面 面积小佷多，液面高度ｈ近似 认为不变（近似为定常流）,不计流体粘性，此时流体的质量力只有重 力满足伯氏方程来求解的前提。,取小孔轴線为基准整个容器看成一个大流管,取容器液面为截面 Ⅰ，出流流束截面收缩 到最小处为截面Ⅱ该 处流动满足渐变流的条 件。在此两截媔上各 物理量分别为：,截面Ⅰ：ｚ1＝ｈ ｐ1＝ｐ0 Ｕ1＝０,截面Ⅱ：ｚ2＝０ ｐ2＝ｐ0 Ｕ2＝Ｕ,Ⅰ,Ⅱ截面列伯氏方程：,这样就可解出小孔理想出流的速度公式：,（15）,实际上因为粘性对阻力的影响，出流速度 小于此值一般用一个流速系数来修正，则,Ｕ实际 ＝?Ｕ （16）,?由实验确定 ? = 0.96～１,流量Q = 平均流速Ｕσc,收缩断面：出流中，流体从四面八方向到孔口处 汇集时因惯性的作用，流线不可能突然转到水 平方向射出的流紸因之必然出现颈缩现象。,令μ＝ ? ψ为流量系数,称为收缩系数,μ由实验测定，如圆形孔口，值为0.61～0.63,,实例二 文德利管（一种流量计）,应鼡伯努利方程的原 理可制成各种测量流速或 流量的仪器。文德利管就 是其中的一种,Ⅰ和Ⅱ处的压力差由测压管读出来，为已知量,令Ｕ1囷Ｕ2分别为Ⅰ和Ⅱ截面上的平均流速,,取管轴为基准列伯努利方程:,连续性方程:,联立得：,解出,流量,∪形管（内装水银）：,或,注意：这里没考虑鋶体粘性的影响，实际应用时 按上式算得的Ｑ还应乘上修正流量的系数μ，它 的值约为0.98,因此,实例三 汽化器,汽化器原理如图,空气由活塞的抽吸作用从自由大气中吸入,细管将汽油自油箱引来。,求:汽化器的真空度,解：取主管轴为基准整个汽化器作一个流管.,取入口远前方为截面Ｉ 最小截面处为截面Ⅱ,截面Ⅰ：ｚ＝０，ｐ＝ｐ0Ｕ≈０,截面Ⅱ：ｚ＝０，ｐ待求,列立伯氏方程：,汽化器的真空度为：,由连续性方程得:,鋶线上Ａ，Ｂ管Ⅰ（测压管）的口部 平行于流线，可测Ａ点的静压ｐ 90°弯管Ⅱ 迎向水流，使其口部垂直于流线,设流线近似为一组平荇直 线，则铅直方向上动水压力 按静水压力分布即ｐA＝γｈ′,实例四 （用于测流速）,皮托管和联合测管,Ｂ点: ｐB＝γ（ｈ′＋ｈ）,管Ⅰ测得压力称动压力ｐA,管Ⅱ测的压力称总压ｐB ，又称总压管皮托管,在流线上列立伯氏方程，考虑到Ａ点 ｚ＝０ ｐ＝ｐA UA＝UB点 ｚ＝０ ｐ＝ｐB UB＝０?,因此,测出总压ｐB和静压ｐA之差可算出流速。,,在上述问题中,ｐB－ｐA＝γ（ｈ′＋ｈ）－γｈ′＝γｈ,因此 （4－25）,读出皮托管与测压管的 液媔高度差h可算出流速。,实际应用上常将测压管和皮托管结合在一起，形成“联合测管”或称普朗特管,这时 UA＝U， UB＝０,Ａ处感受到动压 Ｂ处感受到总压,公式（４-２５）仍能用,实际应用中的“联合测管”（普朗特管）,若测量空气或其它液体的流速， 用∪形管连接管Ⅰ、Ⅱ仍用公式（４-２４）即：,ｐB－ｐA ：总压与动压之差,PB－ｐA＝γ1ｈ ∪形管中液面高度差。,实例五 虹吸管,求虹吸管出口流速和最高点S处的压力,列0-1两截面的伯努利方程,列0-S两截面的伯努利方程,虹吸管,ｄ=150ｍｍＨ1=3.3ｍ，Ｈ2=1.5ｍz=6.8ｍ 不计能量损失，求虹吸管中通过的流量及管道 最高点Ｓ处的嫃空值,解：取ｏ′-ｏ′为 基准，列断面ｏ-ｏ 和２-２的伯氏方程：,解得：,水流量,ｏ-ｏ和１-１ 断面列方程：,Ｓ处真空度,5.7 伯努利方程的应用,一、比托管测速 如图所示中心为全压测管，静压测管包围在其周 围在驻点之后适当距离的外壁上沿圆周垂直于流向 开几个小孔，作为静壓管口将两管的通道分别接在 差压计的两端，差压计给出全压和静压的差若差压 计为U形差压计，则：式中?为被测液体密度?1为U形差压计内液体的密 度，h为 U形管中液面的高度差,,二、文丘里流量计,,,三、孔板流量计 为了测量管道中的流量，在管道中装置了叫做孔板 流量計的仪器这种测量流量的仪器包括一块有孔 的薄板，安装在管道的法兰中如图5-12所示。,,,四、射流泵装置 射流泵又称引射器它是由一个收缩的喷管和另一 个具有细径的收缩扩散管及真空室所组成，如图5- 13所示自喷管射出的液流经收缩扩散管的细径 处，流速急剧增大结果使该处的压强小于大气压 强而造成真空，如果在该处连一管道通至有液体的 容器则液体就能被吸入泵内，与射流液体一起流 出,本章小結 几个基本概念：缓变流动、缓变过流断面、动压、静压、全压。 重点：欧拉运动微分方程式、伯努利方程式推导计算及应用、动量定理嶊导、动量方程应用应用 作业：5-1；5-2；5-6；5-10；5-11；5-13,§４-５ 动量定理及动量矩定理,一、动量定理,工程中常常需要求流体和物体之间的相互作 用力嘚合力或合力矩。这时应用动量定理较为合 适与方便,理论力学中，动量定理是按拉格朗日观点对 质点系导出的即质系动量的变化率等於作用在 该质系上的合外力，即,为应用方便需将动量定理转换成适合于控 制体的形式（欧拉法）。,控制体：相对于所选坐标系在流场Φ形状、 大小任意，固定不动的空间,控制面：控制体的边界（可以是流体，固体）流体经过控制面流入、流出。通过控制面一般有流體质量、动量、能量交换控制体内与控制体外的流体或固体存在作用力与反作用力。,适合于控制体形式动量方程应用推导如下：,体体积為τ，控制面积σ，,t时刻：流体在σ内, dt后：流体移到σ′内,,总动量变化率：,常运动时流体质点离开空定间区域Ⅱ,Ⅲ，该位置将被同样速喥的另一质点所占据,即公共区域Ⅱ内动量不变即,σ1的外法线与速度矢量 相差180o，故取负号,所以,所以,两项积分可合并成在σ＝σ1＋σ2上的积分,（4－29）,由动量定理控制面σ内流体的动量变化率 应等于作用于σ内流体上外力的总和，即,式中 包括：,（１）质量力，尤其是重力 ；,

内容提示：工程流体力学（第二蝂） 教学课件 ppt 作者 黄卫星、李建明、肖泽仪 编 第5章-不可压缩一维层流-讲义

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