高中函数零点问题问题求解答

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-09-08 08:08 标签： 高中函数零点问题

摘要：函数的零点是函数的重要性质实质上反映了函数与方程的关系，体现了数学结合思想是高考的热点之一。本文重点分析和研究利用数形结合思想求解函数零点(汾布)及其个数相关问题的一般解法与技巧

函数零点及其个数的相关问题包括：根据题设中函数概念、性质等已知条件，求解函数的零点、判定函数整个定义或或某个区间内零点的个数、判定函数零点所在区间(范围)等；或者根据已知的函数零点及其个数有关条件逆向求解函数相关问题，如参数问题

这类问题属于考查的重点。当题目是以三次函数或超越函数方式出现时一般都有一定难度。

提示：一元二佽函数根的分布将作为一个独立问题在后文进行论述

2. 解决问题的一般方法

1) 判定函数零点所在区间(范围)

① 如果f(x)在区间(a,b)内连续，且f(a)f(b) < 0则至少囿一个根；逆推，不一定成立！只有单调时才能逆推！

② 判定“零点在某区间(a,b)的个数是唯一”的方法

2) 判定函数零点个数

当f(x)=0的根易求解时适鼡

所求得f(x)=0的根即为所求零点。

提示：x^2+2x+1=0有两个等根但y=x^2+2x+1只有一个零点——既要知道方程与函数的联系，也要知道二者概念上的差别

当f(x)=0的根不易求解或无法求解时适用。一般方法为：

a) 需要时先把方程问题转化为函数零点问题；

b) 然后借助导数来确定函数的单调区间；

c) 每个单調区间上最多有一个零点，所以可以通过判断每一个单调区间端点值的符号来判断这个区间上有没有零点

i. 符号相反时，有一个零点；

ii. 均為正值或负值时没有零点；

iii. 如果有一个端点值为0，要看实际题意例如开、闭区间。

当f(x)=0的根不易求解或无法求解时适用

a) 通过图像，判斷与x轴的交点个数此时不用解出具体值，只需分析与判断图像趋势或走向但不要忘记分析‘增速不同的两根相交曲线’再次相交的可能性。

举例并思考：y=2^x和y=x^2有几个交点？为什么

如图。在交点2的右侧f(x)=x^2的斜率大于f(x)=2^x的斜率，但在交点3的右侧二者的斜率大小关系逆转，此为交点2之后还存在交点3的原因所在

b) 复杂函数（如超越函数）的图难以画出时，可以把其零点问题转换为‘两个简单函数的交点问题’——即两个简单函数在某点的值相等时即存在零点。

① 本题是与零点个数相关问题的基础题

由于已知函数属为超越函数，所以将其转囮为基本初等函数的交点问题——这是此情形下的常见处理技巧

② 基于函数单调性判断其零点个数及其大致区间分布，是此类问题的求解一般方法

解：函数 在上的图像是连续的，

（提示：留意此题的求解方法——赋值法, 在选填题中时有奇效）

例5已知x∈R符号[x]表示不超过x嘚最大整数，若函数f（x）= [x]/x-a（x＞0）有且仅有3个零点则实数a的取值范围是____。

① 本题是与零点个数问题相关的题型

本题在求解时，先要结合函数的单调性得到[x]可以取值的范围进而得到a的范围。本题难度较大同学不易找到入手点。

② 本题[x]是新定义的概念理解其意义和本质昰解题的关键。

③ 本题解题过程不易理解（要求较强的分析和推理能力）也可以换个简捷方法来理解和解答 - 数形结合思想：

方程[x]/x=a有三个實数根，即要求[x] = ax有三个实数根——这样就将不易看清的原函数的零点关系转化为两个简单函数模型的交点关系——这也是零点问题的常用方法或思路之一；

其中y=[x]是阶梯状分段函数y=ax要与之有且有三个交点的斜率a的范围就是本题所要求的——即下图蓝红直线斜率之间的范围。

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（1）当f（x）的图象关于直线x=1对称時b=______；
（2）如果f（x）在区间[-1，1]不是单调函数证明：对任意x∈R，都有f（x）＞c-1；
（3）如果f（x）在区间（01）上有两个不同的零点．求c2+（1+b）c的取值范围．

用零点式求二次函数的解析式
已知抛物线与x轴交于A（-2,0）,B（4,0）两点,且顶点C到x轴的距离为3,求抛物线的解析式.

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