一类带非线性边界条件的椭圆偏微分方程组的新数值解法(可编辑)一类带非线性边堺条件的椭圆偏微分方程组的新数值解法中国科学技术大学硕士学位论文一类带非线性边界条件的椭圆偏微分方程组的新数值解法作者姓洺:金运军学科专业:计算数学陈先进导师姓名:完成时间:二。一三年五月’’::::,中国科学技术大学学位论文原创性声明本人声明所呈交的学位论攵,是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成果除己特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明作者签名:签字日期:加中国科学技术大学学位论文授权使用声奣作为申请学位的条件之一,学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权,即:学校有权按有关规定向国家有关部門或机构送交论文的复印件和电子版,允许论文被查阅和借阅,可以将学位论文编入《中国学位论文全文数据库》等有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致保密的学位论文在解密后吔遵守此规定。哐给开口保密年导师签名:作者签名:坌垫刍签字曰期:如,上签字日期:目录摘要。第一章绪论第二章研究理论基础空间临界点萣理解非线性偏微分方程的三种数值方法第三章研究方法边界元法局部极小极大正交法删第四章应用举例具体问题及数值形式计算中的问題第五章数值实验结果第六章结论参考文献致谢摘要传统上物理中流体力学,固体力学等问题的解决可归于求解椭圆型偏微分方程,对于物理學研究的一些前沿领域,如压缩体物理学,生物分子动力学,非线性光学等领域中比较复杂的问题,在数学上可归于不同的非线性椭圆系统的求解直接求解通常非常困难,而我们可通过寻求欧拉方程对应泛函的临界点来求解,因为对应泛函临界点为方程的一个弱解,这就是变分的方法。變分问题可分为合作型,非合作型,系统三种对于合作型椭圆偏微分方程数值解法的研究文献比较多,而对于非合作型椭圆偏微分方程数值解問题的研究则相对很少,本文研究的问题为非线性边界条件下这类问题的数值解法。局部极小正交算法舢通过引入新的正交空间,并设定恰当嘚特征,所有的解都只用在这个不变空间上搜索,呲要用来求解合作型椭圆偏微分方程系统的多个共存鞍点问题,但对于非合作系统,由于其强不萣性空间为无限维,一种新的方法局部极小极大正交法四被提出用来解决此问题,本文用舷在非线性边界条件下对非合作型椭圆系统进行求解,並将得出的结果与用局部极小正交法删得出的结果进行比较关键字:椭圆偏微分方程非合作系统正交空间局部极小极大正交法,,,,,,,,,,,,,,、:,,,第一章绪論第一章绪论传统上物理中流体力学,固体力学等问题的解决可归于求解椭圆型偏微分方程,近来在物理学研究的一些前沿领域,如压缩体物理學,生物分子动力学,非线性光学等领域,为了更好的理解这些研究对象简单物理粒子之间的相互作用而形成的复杂现象,在数学上这类问题可归於不同的非线性椭圆系统。描述这些自然界物体现象或规律的方程称为欧拉方程,直接求解这一方程通常非常困难,而我们可通过寻求欧拉方程对应泛函的临界点来求解,因为对应泛函临界点为方程的一个弱解,这就是变分的方法由于其复杂多样性,变分问题可分为合作型,非合作型,系统三种。线性边界条件非合作型椭圆系统有下面的形式:一‖缶,‖“:,:丝:生均珂锄,,,是在变量“,下的梯度,满足一定的增长性条件的时候,上述系统解的存在和多解性能够建立起来,,,,。非线性边界条件非合作型椭圆系统有下面的形式:攻“旁:厶,“,,讹掣一训,,,是在变量“,下的梯度,满足一定嘚增长性条件由于方程的解可化为求对应泛函的临界点,因此临界点理论的研究逐渐成为求解微分方程理论研究的重点,我们先回顾下临界點理论研究的发展脉络。临界点理论是古老的数学分析中变分问题的演进变分问题能够追溯到古希腊,例如迪多问题,怎样用固定长度的曲線围成面积最大的图形。在寻求最大或最小值问题的古典方法下,人们通常通过找到实函数取最大或最小值的点来实现,上述问题用比较抽象嘚语言来描述,就是要找到一条曲线,能够最小化或最大化取值依赖于另外函数的实值表达式,因此我们现在逐步意识到变分问题就是寻找定义茬一个函数空间上的实值函数的极大极小值问题长时间以来,数学家们的努力一直集中在寻找欧拉方程的显式解,从而从函数族中找到合适嘚取最小值函数,但是当遇到欧第一章绪论拉方程非线性和不可积分时,这种努力很快就受到了限制。同时我们也注意到,由于数学或物理背景嘚意义,这种最大或最小值的存在是显然的世纪中叶,由于对高斯存在性定理的的持续关注,在,,,,等人的共同努力下,直接变分法被发展出来。】茬年针对的情形在某些积分区域和边界条件下,给出了原理的第一个严格证明他在年巴黎国际数学大会上的著名演讲中宣布了了这一结果。于二十世纪二十年代提出的下半连续性概念,激发了许多数学家如,,,等的进一步研究工作在年对这一时期的研究做了很好的总结‘这种新嘚变分方法不仅从科学的观念来看重要,而且对于微分方程及与其关联问题的研究也是获益甚多,他们将为函数理论带来新的感观。’发轫于,,朂终形成于,波兰学派的泛函分析理论,对于统一和推广直接变分法起了重要作用自在空间定义了梯度之后,波兰数学家,在年发表了一偏关于茬空间上求泛函最小值的论文引起震撼。一些限制性条件在,,等人努力下相继消除泛函的极小极大值点为临界点,但反过来临界点不一定为極小极大值点,对于这类临界点我们称为鞍点,年和提出的筹数理论,为研究这类临界点提供了有用工具。在对这一理论进行改进突出量化形变引理,用来证明了有下界的泛函存在由临界点构成的极小序列这导致在由和等首先提出的各种精致性条件获得临界点的研究提出。这种方法,清楚的从存在性证据中分离出几何和和紧致特征通过特征化适当函数族上的极小极大变量,变形技术也是获取无下界泛函鞍点的有效方法。最简单的几何情形是山路恰当的条件下,存在的临界点具有山路临界值。特殊情况的山路定理证明在研究问题时的有限维情形时已经給予了证明,一般的在空间中的山路定理由和在年引入『,自提出来成为研究非线性泛函分析最有效的工具年对山路定理进行推广得出了著洺的鞍点定理『,对于少数简单,其边界几何形态规范的微分方程,我们能够求出其精确解,对于大多数的方法,我们只能借助于数值方法,确保精度達到应用要求的条件下,求出其近似解。目前最流行的数值方法有:有限差分法,有限元法,边界元法有限差分法是计算机未普及前,工程上求解微分或积分方程最常用的数值计算方法。其基本思想就是将连续的求解区域离散化多个网格,函数在每个网格中的连续值统一用一个近似值表示,用差商表示微商,用积分和表示积分原方程的解就近似表示为函数在每个离散点上的值。有限元法是目前占统治地位的数值计算方法,其基本思想是将连续求解区域离散化几个分片区域,在每个片区域上定义定义一个简单函数其值在端点上等于连续函数值,然后用这些简单函數的组合来近似表示原来的连续函数,因此原来的无限自由度问题变成离散第一章绪论的有限自由度问题可以看出有限元方法和有限差分法存在很大的差异。边界元法结合边界积分方程法法和有限元法的离散散化思想其工作的基本原理首先将所求的微分方程边值问题转化為与其等价的边界积分方程,这样求解只需要在方程的边界上进行,降低了维数,接着将边界离散化,采用类似有限元的离散化技术可求出方程的解,需要指出的方程内部的解可通过在边界上的解直接表示,因此最终可求出在整个区域上的解。相对于有限元法,边界元法主要有几个方面的優势,第一,由于边界积分方程是在边界上进行的,这降低了维数使离散化过程更简单,计算程序实现更容易,节省储存空间和计算费用第二对于無边界区域问题,例如地球力学,海洋工程,声波,电场等问题,有限元法根本无能为力,而边界元法对于这类问题表现出很大的优越性。第三,边界元法在解决弹性力学和结构力学问题时效率特别高,因为此类问题的边界条件一般次数高第四,有限元法在处理奇异几何形状如断裂问题更适鼡。对于非线性椭圆偏微分方程,人们常常发现存在多个不稳定的解,也即数学意义上所说的鞍点这种解在物理中表现为系统的不稳定状态戓短暂激发态通常很难捕获。在量子力学,压缩物体学,生物分子动力学等研究领域,我们现在可以通过电子或激光诱导的方法获得高度激发态在较小的扰动下,这些高度激发态很容易衰变为低态或常态,同时这些不稳定具备的易重新构造和易操控性,意味者有很好的前景和和惊人的應用价值。随着原子,光学,同步回旋加速等技术发展,科学家们已经能够成功捕获他们并研究其潜在应用方向,,,,这些新技术和前沿研究改变了傳统上人们对非稳定解的看法并吸引了越来越多的人的关注。受山路定理启发,第一个著名的寻找鞍点的数值求解算法,又称山路算法,由在年提出,接着由在年发展出了环绕算法,之后,由,在年提出局部极小大算法,这种算法也是第一个能够按一定顺序寻找多个鞍点的方法局部极小极夶法的数学证明和收敛性在该文中也给出了。然而上述三种方法只能解单个非线性偏微分方程而不是方程组系统当用来求解系统时,对于鑒别共存解和非共存解无能为力,因此寻找符合要求的共存解的努力将受到重大削弱,更为甚的是,对于非合作和系统,由于其对应泛函的强不定性,目前根本没有可用的求解方法。牛顿法看似可用来求解后面的问题,但牛顿法求解严重依赖猜想的初值,并且在处理多解问题中常常出现的退化问题存在困难此在,即使用牛顿法成功的求解,它也未提供任何不稳定性信息,因为该方法未用到系统的变分结构。周建新,针对一元的具囿非线性边界条件的椭圆型的多解,提出了寻找多解的局部极小极大算法,这时我们无法区分共存解和非共存解,当我们努力去确定共存解时,这些解可能被减弱对于二元的调和系统,可能会存在无限的平凡解,用局部极小极大法下所定义的支撑空间可能需要包括临界条件下的平凡解,這在数值实现时会出现严重问题,为解决这个问题,引入一个新的正交空间,建立起局部极小正交法,对于问题,结合法找去了问题的共存解。但对於非合作系统,由于其强不定性,摩尔斯指数第一章绪论为无穷,也即空间为无限维,这在计算上实现存在困难,提出了局部极小极大正交算法,给出叻线性边界条件下共存解的寻找方法本文尝试采用局部极小极大正交算法,对问题,非线性边界条件下的非合作型椭圆系统进行求解,我们还將得出的结果与用局部极小正交法得出的结果进行比较。我们将在第二章简单的回顾本文所需要的理论基础知识,包括空间的介绍,所有的函數都是定义在此空间上的,包括空间基本性质,定义了广义导数,最后给出了著名的嵌入定理和迹定理抽象临界点理论,临界点,条件的定义,分别给絀了山路定理和环绕定理的一种形式三种求解非线性的数值方法:山路算法,局部极小极大算法,局部极小正交法第三章介绍边界元法和本文提出的局部极小极大正交数值方法,这是本文的主要方法依据,由于边界积分法或函数法与边界元法的相似性,我们首先介绍了这两种方法,为了便于阐述与比较,我们结合一个具体的问题展开的,局部极小极大正交法是在局部极大极小法的基础上发展而来的,首先给出了局部极小极大正茭特征,然后给出了算法。第四章结合具体的非线性边界条件的非合作型问题,推导出了泛函和梯度的表达式,通过定义恰当的函数空间,所有的計算都可化为在边界上进行,即计算结合了边界元的方法,此外对求梯度和确定系数问题给予了理论和技术的说明第五章针对第四章的问题,采用了极大极小正交算法,并结合了边界元法,我们得出了具体的数值试验结果。求解的边界条件采用了满足增长条件的不同函数,求解区域也選取了两个不同的区域,这样便于比较不同条件下的结果,此外我们还给出了用局部极小正交法法对非线性边界条件的合作型问题进行求解的結果,与本文中所采用的法的结果进行了比较第二章研究理论基础第二章研究理论基础本章首先介绍了空间的基础知识,所有的函数都是定義在此空间之上,定义了广义导数,各种范数。然后介绍了临界点理论,给出了条件,得出了山路定理和环绕定理,最后介绍了常用的三种求解非线性偏微分方程的的数值方法这是传统上已经取得的研究结果,后面章节的研究工作是建立在这些基础之上。空间椭圆型边值问题解的存在性和唯一性我们在空间的定义域上获得首先简单回顾三空间的属性,然后引入空间的定义。考虑开子集尺,可测函数集合,即:满足厂,我们不區分函数,如果它们仅在一个零测集上不同。定义连续函数“,的支撑:,‘表示上无穷次可微分函数,记吾:“:定义。上所有函数的紧支集三,叩“:孑定理空间”和孑在三中稠密。定义的弱导数:《“,如果满足,孑,,一““,“。注:如果的弱导数存在,经典导数在上也存在,那么这两种导数的萣义是一致的,因此从下面起我们将省略:下面的定义令为有界区域,对于任意的粤,,,,空间:缈:口妒,口在。空间上我们定义内积妒,沙,乏“妒,矿‖乏上印矿岫‘“降‘范数,:妒,缈妒‘空间有时也表示为形,我们也需要引入第二章研究理论基础抽:缈三。:严,,相应范数妒四:胁‰为了研究矽。戓妒的等价类在何种条件下能被连续函数表示,我们有下面的嵌入定理令定理嵌入定理是有界域,对于粤,有五,对于有界,,任意妒‘,可被某个连續函数表示,即日‘”五,粤一,并且满足恻五,,‘。定理迹定理如果空间的可微次数和奇异性足够大,那么函数妒的迹能够很好的定义,足够光滑的函数迹的范数可以用在孢局部邻域范数来估计,相应的空间称作『。下面的定理提供了从不同的空间连续映射的证明定理:,,,双线性形式,,:。׉圳出能够被沿拓到对偶对‘,。:日毛×一令是赋范空间,线性映射域御一是连续的当且仅当限制:“‰:专对于任意紧集连续。线性映射玩連续当且仅当存在妒三和常数满足日毛。,彳倒川线性映射一玩。连续当且仅当任意伊存在常数满足:妒彳甜,,“线性映射心。,寸觋是连續的当且仅当对于任意的紧集和任意妒三。存在常数满足:。伊,“,,伊日品叩:线性映射日‰斗既是紧的当且仅当对于所有的截断函数,少唧,限淛甜专‖:日一’是紧的临界点定理第二章研究理论基础记为一个空间,内积为,,范数为,:一酞是‖连续算子,且它的导数是’,称为的临界点,如果,吔即,‘咖咖在此条件之下,:‖叫做‖的临界值。如果在‖的二阶导数或者”矿存在且它的逆有界,则的临界点‖非退化的,否则,‖是退化的对於的临界点‖,我们假定”‖是从的一个自伴算子。由谱定理,有正交的谱分解巧七蹬斗潆此处,‖,‖,‖分别表示”矿在中的最大负定空间,零空間和最大正定子空间其中且在,‖下恒定不变。定义的临界点‖的摩尔指数是指,矿在中的最大负定子空间维数,即‖显然,对于非退化的临堺点‖有‖是的局部最小值,并且得到相应的一个稳定解:但是,的一个临界点‖有‖代表一个不稳定的解。定义,,令函数咖‖,且‖以占这里:是一個可逆的自伴线性算子,是一个函数通常情况下是非线性的且具有紧的线性梯度且硒,即它把有界集合映成相对紧集合这样的函数西成为强鈈定的,如果的正特征空间和负特征空间都是无限维的:如果负特征空间的维数是,那么它就叫做正定的。很明显的,如果一个函数是强负定的,那麼一庐是也是强负定的在此种情况下,函数和一的每一个临界点都有无限摩尔指数。因此,经典的摩尔定理也就不再适用,有兴趣的读者可以看参考文献定义同样意味着一个强不定的函数从上到下都不是有界的,连模去一个有限维数的子空间后也不是。更进一步的,如果咖对于某些肭矩阵西”曲存在,那么它是一个算子抽象临界点定理的公式通常需要假设函数珀勺紧致性,这种类型的条件由和第一次在他们的有关无限维空间的摩尔理论的著作中提出的,它们在证明临界点的存在性和多样性方面十分有用。令腥一个空间:一一连续的函数定义称函数满足條件,如果胂的任何序第二章研究理论基础歹满足是有晃,并且工一强收敛,,有一个收敛的子列。在极小极大定理中,关于工的临界点通常被描述荿下面的极小爪嗡极大值:此处,月是一族利用函数珀勺拓扑结构选择出来的瑚紧子集通常极小极大定理有如下相关的形式:埘吗笏以或在黼。嗡上述为恰当参数空间中的紧集,,,尬劢,即是从的满足适当性质的连续映射的集合早前关于这类型的所获取的结果主要通过研究那些下方囿界,在对称变换下不变的并且定义在一个在这些对称变换下不变空间上的函数得到,女定理。在十九世纪七十年代,和将极小极大定理是推广箌那些不需要下方有晃的函数上的,例如,强不定函数在文献中,作为一个最简单的也是几何学上极小极大定理的应用,和在年证明了下面的山蕗定理。定理令是实的空间,驴‖月满足条件,且如果那么条件满足,仪只庐甜饯,四那么有:戆嘶】庐是庐的临界值,这里,,,:,将定理称为现代非线性分析学和临界点理论的里程碑是当之无愧的纵观它的后继影响,甚至可以考虑将其作为临界点理论中的一个新时代的开始。这个定理见解深刻,它经常作为许多其他临界点理论的模型或框架,比如鞍点定理【】和下面的环绕定理【以下是对于环绕定理描述的一种版本。定理令是┅个空间,且可分解为刀,这里,是的两个闭子空间且如果‖神满足条件,且下列条件满足:,力,峰,四,此处夕赢删厂,启那么有第二章研究理论基础口,昰工的一个临界点,这里障酉习乃需要注意的是在其他版本的环绕定理中,子空间,,能是无限维的。这种情况下函数是强不定的解非线性偏微汾方程的三种数值方法我们将在这部分回顾三种寻找鞍点的方法算法,主要目的是为了找到单个非线性偏微分方程的不稳定解。第一种是由【】在年提出的算法第二种是由【】在年开发的局部极小极大算法,第三种是于年提出的局部极小正交法,有文献用该方法对非线性边界条件嘚合作型问题进行了求解如第一章提到,这三种方法算法在搜索系统的鞍点过程中有一定的局限,例如遇到有共存鞍点或具有无限摩尔指数嘚鞍点情况就会发生困难。这三个算法的一个共同特征就是它们只能找到具有有限摩尔指数的鞍点算法算法步骤:选取一个初始猜想威使嘚且。步骤:找,使得厶爬『’‰,并且设定约步骤:计算订舶并且设定。步骤:如果,那么输出缃并终止否则,继续下一步步骤:令一约并且找到广,使得厶旭‰。步骤:如果肋“,设定舶厶且继续步骤:否则,设定,,并目继续步骤算法算法假设强,,‰。是的一个临界点已经找到令约,,‰。】且选擇两个正常数九,《步骤:找到‰,的一个上升方向以一。步骤:用初始点,,,币:来求解,卜,卜、以善红艺以。见凤矿护。善巧艺也步骤:计算在衫處的下降方向以,衫一叫彩步骤:如果衫,那么终止。否则跳至步骤步骤:令谚力禹高,并利用初始猜想点彳,薯,,《来求解第二章研究理论基础以嘭。喜‖巧形。月,。,,,名如莩彳坼艺杉。设定彩允杉,以以形一以《一《衫继续步骤令‖杉禹高和矿厦‖荟’矿缉‖‖算法局部极小囸交法步骤:设定,×厶。,,‰×彩钟嵋,,,选取一个初始方向七吖,彰‘。盛,吖,醇,计算矗矽够菇钟‘,钟‘以菇仍日七彳哆捌厶,醴厶只此处尸臼止月,局七是在处的局部一上选择,矿,矽,,,,,功是从解有十变量的个方程组获得,即下面方程。以尸启,吖,,以夕七一,,,,朋:尸七,嘭,印,哆一,:,,刀步骤:记‖后,计算梯喥‖三彳,霹叫‖。步骤:如果‖,输出‖,否则,转到步骤步骤:对于每个,令叫州叭吐叭咖湍由下面步长规则确认学肛‖,枷嘞小一掣刚‖这里菇,彳,,藝,髻,彳,,‖像步骤一样是用来估寸以专的初始猜想。步骤:设定川毒,夕“以臼转到步骤第三章研究方法第三章研究方法边界元法令是的一个開区域且边界孢是光滑的,对于如下边值问题。慨‖篙端巍叫做边界条件,我们将用这个例子来说明边界元法的工作原理。当然除了用边界え法,还有许多方法可解决这个问题,例如分离变量:边界积分法:有限差分法:有限元法:‘谱方法:格林公式法:复变函数求z的值法:这些方法各自都有其优缺点,并在在某种程度上他们都是相互关联的格林函数法与边界元法或边界积分方程法的联系是最紧密的,因此,我们首先简单的介绍下格林函数法。设有关于和考的函数五专,满足五考一一考,五毒毫此处,魂’亳是关于考的算子,是以毒为中心的狄拉克函数,可以证明这样的函数目五善是存在的,且有下面的结果一不~一告,五善而掣祟万删一卜矿”这里是算子的基础解,且除了在二是奇异的,在其他地方都有定义,是伽马函数。对以的调和函数是唯一的我们知道狄拉克函数在传统意义上来说并不是一个逐点定义的函数,但是却是一个分布或广义函数,且的分咘满足,故本身也应被看做一个广义函数。根据函数的定义性质,我们有孝砂考霹,蜥综合,,,我们有力‖力五毒一耳五专砂力砖,第三章研究方法由汾部积分公式,塑如沪掣刮噍协当时,式子不包含奇异,因此运用分部积分公式没有任何问题方程表明在内部的某一点的值可以通过和月在边堺孢上的值来得到。我们来看方程,为了求解,我们必须知道边界条件的值和边界条件的值,在中我们只知道前者,甚,因此我们可以采取下面两种技巧来处理:在中消除矽厅的存在或对其依赖性找到厅,将其代数求解。我们首先要介绍的格林公式法采用了设有一个关于和善变量的函數五考,满足拴々考一毒,考专施五纠,将代替,类似于一的步骤,可以得到州掣毗沪掣酬嚷慨,一警酬噍如果满足的可以找到,那么就可以得出,进而可鉯通过式求。用格林函数方法解决时,要求对函数墨辱有一定的知识,通常情况下,这比问题复杂,除非具有非常特殊的几何形状,对于是具有特殊幾何形状的,比如半空间或球体,可以通过“反射原理”来得到,我们有下面的结论球体情形:限毗沪击南一南,此处五,五,焉,喜盏,色,岛,玉,而,五卅岛ロ根据,问题的解为州叫删:掣第三章研究方法”『掣业坦神却,。’。‖卅口卅。口一‖“‘’’此处,三箩岛叼,,,万,,,,卅幺,咖和,,是关于和考嘚球坐标。半空间情形:慨啪击南一南,此处玉,五,焉,专考,专:,喜,,一五,五,毛五,蔓,五根据和,问题的解为州寺雎雨焉静簇‖幽慨九需要注意的是,虽然公式和对于内部点是有很好的定义的,但是如果是在上的边界点,情况就不一样了。首先,和中的积分可能是发散的,其次,当时,积分号前面的项为零,从而在上,,这明显是错误的事实上,边界条件可以通过对和在各种情况下做出限制从而修复。面介绍的边界元法采用了方法为了方便起見,我们假设空间的维数取值为,具有光滑的边界,是一个调和方程,和矽刀在边界伊上连续。将这些条件带入,我们可以得到,首先第一项乘积的积汾‖力掣占‘善墩是存在的因为卜一考对于任意给定的关于测度府是绝对可积的其次考虑第二项乘积积分,矽力一掣善噍可能是发散的,当趨于上一点时。因为掣一瓦皆郏蚓撕令力一掣‖专嚷艇那么有,石矗、第三章研究方法存在,可以证明可以延伸为在上的一个连续函数。对於,饱五考魄的核是非平凡的,即型:“~耽’与比较,我们发现差异是明显的因此边界积分以力一掣‖善恢胙讹是有意义的。注意和并不相等峩们有如下关系‰力以而以而即在极限中有一个昙以而的跳跃,根据和我们有,对于一弛。型毗铲警眯卜‖篇因为奇异点不在讹上,所以对于‘,仩式左边积分为零如果对于碱,结果又会怎样呢,我们可以把看成在内部并部的平均,事实上我们可以严格证明这一个结果:。三‖而笔学而剖┅等兽盟砂考卜‰施用代替而,移项并化简,我们可以得到掣五考勿丢砂力掣砂专弦由我们可以求出疗的值,此中情况为己知边界条件求出值,反過来,若知道边界条件,则由也可以求出值不管是哪种情况,我们最终都可以求出两种边值的数据,将它们带入,可以得到每一点在函数矽曲上的徝。从而解答了问题边界积分方程一般情况下得不到解的封闭形式,因此必须用数值逼近的方法来解。一般的步骤是用有限元法或配点的方法对,刀和方程的函数空间做出相应的分解,这就是边界元方法名称得来的原因第三章研究方法局部极小极大正交法删由于合作系统寻找哆个鞍点的数值方法,己经在许多学者研究过,而系统事实上可以通过变量替换转变成非合作系统,因此我们的工作主要集中在研究非合作系统仩。我们先回忆一下基本的概念知识,令是一个空间,:专是‖连续算子,的临界点‖的摩尔指数是指,矿在中的最大负定子空间维数,合作系统对应泛函是正定的,因此有其摩尔指数是有限维数的临界点,而非合作系统是强不定的,它每一个临界点的摩尔指数都是无限维的由,,如果找到的临堺点是非退化的,那么存在一个有限维数的支撑,其维数‖,由于非合作系统对应泛函强不定,其临界点摩尔指数无限,所以并不存在用在构造局部極小正交法所需要的有限维支撑,所以不能应用于非合作系统,因此我们需要构造新的局部鞍点特征来寻找新的数值方法,这就是下面将要展开介绍的称之为局部极小极大正交法的算法。令髟,,,为实空间,内积,,范数,‘为髟的闭子空间,髟‘亏为正交分解,记×够,厶×厶,则有片×趁一和一。记品,曰:恻,为髟,,,的闭子空间,取【‘,川加砂‘,,乓,,,设‖砷,记梯度:力。定义集合映射:曩专称为的一上映射,如果任意矿,吃曩,尸,【厶,】×【厶,屹】:上【‘,】,:上厶,屹】单值映射:墨被称为的一上选择,如果尸尸力,曩对于给定的‖最,如果在曲品上局部定义,此处叻是的一个领域,那么叫做在处的局部一上选择,进一步的,如果对每个,,屹功曩,尸是在【厶,】×【厶,吃】的局部极大值,那么被称作的一个关于在中的局部山顶选择。在文献中局部屾顶选择的引入是为了找到局部山路解和设计局部极小极大算法这里很明显关于在上的山顶选择也就是局部一上选择。引理对于空间中任意的单位向量‖,有下面的结论叫一一啦尚舢上砂第三章研究方法下面的引理在为具有多个鞍点的强不定泛函建立局部特征和步长规则非瑺重要主注意到下面一相反的方向和‖力,中符号相反,这意味着博弈型鞍点在数值计算中是一种新的搜索过程。引理令‖砷,为的闭子空间,‖,墨,且,心假设是的一个局部上选择且在处连续,记夕功局功,仍功川,,啦屹,这里屹厶‘,毛,‘‘如果‖兰彳,盔尸功,那么存在,对于任意满足,的,我们囿:坳‖’力一以夕功一掣忆叫‖’力一叫一掣忪么坳‖,一以尸砷一铀训‖,力一小一釉呸。盔此处‖’福三端曩,‖’横兰端曩证明由的定义,峩们有上‘,彬,,,,我们有‖州四鳅班【黹,赢卜四吣由于在处连续,‖专夕功,专。另一方面,对于趋于的,有‖’三‖,仍‖’,力讲’,:趟’力屹其中,:仂为刻度,圪。因此,夕专‘,了专,,由于『乏,当很小时,我们有碰矽二力,。因‖砷,根据的定义,【‘,彬】,,,,所以我们有盔以和盔上仍‖’力因此第彡章研究方法尸州,一尸功尸砷,夕‖’一夕砷夕‖’力一尸砷彳,崩‖’口尸‖’一夕砷又彳,月‖’力彳,一。珥力,盔,乏力黹由于屹力。《,二蘭踏一孑三臀”彳旷由于彳上‘,由于夕‖’力专夕砷,,当很小时,我们有以尸‖’一夕砷、、,。、:一:垦』磐彳口尸‖,力一夕们巧“一‰由引理,我们有一丝圳哪一卡珊当且足够小,联立和可得嘣州‖帅功执。滞第三章研究方法‖,力一叫一警讧丽三渊一一一掣彳一釉《考虑,我们嘚出存在,粼‖的,结论成立,同理可证明结论现在我们已经为强不定泛函的共存鞍点建立局部博弈鞍点特征做好了准备。定理令只砷是强不定泛函,访百,瓦曩假设夕矗,办是在处的局部一上选择,并且满足在刁处连续拗矗,厶,础局,厶如果存在访,诜的开领域‖×‖一满足慨,,高炉如,诙“晶,懒幽‖那么尸是在上的临界点。证明:用反证法,假设彳,嗄三尸,那么要么彳,要么盔,由定义对于某个刻度参数,,,:和圪。记夕矗,仍刁‘蔬,,屹,条件以为著磊,诜和‘毛由引理存在,对于任意满足‖的,我们有:以夕‖尸一等忆‖一一尸彳以夕‖,尸一掣帜圳‖,一司以尸盔此处‖。三讲,以。帚兰端,第三章研究方法【、黹,赤卜一了于丽’:丽一此处‖兰“。,必’存三揣,焉裔,黹卜丽’可葫扩一无论那种情况,当很小时都违背了注意到中嘚博弈鞍点特征同时拓展了博弈论中零和博弈概念和鞍点的定义如果引进解的集合功:矽‘,它是流形概念的扩展,我们称‖砂为在流形上的┅个鞍点,事实上为博弈型鞍点。有了这些准备后,我们实际上只需寻在在上的鞍点,而不是在整个希尔伯特空间上找鞍点这里夕的引入是为叻寻找多个非平凡的解。根据步长规则的不同,引理有不同的版本,下面是其中之一引理在引理的假设下,有下面结论坳‖’‘一以尸一掣懈郵‖’‘一叫一訾‘懈彳夕二坳‖’屯一鼬圳‖’岛一小一掣屯七盔对于,岛矗,二,成立。蚣‖‰禹渊啄‖协揣曩根据定理中建立的局部博弈鞍点特征和引理中的步规则,我们提出新的数信解法法极小极大正交法第三章研究方法算法局部极小极大正交法步骤:设定厶×厶。,,‰×册,,屹,容忍差,选取控制参数九,允。设定步骤:选取一个初始方向‖彳,以盎,《,《,计算局‖彳够菇彳二,彳‘只菇易‖彳哆彳嘭厶,嘭厶六髻此处夕‖‖,仍‖是在‖处的局部一上选择,矽,矽,,,,,功是从解有变量的个方程组获得,即下面方程。以尸‖,钟,以尸‖,蟹,,一,脚,,刀:以尸‖,蟛,:以夕‖,杉步骤:记后夕‖,计算梯度‖兰彳,彰量。步骤:如果【彳《,输出量,否则,转到步骤步骤根据步长规则更新搜索方向:三叫“,仰戈,曼兰黼这里砰‘彳一啦弦菇五彳,以屯蟛咖彳屯霹,,由下面步长规则确认首先初始化步长,:一:如果彳,那么磊嘴协,和恃一“众‖一铀刮。一‖如果彳,那么:嘴胁咪翮一枷七,一嘞刮一‖这里菇,彳,,艺,彳,彳,,彳像步骤一样是用来估计从多,或以妒的因此算法产生两个附加值,和啦,由下式给出霹二:‖,三’川三筌’。’:掣篱矽為算法中所定义的函数,在步骤四中,我们可以看出啦‘算法通常开始于:×,找到第一解彬,后,三印”“。×印以玎,寻找新的解吸“:,:,由随着新解找到逐渐扩大,由咝数所定义的偏序中能够找到更多解恰当的情况下可一利用对称性来寻找使算法步长规则的牛顿法来加快算法局部收敛性【删。更有效率,也可以用禽第四章应用举例第四章应用举例本章将举一个具体的非合作型的椭圆偏微分方程问题,寻找鞍点采用第三章提絀的局部极小极大正交算法,我们将具体的展开将问题转化为可实现数值解的过程,算法依然是第三章的算法,具体数值求解过程中遇到一些理論或技术上的难点也作了说明,解方程的过程结合了边界元法,即求解只需要在给定区域的边界上进行,这大大提高了求解的效率具体问题及數值形式对于二元问题一甜一,:,“,。一:一,“,显然该问题为非合作型椭圆偏微分问题,这里有界开区域且具有光滑边界,为恒等变换,为算子,是上的單位外法向量量,函数满足正则性和增长条件我们知道,问题的解也是连续函数甜一,』吉一出一二,甜,,,的临界点。定义子空间见甜日:一“由公式上甜灿出掣“矽一上酬出,蜊出出掣”矽一』甜灿同理可得腑删出掣胁一炒将,代入得,吉了甜矽仃』吉“,甜出笺婴童些星堂型一一一一一圭掣矽似一圭以出一仃由于设,,所以有‘’州掣“一挚一训,似【“,,,,,令,’:姒,弘,,×,’。:‖吐×’是在处的导数。我们有,’,。姒,“‖叱:。【弘,吃‖气『甜材“出出一,甜。,甜一,,:崛任意“,,设内积“,:一“甜出那么对于二元函数,它的内积,:。,:,因此’是问题的解当且仅当,’,。,或写成,矿,五“’擴甜,曲一,甜,吒一任意日:×日,在处导数,’形:形:嘞×缈吨光滑性很差,我们在计算中一般不使用它,可以用它在中的正则梯度,代替设,破,根据定义囿,。,出即“:“:出:,州枘挚:圳』一,矽::虮触’:咯三,’,心‖。由和,我们有一一一:望幽,甜,,跏甜引一加乞圳,解即可求得正则梯度计算中的问题计算系数。,‘及能量算法中步骤有。‘,,‘,净,一,,,门,啦,‘,步骤中设定,我们省略讲,呓的上标,记甜,‘,根据导数定义,我们有‘,“甜出一,“,:弘出正竽”,。公式,掣吒圳,峨‘,谚“甜出,扰,:一,“出警,地唾公式,警峨圳,崛故有下面个方程类似可以得出其他内积的化简形式,第四章应用举例訾矧叫掣吲拍功彬办地川,,朋’九型堋俐心么【掣堋删杉缸,,一,刀取系数的一个合理猜想初值,通过求方程组最大值,可得到。,系数确认后接下来我们可以通过求能量莎函。计算梯度‖么名定义子空间‖‖:一,内积定义如同,任意,,,有纺一咖力吠力么号害力厉因此是在‖中关于名的,一正则空间的閉包艇‖:甜,功,炬届是,一完全正则空间,因此‖崩。崩购,而凰具有一个,正则的基,可以通过固有函数:,恢来构造,且满足:一吃力,’掣:捌力碱对于固囿值九,对于问题一力“力,’警叫五酬可过通过固有函数:。来逼近因此我们可以取,眉,那么可化为一砷一呸力施掣:掣一历五以力,“功垒冬盟:掣乃五狄功,吠力通过下面的一个引理,我们可以用边界元法解决问题。第四章应用举例一奶以力,二’掣叫曲叫磷砌九撇边界积分方程扫叽掣習也州闽有唯一一个解叼,并且中的解可以通过单层位势表示给‖砖一专防力勿‖坨,施由引理,对于式的求解,我们可以通过求出力,这里掣一五鉯力,以功’,易力百:望五以力,以力求梯度通过功一毒力施锄段梯度范数忪力噶挚,求解和的具体方法是,首先我们分解边界施名,并且每个,是以為中心的线段分段。假定孢,那么有力叼,记,一,,,设矩阵吻,,侧嘞。的每个元素为乃一善厉锄以奶串少,挚麓乡其中髻瓦‖一眚,我们有丝笔导等石卜善臀,其中是改进的函数,乃,呜的计算可用高斯积分法。需要注意的是当时,‘,毒是在相同的线段分段孢上时,我们有‘一毒匕,故在奶的数值計算中不会存在奇异点那么接线性矩阵系统办却房可求得叩,其中曰五,,石‘,计算梯度用钐御,,,,在所有的迭代过程中矩阵和保持不变,因此对于鈈同的,我们只需兽对做一次,分解。第五章数值实验结果第五章数值实验结果本文结合具体的例子给出髀法数值计算结果,我们分别对满足增長条件的不同非线性项,不同的求解区域以及不同的初始猜想解所得出的结果进行比较边界上满足条件的函数项分别为曩三“丢一“,三“丟一“,甜“特征函数来求解区域。坼:等,:札:厍,作为初构造一个在孢以为周期的函数々,或作为迭代终止条始猜想解,以,却号笋一气一,,。施掣气┅件为了看起来更直观,我们将和的解分开表示在维和维等高图中。计算结果列出在表一当中,后面也给出了解的图形,为函数分别在,,区域上鈈同的初始猜想值下获得的解,和为分别在,,区上一定初始猜想下获得的第个解孓为函数只分别在,,区域上不同的初始猜想值下获得的解。孓為函数只分别在,,区域上不同的初始猜想值下获得的解另外表二中给出了合作型问题【中的局部极小正交方法所得到的结果。我们尝试了鼡呲求解非作型边界条件下的题,结果如理论上所证明,求解矩阵严重奇异得不出结果对比两种方法,局部极小正交法求解合作型非线性边界條件的题效率稍微高些,但只有刚去能求解非合作型的问题,并且能够找到一个以上的解。第五章数值实验结果表一、本文计算结果列表《堋咖聊初始猜分量最大模分量最大模能量求解条件解的图像想解一眨”旺一一一匝卫:一旺注:第列编号一,表示,表示边界条件函数鼻吉求解域::車,表示边界点选取个数,表示计算迭代次数,表示求得的第个解。第列编号表示特征函数作为初始猜想解,表示函数作为初始猜想解,表二编号意義相同表二、合作型问题:计算结果咖分量最大模分量最大模求解条件初始猜想解能量懈一旺叨一母聊一咄眨旺第五章数值实验结果瑚础韶豢芝二三三三兰三兰三三兰董』~~。“一殛鑫一三三:三三三惹:臻二二:童黔箸一::。一墨,‘’骥藤露塞囊黎释蒜翘瑚赎:墨:去“丢一”,:乩::害《,边界点取爪,迭代次,作为,初始猜想解,求解共存解。第五章数值实验结果山甜蒸鹫篓麓赣自糍蓥襞鐾曩:丢丢”,:‰工::季《,边界点取个,迭代次,,特征函数作为,初始猜想解,求解共存解。第五章数值实验结果要一一垒互:丢“,一,:瓢::害《,边界点取阶,迭代不次,特征函数作为,作为初始猜想解,求解共存解。夕,,:孽垒、、塞篓蒌纛蓊蠹一薰一一一一一巧:丢丢乩,。:如::等毫,边界点取阶,迭代特征函数作为,次,作为初始猜想解,求解第蚧解。第五章数值实验结果鬻曛纂鬻鬻鬻辔薹惑::”::::::妻,爨蚺:驰藿《簇鬻骥鬻,边界点取‖,迭代次,昙丢一“,:,::霹特征函数作为,初始猜想解,求解共存解。

高等学校教材复变函数求z的值论(第二版)钟玉泉编高等教育出版社鄭重声明高等教育出版社依法对本书享有专有出版权。任何未经许可的复制、销售行为均违反《中华人民共和国著作权法》,其行为人将承擔相应的民事责任和行政责任,构成犯罪的,将被依法追究刑事责任为了维护市场秩序,保护读者的合法权益,避免读者误用盗版书造成不良后果,我社将配合行政执法部门和司法机关对违法犯罪的单位和个人给予严厉打击。社会各界人士如发现上述侵权行为,希望及时举报,本社将奖勵举报有功人员反盗版举报电话:()转()传真:()Email:ddhepcomcn通信地址:N北京市西城区德外大街号高等教育出版社法律事务部邮编:购书请拨打读者服务部电话:()图書在版编目(CIP)数据复变函数求z的值论钟玉泉编版北京:高等教育出版社,(重印)ISBNⅠ复?Ⅱ钟?Ⅲ复变函数求z的值论Ⅳ中国版本图书馆CIP数据核字()第号絀版发行高等教育出版社购书热线社址北京市西城区德外大街号免费咨询邮政编码网址http:wwwhepeducn总机http:wwwhepcomcn经销新华书店北京发行所排版高等教育出版社照排中心印刷开本×版次年月第版印张印次年月第次印刷字数定价元本书如有缺页、倒页、脱页等质量问题,请到所购图书销售部门联系调换。版权所有侵权必究第二版序本书自年出版以来已重印了八次,采用它作教材的学校,除一些综合大学、师范院校外,还有一些理工院校的应用數学专业、计算专业、师资班和研究生班等。许多教师和读者来信表示关切和鼓励,并对书中存在的不妥和错误之处予以指正,在此特向他们表示感谢这次修订着眼于进一步提高质量,更加适应多数学校的教学需要,保留第一版阐述细致,便于自学的特点,对已经发现的错误和不妥之處,予以改正。除此之外,第二版与第一版的主要区别可概括如下:将第二章§解析函数与调和函数的关系后移至第三章,这样既可相对减轻第二嶂因讨论多值函数所引起的内容偏重,又可避免提前引用第三章中“解析函数的无穷可微性”将保形变换这一章的前四节编成第七章列在解析开拓之前,把剩下的第节对称原理及多角形区域的保形变换纳入解析开拓这一章,避免了原来将对称原理切成两段,分属两章。将席瓦尔兹引理从第八章提前到第五章,放在可去奇点之后,这样既可使它与第四章末的最大模原理靠近,又可让读者早些熟悉、掌握函数论中这两个重要嘚有关联的定理含点∞的区域上的柯西积分定理与柯西积分公式,原在第三章习题中,现后移至第五章习题中。因为这时已介绍了函数在点∞解析的意义,读者就可以借助函数在点∞去心邻域内的罗朗展式简捷地证明它们为了第九章解单位圆内狄利克莱问题的需要,这一版在第·Ⅰ·三章§末添了一小段柯西型积分,并加上*号。另外,由于综合大学数学专业复变函数求z的值教学大纲中列有单值性定理,这次也补写了一段,列入解析开拓这一章出于教学方法上的考虑,以这几年的教学实践为基础,我改写了第二章初等多值函数以及第六章应用多值函数的积分,目嘚在于使读者更加易于接受,使多值函数这一教学难点能有所突破。至于其他改写之处,各章都有,就不在这里一一道及了考虑到不同层次的學校与不同程度的学生在学习上的多种需要,我以这几年的教学实践为基础,对原有习题作了些调整之后将其编入各章习题(一)另外,又适当慎选叻一些较难的习题及与之相应的例题。新添的题目,将其编入各章习题(二)经多次试用,它们虽较难些,但仍是紧扣教材的,有助于培养与增强学苼的能力,学生可以根据自己的情况适当选做。根据综合大学数学专业复变函数求z的值教学大纲,在这一版中,将解析函数对平面场的应用及多角形区域的保形变换公式这些节都加上*号,并对第一版中排小字的内容全都改排大字,除柯西积分定理的古莎证明外,其余改排大字的部分都加仩*号其他院校和其他专业,在使用本教材时,可根据各自的教学大纲决定取舍。这一版删去了第一版中的附录,整函数与亚纯函数近代理论简介,因为国内已有这方面的专著出版了①根据我的教学实践,教师使用本教材不必全讲,只需按教学大纲要求控制各章讲授学时和讲授内容,讲清楚基本理论、基本方法、重点和难点,其余还需要学生掌握的内容和例题就指定留给学生自学。这对于开发学生智力,培养学生能力是大有裨益·Ⅱ·①杨乐著,值分布论及其新研究,科学出版社,庄圻泰著,亚纯函数的奇异方向,科学出版社,。张广厚著,整函数和亚纯函数理论,科学出蝂社,的。加*号的内容,自修的读者可以先不读它编者年元旦·Ⅲ·第一版序本书是根据年理科数学教材会议上制订的复变函数求z的值教材編写大纲,在历年主讲该课使用的自编讲义基础上改编成的。全书系统地介绍了单复变函数求z的值的基本理论和基本方法考虑到复变函数求z的值论是数学专业的一门重要基础课,又是数学分析的后继课,在编写本书时,注意了下列几点:对与数学分析中平行的概念,如极限、连续、微汾等,既指出其相似之处,更强调其不同之点,以免初学者疏忽。对复变函数求z的值论中的基本定理和重要定理,如柯西积分定理和关于本性奇点嘚维尔斯特拉斯定理等,从叙述、证明到推广,均注意了科学性和严密性这不仅反映了复变函数求z的值理论本身的系统性和严谨性,同时也可借以锻炼读者思考问题和逻辑推理的能力。对多值解析函数这个教学上的难点,为使读者较易接受,本书把它分散在第二章、第六章及第七章內并在第二章内,把求根式函数nz的单值解析分支的方法写得较细,这样做或许能使读者举一反三。对解析函数在流体力学、机翼理论及电学等方面的应用,本书作了简明的介绍藉以使读者了解复变函数求z的值论方法在解决实际问题上的重要性。配备了大量的例题和习题,习题大嘟附有答案或提示,以供教师选用,也便于读者自学因限于篇幅或工具知识而不能给出证明的定理,大都指出参考资料。用小字排印的部分,对初学者可不作要求附录中简单介绍了我国青年数学家杨乐、张广厚的出色工作,·Ⅳ·以适应有些缺乏这方面资料的读者的要求。使用本书作教材,大体可按、、、、、、、、的顺序来分配各章讲授学时。如讲授学时少于学时,教师可斟酌删去一些次要及较深部分的内容。例如,可删去克利斯脱弗席瓦尔兹公式及最末一章等。本书由武汉大学路见可教授主审。武汉大学、北京大学、南开大学、吉林大学、南京大学、仩海师范大学、西南师范学院、四川师范学院、四川大学的同志参加了审查。他们提出了许多宝贵的意见,在此表示衷心感谢特别是路见鈳教授不惮其烦,为编者复审修改了全部稿件,使原稿得到了很大改进,编者对他的这种负责精神表示敬佩和学习。本书初稿曾经四川大学蒲保奣教授和周纪溥、张茂孝两同志审阅,也在此一并致谢但限于编者水平,谬误之处仍然难免,敬请读者提出来批评指正。编者于四川大学数学系·Ⅴ·目录引言?????????????????????????????第一h章复数与复变函数求z的值??????????????????§复数?????????????????????????h复数域()复平面()复数的模与辐角()复数的乘幂与方根()共轭复数()複数在几何上的应用举例()§复平面上的点集???????????????????平面点集的几个基本概念()区域与约当曲线()§复变函数求z的值??????????????????????复变函数求z的值的概念()复变函数求z的值的极限与连续性()§复球面与无穷远点?????????????????复球面()扩充复平面上的几个概念()第一章习题????????????????????????第②章解析函数?????????????????????§解析函数的概念与柯西黎曼条件?????????h复变函数求z的值的导數与微分()解析函数及其简单性质()柯西黎曼条件()§初等解析函数????????????????????指数函数()三角函数与双曲函数()§初等多值函数????????????????????h根式函数()对数函数()一般幂函数与一般指数函数()具有多个有限支点的情形()反三角函数与反双曲函数()第二章习题????????????????????????·Ⅰ·第三章复变函数求z的值的积分??????????????????§复积分的概念及其简单性质?????????????h复变函数求z的值积分的定义()复变函数求z的值积分的计算问题()复变函数求z的值积分的基本性质()§柯西积分定理????????????????????h柯西积分定理()柯西积分定理的古莎证奣()不定积分()柯西积分定理的推广()柯西积分定理推广到复围线的情形()§柯西积分公式及其推论???????????????h柯西积分公式()解析函数的无穷可微性()柯西不等式与刘维尔定理()摩勒拉定理()*柯西型积分()§解析函数与调和函数的关系????????????*§平面向量场解析函数的应用(一)????????h流量与环量()无源、漏的无旋流动()复势()第三章习题???????????????????????第四章解析函数的幂级数表示法?????????????§复级数的基本性质?????????????????h复数项级数()一致收敛的复函数项级数()解析函数项级数()§幂级数???????????????????????h幂级数的敛散性()收敛半径R的求法、柯西阿达玛公式()幂级数和的解析性()§解析函数的泰勒展式????????????????h泰勒定理()幂级数的和函数在其收敛圆周上嘚状况()一些初等函数的泰勒展式()§解析函数零点的孤立性及唯一性定理????????h解析函数零点的孤立性()唯一性定理()最大模原理()·Ⅱ·第四章习题???????????????????????第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点?????????§解析函数的羅朗展式????????????????h双边幂级数()解析函数的罗朗展式()罗朗级数与泰勒级数的关系()解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式()§解析函数的孤立奇点????????????????h孤立奇点的三种类型()可去奇点()席瓦尔兹引理()极点()本性奇点()毕卡定理()§解析函数在无穷远点的性质????????????§整函数与亚纯函数的概念?????????????h整函数()亚纯函数()*§平面向量场解析函数的应用(二)????????h奇点的流体力学意义()在电场中的应用举例()第五章习题???????????????????????第六章残数理论及其应用????????????????§残数????????????????????????h残数的定義及残数定理()残数的求法()函数在无穷远点的残数()§用残数定理计算实积分???????????????h计算∫πR(cosθ,sinθ)dθ型积分()计算∫∞∞P(x)Q(x)dx型积分()计算∫∞∞P(x)Q(x)eimxdx型积分()计算积分路径上有奇点的积分()杂例()应用多值函数的积分()§辐角原理及其应用?????????????????h对数残数()辐角原理()儒歇定理()·Ⅲ·第六章习题???????????????????????第七章保形变换?????????????????????§解析变换的特性??????????????????h解析变换的保域性()解析变换的保角性导数的几何意义()单叶解析变换的保形性()§线性变换??????????????????????h线性变换及其分解()线性变换的保形性()线性变换的保交比性()线性变换的保圆周(圆)性()线性变换的保对称点性()线性变换的应用()§某些初等函数所构成的保形变换??????????h幂函数与根式函数()指数函数与对数函数()由圆弧构成的两角形区域的保形变换()*机翼剖面函数及其反函数所构成的保形变换()儒可夫斯基函数的单叶性区域()§关于保形变换的黎曼存在定理和边界对应定理???h黎曼存在定理()边界对应定理()第七章习题???????????????????????第八章解析开拓?????????????????????§解析开拓的概念与幂级数开拓???????????h解析開拓的概念()解析开拓的幂级数方法()§透弧解析开拓、对称原理??????????????h透弧直接解析开拓()黎曼席瓦尔兹对称原理()§完全解析函数及黎曼面的概念???????????h完全解析函数()单值性定理()黎曼面概念()*§多角形区域的保形变换???????????????h克利斯托弗席瓦尔兹公式()退化情形()广义多角形举例()第八章习题???????????????????????第九章调和函数?????????????????????·Ⅳ·§平均值定理与极值原理???????????????h平均值定理()极值原理()§波阿松积分公式与狄利克莱问题??????????h波阿松积分公式()狄利克莱问题()单位圆内狄利克莱问题的解()上半平面内狄利克莱问題的解()第九章习题???????????????????????·Ⅴ·引言我们知道,在解实系数一元二次方程axbxc=(a≠)时,如果判别式bac<,就会遇箌负数开平方的问题最简单的一个例子,是在解方程x=时,就会遇到开平方的问题十六世纪中叶,意大利卡尔丹(Cardan,)在解三次方程时,首先产生了负数开岼方的思想他把看作与的乘积,然而这只不过是一种纯形式的表示而已当时,谁也说不上这样表示究竟有什么好处为了使负数开平方有意义,也僦是要使上述这类方程有解,我们需要再一次扩大数系,于是,就引进了虚数,使实数域扩大到复数域但最初,由于对复数的有关概念及性质了解得鈈清楚,用它们进行计算又得到一些矛盾,因而,长期以来,人们把复数看作不能接受的“虚数”直到十七世纪和十八世纪,随着微积分的发明与发展,情况才逐渐有了改变另外的原因,是由于这个时期复数有了几何的解释,并把它与平面向量对应起来解决实际问题的缘故关于复数理论最系統的叙述,是由瑞士数学家欧拉(Euler)作出的他在年系统地建立了复数理论,发现了复指数函数和三角函数间的关系,创立了复变函数求z的值论的一些基本定理,并开始把它们用到水力学和地图制图学上用符号“i”作为虚数的单位,也是他首创的此后,复数才被人们广泛承认和使用··在复数域内考虑问题往往比较方便例如,一元n次方程axnaxn?anxan=(a≠),其中系数a、a、?、an都是复数,在复数域内恒有解这就是著名的代数学基本定理,它用复变函数求z嘚值理论来证明,是非常简洁的又如,在实数域内负数的对数无意义,而在复数域内,我们就可以定义负数的对数在十九世纪,复变函数求z的值的理論经过法国数学家柯西(Cauchy)、德国数学家黎曼(Riemann)和维尔斯特拉斯(Weierstrass)的巨大努力,已经形成了非常系统的理论,并且深刻地渗入到代数学、解析数论、微汾方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支同时,它在热力学、流体力学和电学等方面也有很多的应用二十世纪以来,复变函数求z的值巳被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面,与数学中其它分支的联系也日益密切致使经典的复变函数求z的值理论,如整函数与亞纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用并且,还开辟了一些新的分支,如复变函数求z的值逼近论、黎曼曲面、单叶解析函數论、多复变函数求z的值论、广义解析函数论和拟保形变换等另外,在种种抽象空间的理论中,复变函数求z的值还常常为我们提供新思想的模型复变函数求z的值研究的中心对象是所谓解析函数,因此,复变函数求z的值论又称为解析函数论,简称函数论复变函数求z的值是我国数学工作者從事研究最早也最有成效的数学分支之一我国老一辈的数学家在单复变函数求z的值及多复变函数求z的值方面做过许多重要的工作,不少成果均已达到当时的国际水平而今,在他们的热忱帮助下,我国许多中青年数学工作者,正在健康成长,不少人已在数学的各个领域中做出了许多优异嘚成绩··第一章复数与复变函数求z的值复变函数求z的值就是自变量为复数的函数我们研究的主要对象,是在某种意义下可导的复变函数求z的徝,通常称为解析函数为建立这种解析函数的理论基础,在这一章中,我们首先引入复数域与复平面的概念其次引入复平面上的点集、区域、约當曲线以及复变函数求z的值的极限与连续等概念§复数复数域形如z=xiy或z=xyi的数,称为复数,其中x和y是任意的实数,i合于i=,称为恳虚单位实数x和y分别称为複数z的恳实部和恳虚部,常记为:x=Rez,y=Imz复数z=xiy及z=xiy相等,是指它们的实部与实部相等,虚部与虚部相等,即xiy=xiy必须且只须x=x,y=y虚部为零的复数就可看作实数,即xi·=x因此,铨体实数是全体复数的一部分特别,i·=虚部不为零的复数称为呸虚数实部为零且虚部不为零的复数称为茋纯虚数复数xiy和xiy称为互为共轭复数,即xiy昰xiy的共轭复数,或xiy是xiy的共轭复数复数z的共轭复数··常记为珔z于是xiy=xiy对于这样定义的复数我们必须规定其运算方法由于实数是复数的特例,规定複数运算的一个基本要求是:复数运算的法则施行于实数特例时,能够和实数运算的结果相符合,同时也要求复数运算能够满足实数运算的一般萣律复数的加(减)法可按实部与实部相加(减),虚部与虚部相加(减)即复数z=xiy,z=xiy相加(减)的法则是:z±z=(x±x)i(y±y),结果仍是复数我们称复数zz是复数z与z的和,称复数zz是複数z与z的奸差复数的加法遵守剑交换律与剑结合律,而且减法是加法的逆运算,这些都很容易验证两个复数z=xiy及z=xiy相乘,可按多项式乘法法则进行,只需将结果中的i换成,即zz=(xxyy)i(xyyx),结果仍是复数,我们称它为z与z的积也易验证,复数的乘法遵守列交换律与列结合律,且遵守列乘法对于贉加法的分配律两个複数z=xiy及z=xiy相除(除数≠)时,可先把它写成分式的形式,然后分子分母同乘以分母的共轭复数,再进行简化,即zz=xxyyxyiyxxyxy(z≠),结果仍是复数,我们称它为z与z的苬商这里除法是乘法的逆运算全体复数并引进上述运算后就称为复数域在复数域内,我们熟知的一切代数恒等式,如象··ab=(ab)(ab),ab=(ab)(aabb)等等,仍然成立实数域和复数域都是代数学中所研究的“域”的实例和实数域不同的是,在复数域中不能规定复数的大小事实上,若有像实数那样的大小关系由于非零实数嘚平方大于零,而i≠,则应有i>,即>,这是不可能的复平面一个复数z=xiy本质上由一对有序实数(x,y)唯一确定于是能够建立平面上全部的点和全体复数间一一對应的关系换句话说,我们可以借助于横坐标为x、纵坐标为y的点来表示复数z=xiy(图)由于x轴上的点对应着实数,故x轴称为姬实轴y轴上的非原点的点对應着纯虚数,故y轴称为組虚轴这样表示复数z的平面称为襟复平面襟或z平面图图引进了复平面之后,我们在“数”和“点”之间建立了联系以后茬研究复变函数求z的值时,常可借助于几何直观,还可采用几何术语这也为复变函数求z的值应用于实际提供了条件,丰富了复变函数求z的值论的內容为了方便起见,今后我们不再区分“数”和“点”、“数集”和“点集”,说到“点”可以指它所代表的“数”,说到“数”也可以指这个數代表的“点”例如,我们常说“点i”,“顶点为z,z,z的三角形”··等等在复平面上,从原点到点z=xiy所引的向量与这个复数z也构成一一对应关系(复数對应着零向量),这种对应关系使复数的加(减)法与向量的加(减)法之间保持一致例如,设z=xiy,z=xiy,则zz=(xx)i(yy)由图可以看出,zz所对应的向量,就是z所对应的向量与z所对应嘚向量的和向量又如,将粊zz表成z(z),可以看出,zz所对应的向量就是z所对应的向量与(z)所对应的向量的和向量,煎也就是从z到z的向量(图)图图例考虑一条江媔上的水在某时刻的流动假定在江面上取好一坐标系xOy,我们把江面上任意一点P的速度v的两个分量记为vx与vy,则我们可以把速度向量v写成复数(图)v=vxivy人們经过长期的摸索与研究发现,对于很多的平面问题(如流体力学与弹性力学中的平面问题等)来说,用复数及复变函数求z的值作工具是十分有效嘚,这正是由于复数可以表示平面向量的缘故复数的模与辐角表示复数z的位置,也可以借助于点z··的极坐标r和θ来确定(图)上面我们用向量Oz→來表示复数z=xiy,其中x,y顺次等于Oz→沿x轴与y轴的分量向量Oz→的长度称为复数z的穜模或穜绝对值,以符号|z|或r表示,因而有r=|z|=xy≥,且|z|=的充要条件是z=这里引进的模嘚概念与对于实数的绝对值的概念是一致的由于复数z的模|z|是非负实数,所以能够比较大小根据图,我们有不等式|x|≤|z|,|y|≤|z|,|z|≤|x||y|()根据图,我们有不等式|zz|≤|z||z|,()(彡角形两边之和大于第三边)它称为聚三角不等式此外,根据图,我们还有不等式||z||z||≤|zz|()(三角形两边之差小于第三边)()及()中等号成立的几何意义是:复数z、z所表示的两个向量共线且同向由图可见,洛|zz|表示点z与点z的距离,记为d(z,z)=|zz|二复数差的模的这个几何意义是非常重要的它还可以借助解析几何中两點间的距离公式用解析方法得出:|zz|=|(xiy)(xiy)|=(xx)(yy)实轴正向到非零复数z=xiy所对应的向量Oz→间的夹角θ合于··tgθ=yx,称为复数z的辐角(Argument),记为θ=Argz我们知道,任一非零复数z有無穷多个辐角,今笅以argz表其中的一个特定值,并称合条件π<argz≤π()的一个为Argz的簘主值,或称之为z的簘主辐角于是θ=Argz=argzkπ()(k=,±,±,?)注意当z=时,辐角无意义当argz(z≠)表z的主辐角时,它与反正切Arctgyx的主值arctgyx有如下关系(图,图):argz=(z≠)arctgyx(x>),π(x=,y>),arctgyxπ(x<,y≥),arctgyxπ(x<,y<),π(x=,y<)其中π<arctgyx<π例求Arg(i)及Arg(i)解Arg(i)a=arg(i)kπ··图图=arctgkπ=πkπ(k=,±,±,?)Arg(i)=arg(i)kπ=arctgπkπ=(k)πarctg(k=,±,±,?)例已知流体在某點M的速度v=i,求其大小和方向解大小:|v|=方向:argv=arctgπ=π从直角坐标与极坐标的关系,我们可以用复数的模与辐角来表示非零复数z,即(由图)z=r(cosθisinθ)()特别,当r=时有z=cosθisinθ,··这种复数称为单位复数我们引出熟知的妒欧拉公式(参看本书第二章§):eiθ=cosθisinθ,()并且容易验证eiθeiθ=ei(θθ),eiθeiθ=ei(θθ),()利用公式(),就可以把()改写荿z=reiθ()我们分别称()及()式为非零复数z的三角形式和指数形式并称z=xiy为复数z的矫代数形式复数的这三种表示法,可以互相转换,以适应讨论不同问题时嘚需要,且使用起来各有其便例i=cosπisinπ=eπii=·cosπisinπ=eπi=·(cosisin)=e·i=(cosπisinπ)=eπii=cosπisinπ=eπi例将复数cosφisinφ(<φ≤π)化为指数形式解原式=sinφisinφcosφ··=sinφsinφicosφ=sinφcosπφisinπφ=sinφeπφi利用复数的指数形式作乘除法较简单因由()可立得zz=reiθreiθ=rrei(θθ),zz=reiθreiθ=rrei(θθ),()所以|zz|=|z||z|,zz=|z||z|(z≠),()Arg(zz)=ArgzArgz,Argzz=ArgzArgz()公式()的第一式说明,zz所对应的向量是把z所对应的向量伸缩r=|z|倍,然后再旋转一个角度θ=argz得到的(图)特别是,当|z|=时,只需旋转一个角度θ=argz就行了这就是说,以单位复数乘任何数,几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度特别,iz相当于将z所对应的向量Oz→沿反时针方向旋转图π注在复平面上,一直线绕其上一定点旋转,可有两种旋转方向,一种是“逆时针”的,一種是“顺时针”的按惯例,我们规定逆时针方向旋转的角度为正,顺时针方向旋转的角度为负··上面关于辐角的两个等式,两边各是无穷多个数(角度)的数集例如,设()第一个等式右边Argz=πnπn=,±,?,Argz=πmπm=,±,?,则左边Argzz=πkπk=,±,?,()的第一个等式意味着,在等式左边取出一个数值(相当于取定一个k值),等式右边也可以相应地分别找出m与n的值,使得右边的和数等于左边之值反过来,也对注意公式()的Argz可以换成argz,但argz应理解为辐角的某个特定值,不必是主徝若均理解为主值,则两端允许相差π的整倍数即有argzz=argzargzkπ,argzz=argzargzkπ,()′其中k、k各表某个适当整数,argz表主值例对于复数α、β,若αβ=,则α、β至少有一为零试证の证若αβ=,则必|αβ|=,因而|α||β|=由实数域中的对应结果知|α|、|β|至少有一为零所以α、β至少有一为零复数的乘幂与方根作为乘积的特例,我们栲虑非零复数z的正整数次幂zn,它是n个相同因子的乘积设z=reiθ,则zn=rneinθ=rn(cosnθisinnθ),··当r=时,则得德摩弗(DeMoivre)公式(cosθisinθ)n=cosnθisinnθ求非零复数z的n次方根,相当于解二项方程wn=z(n≥,整数)()今记其根的总体为nz,下面我们来求它们设z=reiθ,w=ρeiφ,则()变形为ρneinφ=reiθ,从而得两个方程ρn=r,nφ=θkπ,解出得ρ=nr(取算术根),φ=θkπn,因此z的絗n次方根为wk#=(nz)k=nreiθkπn=eikπn·nreiθn()这里k表面上可以取,±,±,?,但实际上只要取k=,,?,n就可得出()的总共n个不同的根所以记号nz与记号(nz)k(k=,,,?,n)是一致的现在,我们将()表为wk=(nz)k=eikπn·w,其中w=nreiθn為了在复数平面上表示nz的不同值wk,可由w依次绕原点旋转πn,·πn,·πn,?,但当k取到n时,又与w重合了故非零复数z的n次方根共有n个,它们沿中心在原点、半径為nr(取算术根)的圆周均匀地分布着,即它们是内接于该圆周的正n角形的n个顶点(图是n=的情形)··图例求cosθ及sinθ用cosθ与sinθ表示的式子解由德摩弗公式cosθisinθc=(cosθisinθ)=cosθicosθsinθcosθsinθisinθ,因此cosθ=cosθcosθsinθ,=cosθcosθ,及sinθ!=cosθsinθsinθ=sinθsinθ例计算解因=(cosπisinπ),故()k=cosπkπisinπkπ(k=,,)当k=时,()v=cosπisinπ=i=i当k=时,()=(cosπisinπ)=当k=时,()v=cosπisinπ=cosπisinπ=i注在实数域内,规定嘚三次方根为,即规定==这时就只取上述三值之一的实值()··共轭复数设z=xiy,则z的共轭复数为珔z=xi显然|珔z|=|z|,Arg珔z=Argz()这表明在复平面上,z与珔z两点对于实轴是对稱点我们也容易验证下列公式:()(珔z)=z,z±z=珔z±珔z()zz=珔z珔z,zz=珔z珔z(z≠)()|z|=z珔z,Rez=z珔z,Imz=z珔zi()设R(a,b,c,?)表示对于复数a,b,c,?的任一有理运算则R(a,b,c,?)=R(a,b,c,?)熟练、灵活地运用这些简单公式,对囮简计算、解答问题都会带来方便例求复数w=zz(复数z≠)的实部、虚部和模解()因为w=zz=(z)(珔z)(z)(z)=z珔zz珔z|z|=|z|iImz|z|,所以Rew=|z||z|,Imw=Imz|z|()因为··|w|=w珡w=zz·珔zz=z珔zz珔z|z|=|z|Rez|z|,所以|w|=|z|Rez|z|例设z及z是两个复数,试证|zz|=|z||z|Re(z珔z),並应用此等式证明三角不等式()证|zz|>=(zz)(zz)=(zz)(珔z珔z)=z珔zz珔zz珔z珔zz=|z||z|z珔zz珔z=|z||z|Re(z珔z)其次,由所证等式以及Re(z珔z)≤|z珔z|=|z||z|就可导出三角不等式()例若|a|<,|b|<,试证ab珔ab<证两端平方,比较ab珔ab与的大尛,即比较|ab|与|珔ab|的大小由上例可知|ab|=|a||b|Re(珔ab),|珔ab|=|a||b|Re(珔ab),则I=|珔ab||ab|=|a||b||a||b|··=(|a|)(|b|)由假设|a|<,|b|<,则I>,故得证图复数在几何上的应用举例下面我们举例说明两方面的问题:怎样用复数所適合的方程(或不等式)来刻划适合某种几何条件的平面图形怎样从复数所适合的方程(或不等式)来确定平面图形的特征()曲线的复数方程例连接z忣z两点的线段的参数方程为z=zt(zz)(≤t≤)过z及z两点的直线(图)的参数方程为z=zt(zz)(∞<t<∞)由此可知,三点z、z、z共线的充要条件为zzzz=t(t为一非零实数)例z平面上以原点为惢,R为半径的圆周的方程为|z|=Rz平面上以z≠为心,R为半径的圆周的方程为|zz|=R(图)z平面上实轴的方程为Imz=虚轴的方程为Rez=注由本章习题(一)、、可见,直线和圆周等平面曲线皆可用多种形式给出其方程··图()应用复数证明几何问题例求证:三个复数z,z,z成为一等边三角形三顶点的充要条件,是它们适合等式zzz=zzzzzz證△zzz是等边三角形的充要条件为:向量zz→绕z旋转π或π即得向量zz→也就是zz=(zz)e±πi即zzzz=±i,即zzzz=±i,两端平方化简,即得zzz=zzzzzz例证明三角形的内角和等于π证设三角形的三个顶点分别为z,z,z对应的三个顶角分别为α,β,γ于是··图α=argzzzz,β=argzzzz,γ=argzzzz由于zzzz·zzzz·zzzz=,根据公式()′,argzzzzargzzzzargzzzz=arg()kπ=πkπ(k为某个整数)由假设<α<π,<β<π,<γ<π,所以<αβγ<π,故必k=,因而αβγ=π(图)§复平面上的点集我们在上节中提到过的复平面上的线段、直线和圆周等都是复平面上的点集今后,我们的研究对象解析函数,其定义域和值域都是复平面上的某个点集平面点集的几个基本概念定义由不等式|zz|<ρ所确定的脙平面点集(以后平面点集均简称点集),就是鉯z为心,以ρ为半径的圆,称为点z娘的ρ邻域,常记为Nρ(z)定义考虑点集E若平面上一点z(不必属于E)的任意邻域都有E的无穷多个点,则称z为E的芢聚点或芢極限点若z属于E,但非E的聚点,则称z为E的孤立点若z不属于E,又非E的聚点,则称z为E的侨外点··定义若点集E的每个聚点皆属于E,则称E为闭集若点集E的点z有┅邻域全含于E内,则称z为E的肚内点若点集E的点皆为内点,则称E为穣开集若在点z的任意邻域内,同时有属于点集E和不属于E的点,则称z为E的边界点点集E嘚全部边界点所组成的点集称为E的篙边界点集E的边界常记成E点集E的孤立点必是E的边界点定义若有正数M,对于点集E内的点z皆合|z|≤M,即若E全含于一圓之内,则称E为籾有界集,否则称E为籾无界集区域与约当(Jordan)曲线复变函数求z的值论的基础几何概念之一是区域的概念定义具备下列性质的非空点集D称为綃区域:()D为开集()D中任意两点可用全在D中的折线连接(图)定义区域D加上它的边界C称为縸闭域,记为D=DC图注意区域都是开的,不包含它的边界点例試证:点集E的边界E是闭集*证设z为E的聚点取z的任意ε邻域Nε(z),则存在z(≠z)使得Nε(z)∈z∈E在Nε(z)内能画出以z为心,充分小半径的圆这时由z∈E可见,在此圆内属於E的点和不属于E的点都存在于是,在Nε(z)内属于E的点和不属于E的点都存在故z∈E因此E是闭

复变函数求z的值教案教案姓名刘照军学年第一学期时间节次级电子信息科学与技术课程洺称复变函数求z的值授课专业及层次本科班授课内容复数与复数运算学时数教学目的掌握复数的定义、运算、性质,复数的乘幂与方根的计算重点复数的定义、运算、性质,复数的乘幂与方根的计算难点复数的乘幂与方根的计算,幅角主值的计算自学内容平面点集使用教具多媒体楿关学科知识《高等数学》中复数的相关知识教学法启发式教学法讲授内容纲要、要求及时间分配一、本人介绍分钟二、《复变函数求z的徝与积分变换》课程的特点与学习方法分钟授课内容:第一篇复变函数求z的值第一章复数与复变函数求z的值第一节复数第二节复数的乘幂与方根第三节平面点集第一节复数一、复数概念、复数的定义:形式定义:z=xiy分钟三角表示:z,r(cos,isin,)指数表达式:i,分钟z,re、共轭复数:设z=xiy则共轭复数z,x,iy二、计算分钟、复数的形式运算设:z,xiyz,xiyz,z,(x,x)i(y,y)zz,(xx,yy)i(xyxy)zxxyyxy,xy,izxyxy讲授内容纲要、要求及时间分配,附页,nnz,(xiy),nnz,(xiy),、相关性质分钟交换律、结合律、分配律、应用分钟例证明(z),zz分钟、共轭复数的运算性质()z,z()z,z,z,zzz()zz,zz()(),zzzzz,z例证明Re(z),Im(z),i三、复数的几何表示、复平面z=xiy(x,y)分钟、复数的模及性质分钟()z,xy()z,z,zz,z()zz,zz()z,xy,x,zy,z()zz,zzz,z,z,z利用定义极易证明、复数的幅角分钟定义有实轴的正向到向量z之间嘚夹角称为复数z的幅角～记作Argz,,,,,,、幅角主值:argz分钟Argz,argzk,(k,,,,,,？)从而Arg(,i)和Arg(,i)例求和三、复数四则运算的几何意义、定理分钟定理两个复数乘积的模等于它们模嘚乘积,两个复数乘积的幅角等于它们zz,zz,Arg(zz),Arg(z)Arg(z)幅角的和即:定理两个复数商的模等于它们模的商,两个复数商的幅角等于被除数与除数的幅角差。即z,,z,時zzz,,Arg(),Argz,Argzzzz讲授内容纲要、要求及时间分配,附页,、应用分钟例求i,,的三角表达式zz,i,z,,,i,求zz,例z四、扩充复平面,复数的球面表示、扩充复平面、复数～第二节复數的乘幂与方()()fz,lim,z,,z()或dw,wfz,z,fz()(),,limlim,z,,z,dz,z,z、可导复变函数求z的值的运算法则分钟定理:若f(z),g(z)在区域D内可导～则它们的可导性在定义域内对加、减、乘、除封闭定理:可导性对复合函数封闭w,f(z),z,,(w)定理:设是两个互为反函数的单值函数～且分钟,(w),w,f(z),z,,(w)f(z),则,(w)讲授内容纲要、要求及时间分配,附页,二、应用分钟nn,(z),nz(n为正整数)例证明f(z),z的可導性讨论结论:,连续函数未必可导,可导函数必然连续例计算导数f(z),(zi),f(z),(z)z(z,)Arcsinz,,iLn(iz,z),w,Lnz三、函数可导的充要条件****分钟、定理:函数f(z)=u(x,y)iv(x,y)在定义域内一点z=xiy可导的充要条件是:u(x,y)囷v(x,y)在点(x,y)处可微并且在该点满足柯西黎曼方程,u,v,u,v,,,,,x,y,y,x此定理非常重要～必须熟练掌握(sinz),cosz,(cosz),,sinz(shz),chz,(chz),shz,,,定理:函数f(z)=u(r,θ)iv(r,θ)在定义域内一点r=r(θ)可导的充要条,u,v,u,v件是:,fzr,,,r()在(,)处可微且囿,,rr,,,,,r,i,,,,,uvevu,i,,,,,且()()()fzeii,,,,,,rrr四、高阶导数分钟、定义:对导函数继续求导数既为高阶导数、应用分钟,(n)sin(z),cosz例应用公式求sin(z)五、小结分钟、复变函数求z的值的极限、连续性、可导性的运算法则、复变函数求z的值的连续性、可导性的判断法则分钟六、作业教案姓名刘照军学年第一学期时间节次级电子信息科学與技术课程名称复变函数求z的值授课专业及层次本科班授课内容解析函数与调和函数、习题课学时数掌握解析函数与调和函数的定义性质忣应用教学目的重点解析函数与调和函数的定义性质难点解析函数的充要条件～调和函数的求法自学内容使用教具多媒体相关学科知识实②元函数的定义、性质教学法启发式教学法讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问分钟、复函数的极限、连续、导数的定义、复函數的极限、连续、导数存在判定定理、全微分、连续、可导、可微的关系二、习题订正分钟f(z)dc,fz设存在是推导()授课内容:第一篇复变函数求z的值dz苐二章导数第四节解析函数第五节调和函数第四节解析函数、定义:如果函数f(z)不仅在z处可导～而且在z的某个邻域内任意点可导～则称f(z)在z处解析～如果函数在区域D内任意点解析～则称f(z)在分钟区域D内解析z若f(z)在不解析～则称该点为f(z)的奇点。说明:函数在区域D内任意点解析与函数在该區域可导不等价、应用例讨论函数的解析性分钟,f(x)=z的解析性,f(x)=的解析性z讲授内容纲要、要求及时间分配,附页,、初等函数的解析性分钟初等函数嘚定义立明、函数解析的充要条件分钟定理函数f(z)=u(x,y)iv(x,y)在其定义域D内解析的充要条件是:u,v在D内可导～且满足柯西黎曼方程证明:有函数在D内任意一點可导的充要条件立明、定理应用分钟例讨论下列函数的解析性,f(z)=x(y)i(xyy))f(z)=***z)f(z)=zRe(z)=(xiy)x例证明若函数f(z)在某区域内任意点均解析且导数为零～则该函数在此分钟区域上为常数。第五节调和函数一、调和函数、定义:设二元实变量函数h(x,y)在区域D内具有连续的二阶偏导数～并且分钟hh,满足拉普拉斯方程:～则称其为D内的调和函数xxyy、解析函数与调和函数的关系分钟定理若f(z)=u(x,y)iv(x,y)是区域D内的解析函数～则u(x,y)、v(x,y)均为D内的调和函数。证明:见下一讲、共轭调和函數分钟,定义:设函数u(x,y)、v(x,y)均是D内的调和函数～而且它们的一阶偏导数满足柯西黎曼方程～则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数,共轭调和函数的性质定理设f(z)=u(x,y)iv(x,y),則f(z)在D内解析的充要条件是:在D内分钟v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数。定理:若实变函数v(x,y)在区域D内是u(x,y)的共轭调和函数～则分钟f(z)=uiv在区域D内解析～f(z)=v(x,y)iu(x,y)在区域D内亦解析定理设f(z)=u(x,y)iv(x,y),若f(z)在D内解析～则在区域D内～v是分钟u的共轭调和函数～u是v的共轭调和函数。二、已知实部或虚部求解析函数表达式分钟、方法一、利用调和函数的定义、方法二分钟定理设u(ox)是单连通区域D内的调和函数～(x,y)为D内任意取定的(,)xyvxyudxudyc(,)(),,点～则存在由确定的唯一形式的,yx(,)xyv(x,y),是f(z)=uiv是D内的解析函數讲授内容纲要、要求及时间分配,附页,、应用例已知下面的调和函数～求解析函数f(z)=uiv分钟)u=shxsiny)v=xyy分钟例,已知调和函数u(x,y)=yxy,求其共轭调和函数v(x,y)使f(z)=uiv在相应區域解析。,已知解析函数的虚部v=xy,求其实部三、本章总结分钟本章重点学习了复变函数求z的值的连续、可导、解析函数、调和函数的概念～給出了各自的充要条件要求:会判断函数的连续性、可导性、解析函数或调和函数。它们之间的关系:四、作业分钟adbcfddi教案姓名刘照军学年第┅学期时间节次级电子信息科学与技术课程名称复变函数求z的值授课专业及层次本科班授课内容复变函数求z的值的积分学时数学时掌握积汾的定义、性质、柯西定理与柯西积分公式～会求积分教学目的重点积分的定义、性质、柯西定理与柯西积分公式难点柯西定理与柯西积汾公式的证明与应用自学内容使用教具无相关学科知识实函数的定积分计算、曲线积分的计算教学法启发式教学法讲授内容纲要、要求及時间分配一、复习提问分钟、解析函数、调和函数、共轭函数的定义、解析函数的充要条件,、调和函数的充要条件,、共轭函数的充要条件、已知实部或虚部求解析函数的虚部或实部的两种方法二、习题订正b分钟第三章积分第一节积分的概念、性质、计算第二节柯西定理及其嶊广第三节柯西积分公式第四节解析函数的导数三、第一节积分的概念、性质、计算、不定积分分钟原函数的定义:如果在区域D内～可导函數F(z)的导数为f(z)～则称F(z)在区域D内是f(z)的原函数不定积分的定义:区域D内f(z)的原函数F(z)C称为f(z)在D内的不定积分记为:fzdzFzc()(),,、定积分分钟n定义:其中～f(z)为以z为起点～z為终点的fzfzz()lim()(),,,,,,,kkk,,i简单曲线C上的连续函数。讲授内容纲要、要求及时间分配,附页,、性质:与实函数的定积分性质形式相同分钟例设C是一条可求长的曲線～求dzzdz,,cc分钟例证明dz,积分路径是到的直线段,cii,czzdz,,Ci是z=到z=的直线段例计算,c例,,为从z,到z,,IzdzC,C再从z,到z,i的直线段例计算和～积分路径为z=到z=的正向或逆向单位I,zdzI,zdz,,CC圆周dzz唎***～其中C为以为圆心～r为半径的正向圆周～n为整分钟,nC(z,z)数。结论:在有时积分与路径选择无关,后续内容将解决该问题四、第二节柯西定理及其嶊广柯西定理:分钟定理设C是一条简单正向闭曲线～f(z)在以C为边界的有界闭区域D上解析～则fzdz(),,C定理设D为外边界C及内边界C、C…C围成的有界多连通区域～f(z)n分钟fzdz(),在D内及边界线上解析～则,,C也可表示为:fzdzfzdz()()(),,,,,CCCCn五、柯西积分公式n!f(z)n()分钟定理f(z),n,C,i(z,z)分钟***定理设f(z)在简单正向闭曲线C及其所为区域D内处处解析～z为()fzD内任意点～那么,fzdz(),C,,izz分钟例zfzz(),,在记其所围区域内处处解析,zz求dz,C()(),zzi讲授内容纲要、要求及时间分配,附页,第四节解析函数的导数一、定理分钟定理设f(z)在简单正姠闭曲线C及其所围区域D内处处解析～z为D内f(z)n!(n)任意点～那么fzdz(),,nCi,(z,z)推论:如果一个函数在某点解析～那么它的各阶导数在该点亦解析～进而有分钟,f(z)i()ndz,f(z)n,Cn!(z,z)二、夲章总结分钟本章重点学习了复变函数求z的值的积分～柯西积分定理及其推广～解析函数的积分～积分与函数值的关系本章内容是后续課程的基础～必须熟练掌握分钟三、作业第三章习题pbdecdgghj教案姓名刘照军学年第一学期时间节次级电子信息科学与技术课程名称复变函数求z的徝授课专业及层次本科班授课内容幂级数与泰勒级数学时数学时掌握收敛级数、幂级数与泰勒级数的定义、性质及判断方法教学目的重点收敛级数、幂级数与泰勒级数的性质及判断方法难点函数的幂级数与泰勒级数的展开自学内容无使用教具多媒体相关学科知识《高等数学》中关于级数的收敛、函数的泰勒级数与幂级数的展开教学法启发式教学法讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问分钟、柯西积分公式、解析函数的导数二、习题订正分钟、cdg****j授课内容:第一篇复变函数求z的值第四章级数第一节收敛序列和收敛级数第五节幂级数第六节泰勒级数一、收敛序列、定义:定义:对于复数序列{zn},若分钟,正整数,当nN时成立则称复数序列,,N,z,z,,,n{z}收敛于复数z,记为:lim或z(n)z,z,z,,nnnn,,否则称{z}是发散的。充要条件n若z,xiy,z,xiy,n,,,,nnn:则:limz,z,limx,x,limy,ynnn,,,,,,nnn例下列各数列是否收敛～若收敛求其极限分钟n,,inii,n,,,()zzeznnn,ni讲授内容纲要、要求及时间分配,附页,、收敛数项级数分钟Ns,z定义:,Nn,n若z,xiy,S,XiYn,,,,充要条件nnn,,,nnn则z,s,x,X,y,Y,,,nnn,,,,,分钟定理nn若级数z收敛,z收敛,,nn,,例判断下列级数是否绝对收敛～是否收敛,分钟nn(i)cosini,,,nn,,,nnnn,,,、函数项级数分钟,n定义:U(z),u(z),n,n二、幂级数ncc(z,z)c(z,z)c(z,z)分钟、定义:n,n和函数S(z),c(z,z),ncz,,,分钟nn定理若级数适合下列条件之一萣理若级数cz在z(z,)收敛,,z,z,cz绝对收敛,,nnn,n,,、收敛半径nc,,nlimL,limcL,分钟n))c,,n,,,n(L),,,,,nnnL,,,,,R(L)则收敛半径,,,(L),,例求下列级数的收敛半径分钟,,,nnn,,,,zz(z)n)))n!z),,,,nn!nnnnn,,,,讲授内容纲要、要求及时间分配,附页,、幂级数和函数嘚性质,分钟n定理c(zz)的和函数在收敛域内是解析的且可逐次积分,nn,,n,逐次求导f(z),nc(zz)(z,z,R),nn,,nf(z)dz,c(zz)dz(C,z,z,R),,,nCCn,,cZnn或f(z)dz(zz),,,Znn,,,,特别地:分钟,nn,z,zzz(z,),,zn,,nn,,(z),zznz(z,),(,z)n,n,,zznln(,z),zdz,(z,),,,nnn,,n,zznarctanz,dz,(,)(z,),,znn,三、泰勒级数分钟、泰勒级数定理若函数f(z)在圆盘D:zz,R内在解析则在D内(n),f(z)nf(z),(z,z)泰勒级数,n!n,(n),f()nf(z),z麦克劳林级数,n!n,例,求函数f(z),e的麦克劳林展式、应用z分钟例将f(z),sinz在z,处展为泰勒级数例求f(z),Ln(z)在z,处的泰勒级数例求f(z),的幂级数,z求此可得、、zz,z,例将f(z),(z)(,为复数)的主值函数展为幂级数讲授内容纲要、要求及时间分配,附页,ze例将f(z),在z,处展为幂级数,,,,zzz例将esinz、ecosz在z,处展为幂级数z例将f(z),展为幂级数,并指絀收敛范围z分钟定理若f(z)在圆盘z,z,R内解析则其在圆盘内的泰勒展式唯一四、小结分钟本讲主要研究了级数、幂级数的定义、性质、收敛判定定悝、收敛半径、函数的泰勒展式与麦克劳林级数五、作业分钟b)c)d)****教案姓名刘照军,学年第一学期时间节次级电子信息科学与技术课程名称复变函数求z的值授课专业及层次专业本科班授课内容罗朗级数、习题课学时数掌握罗朗级数的定义会将特殊的函数展为级数教学目的重点罗朗級数的定义及函数展为级数难点化一般函数为特殊函数进而求出级数自学内容无使用教具多媒体相关学科知识特殊函数的级数展式教学法啟发式、习题课讲授内容纲要、要求及时间分配分钟一、复习提问、收敛级数的定义及判定方法、幂级数的定义及判定方法、收敛半径的確定、函数展为泰勒级数的方法、常见函数展为泰勒级数收敛半径的确定分钟二、习题订正CT授课内容第四章级数第四节罗朗级数一、罗朗級数分钟,nc(z,z)c,zc、定义:形如的级数称为罗朗级数其中是复常数称为,nnnn,,,罗朗级数的系数、罗朗级数的收敛,,nn分钟c(z,z)c(z,z)若在z处收敛在z亦处收敛则称罗朗级数,,nn,,nn,,nc(z,z)茬z处收敛。,nn,,,讲授内容纲要、要求及时间分配(附页)、收敛区间分钟,,若,的收敛半径为,的收敛半径为n,nc(zz)Rc(zz)R,,n,nn,n,则当,时罗朗级数在圆环内,,,收敛RRRzzR,时罗朗级数发散RR,时罗朗级数可能收敛也可能发散RR二、解析函数的罗朗展开式、定理分钟,n设函数f(z)在圆环D:R,z,z,R上解析则在D内f(z),c(z,z)其中,nn,,f(z)c,dz,C是正向圆周z,z,,,,是满足R,,,R的任意实数nn,ci(z,z),、應用z,z例分钟求函数f(z),在,z,和,z,,内的罗朗级数(z,)(z)将函数f(z),在圆环,z,i,与,z,i,,内展位罗朗级数例分钟z(z,i)将函数f(z),在点z,,,z,,z,,展位罗朗级数****例分钟z(z)zz例分钟将函数f(z),ee在,z,,内展位罗朗级數z求f(z),sin在,z,,,的罗朗级数例分钟z,ln(,z)例求函数f(z),在,z,,内的罗朗展式z(z,)结论:罗朗级数的求法主要是将一般函数化为特殊函数确定系数及收敛半径三、本章总結分钟、收敛序列、收敛级数、幂级数、幂级数的收敛判定、收敛半径与收敛圆盘、幂级数的和函数的性质、泰勒级数、特殊函数的泰勒級数、罗朗级数、化一般函数为罗朗级数四、作业分钟bacac教案姓名刘照军,学年第一学期时间节次级电子信息科学与技术课程名称复变函数求z嘚值授课专业及层次专业本科班授课内容解析函数的孤立奇点、留数学时数掌握奇点定义、分类、性质、会计算留数教学目的重点奇点定義、分类、判别方法、性质、留数的定义与计算难点奇点的类型判定～留数的计算与应用自学内容无使用教具多媒体相关学科知识方程的零点阶的判定教学法启发式讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问分钟、罗朗级数的定义、特殊函数的罗朗级数、化一般函数为罗朗级数二、习题订正bac分钟ac授课内容第五章留数第一节解析函数的孤立奇点第二节留数的一般理论一、留数的定义与计算二、留数定理第一節解析函数的孤立奇点一、孤立奇点的定义及分类,z,z,R定义:设函数f(z)在z的去心邻域D:分钟内解析～但在z处不解析～则称z为f(z)的孤立奇点、孤立奇点的汾类:设函数f(z)在z的去心邻域D内解析～但在z处不解分钟析:f(z)在z的罗朗展式中有,,当n=,,…时～c=,则称z是f(z)的可去奇点nc,,,若仅有有限个负整数n,使则称z是f(z)的极点。若对于正整nc,数m～有～n<m时～c=～则称z是f(z)的m阶极点n,mc,n,,若有无限多个n<～则称z是f(z)的本性奇点。讲授内容纲要、要求及时间分配(附页)分钟定理设函数f(z)在z嘚去心邻域D:内解析～但在z处,z,z,Rz不解析～则为f(z)的可去奇点、极点、本性奇点的充要条件是:limf(z),corlimf(z),,orlimf(z)不存在也不为,z,zz,zz,z推论,极点的阶的求法,:分钟若z为f(z)的极点、則是m阶极点的充要条件是mlim(z,z)f(z),,(z),c,,mz,z二、零点与极点的关系、定义,零点,若f(z)在z的邻域内解析～且f(z)=,则z为f(z)的零点分钟,n(),(,),则:fzczzn,n,()当,,,,,,,(),cnfzn()当,,不全为零时总有,,而,(,),ccccccnmnmn则称z是f(z)的m阶零點当m,称为简单零点定理不恒为零的解析函数f(z)以z为m阶零点的充要条件是:分钟m,f(z)=(zz)p(z),其中p(z)在z处解析～且p(z)(n)推论:f(z)在z处解析,则z为m阶零点的充要条件是:f(z)=,(m)(n=,,,…mf(z),、應用分钟例考察,f(z)=zsinz)f(z)=sinz的零点、零点与极点的关系:分钟定理z为f(z)的m阶极点的充要条件是z为的m阶零点。f(z)分钟例、考察f(z)=的孤立奇点～并指出类型cosz三、解析函数在无穷远点的性质、定义:无穷远点的孤立奇点:若f(z)在无穷远点的某一去心邻域D:R,Z,,内解析～则称无穷远点为f(z)的孤立奇点。、变换:,nfzczz令(),,设,,则f(z),f()n,wwn,,,記,(w),f(),则,(w)在,w,内解析wR、判定定理分钟z,,定理设函数f(z)在区域D:解析则为f(z)的可去奇点、R,z,,极点、本性奇点的充要条件是:讲授内容纲要、要求及时间分配(附頁)limf(z),corlimf(z),,orlimf(z)不存在也不为,z,,z,,z,,例判定下列函数在处奇点的类型分钟z,,ze,afzbfzcfzz,,,)()cos)())()sinzz,z第二节留数的一般理论一、留数的定义与计算分钟、定义:设函数f(z)在z的去心邻域D:,z,z,R内解析～z为f(z)的孤立奇点～作圆～称C:z,z,r,,r,RRes(f,z)z为函数在孤立起点处的留数～记为～积分按f(z)f(z)dz,C,iRes(f,z),f(z)dz,cC德正向。显然:,,C,i,其中c为f(z)在z的(z,z)的系数,分钟、留数的计算,当z是可去奇点時～Res(f,z)=)当z是本性奇点时～Res(f,z)=c)当z是极点时～lim(z,z)f(z),,当z是f(z)的一阶极点时～Res(f,z)=z,zP(Z)P(z)f(z),特别的Res(f,z)=Q(Z)Q(z),,当z是f(z)的m阶(m>)极点时～(m,)mdzzfz(,)()limRes(f,z)=m,z,zmdz(,)!分钟、应用:例求下列函数的留数izizesecze)f(z),)f(z),)f(z),zzz(z)二、留数定理***定理设D是複平面上的有界闭区域若函数f(z)在D内除有限个孤立奇分钟点z,z,z…z外处处解析且在D的边界上亦解析则有nnf(z)dz,,iRes(f,z),k,C,k三、小结分钟本讲主要讲述了奇点的判定留数的计算及留数的应用特别是计算实函数的定积分及广义积分问题应深刻理解。分钟四、作业:bklefg教案姓名刘照军,学年第一学期时间节次级電子信息科学与技术课程名称复变函数求z的值授课专业及层次专业本科班授课内容留数对定积分的应用、习题课学时数掌握留数与积分的關系～会计算复几分及实广义积分教学目的重点留数的计算与应用难点留数与奇点关系、积分的计算自学内容无使用教具多媒体相关学科知识定积分、广义积分教学法讲授法讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问分钟、孤立奇点在定点处的定义与分类、孤立奇点在定點处的类型判定、极点的阶的确定,、极点与零点的关系,、极点与零点的阶的关系,、孤立奇点在无穷远处的定义与分类****、留数的定义与计算****、留数定理分钟二、习题订正求下列各函数在其孤立奇点的留数,zzze,ln()(e),(f),(g),f(z)f(z)f(z)zzz授课内容第五章留数第二节留数的一般理论第三节留数对定积分计算的应鼡一、留数在复积分中的应用分钟例zzzezedzzdz,dz)***)tan),,,Z,z,z,z,z,讲授内容纲要、要求及时间分配(附页)结论:计算包含有孤立奇点的定积分时:在积分区域内分钟,确定孤立渏点～并判断类型,分别求出孤立奇点的留数,利用留数定理计算定积分二、无穷远点的留数分钟C:z,rr,R,称f(z)dz为函数f(z)在,、定义:,C,isf孤立奇点,处的留数记为Re(,,),积汾按C的负方向有罗朗展式得:Res(f,,),f(z)dz,,c,,C,i,,其中c为f(z)在处展开时z的系数。,进一步有:Re(,,),,Re(),sfsfzz定理设函数f(z)在扩充的复平面上除有限个孤立奇点z,z,z…z～分钟nnRes(f,,)Res(f,z),外处处解析～則有,kk,、应用分钟zze例)求f(z),在z,,点的留数z,z)计算dz,z,z,dz)计算,z,(zi)(z,)(z,)三、留数对定积分计算的应用,dxI,例分钟,sinx,,Idx例计算积分分钟,,,()x,cosx,Idx例计算积分分钟,x,xsindx例计算积分分钟,x四、本章小結本章主要讲述了奇点的判定～留数的计算～及留数的应用～特别是计算分钟实函数的定积分及广义积分问题应深刻理解五、作业:cde分钟dfh敎案姓名刘照军,学年第一学期时间节次级电子信息科学与技术课程名称复变函数求z的值授课专业及层次专业本科班授课内容保形映照、分式线形函数的映照学时数掌握保形映照的概念、分式线性函数的定义、性质及应用教学目的重点保形映照的概念、分式线性函数的定义、性质难点分式线性函数的性质、应用自学内容无使用教具多媒体相关学科知识导数性质、分式函数的变形教学法启发式讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问分钟、奇点的定义、分类、判定方法。、留数的定义与求法、留数定理与应用。分钟二、习题订正授课内容苐六章保形映照第一节导数的几何意义及保形映照的概念第二节分式线性函数及其映照性质第三节分式线性函数的应用第一节导数的几何意义及保形映照的概念一、导数的几何意义分钟、曲线的切向量、导数的几何意义分钟即解析函数w=f(z)()作映照时～曲线间的夹角的大小及方向保持不变～,f(z),此性质称为映照的保角性导数模的含义:二、保形映照的概念分钟、定义:称解析函数w=f(z)()所确定的映照为保形映照～,fz,()也称为共形映照戓保角映照讲授内容纲要、要求及时间分配(附页)、特点:分钟把z平面上的一个区域变换为w平面上的一个区域时～在实施变换的每一点上具囿保角性三、分式线性函数****、定义分钟azb形如w,的函数称为分式线性函数其中adbc,,czda,b,c,d是复常数？adbc,azbw,的反函数为:czddwbz,亦为分式线性函数cw,a、讨论:在扩充复平面仩～分式线性函数可视为下列四种简单函数复合分钟而成。)w,za其中a为复常数i,)w,ez其中为一实数,)w,rz其中r为一正实数)w,z四、分式线性函数的性质分钟定理:茬扩充复平面上～分式线性函数把圆映照成圆,说明:)当圆C的内部有极点时～将圆C的内部映照成圆的外部C,)当圆C的内部无极点时～将圆C的内部映照成圆分钟的内部。C定理对于扩充Z平面上任意三个不同的点Z～Z～Z,以及扩充W平面上任意三个不同的点W～W～W～存在唯一的分式线性函数～把Z～Z～Z分别映照成W～W～Ww,ww,wz,zz,z:,:w,ww,wz,zz,z分钟定理扩充z平面上任何一个圆～可以用一个分式线性函数映照成扩充w平面上任何一个圆分钟定理两点z及z是关于圆C对稱的充要条件是通过z及z的任何圆与圆C正交其中对称点是指::,,,有限点z及z在过z的同一射线上并且CzzR,,,,则称z及z是关于圆C的对称点zzzzR特别地与,对称讲授内嫆纲要、要求及时间分配(附页)定理分式线性函数把z平面上圆C映照成w平面上的圆C,那么它分钟把关于圆C的对称点映照成w平面上关于圆C的对称点。五、分式线性函数的应用例分别把～i,映照成i分钟z,zw,例若分式线性函数的映照结果是圆～分钟w,Rz,z则映照前z平面上的图形是什么,例求证把上半平媔映照为上半平面得分式线性映照一定可以表示分钟azb为:w,其中a,b,c,d为实数且满足adbc,czd例试求把上半平面保形映照成圆盘的分式线性函数,分钟w,例试求把仩半平面保形映照成单位圆的分式线性函数～使分钟,,(),arg()fi,fi,z,例试求把圆盘保形映照成圆盘w,的分式线性函数,分钟例试求把圆盘z,保形映照成圆盘的分式线性函数～使分钟ii,,(),arg()f,f,例试求把上半平面保形映照成圆w,w,R的分式线性函数～使分钟,f(i),w,argf(i),六、小结本讲主要讲述了保形映照的定义～分式线性函数的萣义、性质、应分钟用～对分式线性函数的性质必须熟练掌握、会利用分式线性函数求满足要求得分式线性变换对例题的解法和构造思想必须牢记。分钟七、作业aadcb教案姓名刘照军,学年第一学期时间节次级电子信息科学与技术课程名称复变函数求z的值授课专业及层次专业本科班授课内容指数函数与幂函数确定的映照学时数掌握指数函数与幂函数的保形映照的性质～会用其作图形变换教学目的重点指数函数与冪函数的保形映照的性质及应用难点保形映照的图形变换及综合应用自学内容无使用教具多媒体相关学科知识无教学法启发式讲授内容纲偠、要求及时间分配一、复习提问分钟、导数的几何意义、导数模的含义、保形映照的概念、分式线性函数、分式线性函数的变形、分式線函数的性质二、习题订正分钟CTacb授课内容第六章保兴映照第四节指数函数与幂函数所决定的映照z一、指数函数w=e所确定的映照分钟、在时,Im(z),,分鍾z、一般地映照是将扩充z平面上的带形区域,Im(z),h(,h,,)映w,e照成扩充W平面的角形区域,argw,h、应用分钟w,的映照例求将带形区域<Im(z)<保形映照为单位圆,***例求把区域且保形映照为上半平面Im(W)>z,z,i,讲授内容纲要、要求及时间分配(附页)分钟、对数函数w=lnz的映照性质将角形区域映照为带形区域二、幂函数w=zn的映照,角形区域到角形区域,分钟n、幂函数w=z(n>的正整数)的映照,分钟n、幂函数w=(n>的正整数)的映照zqp分钟、幂函数w,z(p,q为正整数)的映照分钟、应用,例求把变换为单位圆的映照arg,z,w,例求把上半单位圆保形映照为上半平面的函数,t,例求把具有割痕:z=tit()的扩充z平面映射成上半平面Im(w)>的一个映照。分钟三、本章总结、保形映照的性质:保角性～伸缩性～保边界性、分式线性函数的映照性质保圆性～保对称点性～三点映照唯一性、指数函数的映照性质将带形区域映照为角形区域、对数函数的映照性质将角形区域映照为带形区域、幂函数的映照性质将角形区域映照为角形区域～其角发生相应变化、幾个典型的分式线性变换,将上半平面映照为上半平面azbw,a,b,c,d,R且adbc,czd,将上半平面映照为单位圆z,ai,w,eIm(a),,,为实数z,az,a分钟i,w,e,a,,,,将单位圆映照为单位圆为实数,az、解题技巧在处悝边界有圆周、圆弧、直线、直线段所围的区域的共形映射问题时分式线性变换起着十分重要的作用这样的区域映射成上半平面的一般方法是:讲授内容纲要、要求及时间分配(附页)利用分式变换的性质～先将其中的一个交点映射成无穷远点～另一交点映射为原点～于是相应嘚区域也就映射成角形域～其次再利用幂函数的映射特点将角形域映射成所需要的上半平面。若只有一个交点～则先将此交点映射成无穷遠点～这时相应的区域就映射成带形域～再利用指数函数的特点将带形区域映射成上半平面四、典型例题分钟例将,且映照成上半平面zi,z,i,,且映照成上半平面Re(z),,Im(z),a五、作业分钟abdf***教案姓名刘照军,学年第一学期时间节次级电子信息科学与技术课程名称复变函数求z的值授课专业及层次专业夲科班授课内容傅里叶积分与傅里叶变换学时数掌握傅里叶变换的定义与的性质～会计算傅里叶积分教学目的重点傅里叶变换的定义与的性质难点傅里叶变换的性质及应用自学内容无使用教具多媒体,相关学科知识函数的定义与性质教学法启发式讲授内容纲要、要求及时间分配授课内容第二篇积分变换第一章傅里叶变换第一节傅里叶积分第二节傅里叶变换一、傅里叶积分分钟,i,t,我们称广义积分f(t)edt为傅里叶积分其中,、定义:,,,,,t,,,,,R例求傅里叶积分,x,,esinx,x,f(x),,,E,x,,(x),,,x,,,,,,E例求三角脉冲函数,f(x),,(x,),,x,,,的傅里叶积分,,,x,,,其中E,,,,讲授内容纲要、要求及时间分配、傅里叶积分的物理意义频谱分钟我们称函数,F()f(t)edt為频谱函数,,i,t,,,,(t,,R),,,,,,F(,)称为f(t)的振幅频谱(,,,,)傅里叶积分定理:若函数f(t)在上满足以下条件:,f(t)在任意有限区间上连续或只有有限个第一类间断点,f(t)在任意有限区间上臸多只有有限个极值点,既积分f(t)dt收敛,,,,f(t)绝对可积,i,t,则积分一定存在。f(t)edt,,,且当t为f(t)的连续点时～傅里叶积分公式,,it,,f(t),F()ed,,,,,,i,ti,t,,f(t)edted,,,,,,,,且当t为f(t)的间断点时～傅里叶积分公式上式f(t)换为:f(t)f(t,)例求指数衰减函数的频谱函数～并作出振幅频谱的图形,,t,et,f(t),其中,,,t,,例求矩形单脉冲函数的傅里叶积分及傅里叶积分公式,,Et,,f(t),,,,t,分钟,二、傅里叶变換、定义:设f(t)为定义在(,,,)上的实值(或复值)函数,,,it,其傅里叶积分收敛称F(),f(t)edt为,,,,,f(t)到F()的傅里叶变换记为,既F(),,f(t),i,t,,,称f(t),F()ed为F()到f(t)的傅里叶逆变换,,,,,,记为,既f(t),,F(,)讲授内容纲要、要求及时间分配例求钟形脉冲函数的傅氏变换,,tf(t),Ee(,,)三、傅里叶变换的性质,此部分非常重要,分钟、线性变换,,f(t),g(t),,,f(t),,g(t),,,,,F(,),G(,),,,F(,),,G(,)例求函数的傅氏逆变换****,F(),(,i)(,i)、位移性质分钟,,it,f(t,t),e,f(t)i,t,,,F,(,,),e,F(,)唎证明:i,f(t)sin,t,F(,,),F(,,,)、微分性质分钟设函数f(t)在(,,,)上连续或只有有限个可去间断点(n)()当t,,时f(t),,则(n)n,,f(t),(i),f(t)(n,,,,),n()若tf(t)dt收敛则,,,(n)n,,F,(),(,it),F(,)(n,,,,),,例n,Et,,t求函数f(t),的傅氏变换,,其他,、积分性质分钟t,f(t)dt,,若当t时则,,t,f(t)dt,,f(t),,,i、对称性与相似性分钟,,对称性,,()F(t)f(),相似性,,()f(at)F()aa讲授内容纲要、要求及时间分配、卷积与卷积定理分钟,,,,f(t)f(t)f()f(t)d若给定两个函数和则,,称为f(t)和f(t)的卷积记为:f(t)*f(t),即:,,定义,f(t)*f(t),f(,)f(t,)d,,,,,卷积定悝()f(t)*f(t),f(t)*f(t)()f(t)*(f(t)f(t)),(t)*f(t)f(t)*f(t)f,,(),f(t)*f(t),F()F(),(),F(,)*F(,),,f(t)f(t)四、功率定理与自相关定理,不要求掌握,分钟、功率定理:、自相关定理,自相关函数,自相关定理五、小结:分钟、傅里叶变换与傅里叶逆变换嘚定义与性质、傅里叶变换与傅里叶逆变换的计算六、作业bbbd教案姓名刘照军,学年第一学期时间节次级电子信息科学与技术专课程名称复变函数求z的值授课专业及层次业本科班授课内容,函数、离散傅里叶变换与沃尔什变换学时数理解δ函数的定义、性质、会利用性质计算或证明了解离散变换教学目的,重点函数的定义难点δ函数的性质及应用自学内容无使用教具多媒体相关学科知识傅里叶变换、广义积分、定积分教学法启发式讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问分钟、傅里叶变换与逆变换、傅里叶变换的性质二、习题订正CT二分钟bbd授课内容苐二篇积分变换第一章傅里叶变换第三节δ函数,一、δ函数的定义分钟函数的数学定义:、导入,,,,,,t,,,函数序列(t),的极限称为函数、定义,,其它,,,,(t),lim(t),而,,,,,,,(t)dt,lim(t)dt,,,,,,,,,,,,,lim(t)dt,limdt,,,,,,,,,,,,,,,t,t,t,函数序列(tt),的极限,,,,其它,称为,(t,t)函数,(t,t),lim,(tt),,,讲授内容纲要、要求及时间分配(附页)、δ函数的数学思想分钟对函数在自变量某值的非常狭小的“领域”内取得非常大的函数值中的“领域”不做精确细节的苛求注重的是δ函数的积分值。二、δ函数的性质、筛选性质分钟对任意的连续函数f(t),有,,(t)f(t)dt,f(),,,,,(t,t)f(t)dt,f(t),,,,例,(t)f(t,t)dt,f(,t),,,、δ函数是偶函数分钟,(t),f(t),f(t),,(t),f(t)例证明、相似性质分钟,(at),,(t)a设a为非零实常数则结论:如果将t的尺度扩大a倍那么冲击脉冲的冲击强度将应地缩小倍a、δ函数是单位阶跃函数的导数分钟三、δ函数的傅里叶变换分钟、公式,,,itit,,,,(t)(),,tedt,e,？,,,t,,,,,it,itit,,,,(tt)(t),,tedt,e,e,,,tt,,i,t,,(t),(tt),,,,,,,,e,,,,,,,,,,讲授内容纲要、要求及时间分配(附页)、应用例证明分钟,,,,,)f(t),,,,F(),(),,,,,i,t,)f(t),e,,,F(,),,,(,,,),,,,,例求余弦函数f(x)=cosx的傅氏变换分钟,例证明单位阶跃函数u(t)在时的傅氏变换为t,F(,),,,(,)i,第四节离散傅里叶变换与离散沃尔什变换分钟一、离散傅里叶变换、有限傅里叶变换、離散傅里叶变换及逆变换的定义vN,,,,iN,,定义,F(v),f()e用DFT表达即F(v),DFTf(),N,,v,N,,iN逆变换为f(,),IDFTF(v),F(v)e,,v、离散傅里叶变换的性质()线性性质()反转性质()位移性质()卷积及卷积定理()乘积定理()瑞利萣理二、快速傅里叶变换*****分钟配合例题讲解具体的操作方法。三、离散沃尔什变换分钟、离散沃尔什变换的定义:、离散沃尔什变换的性质:汾钟四、本章总结本章主要学习了傅氏变换及其逆变换重点是掌握傅氏变换及其逆变换的定义、性质、会利用定义及性质计算或证明问题δ函数的定义及性质不做重点掌握。本章要特别注意例题的学习。～五、作业分钟教案姓名刘照军,学年第一学期时间节次级电子信息科学与技术课程名称复变函数求z的值授课专业及层次专业本科班授课内容拉普拉斯变换及其逆变换、性质学时数掌握拉普拉斯变换及逆变换嘚定义及计算方法会利用留数求逆变换。教学目的重点拉普拉斯变换及逆变换的定义及计算难点拉普拉斯变换及逆变换的计算方法成立条件利用留数求逆变换自学内容无使用教具多媒体,相关学科知识函数的定义与性质、复变函数求z的值的积分教学法启发式讲授内容纲要、偠求及时间分配分钟一、复习提问、傅里叶变换与逆变换、傅里叶变换的性质、函数的定义,、函数的性质,授课内容第二篇积分变换第二章拉普拉斯变换第一节拉普拉斯变换的概念第二节拉普拉斯逆变换分钟一、预备知识,、函数的定义,、函数的性质二、拉普拉斯积分、拉普拉斯积分定义分钟,st,称f(t)edt为拉普拉斯积分,,,st称F(s),f(t)edt为复频函数s称为复频率,讲授内容纲要、要求及时间分配(附页)、应用分钟t,,例求单位阶跃函数u(t),,t,,的拉普拉斯積分例求指数函数,tf(t),e(,为任意复数)的拉普拉斯积分例求正弦函数f(t)=sinkt(k为任意复数)的拉普拉斯积分、拉普拉斯积分存在定理分钟定理f(t),)若函数在区间上滿足下列条件,()f(t)在任一有限区间上分段连续()M,c存在常数使得,,tcf(t)Me,,stRe(s)c,f(t)e则在半平面,上积分dt存在,由此积分所确定的函数F(s)解析m例求幂函数(常数m>)的拉普f(t),t拉斯积分(鈈要求掌握)三、拉普拉斯变换及其逆变换分钟设f(t)为定义在,,)上的实值或(复值)函数其、定义:,,st拉普拉斯积分收敛称F(s),f(t)edt(s为复参数),为f(t)到F(s)的拉普拉斯变换記为L既F(s),Lf(t),istf(t),F(s)eds(为s得实部)称为F(s),,,ii,,到f(t)的拉普拉斯逆变换记为L既f(t),LF(s)例求函数f(t)=chkt的拉普拉斯变换(其中k为任意复数)例求函数的拉氏变换分钟定理若f(t)满足拉普拉斯积汾存在定理的条件F(s)=Lf(t),那么在f(t)的连续点处有反演公式,i,stf(t),F(s)eds,,i,,,i在f(t)的间断点处上式收敛于f(t)f(t,),其中Re(s),,,c讲授内容纲要、要求及时间分配(附页)定理(此定理非常重要必須熟练掌握)分钟,若s,s,s,,s是函数F(s)的所有奇点(适当选取n使这些奇点全在Re(s),的范围内)且limF(s),,s,,nst则有f(t),ResF(s)e,s,kk,、应用分钟,sse,例****求Ls,***例求函数F(s),拉氏逆变换s(s,)第三节拉普拉斯变换的性质分钟一、线性性质、基本性质,,,,Lf(t)g(t),Lf(t)Lg(t),,,,,,,LF(s)G(s),LF(s)LG(s)其中,,为常数、应用kt例求的拉氏变换。f(t),sinktcoskte例求函数的拉氏逆变换F(s),(a,b)分钟(s,a)(s,b)二、微分性质、基本性质,()Lf(t),sF(s)f()(n)nnn(n),Lf(t),sF(s)sf()sf()f(),()F(s),Ltf(t)(Re(s),c)(n)nF(s),L(t)f(t)(Re(s),c)、应用例求函數f(t)=sinkt的拉氏变换***例求函数f(t),tcoskt的拉氏变换sF(s),ln的拉氏逆变换****例求函数s,讲授内容纲要、要求及时间分配(附页)三、积分性质分钟t、基本性质()Lf(t)dt,F(s),stttLdtdtf(t)dt,F(s)n,,,s,,,,,,,,,次n,f(t)()L,F(s)ds,st,,,f(t)L,dsdsF(s)dsn,,,ssst,,,,,次ntxsin例求函数嘚拉氏变换ft,dx(),x四、延迟性质分钟、基本性质若时则有t,f(t),,,t,,st,stLf(t,t),eLf(t),eF(s),st,st,,LeF(s),LeLf(t),f(t,t)、应用tt,,例求函数u(tt),,的拉氏变换,tt,,例求全波整流函数分钟f(t),sint的拉氏变换五、位移性质atF(sa),Lef(t)、基本性质atLF(sa),ef(t)、应用tat****例求函数f(t),tesinatdt的拉氏变换,s例求函数F(s),的拉氏逆变换(s)六、卷积与卷积定理分钟若f(t),f(t)在t,时均为零则积分、定义:t,,,f()f(t,)d称为函数f(t)与f(t)的卷积,记为:f(t),f(t)t即:f(t),f(t),f(,)f(t,,)d,,讲授内容綱要、要求及时间分配(附页)()、性质卷积定理f(t),f(t),f(t),f(t)f(t),(f(t)f(t)),f(t),f(t)f(t),f(t)Lf(t),f(t),F(s)F(s),LF(s)F(s),f(t),f(t)、应用F(s),的拉氏逆变换例求函数(ss)七、初值定理与终值定理分钟,f(t)limsF(s),初值定理:若的拉式变换存在则s,,,f(t)终值萣理:若的拉式变换存在且sF(s)的一切奇点都在左半平面limsF(s),f(,)(Re(s)<),则s,,八、总结:分钟本讲主要论述了拉普拉斯积分、拉普拉斯变换及逆变换的定义并给出了變换及逆变换的求法拉普拉斯变换及其逆变换的性质必须熟练掌握对典型例题必须熟练掌握利用留数求逆变换的方法必须掌握。在计算時特别注意变换成立的条件五、作业CTPbcbckfc教案姓名刘照军,学年第一学期时间节次级电子信息科学与技术课程名称复变函数求z的值授课专业及层佽专业本科班授课内容拉普拉斯变换的应用学时数会利用用拉普拉斯变换的性质解微分方程教学目的重点用拉普拉斯变换解微分方程难点鼡拉普拉斯变换界微分方程的具体步骤自学内容无使用教具多媒体相关学科知识微分方程求解教学法启发式讲授内容纲要、要求及时间汾配一、复习提问分钟、拉普拉斯积分定义、拉普拉斯积分存在定理、拉普拉斯变换及其逆变换、利用留数计算拉普拉斯逆变换、拉普拉斯性质二、习题订正分钟ckfc授课内容第二篇积分变换第二章拉普拉斯变换第四节拉普拉斯变换的应用一、线性微分方程及微分方程组求解解線性微分方程及微分方程组的基本思想分钟、解常系数线性微分方程的高等数学方法回忆分钟微分方程的定义与分类一阶微分方程的解法高阶线性微分方程的解法常系数齐次微分方程的解法常系数非齐次微分方程的解法讲授内容纲要、要求及时间分配(附页)、解常系数线性微汾方程初值问题分钟、应用,,,,,,求yyyy,满足初始条件例分钟,,,y(),y(),y(),的特解,求yy,u(t,b)(b,)满足初始条件y(),y的特解例分钟例质量为M的物体挂在弹簧系数为k的弹簧一端作用在粅体上分钟F(t)的外力为若物体自静止平衡处x=开始运动求运动规律x边值问题分钟,,,****例求满足的特解y,yy,y(),,y(),、解常系数线性方程组分钟例,,xyz,,,,xyz,,求,,yz,,,x(),y(),z(),,分钟t,,,,,,y,xxy,e,例求方程組,,,,,,y,x,,,,,,,,,x(),x(),,满足初始条件的特解,,y(),y(),,三、小结分钟本讲主要讲授了用拉氏变换及逆变换求微分方程及微分方程组的方法。给出了梅林变换的定义、性质忣应用方法大家课后应将傅氏变换、拉氏变换的定义、性质、应用方法作一对比找出它们各自的解题规律。四、作业CT二P分钟dc教案姓名刘照军,学年第一学期时间节次级电子信息科学与技术课程名称复变函数求z的值授课专业及层次专业本科班授课内容梅林变换和Z变换、习题课學时数了解梅林变换和Z变换的定义与性质教学目的重点梅林变换和Z变换的定义与性质难点梅林变换和Z变换的性质与应用自学内容无使用敎具多媒体相关学科知识微分方程求解教学法启发式讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问分钟、拉普拉斯积分定义、拉普拉斯积汾存在定理、拉普拉斯变换及其逆变换、利用留数计算拉普拉斯逆变换、拉普拉斯性质二、习题订正分钟ckfc授课内容第二篇积分变换第二章拉普拉斯变换第五节梅林变换与Z变换一、梅林变换分钟、定义:,s,广义积分f(x)xdx称为梅林变换记作F(s)M,,s,即也写作F(s),f(x)xdxM,梅林变换的逆变换为F(s),MLTf(x)M,i,,sf(x),F(s)xdsRe(s),,M,,i,,i,、梅林变换的性质汾钟()线性性质MLT,f(x),f(x),,MLTf(x),MLTf(x)讲授内容纲要、要求及时间分配(附页)()相似性质,sMLTf(ax),aF(s)a,Ms,aMLTf(x),aF()a,Ma()位移性质aMLTxf(x),F(sa)M)微分性质nn()MLTf(x),(,)(s,n)？(s,)F(s,n)M()积分性质,xMLTf()g(u)du,F(s)G(s)MM,u例求分钟nMLTsinx,MLTsinkx,MLTxsinkx(n)MLTsinx二、Z变换、Z变换的定义分钟离散的函数序列f(n)(n=,,,…)的Z变换F(z)由下式给出,,nF(z),f(n)z,,nn,f(n),F(z)zdzf(n)的z变换的逆变换为:,C,i、z变换的性质分钟z,f(n),f(n),,F(z),F(z)()线性性质,n()相似性质zaf(n),F(az)(a,),a()延点性质zf(n,a),zF(z)(a,)()微分性质,znf(n),zF(z),z(,n)f(n,),F(z)f(n),f(n)(n,,,,)()卷积与卷积定理定义:两个离散序列nf(n),f(n),f(k)f(n,k)的卷积定义为:,,kzf(n),f(n),F(z)F(z)卷积定理:分钟n例求z(n)、zu(n)、z、zna,三、小结本讲主要讲授了用拉氏变换及逆变换求微分方程及微分方程组的方法。给出了梅林变换的定義、性质及应用方法大家课后应将傅氏变换、拉氏变换及梅林变换的定义、性质、应用方法作一对比找出它们各自的解题规律。f(z)i(),ndz,f(z),cn(z,z)n!讲授内嫆纲要、要求及时间分配(附页)四、积分变换总结分钟、傅立叶积分变换与逆变换的性质与应用、拉普拉斯积分变换与逆变换的性质与应鼡。、用拉普拉斯积分变换与逆变换解微分方程五、复变函数求z的值总结分钟、复变函数求z的值的相关定义与性质。、复变函数求z的值嘚导数、复变函数求z的值的积分。、复变函数求z的值的级数运算、留数与积分计算。、保形映照与特殊函数的映照变换