看到你关于高数等价无穷小公式代换的回答，只想对你说声谢谢

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-08-12 11:36 标签： 高数等价无穷小

首先函数值应趋于零另外两个無穷小相乘除时可以同时用等价代换，相加减时只有用后结果不为0时才能同时用 

没想到这个回答收到不少赞但这个回答并不是十分严谨，而且现在还有人问我关于这个的问题那我具体解释下吧。
 首先我说的“函数值”趋于0指的是每个要替换的部分而不是极限整体。举個栗子：limx→π/2(sinx-1)/(x-π/2)^2，要把sin□替换为□需要□趋于0但这里x不趋于零，不能用等价无穷小代换sinx-1整体趋于零，但怎么替换它呢我们可以把sinx寫成cos(π/2-x)，那么cos(□)里面的数是不是趋于零了现在就可以用1-cos(□)~1/2(□)^2，分子分母约掉了极限等于-1/2
另外极限乘除是可以同时用的比如x→0，(cosx-1)/sinxtanx三部汾同时用等价无穷小代换，极限等于-1/2
极限加减呢?一个常见的极限是limx→0(sinx-tanx)/x^3，sinx和tanx是不能用等价无穷小代换的这里可以把sinx写成cosxtanx后等价无穷小代換，或洛必达法则熟悉泰勒的也可以把sinx和tanx分别泰勒展开来算。
但是limx→0(sinx+tanx)/x就可以用等价无穷小代换，sinx和tanx均代换为x极限为2，没有问题
 那为什么第一个那个加减不能用呢上面第一个如果代换的话分子变为了0，极限算出来就是0但实际是它应该等于-1/2。简单的说就是“相加减時只有用后结果不为0时才能同时用”，记住它就可以究其原因，“等价无穷小代换”只是取了泰勒展开式的第一项忽略了高阶小量，所以说它只是一个近似并不相等。那怎样才能相等呢写出高阶小量。sinx和tanx可以写成x+O(x)1-cosx可以写成1/2x^2+O(x^2)。但注意sinx和tanx中的O(x)是绝不相等的它们相加嘚时候有2x，O(x)还是高阶小量可以忽略。但它们想减时x消去了只剩下O(x)，那么O(x)就起了决定性作用但等价无穷小代换忽略了它，也就是说这時等价无穷小代换是不能用的

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高等数学等价无穷小的几个常用公式
应该这样说：对初学者而言等价无穷小一般只在乘除中替换，熟练后可不受此限制
  • 等价无穷小替换可在加减中使用但是，必须要求代换后的式子与原式子为等价无穷小 分子中你用 x-x代换当然就错了。因为0 与tanx-sinx不是等价无穷小 同时：tanx-x代换也是错的。 这個虽然与tanx-sinx是同阶无穷小却不是等价无穷小。 正是因为在加减中运用等价无穷小代换要求比较多。并且也比较复杂所以，考研中包括考研数学以下档次的学习中，强调“不益”在加减运算中使用等价无穷小 并不是不能。全部

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