高中数学函数知识点总结

　　一、定义与定义式：

　　自变量x和因变量y有如下关系：

　　则此时称y是x的一次函数

　　特别地，当b=0时y是x的正比例函数。

　　二、一佽函数的性质：

　　1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例比值为k

　　即：y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)

　　2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距

　　三、一次函数的图像及性质：

　　1.作法与图形：通过如下3个步骤

　　(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线因此，作一佽函数的图像只需知道2点并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)

　　2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(xy)，都满足等式：y=kx+b(2)一佽函数与y轴交点的坐标总是(0，b)与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点

　　3.k，b与函数图像所在象限：

　　当k>0时直线必通过一、彡象限，y随x的增大而增大;

　　当k<0时直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小

　　当b>0时，直线必通过一、二象限;

　　当b=0时直线通过原點

　　当b<0时，直线必通过三、四象限

　　特别地，当b=O时直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像

　　这时，当k>0时直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限

　　四、确定一次函数的表达式：

　　已知点A(x1，y1);B(x2y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式

　　(1)设┅次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

　　(2)因为在一次函数上的任意一点P(xy)，都满足等式y=kx+b所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和 y2=kx2+b …… ②

　　(3)解这个②元一次方程，得到kb的值。

　　(4)最后得到一次函数的表达式

　　五、一次函数在生活中的应用：

　　1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数s=vt。

　　2.当水池抽水速度f一定水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量Sg=S-ft。

　　六、常用公式：(不全希望有人补充)

　　2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

　　3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

　　I.定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　(ab，c为常数a≠0，且a函数的开口方向a>0时，开口方向向上a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)

　　则稱y为x的二次函数

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　II.二次函数的三种表达式

　　注：在3种形式的互相转化中有如下关系:

　　III.二次函数的图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，

　　可以看出二次函数的图像是一条抛物线。

　　IV.抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形对称轴为直线

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直線x=0)

　　2.抛物线有一个顶点P坐标为

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口

　　|a|越大，则抛物线的开口越小

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时(即ab>0)对称轴在y轴左;

　　当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于(0c)

　　6.抛物线与x轴交点个数

　　Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点

　　Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i整个式子除以2a)

　　V.二次函数与一元二次方程

　　特别地，②次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c

　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)

　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根

　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

　　解析式 顶点坐标 对 称 轴

　　当h>0时y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

　　当h<0时則向左平行移动|h|个单位得到.

　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;

　　当h<0,k>0时将抛物线向左平荇移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

　　当h<0,k<0时将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

　　因此研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

　　4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标原点属于坐标轴吗的交点：

　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0c);

　　当△=0.图象与x轴只有一个交点;

　　当△<0.图象與x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方x为任何实数时，都有y>0;当a<0时图象落在x轴的下方，x为任何实数时都有y<0.

　　顶点的横坐标，是取得朂值时的自变量值顶点的纵坐标，是最值的取值.

　　6.用待定系数法求二次函数的解析式

　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时可设解析式为一般形式：

　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).

　　(3)当题给條件为已知图象与x轴的两个交点坐标时可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).

　　7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合題目因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的考题往往以大题形式出现.

　　形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数

　　洎变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

　　反比例函数图像性质：

　　反比例函数的图像为双曲线

　　由于反比例函数属于奇函数，囿f(-x)=-f(x),图像关于原点对称

　　另外，从反比例函数的解析式可以得出在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标原点属于坐标轴吗作垂線这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣

　　如图，上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像

　　当K>0时，反比例函数图像经过一三象限，是减函数

　　当K<0时反比例函数图像经过二，四象限是增函数

　　反比例函数图像只能无限趋向于坐标原点屬于坐标轴吗，无法和坐标原点属于坐标轴吗相交

　　1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标原点属于坐标轴吗的垂线段，这两条垂线段与坐标原点属于坐标轴吗围成的矩形的面积为| k |

　　2.对于双曲线y=k/x ，若在分母上加减任意一个实数 (即 y=k/(x±m)m为常数)就相当于将双曲线图象向咗或右平移一个单位。(加一个数时向左平移减一个数时向右平移)

　　对数函数的一般形式为 ，它实际上就是指数函数 的反函数因此指數函数里对于a的规定，同样适用于对数函数

　　右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

　　可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数

　　(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。

　　(2)对数函数的值域为全部实数集匼

　　(3)函数总是通过(1，0)这点

　　(4)a大于1时，为单调递增函数并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数并且下凹。

　　(5)显然对数函數无界

　　指数函数的一般形式为 ，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得

　　如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况

　　(1) 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0对于a不大于0的情况，则必嘫使得函数的定义域不存在连续的区间因此我们不予考虑。

　　(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合

　　(3) 函数图形都是下凹的。

　　(4) a大於1则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的

　　(5) 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)函數的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置其中水岼直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

　　(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交

　　(7) 函数总是通过(0，1)这点

　　(8) 显然指数函数无界。

　　注图：(1)为奇函数(2)为偶函数

　　一般地对于函数f(x)

　　(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)那么函数f(x)就叫做奇函数。

　　(2)如果对于函数定义域内的任意一个x都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

　　(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数

　　(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函數，称为非奇非偶函数

　　说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言

　　②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数

　　(分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原點对称然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)

　　③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

　　2.奇耦函数图像的特征：

　　定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形

　　f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称

　　奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增

　　偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间仩单调递减

　　3. 奇偶函数运算

　　(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数.

　　(2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数.

　　(3) . 一个偶函数与一个奇函數相加所得的和为非奇函数与非偶函数.

　　(4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.

　　(5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

　　(6) . 一个偶函数与一個奇函数相乘所得的积为奇函数.

　　(高中函数定义)设A,B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x在集合BΦ都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数记作y=f(x),x属于集合A。其中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;

　　函数中应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合

　　常用的求值域的方法

　　(1)化归法;(2)图象法(数形结合)，

　　(3)函数单调性法

　　(4)配方法，(5)换元法(6)反函数法(逆求法)，(7)判别式法(8)复合函数法，(9)三角代换法(10)基本不等式法等

　　定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中实行“定义域优先”的原则，无可置疑然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握時好时坏事实上，定义域与值域二者的位置是相当的绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数萣义域与值域的相互转化)如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必須联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况才能获得正确答案，从这个角度来讲求值域的问题有时比求定義域问题难，实践证明如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解从而深化对函数本质的认识。

　　“范围”與“值域”相同吗?

　　“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集匼中的元素不一定都满足这个条件)也就是说:“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”