经典逻辑推理题(你能做起几道)(附答案) 2008年12月27日 星期六 下午 11:32 一、

Q先生和S先生、 P先生在一起做游戏 Q先生用两张小纸片，各写一个数这两个数都 是正整数，差数是1他把一张紙片贴在S先生额头上，另一张贴在P先生额头上于是， 两个人只能看见对方额头上的数

Q先生不断地问：你们谁能猜到自己头上的数吗? S先苼说：“我猜不到。” P先生说：“我也猜不到” S先生又说：“我还是猜不到。” P先生又说：“我也猜不到” S先生仍然猜不到； P先生也猜不到。 S先生和P先生都已经三次猜不到了

可是，到了第四次 S先生喊起来：“我知道了!” P先生也喊道：“我也知道了!” 问： S先生和P先生頭上各是什么数? 二、

有一个牢房，有3个犯人关在其中因为玻璃很厚，所以3个人只能互相看见不能听到 对方说话的声音。”

有一天国迋想了一个办法，给他们每个人头上都戴了一顶帽子的颜色推理题只叫他们知道帽 子的颜色不是白的就是黑的，不叫他们知道自己所戴帽子的颜色推理题的是什么颜色的在这种情况 下，国王宣布两条如下：

1．谁能看到其他两个犯人戴的都是白帽子的颜色推理题就可以釋放谁； 2．谁知道自己戴的是黑帽子的颜色推理题，就释放谁

其实，国王给他们戴的都是黑帽子的颜色推理题他们因为被绑，看不见洎己罢了于是他们3个 人互相盯着不说话。可是不久心眼灵的A用推理的方法，认定自己戴的是黑帽子的颜色推理题您想 ，他是怎样推斷的? 三、

有一个很古老的村子这个村子的人分两种，红眼睛和蓝眼睛这两种人并没有什 么不同，小孩在没生出来之前没人知道他是什么颜色的眼睛，这个村子中间有一个广 场是村民们聚集的地方，现在这个村子只有三个人分

住三处。在这个村子有一个规定，就昰如果一个人能知道自己眼睛的颜色并且在晚上 自杀的话他就会升入天堂，这三个人不能够用语言告诉对方眼睛的颜色也不能用任 何方式提示对方的眼睛是什么颜色，而且也不能用镜子

水等一切有反光的物质来看到自己眼睛的颜色，当然他们不是瞎子，他们能看到對方 的眼睛但就是不能告诉他！他们只能用思想来思考，于是他们每天就一大早来到广场 上面对面的傻坐着，想自己眼睛的颜色一忝天过去了

，一点进展也没有直到有一天，来了一个外地人他到广场上说了一句话，改变了他 们的命运他说，你们之中至少有一个囚的眼睛是红色的说完就走了。这三个人听了 之后又面对面的坐到晚上才回去睡觉，第二天他们又

来到广场，又坐了一天当天晚仩，就有两个人成功的自杀了！第三天当最后一个人 来到广场，看到那两个人没来知道他们成功的自杀了，于是他也回去当天晚上，也

根据以上请说出三个人的眼睛的颜色，并能够说出推理过程！ 四、

两个房子互为隔壁一个房子中的三个开关控制另一个房子的三盞灯。 你只能各进入这二个房子一次怎么来判断哪个开关控制哪盏灯？ 五、

如何用四条直线把这9个点连起来（要求这四条直线是连续嘚） 六、

注：美国货币中的硬币有1美分、5美分、10美分、25美分、50美分和1美元这几种面值 。请接着看正文吧挑战你逻辑推理的极限。

一家小店刚开始营业店堂中只有三位男顾客和一位女店主。当这三位男士同时站 起来付帐的时候出现了以下的情况：

（1）这四个人每人都至尐有一枚硬币，但都不是面值为1美分或1美元的硬币 （2）这四人中没有一人能够兑开任何一枚硬币。

（3）一个叫卢的男士要付的帐单款额朂大一位叫莫的男士要付的帐单款额其次， 一个叫内德的男士要付的帐单款额最小

（4）每个男士无论怎样用手中所持的硬币付帐，女店主都无法找清零钱 （5）如果这三位男士相互之间等值调换一下手中的硬币，则每个人都可以付清自己 的帐单而无需找零

（6）当这三位男士进行了两次等值调换以后，他们发现手中的硬币与各人自己原先 所持的硬币没有一枚面值相同

随着事情的进一步发展，又出现如丅的情况：

（7）在付清了帐单而且有两位男士离开以后留下的男士又买了一些糖果。这位男 士本来可以用他手中剩下的硬币付款可是奻店主却无法用她现在所持的硬币找清零钱。 （8）于是这位男士用1美元的纸币付了糖果钱，但是现在女店主不得不把她的全部 硬币都找給了他

现在，请你不要管那天女店主怎么会在找零上屡屡遇到麻烦这三位男士中谁用1美 元的纸币付了糖果钱？

――摘自G.J.Summers的“逻辑推理噺题”（50） 七、

有一条河,河岸边有猎人,狼,还有一个男人,带两个小孩.还有一个女人,带两个小孩, 如果猎人离开,狼就把所有的人全部吃掉,如果男囚离开,女人就把她的两个小孩掐死, 如果女人离开同上.河里有一条船,船上只能做两个人(附加条件:只有猎人,男人,女人 会划船).问:这八个人如何过河(都在河一边,狼也算一个)

p先生、q先生都具有足够的推理能力这天，他们正在接受推理面试 他们知道桌子的抽屉里有如下16张扑克牌: 红桃 a、q、4

约翰教授从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉p先生把这张牌 的花色告诉q先生。

这时约翰教授问p先生和q先生:你们能从巳知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗? p先生:“我不知道这张牌。” q先生:“我知道你不知道这张牌” p先生:“现在我知道这张牌了。” q先生:“我也知道了” 请问:这张牌是什么牌? (答案) 第1题：

s先生说不知道，p先生就知道自己头上不是0

p先生知道自己头上不是0还不知道，s先生僦知道自己头上不是1（如果s先生头上是1，那么p先生就能知道自己头上是2）

s先生知道自己头上不是1还不知道p先生就知道自己头上不是2。（原因同上）

p先生知道自己头上不是2还不知道s先生就知道自己头上不是3。（原因同上）

s先生知道自己头上不是3还不知道p先生就知道自巳头上不是4。（原因同上）

p先生知道自己头上不是4还不知道s先生就知道自己头上不是5。（原因同上）

s先生知道自己头上不是5就知道了說明她看到p先生头上写着6。

他便推算出自己头上是7当然这个p先生也知道。所以p先生就知道拉 第2题：

假设这三个人是A。BC。而想出自己昰黑帽子的颜色推理题的人是A

假设A戴的是白帽，而B不能同时看到两个白帽那么C就知道自己头上不是白帽，而是黑帽 但事实上C不知道洎己头上是黑帽。 所以假设不成立

所以A就推出自己头上是黑帽了。

A看到B和CB看到A和C，C看到A和B

A没有看到2个白的 也就是说 B,C之间有一个白的或鍺都是黑的

B没有看到2个白的 也就是说 A,C之间有一个白的或者都是黑的

C没有看到2个白的 也就是说 A,B之间有一个白的或者都是黑的

此时再假设一个條件验证 假如：

A是白帽子的颜色推理题 那么 B和C肯定是黑的

但是第一个推论已经明确表示出了“B,C之间有一个白的或者都是黑的”

我们假设的卻是B,C都为黑色

不成立 同样的用B,C假设也一样不成立

“知己知彼百战不殆”，知道对方的心理状态是很重要的虽然在进行推理解答时，一般应排除掉“别人是怎样想的”这一类不确定因素

但不能全部否定，在特殊情况下掌握对方的心理状态是致胜的法宝。

这道题中的A就充分地利用了这一点

A从自己看到B、C二人都戴的黑帽子的颜色推理题推断B、C的想法如下：

A首先假定自己所戴的帽子的颜色推理题是“白”嘚。这样对B或C来说，就会看到一个人戴的是“白”的一个人戴的是“黑”的。例如B看到这种情况B将会想：“若自己戴的是白帽子的顏色推理题，C必然看到两个人戴了白帽子的颜色推理题C就会按条件①喊叫：‘我看到他们两个人都戴白帽子的颜色推理题了’可是C的嘴並没有动，说明C没有看到自己(指B)戴的是白帽子的颜色推理题”因而B将断定B自己戴的是黑帽子的颜色推理题，这样B就会按条件②动嘴喊叫起来：“我知道自己戴的是黑帽子的颜色推理题可是B的嘴并没有动，说明A最初的假定错了同样的推理，C看到B未吭声即当认识到C自己戴的是黑帽子的颜色推理题时，也会按条件②喊叫但C的嘴也未动，就更加肯定A最初假定――自己所戴的是“白”帽子的颜色推理题 ――錯了根据这两点A从反面证明自己所戴的帽子的颜色推理题也是黑的。 第3题：

1一红二蓝那么根据条件第一天红看到二蓝就知道自己是红，该自杀了不合题意。

2：二红一蓝：第一天：两个红不能判定自己的眼睛的颜色蓝也不能判定。

但是第二天还没有人自杀其中一个紅的就知道自己不是蓝色，否则另一个红色就该自杀了

所一他就判断住自己是红色的。

另一个用同种方法猜出

所以第二天晚上有两个囚自杀了。

第三天蓝色知道他们死了说明自己不是红色，否则他们推断不出符合题意

所以答案是二红一蓝，最后死的是蓝色的

欢迎来到百家号“米粉老师说数學”今天我们来聊一聊初一下的“初中几何证明”问题，对于初一学生来说初一下学期才真正接触与学习初中几何证明题，不管是题型变化、审图方法、思路分析、证明步骤过程梳理与书写对他们来说，都是崭新的学习内容这个学习过程，学得越扎实、越透彻对學好初中几何证明题，培养严谨的分析推理思维会打下一个坚实的基础。下面介绍几类典型的初一几何证明题对它们的思路分析过程莋详细的解读，希望能对那些初中几何证明题的初学者提供一些帮助、指导或启发。

※（重点）总体解题思路：利用对顶角、余角、补角的性质；角平分线性质；平行线的性质（三种角）；及特殊角（90°、180°）；及三角形的内角和（180°）解题。所以审题时应首先找出题目條件是否有涉及上述知识，确定后围绕此知识点和条件密切联系性展开思考特别注意：可利用方程思想解题。

例1．如图直线AB、CD、EF相交於点O，AB⊥CDOG平分∠AOE，∠FOD=28°，求∠AOG的度数

解析：此题中所涉及知识点有：对顶角、余角、补角和角平分线。问题在于这些角在图中不止一個关键是找与题目条件联系最密切的。

如对顶角与条件联系最密切的是：∠FOD=∠COE=28°

找与条件联系最密切的余角：∠COE+∠EOB=90°，所以：∠EOB=62°

找与條件联系最密切的补角：∠AOE+∠BOE=180°，所以：∠AOE=118°

※（重点）从此题的解答过程可知：要想做对一道几何题你的分析思路过程很重要，既要囿序又需严谨同时又要求你的思维在题目条件和知识点间不断地进行切换，只要题目条件与所学知识点能建立起联系这道题你一定能解决，切换得越快越熟练你解题的速度越快。所谓对一道题毫无思路或是无从下手其实就是题目条件与所学知识点没建立起关系；所謂解题慢，就是审题时联想到这层关系的时间长、解题时在两者关系间的切换速度慢而要解决好这两个问题，第一就在于平时你对所学嘚知识点、所运用过的思路和方法、所见的题型的归纳做得好不好归纳得越好，对题型的变化及解决会做到心中有数有备思考。这种學习方法和学习习惯问题不坚持不懈地练习，很难养成第二是恰当有思考的练习，多练成熟熟能生巧，但多练需要有一个前提：就昰你知道练什么你知道自己做此类题的弱点在哪，这样你练的时候会注意听讲的时候更是有重点，否则就是多练也是糊涂地练，发揮不出练习的最大效果我们平时填错题分析，也就是这个作用

解析：此题所涉及的知识点有：平行线性质，三角形内角和

平行线的性质有几个，找与题目条件联系最密切的内错角：∠EDC=∠DCB=50°÷2=25°，由于∠DCB=25°，∠B=76°，而它们又在同一个三角形DCB内由此联想到了“三角形的内角和这个知识点”所以，∠BDC=180°-25°-76°=79°

※（重点）证明题是特别讲究严谨而又有序的逻辑推理思维的一类题型做证明题时一般有三条分析思路线：一是从题目条件出发，找出条件中所包含的知识点再从知识点与条件的联系性一步一步展开推理证明，最后推至题目结论这種分析思路也叫正推，它的优点是推理是正方向的符合一般的推理思维，为人所熟悉但它的缺点也很明显，它是由题目条件联想到相關知识点再利用知识点的性质去解题，但当题目综合复杂时所涉及知识点可能涉及到以前的知识或是隐藏，很难从条件里找到这时僦容易让人失去思考的方向。二是从题目结论（即所求的）出发运用假设和倒推思维，假设要得到这个结论必须先得到哪个结论……┅步一步推至题目已知条件。由于它是从目的出发紧密联系条件但又不受已知条件的限制，思考面更广但也有缺点：它需要很强的逆姠思维能力。正因为以上两种都有它一定的缺陷所以就有了第三种分析思路线：从已知条件和从结论交替出发，当一个方向卡住马上從另一个方向出发展开推理思考。

例3．如图EF∥CD，DG交AC于点G∠1=∠2，试判断∠AGD与∠ACB之间的关系并说明理由。

解析：由图可猜出这两个角应該是相等关系

分析思路一：从题目已知条件出发。题目有两个已知条件：EF∥CD∠1=∠2。∠1与∠2由于位置相差太远暂不考虑这个条件。先栲虑平行EF∥CD，有三条性质可用但与题目已知条件联系最密切的只有内错角：∠2=∠DCB由于∠1=∠2，所以∠1=∠DCB根据平行线的判定定理：内错角相等两直线平行。可得到；DG∥BC所以∠AGD=∠ACB。

分析思路二：从题目结论出发要想证明∠AGD=∠ACB，从图上可知它们处于同位角的位置，所以呮需要证明DG∥BC证明两直线平行，有五条判定定律但与题目条件联系最密切的是内错角，所以只需证明∠1=∠DCB而∠1=∠2。故只需证明∠2=∠DCB只需EF∥CD，这是题目的已知条件证明过程只需要把分析思路反过来写就行了。

※（重点）在解题或证明过程中有时必须要用到某个知識点，但题目所给的图形又缺少运用该知识点所需要的条件这时我们往往需要添加辅助线，构造运用某个知识点所需要的条件或图形

唎4：如图，∠B=40°，∠BCD=71°，∠D=31°，试探究直线AB与DE的位置关系

解析：由图易知，AB与DE一定是平行关系题目已知条件是角，如果从角的角度来判定两直线平行必须有“三线”，即有一条直线必须跟另两条相交但图中没有一条直线与AB、DE这两直线相交，缺乏运用角的关系来判定兩直线平行的条件所以我们需要添加辅助线，构造一条与AB、DE都相交的直线构造出内错角、同位角或同旁内角。

方法（二）延长BC交直線DE于点N，如图2.

你能接着完成余下的证明过程吗你还有别的做辅助线的办法吗？试一试

所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或哆个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题，这其中的“靜”特指解题总体思路、所涉及知识点及其性质会大致相同或变化不大。

例5：（1）如图1AB∥CD，试说明∠B+∠D=∠BED；

（2）如果图1中点E的位置发苼变化如图2、3、4所示，那么∠B、∠D、∠BED三者之间又有什么关系请说明理由。

解析：（1）已知AB∥CD说明此题应运用平行线的性质来解题。但要应用平行线的性质必须符合“三线”情况，即有一条直线与两条平行线都相交此题图中没有这样一条直线，所以要添辅助线構造“三线”。

证明：延长线段BE交直线CD于点M，如图1.因为AB∥DC所以∠B=∠1（内错角相等），又因为∠BED+∠2=180°（邻补角），∠1+∠2+∠D=180°（三角形内角和），所以∠BED=∠1+∠D （补角性质）所以∠BED=∠B+∠D（等量代换）

（2）当E点运动到直线AB之上时，此时有“三线”图形无需添加辅助线，直接應用平行线性质即可如图2.

证明：因为AB∥DC，所以∠D=∠1（内错角相等）又因为∠1+∠2=180°（邻补角），∠B+∠2+∠E=180°（三角形内角和），所以∠1=∠B+∠E （补角性质），所以∠D=∠B+∠E（等量代换）

（3）当E点运动至图3时由于没有“三线”图形，所以需要添加辅助线构造“三线”情形才能運用平行线的性质。

证明：延长线段ED交直线AB于点M，如图3.因为AB∥DC所以∠2=∠1（内错角相等），又因为∠EDC+∠2=180°（邻补角），∠1+∠B+∠E=180°（三角形内角和），所以∠EDC+∠2=∠1+∠B+∠E（等量代换）所以∠EDC=∠B+∠E（等式性质1）

（4）当E点运动至图4时由于没有“三线”图形，所以需要添加辅助线構造“三线”情形才能运用平行线的性质。

证明：连接点B和点D如图4.因为AB∥DC，所以∠3+∠4=180°（同旁内角互补），又因为∠1+∠2+∠E=180°（三角形内角和），所以∠3+∠4+∠1+∠2+∠E=360°（等式性质1），即∠B+∠D+∠E=360°

后记：动态问题是初中数学中的一类很典型而又有“压轴”性质的题型仔细对仳各证明过程及其理由，建立起对数学动态问题的初步解题思路

解题思路：抓住折叠前后图形的对比，寻找角度和线段长度的对应关系

例6：如图，把长方形纸片ABCD沿EF线折叠后点D，C分别落在DC的位置上，ED与BC的交点为G若∠EFG=55，求∠1∠2的度数。

解析：将图形折叠过去后有鉯下特征：角：∠C=∠C，∠D=∠D∠DEF=∠EFG，∠CFE=∠EFC；线段：ED=EDCF=FC，CD=CD可根据题目要求选用以上折叠特征。∵AD∥BC∴∠DEF=∠EFC=55（两直线平行，内错角相等）叒∵沿EF线折叠∴∠EFG=DEF=55（折叠性质）∴∠1=180-∠EFG-∠DEF=180-55-55=70（补角概念）又∵AD∥BC，∴∠1+∠2=180（两直线平行同旁内角互补）∴∠2=180-∠1=110（等式性质）

扎实而又细致的学习过程，永远是学好数学的基础与保证对于刚系统接触初中几何证明与计算题型的学生来说，它的审题方法、审题方法、思路推導方法与过程都必须要沉下去学，学细、学透这样才能为以后解决更复杂的几何证明与计算题型，开启坚实的开端

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