如图圆p的半径为5cm,已知在⊙O中,半径OC⊥直径AB,弦CD,CE分别交AB于F,G,求证:CF×CD=CG×C

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-01-29 06:49 标签： 如图圆p的半径为5cm
如图的⊙O中.AB为直径.OC⊥AB.弦CD与OB交于点F.过点D.A分别作⊙O的切线交于点G.并与AB延长线交于点E．(1)求证:∠1=∠2．(2)已知:OF:OB=1:3.⊙O的半径为3.求AG的长． 题目和参考答案——精英家教网——
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如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．（1）求证：∠1=∠2．（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．
（1）见解析；（2）AG=6．【解析】试题分析：（1）连接OD，根据切线的性质可得∠2+∠ODC=90°，根据OC=OD可得∠C=∠ODC，结合条件OC⊥AB，利用互余的关系可证∠1=∠2；（2）根据条件OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，可得OF=1，由（1）可得EF=ED，设DE=x，在Rt△ODE中，由勾股定理可得x=4，然后利用Rt△EOD∽Rt△EGA，可求出AG=6．试题解析：（1）证明：连接OD，∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，∵OC=OD，∴∠C=∠ODC，∴∠2+∠C=90°，而OC⊥OB，∴∠C+∠3=90°，∴∠2=∠3，∵∠1=∠3，∴∠1=∠2； 4分（2）【解析】∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，∴OF=1，∵∠1=∠2，∴EF=ED，在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，∵OD2+DE2=OE2，∴32+x2=（x+1）2，解得x=4， 7分∴DE=4，OE=5，∵AG为⊙O的切线， ∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°，而∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴=，即=，∴AG=6． 10分考点：1.切线的性质；2.互余；3.勾股定理；4.相似三角形的判定与性质.
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