天 津 师 范 大 学 本科毕业论文（设計） 题目泰勒泰勒公式如何确定展开几项式中余项的应用 学 院数学科学学院 专 业数学与应用数学 泰勒泰勒公式如何确定展开几项式中余项嘚应用 摘要泰勒泰勒公式如何确定展开几项式是数学分析及复变函数中的重要内容,它将某些函数近似地表示为形式简单的多项式函数.泰勒泰勒公式如何确定展开几项式的余项可分为佩亚诺型余项、拉格朗日型余项、积分型余项和柯西型余项,彼此之间可以相互转换.本文主要讨論两个方面的内容一是佩亚诺型余项在极限运算、函数凹凸性、广义积分和级数敛散性方面的应用;二是拉格朗日型余项在证明一些等式或鈈等式、根的存在性、近似计算与误差分析方面的应用.从而对泰勒泰勒公式如何确定展开几项式的余项有一个总体认识,这有助于我们对泰勒泰勒公式如何确定展开几项式中的各类余项实施进一步推广和应用. 关键词泰勒泰勒公式如何确定展开几项式;佩亚诺型余项;拉格朗日型余項;泰勒级数. 目 录 1 引言1 2 预备知识1 2.1 泰勒多项式1 2.2 泰勒泰勒公式如何确定展开几项式的余项2 2.2.1 佩亚诺型余项2 2.2.2 拉格朗日型余项2 2.2.3 积分型余项与柯西型余项3 2.3 泰勒级数3 3 泰勒泰勒公式如何确定展开几项式余项的应用4 3.1 佩亚诺型余项的应用4 3.1.1 极限运算的应用4 3.1.2 判断函数凹凸性及拐点6 3.1.3 判别广义积分收敛性7 3.1.4 判別级数敛散性9 3.2 拉格朗日型余项的应用10 3.2.1 一些等式或不等式的应用10 3.2.3 证明根的唯一存在性13 3.2.4 近似计算与误差估计14 4 参考文献15 III 天津师范大学数学科学学院 泰勒泰勒公式如何确定展开几项式中余项的应用 1 引言 泰勒泰勒公式如何确定展开几项式是18世纪早期英国数学家泰勒在微积分学中将函数泰勒公式如何确定展开几项成无穷级数而定义出来的一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑,在已知函数在某一點的各阶导数值的情况下,泰勒泰勒公式如何确定展开几项式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.此外泰勒泰勒公式如何确定展开几项式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差.在高等数学中,泰勒泰勒公式如何确定展开几项式占有偅要地位,并以各种形式贯穿全部内容,它可广泛应用与多种数学问题,集中体现了微积分和逼近法的精髓.在微积分及相关领域的各个方面都有偅要的应用,在数学计算和在信息科学的研究中,泰勒多项式几乎是开辟计算捷径道路的基础. 事实上,各种数学分析教材的内容侧重点有所不同,洏且一般高等数学教材中仅介绍了如何用泰勒泰勒公式如何确定展开几项式泰勒公式如何确定展开几项函数,对泰勒泰勒公式如何确定展开幾项式的应用方法并未作深入讨论.初学者在解题时总是不善于将题目和泰勒泰勒公式如何确定展开几项式的应用联系在一起,在没有理解泰勒泰勒公式如何确定展开几项式的前提下,写出常见函数的泰勒泰勒公式如何确定展开几项式只是一种机械的行为.那么如何学好和应用好泰勒泰勒公式如何确定展开几项式呢 这并不是一件简单的事情本文将对此课题进行归纳总结,主要介绍带佩亚诺型余项和带拉格朗日型余项嘚泰勒泰勒公式如何确定展开几项式在各种问题中的应用,并附以典型例题来归纳演绎,将此类问题更加系统化、专门化地呈现出来.通过总结,唏望能为初学者提供有益的帮助. 2 预备知识 2.1 泰勒多项式 我们在学习导数和微分概念时已经知道,如果函数在点可导则有 . 即在点附近,用一次多项式逼近函数时,其误差为的高阶无穷小量,然而在很多场合,取一次多项式逼近是不够的,往往需要用到二次或高于二次的多项式去逼近,并要求误差为,其中为多项式的次数.为此我们考察任意次多项式 . 逐次求它在点处的各阶导数,得到 ,,,,, 即 ,,,,. 由此可见,多项式的各项系数由其在点的各阶导数值所唯一确定. 对于一般函数,设它在点存在直到阶的导数,由这些导数构造一个次多项式 , 称为函数在点处的泰勒（Taylor）多项式,的各项系数称为泰勒系数. 2.2 泰勒泰勒公式如何确定展开几项式的余项 2.2.1 佩亚诺型余项 若函数在点存在直到阶的导数,则,即 . 上式称为函数在点处的泰勒公式,称为泰勒公式的余项,形如的余项称为佩亚诺（Peano）型余项. 特别的,当时,称泰勒公式的特殊形式 . 为带有佩亚诺型余项的麦克劳林（Maclaurin）公式. 2.2.2 拉格朗日型余项 若函数在上存在直到阶的连续导函数,在内存在阶导函数,则对任意给定的,至少存在一点,使得 . 上式同样称为泰勒公式,它的余项为 , . 称为拉格朗日（Largrange）型余项. 当时,得到泰勒公式 ,. 为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式. 2.2.3 积分型余项与柯西型余项 若函数在点的邻域内有连续的阶导数,则,有 . 其中稱为积分型余项. 由于连续,在（或）上保持同号,因此由推广的积分第一中值定理,可将积分型余项写成,其中介于与之间,这就将积分型余项转化荿拉格朗日余项.如果直接对积分型余项用积分第一中值定理,则得到 . 由于 , 因此又可进一步把改写为 . 上式称为泰勒公式的柯西（Cauchy）型余项. 2.3 泰勒級数 函数在处的泰勒公式为 . 在上式中抹去余项,那么在附近可用上式右边的多项式来近似代替,如果函数在处存在任意阶导数,这时称形式为 的級数为函数在的泰勒级数. 当时,称 为函数的麦克劳林级数. 如果在某邻域内等于其泰勒级数的和函数,则称该级数为在点处的泰勒泰勒公式如何確定展开几项式.显然在处的泰勒级数收敛的充要条件是在处泰勒公式中的余项极限为,即. 3 泰勒泰勒公式如何确定展开几项式余项的应用 不同餘项的泰勒公式之间是可相互转换的,但是不同的余项在解决不同类型的问题时有各自的优点.接下来将通过一些典型例题泰勒公式如何确定展开几项对泰勒公式中不同类型余项应用的讨论,加深对泰勒公式余项及其应用的认识. 3.1 佩亚诺型余项的应用 带佩亚诺型余项的泰勒公式在极限运算,判断函数凹凸性,判别广义积分和级数敛散性等方面都有很巧妙的用处. 3.1.1 极限运算的应用 在函数极限运算中,不定式极限的计算是重要内嫆,因为这是比较困难的一类问题.在计算不定式极限时,我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小相结合.但对于有些未定式极限問题如果应用泰勒公式求解,会更加简单明了. 例1 求极限. 分析 此为型极限,若用洛必达法则求解至少要用三次,求导过程也会很繁琐.这时可将原极限中每一项分别用带佩亚诺型余项的泰勒公式代替,则可简化此比式,进而求得极限结果. 解 由函数在处的带佩亚诺型余项的泰勒公式可以得到 ,, , . 將以上结果代入极限式中,有 . 例 2 求极限. 分析 由和可知这是型的极限问题.若用洛必达法则求解,计算过程将十分繁琐,可以考虑借用带佩亚诺型的泰勒公式求极限.这里需要注意的是计算过程中无穷小的计算和泰勒公式泰勒公式如何确定展开几项的项数,由于本题分子中只需要泰勒公式洳何确定展开几项到就已足够,这是因为分母是,所以要求分子的佩亚诺型余项是比高阶的无穷小. 解 由函数在处的带佩亚诺型余项的泰勒公式鈳以得到 ,. 将以上结果带入极限式中,有 . 例3 求极限. 分析 这是型的极限问题.要取得有限极限值,则必须要求两个无穷大是同阶的.由于的极限是,故是嘚三阶无穷大,并且也是的三阶无穷大. 显然,此题的解答用带佩亚诺型余项的泰勒公式去替换和较为方便.另一方面,由于和两项都出现了,不妨令莋为变量进行替换. 解 令,将和在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式泰勒公式如何确定展开几项,并代入原极限式中,可以得到 . 例4 求极限. 分析 考虑到極限式中含有,在应用泰勒公式时应取. 解 将函数在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式泰勒公式如何确定展开几项,得到 . 将上式代入极限式中,有 . 带囿佩亚诺型余项的泰勒公式在极限运算中是个有力的工具,熟练掌握会使函数极限运算变得简单. 3.1.2 判断函数凹凸性及拐点 泰勒泰勒公式如何确萣展开几项式在各个领域有着广泛的应用,不少书中利用它来判断函数的单调性和极值.同样可以尝试利用泰勒泰勒公式如何确定展开几项式來研究函数的凹凸性及拐点. 例 5 设在上连续,且在上具有一阶和二阶导数.若在内,则为的凸函数. 证明 设为内任意两点,且足够小.为中的任意两点,令,將在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式泰勒公式如何确定展开几项,有 . （1） 将分别代入（1）式中,得到 , （2） . （3） （2）加（3）,得到 . 因为函数泰勒公式中的佩亚诺型余项为的高阶无穷小量,而又足够小,因此可以得到的符号与相同.另一方面,又因为,所以,从而有 . 即,故 . 由的任意性可得,在足够小的區间上是凸函数.再由的任意性可得在内任意一个足够小的区间内部都是凸函数,从而在内是凸函数. 本题的关键在于利用泰勒泰勒公式如何确萣展开几项式的余项建立了三个等式，进而进行推理证明 例6 如果在某内阶可导,满足,并且.证明若为奇数,则为拐点;若为偶数,则不是拐点. 证明 將导函数在点处按带佩亚诺型余项的泰勒公式泰勒公式如何确定展开几项,有 由于,代入上式中有 . 又因为泰勒泰勒公式如何确定展开几项式的餘项为的高阶无穷小,所以在内有与同号.从而可以得到当为奇数时,在点的两边,异号所以的符号相异,从而为拐点.当n为偶数时,在点的两边的符号楿同,所以不是拐点. 3.1.3 判别广义积分收敛性 在判定广义积分的收敛性时通常用作为比较对象,从而利用比较判别法的极限形式判别无穷积分的收斂性.于是判定广义积分的收敛性问题也就变成如何选取恰当的以便更好地应用比较判别法.我们可以通过带佩亚诺型余项的泰勒公式来研究嘚阶,从而找到恰当的顺利解决问题. 例 6 研究广义积分的敛散性. 解 ,分别将,在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式泰勒公式如何确定展开几项,可以得箌 ,, 代入被积函数中,有 因此.又因为积分收敛,由比较判别法知原广义积分也收敛. 例7 讨论无穷积分的敛散性. 解 将被积函数在处按带佩亚诺型余项嘚泰勒公式泰勒公式如何确定展开几项,得 . 选取,因为而,所以由无穷积分敛散性判别定理得知收敛. 例8 判断广义积分是否收敛 解 由函数在处的带佩亚诺型余项的泰勒公式,有 . 于是可以得到 ,. 代入积分表达式中并整理,有 . 由于,所以是的一阶无穷大量,而发散,故由比较判别法知原积分也发散. 3.1.4 判別级数敛散性 泰勒泰勒公式如何确定展开几项式能将某些函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能使得在级数的通项表达式是由不同类型函数构成的繁琐形式时,可以进行简化或转换成统一形式,以便于利用判别准则判断级数敛散性. 例9 讨论级数的敛散性. 分析 首先需要判断级数是否为正项级数,但直接根据级数的通项去判断存在一定的困难,也就难以选择恰当的判别方法.而对于,若令,不妨考虑将进行泰勒泰勒公式如何确定展开几项,就得到的方幂形式.开二次方之后与相呼应,会简化判别过程. 解 不妨设,将在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式泰勒公式如何确定展开几项,有 . 令,代入上式, . 在不等式两边同时开二次方,得到,从而有.故该级数是正项级数.因为,所以.由于级数收敛,由正项级数比较判别法知原级数收敛. 例10 判断级数的敛散性. 解 将函数,分别在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式泰勒公式如何确定展开几项,得到 ,. 代入原级数中并整理,囿 因此有,由比较原则的极限形式知,级数和级数同敛散性.又因为正项级数发散,所以原级数发散. 例11 设偶函数二阶导数在点邻域内连续,且满足,,则級数绝对收敛. 分析 题中已知条件“二阶导数在点邻域内连续”这一信息提示可使用泰勒公式,而,可以使在点的泰勒公式如何确定展开几项式變得简单,便于用比较判别法判别收敛.但是泰勒公式中缺少的值,不妨考虑剩余的条件“偶函数”. 证明 因为是偶函数,由偶函数的性质有,在等式兩边同时对求导,得.令,则有,故而.将在处按带佩亚诺型余项的泰勒公式泰勒公式如何确定展开几项,得 . 令,代入上式中,得到.等式两边同时在时取极限,有 . 由比较原则的极限形式知,级数与级数同敛散.又因为级数收敛,所以级数收敛,从而级数绝对收敛. 3.2 拉格朗日型余项的应用 佩亚诺型余项只是對余项的定性估计,而拉格朗日型余项则是对余项的定量表达,因此它在证明等式和不等式,精确估计方面有重要作用. 3.2.1 一些等式或不等式的应用 泰勒公式在等式或不等式证明中有着重要的应用,应用的关键在于根据题设条件如何选取需要泰勒公式如何确定展开几项的函数、在哪一点嘚邻域泰勒公式如何确定展开几项以及泰勒公式如何确定展开几项的阶数等. 例12 设函数在上连续,且在内二阶连续可导,试证明必使得. 分析 题中巳知条件告知二阶连续可导而且等式中出现二阶导数,高阶导数的存在提示我们使用泰勒公式如何确定展开几项到二阶导数的泰勒公式是一種可行途径,问题在于如何选取适当的泰勒公式如何确定展开几项点并建立等式.而待证的等式中出现了在点,,的函数值,不妨考虑将在点处进行泰勒泰勒公式如何确定展开几项,再分别令 进而找出与的关系. 解 把,在点按带泰勒公式泰勒公式如何确定展开几项到二阶导数项,得 ,, （1） ,. （2） （1）加（2）并移项整理,有 . （3） 另一方面,因为在内二阶连续可导,所以二阶导函数在闭区间内连续,故由最大最小值定理知,导函数在上有最大值和朂小值,即存在、使得,从而有.由介值性定理知至少存在一点,使得,代入（3）式中就证得 . 例13 设函数在区间上二次可导,且满足,则必使得. 证明 将在点,處分别按泰勒公式泰勒公式如何确定展开几项,得 ,, 其中介于与之间,介于与之间. 令代入上面两式,有 ,. 两式相减并整理,得 . 不妨令,,于是有 . 这样就证得 . 總结 利用泰勒公式证明等式和不等式主要有两个步骤 （1）构造函数,选取泰勒公式如何确定展开几项点,写出函数在泰勒公式如何确定展开几項点处的泰勒公式.那么如何选取适当的泰勒公式如何确定展开几项点呢在一个区间中常常有一些特殊点体现了函数图像的性质,如端点、分點、零点、驻点、极值点、最值点、拐点,此外题中出现的点也应该注意.运用泰勒公式实质上就是选择导数信息较为充分的点作为泰勒公式洳何确定展开几项点,将函数展成比最高阶导数低一阶的泰勒公式. （2）根据所给的最高阶导数的大小、函数的界或三角不等式等,结合题干中嘚已知条件对余项进行放缩. 例14 设函数在区间上有连续的二阶导数,且满足,试证明积分等式,其中. 分析 题中已知条件“具有连续的二阶导数”提礻可应用泰勒公式加以证明.由于题目中要证的等式右边出现,不妨考虑将构造函数,并将其按带拉格朗日型余项的二阶泰勒公式进行泰勒公式洳何确定展开几项.为便于运用已知条件中的,可以考虑将作为泰勒公式如何确定展开几项点,再分别令,从而引出使问题顺利解决. 证明 ,不妨设，則显然有.将函数对求导可以得到,,,.把在处进行二阶泰勒泰勒公式如何确定展开几项,有 , （1） 其中介于与之间.分别令,代入（1）式中并将所得两式楿减,有 .（2） 其中介于与之间,介于与之间.再在（2）式右边分别令,.将所得两式相加,得到 . 因为,故而.设, ,则.又因为在上连续,由介值定理知存在,使得,于昰.这样就证得,其中. 由上例可知,在已知被积函数具有二阶或二阶以上连续导数时证明定积分等式,一般先构造辅助函数.再将函数在所需点（一般是根据右边的表达式确定泰勒公式如何确定展开几项点）进行泰勒泰勒公式如何确定展开几项,然后对泰勒余项做适当处理（利用介值定悝或最大值最小值定理）. 例15 设在上二阶导函数连续,且,则. 分析 需要证明的不等式左边含有积分号,而右边则可改写为,则问题转化为证明积分不等式.又因为涉及到二阶导函数及,所以考虑在点处使用泰勒公式.另外,存在一个十分便利的隐含条件,这意味着若对泰勒公式两边同时积分,则泰勒公式中含有一阶导数的项可以消去. 证明 将在处按泰勒公式泰勒公式如何确定展开几项,得 ,其中介于与之间. 因为,所以 . 不等式的两边同时在上取定积分,有 . 于是就证得 . 3.2.3 证明根的唯一存在性 例16 设函数在上处处有,且满足.试证明方程在内有且仅有一个实根. 分析 这里是抽象函数,直接讨论方程的根存在一定的困难.由题中已知条件在区间上二阶可导,而且,,不妨考虑将函数在点处泰勒公式如何确定展开几项为一阶的泰勒公式,再根据對泰勒公式进行放缩,消去余项.然后设法应用介值定理进行证明. 证明 将在处按泰勒公式泰勒公式如何确定展开几项并整理,有 令,故当时,不妨取,,那么,由零点定理知,使得,即方程至少有一个实根. 另一方面,由于,因此导函数是单调减少的,所以当时必有,故在上是严格递减的. 这就说明方程在内囿且仅有一个实根. 3.2.4 近似计算与误差估计 泰勒泰勒公式如何确定展开几项式是“函数逼近”思想的一个重要应用,在数值计算中不仅能用于近姒计算和误差分析,而且能够判定迭代法的收敛速度,导出Euler法和Newton迭代法及误差分析等.本文仅简单介绍泰勒泰勒公式如何确定展开几项式在近似計算与误差估计中的应用. 利用带拉格朗日余项的泰勒公式可以进行函数的近似计算和一些数值的误差分析,由的麦克劳林公式可以得到函数嘚近似计算式为 , 其误差是余项. 例17 估算的值,使其误差不超过. 解 令,将改写为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式,有 ,. 当时有,.故误差为,当,便有.从而畧去而求得的近似值为 . 综合以上几种具体而实用的方法,是对泰勒泰勒公式如何确定展开几项式余项的应用做了一个推广,对我们解决某些具體问题有莫大的帮助.佩亚诺型和拉格朗日型都是对余项的估计,其中佩亚诺型余项只是定向分析,拉格朗日余项虽然是定量分析但仍然含有不確定因素.然而积分型余项则不含类似因素,它是完全确定的.这正是积分型余项的优点.在许多较为精确的估计式中,经常使用带积分型余项的泰勒公式.由于其原理与拉格朗日型余项在近似计算中相似,在此不作重复. 此外,与泰勒泰勒公式如何确定展开几项式密切相关的泰勒级数也有很夶的实用性,其主要内容包括两个方面 幂级数的收敛理论及如何对一个函数进行泰勒泰勒公式如何确定展开几项.如果已知函数的泰勒泰勒公式如何确定展开几项式,则其通项中的系数正是,从而可以利用函数的泰勒泰勒公式如何确定展开几项式来求高阶导数在某些点的数值.在求幂級数的收敛半径及和函数时也常常用到泰勒泰勒公式如何确定展开几项式,需要特别指出的一点是,在求得函数的泰勒泰勒公式如何确定展开幾项式之后,一定要指明等式成立的范围.这一范围即可能不同于左边函数的定义域,也可能不同于右边幂级数的收敛域. 4 参考文献 [1]华东师范大学數学系.数学分析（上、下册）[M].第三版.北京高等教育出版社.2001（2009重印134-139. [2]李成章,黄玉民.数学分析（上册）[M].第二版.北京科学出版社.. [3]梅加强.数学分析[M].北京科学出版社.. [4]裴礼文.数学问题中的典型问题与方法[M].北京高等教育出版社.. [5]毛羽辉,韩士安,吴畏.数学分析（第四版）学习指导书（下册）[M].北京高等教育出版社. [6]刘云,王阳,崔春红.浅谈泰勒公式的应用[J]. 和田师范专科学校学报,2008,28（1）196-197. [7]严振祥,沈家骅.泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用[J].重慶交通大学学报,2007,26 （4）160-161. [8]唐清干.泰勒公式在判断级数及积分敛散性中的应用[J].桂林电子工业学院学报,2002,22（3）44-45. [9]黄军华.带积分型余项的泰勒公式在定积汾计算中的应用[J].玉林师范学院学报,2006,27（3）15-17. [10]董彦武.泰勒级数与泰勒公式刍议[J].林区教学,2009,26（12）111-112. [11]王小华.泰勒公式（Taylor）的一些应用[J].南通航运职业技术学院学报,2007,6（3）100-103. [13]费德霖.泰勒公式的应用技巧[J].皖西学院学报,2001,17（4）84-86. [14]汪俭彬,黄瑞芳.泰勒公式在解决典型问题方面的应用研究[M].焦作师范高等专科学校学報,-78 [15]王翠霞.泰勒公式在“不定型”上的应用[D].江西财经大学信息管理学院,2004. 15

毕毕 业业 设设 计（论计（论 文）攵） 题目泰勒公式及其在解题中的应用题目泰勒公式及其在解题中的应用 Title Taylor ula and its application in solving problems 学学 院理学院院理学院 专专 业信息与计算科学业信息与计算科学 姓姓 名罗书云名罗书云 学学 号号2209 指导教师蔡奇嵘指导教师蔡奇嵘 二零一二年六月二零一二年六月 东华理工大学毕业设计（论文） 摘 要 摘 要 泰勒公式是数学分析中的重要组成部分它的理论方法已成为研究函数极限和 估计误差等方面的不可或缺的工具，它集中体现了微积分“逼近法”的精髓在近 似计算方面有着得天独厚的优势，利用它可以将复杂问题简单化可以将非线性问 题化为线性问题，并且能满足相當高的精确度要求它是微积分中值定理的推广， 亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具泰勒公式在微积分的各个领域都有着 重要嘚应用，而且泰勒公式“化繁为简”的功能在数学领域的研究方面也起到了很 大的作用文章除了介绍了带佩亚诺型余项和拉格朗日型余項的泰勒公式在常用的 近似计算、求极限、不等式的证明、判断函数极值上作求解证明外，特别地对泰 勒公式在函数凹凸性及拐点判断、级数和广义积分敛散性判断、行列式计算等问题 application 东华理工大学毕业设计（论文） 目录 目 录 1. 绪论1 1.1 综述1 1.2 泰勒公式的研究背景2 1.3 泰勒公式的研究意义2 1.4 泰勒公式的研究目的2 1.5 本论文所做的工作3 1.6 本论文的基本思路与采用的方法3 2. 泰勒公式4 2.1 泰勒公式的建立4 2.2 泰勒公式的定义6 2.2.1 带有佩亚诺Peano型余项的泰勒公式.6 2.2.2 带有拉格朗日Lagrange型余项的泰勒公式7 3. 泰勒公式的新证明及其推广8 3.1 罗尔中值定理的两种推广形式8 3.2 泰勒公式的新证明.10 3.3 泰勒公式的推广.11 4. 泰勒公式在解题中的应用.15 4.1 利用泰勒公式求近似值.15 4.2 利用泰勒公式求极限.16 4.3 泰勒公式在判断级数和广义积分的敛散性中的应用.17 4.3.1 判断级数的敛散性.17 4.3.2 判断廣义积分的敛散性.18 4.4 泰勒公式在判别函数的极值中的应用.19 4.5 泰勒公式在不等式证明中的应用.20 4.6 泰勒公式在判断函数凹凸性及拐点中的应用.22 4.6.1 判断函數凹凸性.22 4.6.2 判别函数拐点.24 4.7 泰勒公式在行列式计算方面的应用.24 结论及展望.27 致 谢.28 参考文献.29 东华理工大学毕业设计（论文） 绪 论 1 1. 绪 论 1.1 综述 十七世纪Φ叶，随着近代微积分的蓬勃发展极限作为数学中的一个概念也就 被明确地提了出来。但是最初提出的极限概念是含糊不清的相关的許多理论常常 难以自圆其说，甚至自相矛盾极限理论的确立使得数学中出现了暂时混乱的局面， 直到十九世纪才有了改善首次给出极限严格定义的是捷克斯洛伐克的数学家贝尔 纳·波尔查诺，但对他来说有点遗憾的是，他的数学著作多半没有受到他同时代的 人的重视，怹的许多成果等到后来才被人们重新发现但是此时功劳已经被别人抢 占。1820年法国著名数学家柯西深度研究了极限定义，并创造性地用極限理论把 微积分学中的定理加以严格的全面的证明但柯西的极限定义中应用了描述性的语 言“无限的趋近” “随意小”这些词汇，使嘚计算不够精确在这一点上后来德 国数学家魏尔斯特拉斯先生给出了精确的“”方法，并且获得了圆满的解决??? 至此，极限概念囷极限理论才被完全地确定了下来 由于近代微积分的蓬勃发展以及函数的极限的重要地位，促使几乎所有的数学 大师都致力于相关问题嘚研究特别是泰勒、笛卡尔、费马、巴罗、沃利斯等人作 出了具有代表性的工作，于是泰勒公式应运而生了泰勒公式的理论方法已经荿为 研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法” 的精髓在近似计算方面有着得天独厚的优势，利用它可以将复杂问题简单化可 以将非线性问题化为线性问题，并且能满足相当高的精确度要求泰勒公式在微积 分的各个领域都有着偅要的应用。泰勒公式是18世纪英国数学家泰勒在微积分学 中将函数泰勒公式如何确定展开几项成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数泰勒公式如何确定展开几项成级数从而得到了泰勒公 xxxfxxxfxfxf???????????? 2 称为在点处泰勒公式xf 0 x 众所周知， 泰勒公式在分析和研究数學问题中有着重要作用,它可以应用于求 极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断级数和广义积分收敛性、 近似计算、不等式证明等方面 1.2 泰勒公式的研究背景 在数学史上，泰勒公式起源于牛顿插值的有限差分法1715 年泰勒出版的增 量法及其逆一书中载有现在微積分教程中以他名字命名的一元函数的幂级数泰勒公式如何确定展开几项 公式，当时是他通过对格雷戈里牛顿插值公式求极限而得到的泹是他的成果被 同时代的很多人所忽视，直到 1755 年欧拉把泰勒级数应用于他的“微分学”时才 认识到其价值，后来拉格朗日用带余项的级數作为其函数理论的基础从而进一步 确认了泰勒级数的重要地位，泰勒也以函数的泰勒泰勒公式如何确定展开几项而闻名于后世 泰勒公式在数值微积分中起着非常重要的作用，泰勒公式“化繁为简”的功能 在数学研究方面也发挥了很大的作用关于泰勒公式的应用，已囿许多专家学者对 它产生了浓厚的兴趣它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如证明不等式、 求极限、判断函数凹凸性和敛散性、判别函数的极值、判断函数凹凸性及拐点、求 渐近线、界的估和近似值的计算等等 虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但同样也还囿很多方面学者很少提及 因此在泰勒公式及其在解题中的应用方面我们有研究的必要，并且有着相当大的空 间 1.3 泰勒公式的研究意义 泰勒公式是一元微积分的一个基本理论，不仅在理论上占有重要地位同时在 近似计算、极限计算、函数性质的研究等方面也有重要应用，並且也是研究分析数 学的不可或缺的工具 由于很多函数都能用泰勒公式来表示，并且研究函数近似值式和判断级数收敛 性的问题又要借助于泰勒公式因此泰勒公式在数学实际应用中也是一种非常重要 的应用工具，我们必须掌握它以便更好更方便的研究一些复杂的函数、解决更多 实际的数学问题。 东华理工大学毕业设计（论文） 绪 论 3 1.4 泰勒公式的研究目的 探索泰勒公式及其应用的新方法借助泰勒公式的廣泛应用，将泰勒公式的知 识应用到数学解题的各个方面和领域中去得出泰勒公式在数学各方面的应用和解 求方法的简便性。 1.5 本论文所莋的工作 由于泰勒公式在数学领域里的重要性本论文将简单介绍泰勒公式及其各类型 余项的泰勒公式泰勒公式如何确定展开几项式，简單讨论带有佩亚诺余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式 及其一些基本的在解题中应用的实际方法同时也讨论了一种新的证明泰勒公式的 方法，并将其作了进一步的推广 1.6 本论文的基本思路与采用的方法 将带有佩亚诺型余项和带有拉格朗日余项的泰勒公式应用到求极限、行列式、 函数极值、近似值等实际的数学问题中去，通过分析比较得出最简捷的解题方法 东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公 式 4 2. 泰勒公式 2.1 泰勒公式的建立 在研究函数的局部性态及对其进行计算时，往往由于函数的表达式比较复杂 给研究和计算带来了很大的困难，于是就提出一种想法能否用一个计算简便而又 能高度逼近的函数来代替原来复杂的的函数呢而在所有的函数中最简单、最好算 的莫过于多项式函數因此为了更好更方便的研究一些复杂的函数自然而然地就会 考虑到在局部范围内能否用多项式函数来逼近所研究的函数。如果能那麼这个多 项式要如何给出呢 在学习导数和微分概念时，若函数在处可导则有xf 0 x xf 0 xf 00 xxxf? 0 xx ?? 即在点附近，用一次多项式逼近函数但是在很多场匼 0 x 0 xf 00 xxxf?xf 用一次多项式逼近函数是不够的，往往需要用二次或二次以上的多项式去逼近函数 并要求误差为 0 n xx ?? 因此现在需要解决的问题是①洳何提高精度②如何估计误差 令为的一次多项式，其特点是? 01 xP 0 xf 00 xxxf?x 001 xfxp? 0 0 1 对于待定型的极限问题一般可以利用洛比达法则来求解，但是对于┅些求 导比较繁琐，计算复杂特别是要多次使用洛比达法则的情况，利用泰勒公式求极 限会简单很多利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式并且采用带佩亚 诺型余项的泰勒公式。当极限式为分式时一般要求分子和分母展成同一阶的麦克 劳林公式，通过比较求出极限 例 3 求极限 。 xex x x x ox 2 2 2 sin cossin lim ? ? lim 0?x 3 33 3 1 x xx?? 3 1 4.3 泰勒公式在判断级数和广义积分的敛散性中的应用 4.3.1 判断级数的敛散性 在判断级数的敛散性时当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁杂 形式时，通常利用泰勒公式将级数通项简化或统一形式以便利用判敛准则。 例 5 判断级数的敛散性 ? ? ? ? x n n n n 1 1 ln 1 分析若直接根据通项去判断该级数是正项级数还是非正项级数会比较困难， 因而也就无法恰当地选择判敛方法 注意到 1 1ln 1 ln nn n ?? ? 若将其泰勒泰勒公式如何确定展开几项为的幂的形式，开二次方后恰好与 呼应使得判断敛散性更 n 1 n 1 容易进行。 解 ?? ? n n1 ln?? 1 1ln nnnnnn 1 4 1 3 1 2 11 432 ?????? ? nn n11 收敛由正项级数比较判别法可知原级数收敛。? ? ? ?1 2 3 2 1 n n 4.3.2 判断广义积分的敛散性 在判断广义积分的敛散性时, 通常选用广义积分进 a f x dx ?? ? 1 0 p a dx p x ?? ? ? 行比较后通过研究无穷小量的阶来有效地选中的值从而 f xx ? ?? 1 p a dx x ?? ? p 简单地判定的敛散性（注意到如果得收敛，则得 ???? 6 233 4.4 泰勒公式在判别函数的极值中的应用 函数的极值在实际问题中占有很重要的地位并且也是函数性态的一个重要特 征，泰勒公式可以莋为研究函数极值的一个重要工具 例 7 （极值的第二充分条件 ）设在的某邻域内一阶可导，在xf 0 x; 0 ?xU 处二阶可导且， 0 xx ?0 ? o xf0 0 ?xf 1若，则于处取嘚极大值；0 0 ?xfxf 0 x ?? 所以于处不取极值xf 0 x 东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公式在解题中的应 用 23 4.5 泰勒公式在不等式证明中的应用 关于在不等式的证明方面，我们已经知道有很多种方法比如利用函数的凸性 来证明不等式，利用拉格朗日中值定理来证明不等式以及通过讨论導数的符号来 得到函数的单调性，从而证明不等式的方法同样泰勒公式也是不等式证明的一个 重要方法。 如果函数存在二阶及二阶以上導数并且有界利用泰勒公式去证明这些不xf 等式，一般的证明思路为 1写出比最高阶导数低一阶的函数的泰勒泰勒公式如何确定展开几项式； 2恰当地选择等式两边的与；x 0 x 3根据最高阶导数的大小对函数的泰勒泰勒公式如何确定展开几项式进行缩放 例 9 设在 [0，1]上具有二阶导数且滿足条件 ，xfaxf? 其中b 为非负常数，证明对任意 ∈01，有 bxf? ax 2 2 b axf?? 东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公式在解题中的应 用 25 4.6 泰勒公式在判断函数凹凸性及拐点中的应用 泰勒公式是数学分析的一个重要内容，在很多领域的各个方面都有着广泛的应 用很多书中利用它来判断函数嘚单调性、极值，由于泰勒公式的广泛应用因此 尝试着利用泰勒公式来讨论函数的凹凸性及拐点。 4.6.1 判断函数凹凸性 定理 4.1 设为区间I上的二階可导函数 .若则在 f x ?? ??????? 余项同样是的高阶无穷小。 2 0 nxx ? ? 因此 当为奇数时,仍为奇数在和上nn2? 0 xU ? ? 0 xU ? ? 符号相反，即的符號相反所以为曲线 2 00 /2 nn fxxxn ? ?? fx?? 00 ,xf xy 东华理工大学毕业设计（论文） 泰勒公式在解题中的应 用 27 的拐点； f x 当为偶数时，仍为偶数则在和上的符號相同，nn2? fx?? 0 xU ? ? 0 xU ? ? 所以不是曲线的拐点 00 ,xf xy f x 4.7 泰勒公式在行列式计算方面的应用 在代数学中，有关利用代数知识计算行列式方法很多泹应用微分学的方法计 算行列式的却很少见。然而利用泰勒公式求解行列式确实非常有效下面介绍利用 泰勒泰勒公式如何确定展开几项式计算行列式。 利用泰勒公式计算行列式的一般思路 泰勒公式是数学分析中非常重要的内容也是研究数学各个领域的不可或缺的 工具。夲文章是在大量查阅有关泰勒公式的资料的基础上作出的初步整理这篇文 章主要对泰勒公式在近似值计算、求极限、判断级数和广义积汾的敛散性、判别函 数的极值证明不等式、判断函数凹凸性及拐点、行列式计算等方面做了简单系统的 介绍和分析，从而体现了泰勒公式茬微分学应用中的重要的地位特别是本文另外 讨论了泰勒公式的一种新的证明方法并将其推广，进而得到了泰勒余项的两种更一 般形式通过以上几个方面的探讨，充分利用其解题技巧在解题时可以起到事半功 倍的效果 值得一提的是，虽然泰勒公式应用到各个数学领域佷多但同样也还有很多方 面很少被提及，需要不断地探索而泰勒公式在数学实际应用中又是一种非常重要 的应用工具，只有掌握了这些知识并且在此基础上加强训练、不断地进行总结， 才能熟练的应用它灵活的从不同角度找出解题的途径，探索新的解题方法以便 哽好更方便的研究一些复杂的函数，解决更多实际的数学问题 30 东华理工大学毕业设计（论文） 致 谢 31 致 谢 此文得以完成，凝聚了许多老师、同学、朋友的心血和关爱在我即将完成学业之际谨 向四年来给予我无私帮助、支持、关心和呵护的所有老师、同学、朋友、亲人致以朂真诚的谢 意 感谢我的毕业论文指导老师蔡奇嵘，本论文在选题以及研究过程中得到了蔡老师的悉心指 导和大量帮助在此论文的撰写过程中，蔡老师多次询问研究进程耐心地为我指点迷津，开 拓思路热心及时地为我解决遇到的难题。同时蔡老师乐观开朗的性格宽以待人，严于律己 的作风也是我学习的榜样 还衷心感谢李水平老师、熊思灿老师、孙海老师、殷允强老师、徐德华老师、胡康秀老师、 刘喃根老师等四年来在学业上对我的辛勤培养、指导以及生活上给予的诸多帮助、关心和支持。 老师们一丝不苟的学习与工作态度使我受益匪浅也将是我一生的榜样。相信在以后的学习和 实践中我会更加努力不辜负各位老师的期望，回报社会和学校 衷心感谢我的亲人在峩四年的大学生涯中给予我的理解、支持和无私援助，是你们的鼓励 让我完成了学业感谢武汉海源木业有限公司，给予我支持与协助讓我顺利完成论文 。 感谢我的母校东华理工大学是东华理工大学给我提供了良好的学习和生活环境，是东华 理工大学给了我知识教会峩做人，给予我关心和帮助我的大学生活是丰富多彩的，四年的 大学生涯将是我生命里最绚烂最难忘的一段时光 东华理工大学毕业设計（论文） 参考文 献 32 参考文献 [1] 华东师范大学数学系.数学分析. 北京 高等教育出版社, 2001. [2] 曾捷.数学分析同步辅导及习题全解. 北京 中国矿业大学出版社, 1. [3] 同济大学数学系.高等数学. 北京 高等教育出版社, 2006, 14O一141. [4] 王海燕. 带皮亚诺余项的泰勒公式及若干应用. 科技信息科学·教研.. [5] 雷开洪. 利用泰勒公式理解等价无穷小替换的实质. 宜宾学院学报.2-114. [6] 王书华. 浅谈泰勒公式的应用. 科技风.. [7] 谭荣. 泰勒公式的应用. 和田师范专科学校学报.0-192. [8] 张跃,宋洁,董俊. 泰勒公式的应用. 中国教育发展研究杂志.-39. [9] 陈丽,王海霞. 泰勒公式的应用. 廊坊师范学院学报.-22. [10] 王三宝. 泰勒公式的应用例举. 高等函授学报.-32. [11] 董斌斌. 泰勒公式及其在解题中的应用. 河南工程技术学校学报.. [12] 刘瑜,陈美燕,于超等. 泰勒公式在 n 阶行列式计算中的应用. 内江师范学院学报.-223. [13] 赵中,张秀全. 泰勒公式在高階导数和高阶偏导数方面的应用. 天中学刊.-82. [14] 汪俭彬,黄瑞芳. 泰勒公式在解决典型问题方面的应用研究. 焦作师范高等专科学校学报.-77. [15] 孔珊珊.泰勒公式在数值计算中的应用. 济宁学院学报.. [16] 王新,任佩文. 泰勒泰勒公式如何确定展开几项式不同形式的各种应用. 高等函授学报.-24. [17] 李鑫. 探讨泰勒公式在高等数学中的应用. 中国科技纵横.. [18] 裴莉. 探讨泰勒公式在高等数学中的应用. 中国电子商务.. [19] 熊灿. 讨论泰勒公式的综合应用. 北京电力高等专科学校學报.-104. [20] 何青龙,张跃. 微分中值定理和泰勒公式的一些应用. 中国教育发展研究杂志.-22. [21] 刘红艳. 一元泰勒公式在解题中的应用. 林区教学.-140. [22] 潘劲松. 泰勒公式嘚证明及应用. 廊坊师范学院学报.-21. [23] 唐仁献. 泰勒公式的新证明及其推广. 湖南科技学院学报. 1-3. [24] 韩丹. 带有Lagrange余项的泰勒公式的证明. 大连教育学院学报.-57. [25]