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尔雅通识课《西方文明通论》参考答案.doc121页
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尽管被奉为代数几何的上帝，格罗腾迪克在60年代的工作状态就像是数学虔诚的奴仆。       据法国媒体《Liberation》报道，亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）于当地时间11月13日在法国阿列日省的Saint-Girons医院病逝，享年82岁。他是20世纪最伟大的数学家之一、1966年菲尔兹奖得主、一个孤独而狂热的科学理论至上者，亦是坚定而执着的和平主义家。在无数数学迷的眼中，20世纪的代数几何涌现过许多天才和菲尔兹奖，但上帝只有一个，就是格罗滕迪克。颠沛的童年       日格罗滕迪克出生于德国柏林，犹太裔的身份令他们一家人在战争期间都举步维艰几经辗转。他的父亲沙皮诺是个无政府主义者，曾经参加过沙皇俄国的多次暴动，是监狱的常客，在一次逃避被警察抓获而尝试自杀的行动中丢失了一只胳膊；而他的母亲琼娜是一位热衷于先锋派和社会革命运动的作家。1942年格罗滕迪克的父亲在奥斯维辛集中营被害，他则和母亲一同被带到了法国洛泽尔省的里厄克罗集中营。父母的政治倾向一定程度上影响了尚年幼的格罗滕迪克，而在战争中颠沛流离、与家人聚少离多的经历也为他后来坚定地反战情结埋下了伏笔。       战争结束以后，格罗滕迪克和母亲搬到了法国的蒙彼利埃，在当地一所学校注册学习数学课，不过他可算不上是个传统意义上的“好学生”，鲜少上课。他认为课堂的教育重复性太高，而且并不能触及真正核心的问题，于是他总是自己钻研关于长度、面积和体积的概念。在1985年出版的自传《收获与播种》中，他认为正是这一时段的经历标志着他独立研究的开始，并且引导他重新发现了勒贝格积分。       1948年，结束了三年在蒙彼利埃的学习后，格罗腾迪克来到了当时法国的数学重镇——巴黎，在巴黎高等师范大学就读的一年中，他碰到了包括克劳德·夏瓦雷(Claude Chevalley)，让·德尔萨(Jean Delsarte)，让·丢多涅(Jean Dieudonne)，罗杰·苟德曼(Roger Godement)，洛朗·施瓦兹(Laurent Schwartz)和安德烈·韦依(Andre Weil)等在内的许多数学界响当当的人物。尽管天资聪颖，格罗腾迪克仍被师范大学“根正苗红”的学者们视为外来者，在导师嘉当的建议下，1949年10月他离开了巴黎的高雅氛围去到了南锡，那时格罗腾迪克的兴趣是拓扑线性空间。       在南锡的研究过程中，格罗腾迪克展现了他的超凡才能，他的一位同事这样评价，“他不是从读书中去学习新的知识，而宁愿自己去重新建构这些知识。”1953年，当学校要授予他博士学位的时候，格罗腾迪克交出了六篇有很高水准的论文，而导师们不得不在其中选择一篇。最终他被选定的博士论文为“拓扑张量积和核型空间”，这是他首次显示出一般性思考的迹象，而这种对普适规律的探索贯穿他的整个学术生涯。现在早已得到广泛应用的核空间概念，也是首次在这篇文章中提出的。“他改变了整个数学的全貌”       之后格罗腾迪克先后去到在巴西和美国的大学，并开始投入到同调代数的研究中去。也是在那个时间段，他开始和法兰西学院的让·皮埃尔·塞尔通信。两位数学家之间的通信在2001年出版了法文原版，从信件中可以看出，格罗腾迪克充满了天马行空的想象，而塞尔则是那个将他拉回地球的人。普林斯顿高等研究院的阿曼德·波莱尔曾回忆说，“我很确定某些一流的工作必将出自于他（格罗腾迪克）。不过最后出来的比我想象的甚至还要高出很多。这就是他的黎曼－洛赫定理，一个相当美妙的定理。它真是数学上的一个杰作。”       经典形式的黎曼－洛赫定理在19世纪中叶得到证明。它讨论的问题是：在一个紧致黎曼曲面上，由那些极点在给定的有限多个点上，且具有最多给定次数的阶的亚纯函数构成的空间的维数是多少？问题的答案就是黎曼－洛赫公式，1953年弗里德里希·赫兹布鲁克(Friedrich Hirzebruch)将黎曼－洛赫定理推广到不仅适用于紧致曲面，而且适用于复数域上的射影非奇异簇的情况。可正当学术界欢呼这一问题得到完满解决之时，格罗腾迪克站了出来，不，黎曼－洛赫定理不是一个关于簇的定理，而是一个关于簇间态射的定理，他将范畴论的基本哲学，应用到了数学问题上，而这在当时堪称前沿。       1958年8月，格罗滕迪克在爱丁堡举行的国际数学家大会上作了一个报告。他的这场报告不是对他过去已得成果的验收，而仿佛是未来十年工作的预告，而他的目标就是要证明韦伊猜想，这一猜想揭示了代数簇构成的离散世界和拓扑形成的连续世界的丰富联系。       同年，巴黎高等科学研究所（Institut des Hautes Scientifiques, IHES）正式成立，格罗腾迪克是创始人之一。在IHES期间，他开启了自己的代数几何王国，后来被誉为代数几何的圣经的《代数几何基础》（EGA）首八卷就是在年间与让·迪厄多内合作完成。复旦大学数学系的王庆雪老师说，高等科学研究院新建时并没有什么地位，而它迅速成为代数几何的研究中心很大程度上是因为格罗腾迪克的存在，现在它是世界上几个最重要的数学研究所之一。       尽管被奉为代数几何的上帝，格罗腾迪克在60年代的工作状态就像是数学虔诚的奴仆。和同事探讨问题、指导学生研究、与其他专家交流、撰写EGA，格罗腾迪克在整整十年中每周七天每天十二个小时地研究代数几何的基础，而几乎没有数学以外的任何爱好。这种苦行和对生活的天真热情很容易让人想到同时代的另一位伟大数学家约翰·纳什，不过纳什喜欢挑战那些被同行认为最重要、最有难度的问题，而格罗腾迪克则更中意建构理论，他“有一种关于数学可能是什么的高屋建瓴般的观点”。 密歇根大学教授海曼·巴斯就曾评价格罗滕迪克用一种“宇宙般普适”的观点改变了整个数学的全貌。狂热的和平战士和隐士       1966年，正值其学术状态巅峰的格罗腾迪克被授予了菲尔兹奖章，不过他拒绝参加在莫斯科举办的受奖仪式以示对苏联政府的抗议。1968年全世界范围内的学生抗议示威和社会巨变也影响到了巴黎，成千上万的学生、工人和市民上街抗议警察暴力，数百万工人开始罢工，整个国家瘫痪了两周之久。       1969年，和IHES所长Leon Motchane关于研究所来自军事方面的资助的冲突成为了逼迫格罗腾迪克离开他所钟爱的数学研究的最后一根稻草。在发现高等研究院接受了陆军部长的一笔基金，并且将他所研究的代数几何用来编制密码投入军事时，格罗腾迪克愤怒地辞职，转向裁军活动和经营农场。       格罗腾迪克投入政治的步伐很突然，但也很坚决。1970年6月在巴黎南大学的一次讲演里，他没有如观众所期待的那样大谈他的代数几何，而是谈论了核武器增多对人类生存造成的威胁，并呼吁科学家们不要以任何形式同军方合作。有人回忆他在演讲中甚至说，“考虑到这些对于人类迫在眉睫的威胁，数学研究实际上是有害的。”另一方面，他在7月成立了名为“生存”的组织，旨在为在环境恶化和军事冲突下人类的生存而战。       不过，与坚定的反战信念形成鲜明对比的，是他对于政治现实近乎孩童般的天真和无知。据他的好友Cartier回忆，1965年法国一次未确定结果的总统大选后，报纸的头条是“戴高乐还没有被选上”，格罗腾迪克就询问他：这是否意味着法国将不会有总统了？Cartier不得不向他解释什么叫做重选。       1983年6月到1986年2月间，他完成了一本非典型的自传《收获与播种：一个数学家过去的回顾和证词》。       1988年4月，瑞典皇家科学院授予他和皮埃尔·德利涅的克拉福德奖，却被他拒绝。为此，他回应了一封长信，信中对当下科学职业的道德规范表示最深的担忧，他说“同事间纯粹或者简单的盗窃（特别是以那些无力保卫自己的人为代价的）几乎成为了一条普适法则而且无论怎样都为大家所容忍，即使在最明目张胆和最不公正的情形。”同年，60岁的他从蒙特利尔大学退休，继续住在该区一个叫Les Aumettes的村庄，过上了近乎隐居的生活。       2010年，格罗腾迪克从他的“藏身之地”——比利牛斯山脚的一个小镇，给他远在巴黎的朋友写了一封信，要求禁止传播他的所有著作。不久，由他的“死忠粉”建立起的“格罗腾迪克圈”网站，就将他手稿的电子版连同其他著作一并删除了。他最后一次对外的发声，彻底让他隐匿在了世人的视线中。这位仿佛来自虚空的思想者，一直孤独地在前方领跑，现在，你终于可以安息了。       （本文参考自2004年《美国数学学会通讯》杂志刊登的《仿佛来自虚空》和《当代数学精英——菲尔兹奖得住及其建树与见解》）       
(原标题：20世纪的代数几何天才很多，可上帝只有格罗腾迪克一个)
本文来源：澎湃新闻网
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从欧几里得几何到非欧几何
【读者按】欧几里得(Euclid，约公元前330~275)的《几何原本》是一部划时代的著作，其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的典范。公元7世纪以前的所谓几何学，都只限于一些具体问题的解答，并且是十分粗糙的、零碎的、片段的和单凭经验的。当积累起来的几何知识相当丰富时，把这一领域的材料系统地整理，并阐明它们的关系，就显得十分必要了。由于几何学本来的对象是图形，研究它必然要借助与空间的直观性。但是直观性也有不可靠的时候，因而在明确地规定了定义和公理的基础上，排除直观性，建立合乎逻辑的几何学体系的思想在古希腊时代就已经开始。欧几里得就是在这种思想的基础上，编著完成了他的《几何原本》。
《几何原本》的第一卷是全书逻辑推理的基础，给出全书最初出现的23个定义，5条公设，5条公理：
(1) 点没有部分。
(2) 线有长度，而没有宽度。
(3) 线的界限是点(注：《几何原本》中没有伸展到无穷的线)。
(4) 直线是同其中各点看齐的线。
(5) 面只有长度和宽度。
(6) 面的界限是线。
(7) 平面是与其上的直线看齐的面。
(8) 平面上的角是在一个平面上的两条相交直线的相互倾斜度。
(9) 当形成一角的两线是一直线时，这个角叫做平角。
(10) ~(22)(略)(是关于直角、锐角、钝角、圆、三角形、四边形等的定义)。
(23)平行直线是在同一个平面内，而且往两个方向无限延长后，在这两个方向上都不会相交的直线。
关于几何的基本规定的5条公设：
(1) 从每个点到每个其它的点必定可以引直线。
(2) 每条直线都可以无限延伸。
(3) 以任意点作中心，通过任何给定的点另一点，可以作一个圆。
(4) 所有的直角都相等。
(5) 同平面内如有一条直线与另两条直线相交，且在前一条直线的某一侧所交的两内角之和小于两直角，则后两条直线无限延长后必在这一侧相交。
关于量的基本规定的5条公理：
(1) 等于同量的量相等;
(2) 等量加等量，总量相等;
(3) 等量减等量，余量相等;
(4) 彼此重合的量是全等的;
(5) 整体大于部分。
欧几里得在此基础上运用逻辑推理，导出了许许多多的命题(在《几何原本》中包含了465个命题)，从而构成了欧几里得几何学。
由前三个公设限定了用圆规和无刻度的直尺可以完成哪些作图，因此这两件仪器被称为欧几里得工具，使用它们可以完成的作图称为欧几里得作图，即尺规作图。这种作图增加了几何学的趣味性。人们花费大量的精力去解决古希腊的几何三大难题：
(1) 倍立方问题：求作一个立方体，使体积为已知立方体的二倍;
(2) 三等分角问题：三等分一个(任意的)已知角;
(3) 化圆为方问题：求作一个正方形，使其面积为已知圆的面积。
尽管是徒劳的，但从各方面推动了数学的发展。
将公设、公理分开是从亚里士多德开始的，现代数学将公设、公理都叫做公理。第五条公设与&在平面内过已知直线外一点，只有一条直线与已知直线不相交(平行)&相等价。现在把后一个命题叫做欧几里得平行公理。
自《几何原本》问世以来，直到19世纪大半段以前，数学家一般都把欧几里得的著作看成是严格性方面的典范，但也有少数数学家看出了其中的严重缺点，并设法纠正。首先，欧几里得的定义不能成为一种数学定义，完全不是在逻辑意义下的定义，有的不过是几何对象的直观描述(比如点，线，面等)，有的含混不清。这些定义在后面的论证中根本是无用的。其次，欧几里得的公设和公理是远不够的。因而在《几何原本》中许多命题的证明不得不借助直观，或者无形中引用了欧几里得的5个公理之外的公设或公理的东西。
针对欧氏几何的上述缺陷，数学家们做了大量工作来弥补这些缺陷。到19世纪末，德国数学家希尔伯特(D.Hilbert，)于1899年发表了《几何基础》，书中成功地建立了欧几里得几何的一套完整的公理系统。首先他提出了8个基本概念，其中三个是基本对象：点、直线、面;5个是基本关系：点属于(或关联)直线，点属于(或关联)平面，一点在两点之间，两线段合同，两角合同。这些基本概念应服从5组公理：关联公理;顺序公理;合同公理;连续公理;平行公理。(参见沈纯理等，经典几何，科学出版社，2004或郑崇友等，几何学引论(第二版)，高等教育出版社，2005)。
另外，人们注意到欧几里得平行公理是否与其它公理独立的问题，即平行公理可否能用其它公理推导出来。虽然有很多学者(包括一些很有名的数学家)曾宣称已经证明平行公理能用其它公理推导出来，但最后发现这些论证都是不正确的。于是从意大利数学家Saccheri(1733)开始，人们就转而猜平行公理与其它公理是独立的，即它不能从其它公理推导出来。罗巴切夫斯基(Лобачевский,Н.И.，)和波尔约(J，Bolyai，)分别在1829年和1832年独立地用平行公理的反命题，即用&过给定直线外一点，存在着至少两条直线与给定的直线不相交&来代替欧几里得平行公理，并由这套新的体系演绎出一套与欧几里得几何迥然不同的命题，但并没有导致任何的矛盾，非欧几何就这样产生了。但是要人们真正信服这种纯理性的几何体系，还是应该将这种&虚&的几何学真正地构造出来，即提供这种&虚&几何的现实模型。19世纪70年代，德国数学家克莱因(F.Klein，)提出了Klein模型，庞加莱(J.H.Poincare，)提出了上半平面Poincare模型。这些模型都能将非欧几何学在人们已经习惯的欧氏空间中实现出来。这样的非欧几何叫做双曲几何。
另一种非欧几何的发现者是德国数学家黎曼(G.F.B.Riemann,)。那是他在1854年讨论无界和无限概念时得到的成果。欧几里得的第二条公设说：直线可以无限延长。但是，并不定蕴涵着直线就长短而言是无限的，只不过是说它是无端的或无界的。例如，连接球面上两点的大圆的弧可被沿着该大圆无限延长，使得延长了的弧无端，但确实就长短而言它不是无限的。将欧几里得的公设(1)，(2)和(5)作如下的修正：
(1)两个不同的点至少确定一条直线;
(2)直线是无界的;
(3)平面上任何两条都相交。
就可得到一种相容的几何学，称为黎曼的非欧几何(椭圆几何)。这样的几何可以在球面上实现。
由于罗巴切夫斯基和黎曼的非欧几何的发现，几何学从传统的束缚中解放出来了，从而为大批新的、有趣的几何的发展开辟了广阔的道路，并有广泛的应用，如：在爱因斯坦发现的广义相对论中，用到黎曼几何;由1947年对视空间(从正常的有双目视觉的人心理上看到的空间)所作的研究得出结论：这样的空间最好用罗巴切夫斯基的双曲几何来描述。
如果实数系是相容的，则可以证明以上几种几何的公理系统都是各自相容的、独立的，但都不是完全的。然而奥地利数学家哥德尔(K.Godel,)证明了&对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，存在F中的不可判定命题。&及&对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，F的相容性不能在F中被证明。&因而想证明数学的内部相容性问题也就无望了。
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非欧几里得几何
Non-Euclidean geometry 非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲 ，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同。所谓广义的非欧几何是泛指一切和不同的几何学；狭义的非欧几何只是指罗氏几何；至于通常意义的非欧几何，就是指椭圆几何学。
非欧几里得几何诞生
的《》提出了五条公设，头四条公设分别为：
1.过两点能作且只能作一直线。 　　2.（有限直线）可以无限地延长。 　　3.以任一点为圆心，任意长为半径，可作一圆。　　4.任何直角都相等。
第五条公设说：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个的和小于两，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。
长期以来，数学家们发现第五和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。有些数学家还注意到欧几里得在《》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？
到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式相矛盾的,用它来代替第五公设，然
罗巴切夫斯基
后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五。我们知道，这其实就是数学中的。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
非欧几里得几何罗氏几何
罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于不同，经过却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明：
同一直线的和斜线。
垂直于同一直线的两条直线互相平行。
存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。
罗氏几何：
同一直线的垂线和斜线不一定相交。
垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷远点。
不存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。
从上面所列举得罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。所以罗氏几何中的一些几何事实没有像欧式几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。
1868年，意大利数学家发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的”。
非欧几里得几何黎曼几何
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。罗氏几何
讲“ 过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？就回答了这个问题。
黎曼几何是德国数学家创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点（交点）。在中不承认的存在，它的另一条讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰与黎曼几何的观念是相似的。
此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、和等方面。
非欧几里得几何其他贡献
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什也曾研究过平行线理论，与高斯有过书信交往，但在一次发现其理论有简单的错误后受到打击，所以在研究第五公设时，认为这种研究是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。
非欧几里得几何公设差别
公设一：由任意一点到任意一点可作直线。
公设二：一条有限直线可以继续延长。
公设三：以任意点为心及任意的距离可以画圆。
公设四：凡直角都相等。
公设五：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个的和小于两，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。（等价命题：过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行。）
公设一：由任意一点到任意一点可作直线。
公设二：一条有限直线可以继续延长。
公设三：以任意点为心及任意的距离可以画圆。
公设四：凡直角都相等。
公设五：过直线外一点，至少可以做一条直线与已知直线平行。
非欧几里得几何关系
、、（球面）几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的体系。每个体系内的各条公理之间没有矛盾。因此这三种几何都是正确的。
宏观低速的牛顿物理学中，也就是在我们的日常生活中，我们所处的空间可以近似看成欧式空间；在涉及到广义相对论效应时，时空要用黎曼几何刻画。
非欧几里得几何分析
根据欧氏几何的5条公理，可以看出，这里所说的“欧氏几何”实际上是平面几何。除外，还有立体几何。我们通常所学的立体几何，基本也就是空间中点、线、平面的关系，没有涉及到曲面。
罗氏几何：
根据罗氏几何的定义：从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行。我们仅需将空间中的，定义为：不相交的两条直线叫罗氏平行线。就可以得到，过直线外一点，可以做任意多条直线和这条直线罗氏平行。同一直线的垂线和斜线不一定相交（可能是罗氏平行线）。垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，可能离散到无穷（不在同一平面的两条垂线，线距趋于无限远）。过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。这个命题在一个特殊模型下成立：“过一个曲面上的不在同一条直线上的，不一定能在曲面上做一个“公认”的圆”。但可以在这个曲面上做过这三点的一个平面的投影圆。
黎曼几何：
黎曼几何的这个假设我们没有模型：在同一平面内任何两条直线都有公共点（交点）。直线可以无限延长，但总的长度是有限的。这个在上是可以应用的。
曲面上，两点间最短的线称为这两点在该曲面上的直线，则曲面上两点间的直线，可以有多条。如果一个曲面上的线，在一个平面上的投影为一条直线，则称此直线为此曲面关于这个平面的直线，则过曲面上任意两点，能且仅能做关于此平面的一条直线。曲面上三点，不在关于某平面的直线上，则能且仅能做一个关于此平面的圆。
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