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来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2014-07-29 09:13 标签： 人形少女
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& 等边三角形的性质知识点 & “如图（1），P为△ABC所在平面上一点，...”习题详情
160位同学学习过此题，做题成功率90.0%
如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如点P为锐角△ABC的费马点．且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，求PB的长．（2）如图（2），在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．（3）已知锐角△ABC，∠ACB=60°，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD，BCE，ACF，请找出△ABC的费马点，并探究S△ABC与S△ABD的和，S△BCE与S△ACF的和是否相等．　
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2013-安徽模拟
分析与解答
习题“如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如点P为锐角△ABC的费马点．且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，求PB的长．（2）如图（...”的分析与解答如下所示：
（1）由题意可得△ABP∽△BCP，所以PB2=PAoPC，即PB=2√3；（2）在BB'上取点P，使∠BPC=120°，连接AP，再在PB'上截取PE=PC，连接CE．由此可以证明△PCE为正三角形，再利用正三角形的性质得到PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB'=120°，而△ACB'为正三角形，由此也可以得到AC=B'C，∠ACB'=60°，现在根据已知的条件可以证明△ACP≌△B'CE，然后利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；（3）作CP平分∠ACB，交BC的垂直平分线于点P，P点即费马点；要证明以上结论，需创造一些条件，首先可从△ABC中分出一部分使得与△ACF的面积相等，则过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，就可创造出这样的条件，然后再证其它的面积也相等即可．
解：（1）∵∠PAB+∠PBA=180°-∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，∴∠PAB=∠PBC，又∵∠APB=∠BPC=120°，∴△ABP∽△BCP，∴PAPB=PBPC∴PB2=PAoPC=12，∴PB=2√3；（2）证明：在BB'上取点P，使∠BPC=120°．连接AP，再在PB'上截取PE=PC，连接CE．∠BPC=120°，∴∠EPC=60°，∴△PCE为正三角形，∴PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB'=120°．∵△ACB'为正三角形，∴AC=B′C，∠ACB'=60°，∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°，∴∠PCA=∠ECB′，∴△ACP≌△B′CE，∴∠APC=∠B′EC=120°，PA=EB′，∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，∴P为△ABC的费马点．∴BB'过△ABC的费马点P，且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC．（3）如下图，作CP平分∠ACB，交BC的垂直平分线于点P，P点就是费马点；证明：过A作AM∥FC交BC于M，连接DM、EM，∵∠ACB=60°，∠CAF=60°，∴∠ACB=∠CAF，∴AF∥MC，∴四边形AMCF是平行四边形，又∵FA=FC，∴四边形AMCF是菱形，∴AC=CM=AM，且∠MAC=60°，∵在△BAC与△EMC中，CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，∴△BAC≌△EMC，∵∠DAM=∠DAB+∠BAM=60°+∠BAM∠BAC=∠MAC+∠BAM=60°+∠BAM∴∠BAC=∠DAM在△ABC和△ADM中AB=AD，∠BAC=∠DAM，AC=AM∴△ABC≌△ADM（SAS）故△ABC≌△MEC≌△ADM，在CB上截取CM，使CM=CA，再连接AM、DM、EM （辅助线这样做△AMC就是等边三角形了，后边证明更简便）易证△AMC为等边三角形，在△ABC与△MEC中，CA=CM，∠ACB=∠MCE，CB=CE，∴△ABC≌△MEC（SAS），∴AB=ME，∠ABC=∠MEC，又∵DB=AB，∴DB=ME，∵∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°+∠ABC，∠BME=∠BCE+∠MEC=60°+∠MEC，∴∠DBC=∠BME，∴DB∥ME，即得到DB与ME平行且相等，故四边形DBEM是平行四边形，∴四边形DBEM是平行四边形，∴S△BDM+S△DAM+S△MAC=S△BEM+S△EMC+S△ACF，即S△ABC+S△ABD=S△BCE+S△ACF．
此题考查了等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为180°等知识；此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．
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如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如点P为锐角△ABC的费马点．且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，求PB的长．（...
错误类型：
习题内容残缺不全
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分析解答残缺不全
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经过分析，习题“如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如点P为锐角△ABC的费马点．且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，求PB的长．（2）如图（...”主要考察你对“等边三角形的性质”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
与“如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如点P为锐角△ABC的费马点．且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，求PB的长．（2）如图（...”相似的题目：
已知：点P是正△ABC内任意一点，过点P分别作PD∥AB交直线AC于D，PE∥BC交直线AB于E，PF∥AC交直线BC于F，如图（1），易证：PE+PF+PD=AB．若点P在正△ABC外部如图（2）、图（3）时，其它条件不变，试猜想PD、PE、PF、AB之间的数量关系，并对其中一种猜想给出证明．&&&&
如图1，在等边△ABC中，AD是△ABC的角平分线，过点D的直线B1C1⊥AC于点C1，且交AB的延长线于点B．（1）请你探究：AC1AB1=C1DDB1是否成立？（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，如图2，AD是△ABC的角平分线，请问ACAB=CDDB还成立吗？给出你的结论并证明．&&&&
在由小正三角形组成的虚线网格中，则tan∠AOB=&&&&32．
“如图（1），P为△ABC所在平面上一点，...”的最新评论
该知识点好题
该知识点易错题
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如点P为锐角△ABC的费马点．且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，求PB的长．（2）如图（2），在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．（3）已知锐角△ABC，∠ACB=60°，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD，BCE，ACF，请找出△ABC的费马点，并探究S△ABC与S△ABD的和，S△BCE与S△ACF的和是否相等．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如点P为锐角△ABC的费马点．且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，求PB的长．（2）如图（2），在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．（3）已知锐角△ABC，∠ACB=60°，分别以三边为边向形外作等边三角形ABD，BCE，ACF，请找出△ABC的费马点，并探究S△ABC与S△ABD的和，S△BCE与S△ACF的和是否相等．”相似的习题。乱伦熟女 亚洲色图_色域h网_www.色迷迷.net图片_日本人体色图

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